第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（11大知識(shí)歸納+22大題型突破）（解析版）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

(知識(shí)歸納+題型突破)

課標(biāo)要求

1.了解函數(shù)的概念、會(huì)求函數(shù)的定義域、解析式及值域.

2.熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用函.數(shù)的單調(diào)性及奇偶性求解相關(guān)問(wèn)題.

3.理解函數(shù)的對(duì)稱性及周期性，并會(huì)函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

4.了解并掌握某函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

5.掌握函數(shù)的應(yīng)用

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1.函數(shù)的概念

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有

唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/:AfB為從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù)，記作y=A

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x值相對(duì)應(yīng)的叫做)，值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的

集合｛/(,“xwA卜叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合8的子集。

2.區(qū)間的概念

定義符號(hào)數(shù)軸表示

▲J?

{x\a<x<b}[a,b]ab

—4----4~?

(mb)ab

—4----J—>

{x|&V〃}[a，b)ab

—4----1—?

{x|a<x<b}(〃，b]ah

—l------?

｛沖之〃｝[a>+oo)a

?J?

{X|A>6/|(m+oo)a

------1—?

{x\x<a}(—8,a]a

-----.

(.r|A<6/|(—8,a)a

R(-no,+m)

3.函數(shù)的三要素(定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系)

在)，=/(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，)，仍然叫做函數(shù)值，)的取值范

圍叫做值域。其中/表示的是自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，該對(duì)應(yīng)關(guān)系常體現(xiàn)在解析式中。定義域、值域、

對(duì)應(yīng)關(guān)系統(tǒng)稱函數(shù)的三要素。

4.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)外)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值

X|,X2

定義

當(dāng)汨〃2時(shí),都有以1內(nèi)(>2),那么就說(shuō)函數(shù)?U)當(dāng)初42時(shí)，都有危1)次⑵,那么就說(shuō)函數(shù)

在區(qū)間。上是增函數(shù)人劃在區(qū)間。上是減函數(shù)

圖象描

述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=A?在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)尸危)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)

間。叫做y=的單調(diào)區(qū)間.

(3)函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=?r)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對(duì)于任意的都有(3)對(duì)于任意的都有yu注M；

條件

⑵存在沖日，使得凡io)=M(4)存在次仁/,使得以o)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

5.單調(diào)性的常見(jiàn)運(yùn)算

(1)單調(diào)性的運(yùn)算

①增函數(shù)(/)+增函數(shù)(/)=增函數(shù)/

②減函數(shù)(、)+減函數(shù)(')=減函數(shù)'

③f(x)為/，則一/(x)為、，為、

fM

④增函數(shù)（/）一減函數(shù)（\）=增函數(shù)/

⑤減函數(shù)（\）一增函數(shù)（/）=減函數(shù)'

⑥增函數(shù)（/）+減函數(shù)（\）=未知（導(dǎo)數(shù)）

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)/（x）=〃（8（3）），設(shè)〃=g（x）,叫做內(nèi)函數(shù)，貝叭x）=川做外函數(shù),

內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)T,n復(fù)合函數(shù)T

內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)T城2閂福民、戌

,內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)廣結(jié)論：同增異減

內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)T,n復(fù)合函數(shù)J

6.奇偶性

①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）

②奇偶性的定義：

奇函數(shù)：/（-x）=-/（x）,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

偶函數(shù)：/（-x）=/（x）,圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

③奇偶性的運(yùn)算

/（外g（7）y（x）+g（z）/（X）-g（T）/(jr)g(x)/［晨川

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

7.周期性（差為常數(shù)有周期）（拓展）

①若/（"〃）=/⑺，則/（工）的周期為：7=時(shí)

②若/（x+a）=/（x+b）,則/（?的周期為：T=\a-l\

③若/（x+〃）=—/（?則/⑴的周期為：T=\2a\（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）

④若/(x+4)=±則/(X)的周期為：T=\2CA(周期擴(kuò)倍問(wèn)題)

8.對(duì)稱性(和為常數(shù)有對(duì)稱軸)(拓展)

軸對(duì)稱

①若f(x+a)=/(-x),則f(文)的對(duì)稱軸為x=^

②若/(x+a)=/(—x+〃)，則/(x)的對(duì)稱軸為x二等

點(diǎn)對(duì)稱

①若f(x+a)=二/'(7),則?、诺膶?duì)稱中心為(去0)

②若/(x+.)+/(_x+〃)-c,虬f(x)的對(duì)稱中心為(與，￡

9.周期性對(duì)稱性綜合問(wèn)題(拓展)

①若f(a+x)=/(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中則/(x)的周期為：T=^a-k\

②若/(4+1)=-/'(〃一工)，f(b+x)=-f(h-x),其中則/(x)的周期為：

T=2\a-l^

③若/(4+x)=/(4-x),f(b+x)=-f(b-x),其中4./?,則/(X)的周期為：

7=4|々_母

10.奇偶性對(duì)稱性綜合問(wèn)題(拓展)

①已知/(X)為偶函數(shù)，/(工+。)為奇函數(shù)，則/(X)的周期為：7=44

②已知/⑺為奇函數(shù)，/(x+。)為偶函數(shù)，則/(x)的周期為：7二4|。|

1L塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義及一般形式

形如y=x"(awR)的函數(shù)稱為某函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)

（2）幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

」心0時(shí),/（X）在第一象限單調(diào)遞增

X

/M-aVO時(shí)，第一象限單調(diào)遞減

②嘉函數(shù)的奇偶性

口為整數(shù)，為偶數(shù)一（丫）為偶函數(shù)

為奇數(shù)，/（、）為奇函數(shù)

f(x)=xa^〃為偶數(shù)時(shí)，/（x）為非奇非偶函數(shù)

。為分?jǐn)?shù)，設(shè)。=幺4為奇數(shù)，/（x）為奇函數(shù)

〃為奇數(shù)呼

P夕為偶數(shù)，八）為偶函數(shù)

重要題型

題型一圖象法表示函數(shù)

【例1】（1）（2023秋?廣東廣州?高一校聯(lián)考期末）下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是（）

y八

A.____

OX

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，可知因變量）'與自變量x是一一對(duì)應(yīng)的，可以判斷出各個(gè)選項(xiàng)中的圖像是否是函

數(shù)圖像，來(lái)進(jìn)行作答.

【詳解】由函數(shù)的定義可知，選項(xiàng)B中的圖像不是函數(shù)圖像，

出現(xiàn)了一對(duì)多的情況.

故選:B

（2）（2022秋?黑龍江黑河?高一校聯(lián)考期末）（多選）下列各圖中，不可表示函數(shù)），=/（用的圖象的是（）

【答案】ABC

【分析】函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表示方法，根據(jù)函數(shù)的定義，可判斷各圖像是否可以表示函數(shù).

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x,都有唯一的函數(shù)值y與它對(duì)應(yīng)，因此，只有

選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)ABC都錯(cuò)誤.

故選:ABC

鞏固訓(xùn)練:

1.（2023春?遼寧鞍山?高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)），=/（x）的定義域?yàn)镸={xl-2KXK2},值域?yàn)?/p>

N={），|04yK2},則函數(shù)），=〃/）的圖像可能是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可以排除C選項(xiàng)，根據(jù)定義域與值域的概念排除A,D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)xc（0,2］時(shí)，沒(méi)有對(duì)應(yīng)的圖像，不符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義本選項(xiàng)符合題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，不符合

題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，值域當(dāng)中有的元素在集合M中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，不符合題意.

故選:B.

2.（2023秋?廣東河源?高一龍川縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（）

【答案】ACD

【分析】由函數(shù)的定義，函數(shù)必須滿足一一對(duì)應(yīng)，分別對(duì)選項(xiàng)判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】由圖像可知ACD選項(xiàng)的圖像滿足一一對(duì)應(yīng)，一個(gè)X有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，

選項(xiàng)B表示的是一個(gè)圓，不滿足一一對(duì)應(yīng)，除左右與.1軸的交點(diǎn)外，

一個(gè)x有兩個(gè)與之對(duì)應(yīng)，故選項(xiàng)B不能表示)，是工的函數(shù).

故選：ACD.

題型二求函數(shù)值

【例2】(1)(2023秋?遼寧丹東?高一丹東市第四中學(xué)?？计谀?定義在R上的函數(shù)/(X)滿足

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,ye/?),/(I)=2,則〃—3)等于

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【詳解】試題分析:法一、根據(jù)條件給"J賦值得:/(2)=/(I)+/(I)+2=6,/(3)=/(2)+/(I)+4=12,

/(0+0)=/(0)+/(0)+0=/(0)=0,/(3-3)=/(3)+/(-3)-18

所以0=12-/(-3)-】&〃-3)=6.所以選。

法二、/(.r)=f+X滿足題設(shè)條件.將X=-3代入即得.

考點(diǎn)：抽象函數(shù).

(2)(2023秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？计谀?已知函數(shù)/(x)=4+a--尿-5,且〃-2)=2,那

么f(2)=.

【答案】-12

【分析】代入X=-2,X=2,整體代換求值即可.

【詳解】由題意，/(-2)=號(hào)y+〃(-2)fx(-2)-5=2,即/+〃x2-x2=-7,

3

f(2)=-JT+67x2-2/?-5=-7-5=-12.

故答案為：?12

(3)(2023秋?海南僚州?高一校考期末)已知=；,那么

7

【答案】?35

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式代入即可求解.

2

【詳解】由題意可得：/(1)=:，/(力+/(，1=丁二+)？=/匚+/匚=1，

2\x)1+x1+11+x1+x

X

(1A(h(1)17

故f⑴+,f(2)+/5+八3)+/o+八4)+/-=-+1+1+1=-.

7

故答案為：

鞏固訓(xùn)練

1.(2023秋.陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)已知，(2x-l)=4x+6,則/(5)的值為.

【答案】18

【分析】運(yùn)用賦值法，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.

【詳解】令2x-l=5=x=3,把尤=3代入/(2x—l)=4x+6中，得/(5)=4x3+6=18,

故答案為：18

2.(2023秋.河北邯鄲?高一校考期末)已知函數(shù)/")滿足/(x+l)=V,則/(2)=.

【答案】I

【分析】在/(x+l)=V中，令x=l即可得解.

【詳解】因?yàn)?(x+l)=/,

令X=l,可得〃2)=/(1+1)=12=1

故答案為：1.

3.(2023秋?浙江臺(tái)州?高一統(tǒng)考期末)定義在R上的函數(shù)“力滿足/(1+1)+/(工-1)=3/(7),

/(x)+/(4-x)=2,則/(-1)=.

【答案】I

【分析】根據(jù)題意,分別令x=0,2,4,6,得到/(5)=〃l)J⑶=〃7)=〃一1),在令x=l,3,5,7,求得

/(1)+/(-1)=2,進(jìn)而求得/(7)=；,即可求得/(一1)的值.

【詳解】因?yàn)椤ü?1)+/。-1)=3/⑺，

當(dāng)工=0時(shí)，可得/'(l)+〃—l)=3f⑺；當(dāng)x=2時(shí),可得〃3)+〃1)=3〃7)；

當(dāng)上=4時(shí)，可得f(5)+〃3)=3〃7)；當(dāng)x=6時(shí)，可得〃7)+f(5)=3f⑺,

所以/(5)=/⑴,43)=/⑺

又因?yàn)?(x)+/(4-x)=2,

當(dāng)x=l時(shí)，可得/。)+/(3)=2；當(dāng)x=3時(shí)，可得〃3)+/(1)=2：

當(dāng)工=5時(shí)，可得/(5)+/(-1)=2；當(dāng)x=7時(shí)，可得/“)+/(—3)=2,

由“5)+〃-1)=2,/(5)=/(1),可得/⑴+〃-1)=2,

又因?yàn)椤?)+〃-1)=3〃7),所以/⑺、，所以4-1)=9

故答案為：!

題型三己知函數(shù)值求參數(shù)

(1)

【例3】(1)(2023秋?甘肅天水?高一校聯(lián)考期末)己知/-x-l=2r+3,人〃?)=6,則加等于()

IN/

【答案】A

【分析】設(shè)1l=f，求出/")=4/+7,進(jìn)而可得/(〃?)=4m+7=6,由此可求出機(jī)的值

【詳解】解：設(shè)/-1=/，則x=2/+2,

所以f(f)=2(2+2)+3=4+7,

所以『("?)=4機(jī)+7=6,解得〃?二J

4

故選:A

【點(diǎn)睛】此題考查由函數(shù)值求自變最，考查了換元法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

4-?

(2)(2U23秋?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=-r

x-1

⑴當(dāng)x=2時(shí)，求〃x)的值;

⑵若/(。)=2%求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】(1)4;

(2)"=_，或〃=2.

【分析】⑴將修代入心)=告求解:

(2)根據(jù)/5)=g=2*求第即得.

0-1

【詳解】⑴???函數(shù)/3=告,

2+2

???當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=—=4；

2—1

(2)函數(shù)/")=二4的定義域?yàn)閧xlxwl},

x—1

因?yàn)?(。)=2%所以/(〃)=±g=2a,

a-\

即a+2=2a(a-l),解得“=一：或a=2；

所以〃=」或々=2.

2

鞏固訓(xùn)練

1.(2023秋?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x,)，，都

/a+y)=[+_L]"M/(y)成立，/⑴=2.若/(〃)=/(〃+1),〃€Z,貝|J〃=()

3y)

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【詳解】由題意可得，/(l+〃)=[l+J]/⑴/(〃)=四x2/(〃)，

又f(〃)="〃+l),

所以■^^"x2=l,而〃wZ,可得〃=一2.

n

故選:B

2.(2023秋?海南飴州?高一?？计谀?已知函數(shù)，。)="+二,且〃2)=6.

x-l

⑴求。的值；

(2)當(dāng)Q1時(shí),求函數(shù)人工)的最小值.

【答案】(1)4

(2)5

【分析】(1)根據(jù)題意代入運(yùn)算求解;

(2)結(jié)合基本不等式求最小值.

【詳解】(1)由題意可得：/(2)=2+?=6,解得a=4.

44

(2)由(1)可得：f(x)=x+--=(x-l)+--+1,

x-lx-\

'：x>\,則x-l>0,

???f(x)=(x-l)+—+l>2j(x-l)x—+1=5,當(dāng)且僅當(dāng).■】=/一,即x=3時(shí)等號(hào)成立,

x-lVx-\x-\

所以,函數(shù)。x)的最小值為5.

題型四區(qū)間的概念及其表示

【例4】(1)(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))下列區(qū)間與集合{斗￥〈-2或xNO}相對(duì)應(yīng)的是().

A.(-2,0)B.(―<?,—2]D[0,+x>)

C.(f,-2)U[0,+°°)D.(-3o,-2]l(0,-KO)

【答案】C

【分析】根據(jù)區(qū)間的概念判斷即可.

【詳解】集合中的x<-2可以表示為區(qū)間XW(YO,-2),

集合中的X20可以表示為區(qū)間xT8)，

???或是并集關(guān)系，

???集合表示為4e(70,-2)u[0,+X)

故選：C.

(2)(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))把下列數(shù)集用區(qū)間表示.

(l)[x|.r>-l)；

⑵[x|x<()}；

(3){x|-l<x<I};

(4){x|0<xvl或24x44}.

【答案】⑴[T，+8)

(2)1-00,0)

⑶川)

(4)(OJ)[2,4]

【分析】由區(qū)間的概念求解即可.

【詳解】(1)l,+oo).

(2){x|xvO}=(YO,0).

(3){x|-l<x<l}=(-l,l).

(4){x|O<x<lnJ(2<A：<4|=(O.l)J[2,4].

鞏固訓(xùn)練

1.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))將集合4={.中<4工3}用區(qū)間表示正確的是()

A.(1,3)B.(1,3]

C.[1,3)D.[1,3]

【答案】B

【分析】利用區(qū)間的定義判定即可.

【詳解】因?yàn)榧螦為左開(kāi)右閉區(qū)間，故可表示為(L3].

故選:B

2.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))把下列數(shù)集用區(qū)間表示：

(1)[x|x>—1)；

(2){x|x<0}；

⑶

(4){x|0<x<l).

【答案】(1)[T，-)

⑵f。)

⑶(Tl)

(4)(0,1]

【分析】根據(jù)區(qū)間與集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的區(qū)間表示.

【詳解】(1){x|x>-l}=[-l,+o>)

(2){x|x<0}=(-oo,0)

(3){x|-l<x<l)=(-kl)

(4){X|0<X<1}=(0,1]

題型五求具體函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及抽象函數(shù)的定義域

【例5】（1）（2023秋?浙江臺(tái)州?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（力=73的定義域是（）

A.（0,+8）B.（2,+8）

C.[2,+oo）D.（ro,2）U（2,y）

【答案】B

【分析】依題意可得工-2>0,求解即可.

【詳解】依題意可得工-2>0,解得x>2,

所以函數(shù)/（"=7占的定義域是（2,+8）.

故選：B.

（2）（2023秋?湖南婁底?高一?？计谀┖瘮?shù)/（"=?^+’的定義域是（）

?V

A.[-l,+<x））B.（y.0）U（0,y）

C.[-1,0）U（0,-KO）D.R

【答案】C

【分析】由函數(shù)有意義的條件，求解函數(shù)定義域.

1+x>0,

【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足1八即人之T且人才0.

xwO,

所以函數(shù)定義域?yàn)閇」,（））（0,包）

故選:C.

（3）（2023秋?遼寧沈陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)）=/（x+l）的定義域?yàn)閇L2],則函數(shù)），=/（2工-1）的定義

域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[；/]B.T，2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】???函數(shù)y=/（x+l）的定義域?yàn)間[Jl<x<2,可得24X+1W3,

工函數(shù)V=的定義域?yàn)閇2,3],

令2W2K3,解得

2

■3'

故函數(shù)y=/（2x-l）的定義域?yàn)?,2.

故選：B.

（4）（2023秋?重慶九龍坡?高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)/（2x+l）的定義域?yàn)椴?,2],則函數(shù)

），="x）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

x+1

A.{A1-I<x<2}B.{.Y|-1<x<5}

C.?x|-l<x<i>D.{x|TW5}

【答案】B

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得/（力的定義域?yàn)閇7,5],進(jìn)而可求解.

【詳解】〃21+1）的定義域?yàn)閇-1,2],所以L2],「.2x+le[-L5],

因此/（x）的定義域?yàn)閇T5],所以），=3的定義域滿足UW5/+1工0,g|J-l<x<5,

故選：B

（5）（2023秋?遼寧本溪?高一?？计谀┤艉瘮?shù)y=〃x）的定義域是[1,2023J,則函數(shù)8"）=上附的定

X—1

義域是（）

A.[0,2022]B.[-1,1）^（1,2022]

C.（1,2024]D.[0,1）51,2022]

【答案】D

【分析】由抽象函數(shù)定義域相關(guān)概念可得答案.

【詳解】因卜二1（4的定義域是U，2023],

,fl<x+l<2023[0<x<2022

則由gx=〃-可得：.nn?,

'，x-l[工一1H0[x^\

則g(x)定義域?yàn)椋篬0,1)51,2022].

故選：D

鞏固訓(xùn)練

1.(2023秋?重慶?高一校聯(lián)考期末)函數(shù)),=J_f+2x+3的定義域?yàn)?)

A.[-3,1]B.[-1,3]

C.(-oo,-3]u[l,+oo)D.(-<x>,-l]u[3,+<x>)

【答案】B

【分析[根據(jù)解析式可知,只需-F+2X+320成立，解出不等式因可.

【詳解】解:由題知尸，_父+2公3、

貝IJ有-x2+2x+32()成立，解得xe卜L3].

故選:B

2.(2023秋?河北承德?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)/(力的定義域?yàn)閇-24],則),=/0立的定義域?yàn)?)

A-1

A.(1,8]B.[-4J)k,7(l,8]

C.(1,2]D.[-1,1)U(L2]

【答案】D

【分析】利用抽象函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求解.

-2<2x<4

【詳解】解：由題意得；*

x-lwO,

解得-1WxW2且"1.

故選：D

3.(2023秋?重慶長(zhǎng)壽?高一重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)〃x+l)的定義域?yàn)閇L2],則〃2刈的定

義域?yàn)?

-3一

【答案】弓

【分析】先由題意求出函數(shù).f(x)的定義域?yàn)閇2,3],再由2<2x<3求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(4+1)的定義域?yàn)榭冢?],所以2?工+1?3；

即函數(shù)的定義域?yàn)閇2,3]；

3

由2W2xW3解得1Wx4大

2

因此/(2x)的定義域?yàn)椤?

-3'

故答案為：h-

4.(2023秋?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?若函數(shù)/(x)=V7=商，則/(x)的定義域

為()

A.[2,4]B.(-oo,2]u[4,+oo)

C.(2,4)D.(-<?,2)U(4,-KO)

【答案】B

【分析】由題意可得f-6x+8N0,解不等式即可得出定義域.

【詳解】要使函數(shù)〃=-6x+8有意義,則/-6丹82()，

ljl!l(x-2)(x-4)>0,解得：了42或》之4,

所以函數(shù)/(A-)=x/x2-6x4-8的定義域?yàn)?-8,2]q4,y),

故選：B

5.(2023秋?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀?若函數(shù)f(x)的定義域是[-3,2],則函數(shù)g(x)=/G+l)的

X—1

定義域是()

A.[-4,I]B.[-3,I]C.[-3,1)D.[-4,I)

【答案】D

【分析】由復(fù)合函數(shù)的定義求定義域，同時(shí)注意分母不為0.

【詳解】由一34工+1<2解得,又工一1工0,得T4x<l.

故選：D.

題型六求函數(shù)解析式

【例6】(1)(2023秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中校考期末)已知函數(shù)"V)滿足/(X+1)=/+4X+3,則

了⑶解析式是()

A.f(x)=x2+2xB.f(x)=x~+2

C.f(x)=x2-2xD.f(x)=x2-2

【答案】A

【分析】利用換元法，求函數(shù)的解析式.

【詳解】設(shè)x+l=f,故x="l,則=+4(/-1)+3=/+2/,

所以/(%)=/+2工

故選：A

(2)(2023秋?重慶江北?高一字水中學(xué)?？计谀?(多詵)已知函數(shù)/(x)*一次函數(shù)，滿足/(/(力)=9%+8,

則f(x)的解析式可能為()

A./(X)=3x+2B./(x)=3x-2

C./(x)=-3x+4D./(x)=-3x-4

【答案】AD

【分析】設(shè)/(司=依+乩代入〃/(切)=9文+8列方程組求解即可.

【詳解】設(shè)/")=依+",

由題意可知/(/(x))=k(依+。)+b=左、+奶+方=9x+8,

二=9k=3★=一3

所以，解得或《

kb+b=8b=2b=-4

所以〃x)=3x+2或〃x)=-3x-4.

故選：AD.

(3)(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))(1)已知/(x+l)=V+4x+l,求/(x)；

(2)已知/卜一3+±+1,求/'(X);

(3)已知2/(，1+/(x)=x(xw0j,求/‘(X).

2v

【答案】(1)/(X)=A-2+2X-2：(2)/(X)=X2+3；(3)/(x)=---=

3x3

【分析】(1)應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式；

(2)通過(guò)配方得到含工-5的解析式，即得了(x)的解析式；

(3)利用方程組求函數(shù)解析式即可.

【詳解】(1)V/(x+l)=x2+4X+I,令f=x+l,則x="l,

.-./(/)=(r-l)2+4(r-l)+l=r2+2/-2,

/.J\x)=x2+2x-2：

（2）,,,/fx-—1=%2+-^+1=x-—+3,

kx）x~Vx）

j\x)=x2+3；

(3)V/(X)4-2/^=X,將原式中的x與一互換，得

1

2r

所以‘解得小)=人9"°).

⑶2/（止

(4)(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))(1)已知/*)是二次函數(shù),且滿足f(0)=l,/(x+l)-/(x)=2x,求解

析式；

(2)已知/(工+1)=2^+3工+2,求,f(x)的解析式.

(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)-均有/(x)-2/(=r)=9x+2,求/(力的解析式.

【答案】(1)f(x)=x2-x+\；(2)f(x)=2x2-x+l.(3)/l?=3x-2

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可得到解析式；

(2)利用配湊法或換元法即可得到解析式；

(3)利用方程組法即可得到解析式.

【詳解】(1)令/(X)=OX2+bx+c(aw0),

因?yàn)?(0)=1，所以c=l,則/(的=d+〃x+l.

由題意可知:/(x4-l)-/(x)=a(x+l)2+Z?(x+l)+l-(ax2+/狀+1)

=2cix+a+b=2x,

2a=2"a=1

得AZ所以入「

所以/(X)=x2-X+1.

(2)法一：配湊法

根據(jù)/(x+1)=2/+3%+2=2(X+1)2-(X+1)+1.

可以得到/(x)=2x2—x+i.

法二：換元法

令x+l=r,則x=—l,

J\t)=2(f-1)2+3(f-1)+2=2f2-7+1.

/(x)=2x2-x+l.

(3)因?yàn)?(x)-2/(-x)=9x+2①，

所以/(-x)-2/(x)=-9x+2②，

由①+2x②得：—3/(A)=-9x+6.

解得：/(x)=3x-2.

(5)(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))回答下面問(wèn)題

(1)已知/(1+1)=/—3x+2,求〃力；

(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若/(/(x))=4x+8,求/(x).

⑶已知/(五+1)=1+2五，求/(x)的解析式：

⑷已知/")是一次函數(shù)，且滿足3/(x+l)-2/(x—l)=2x+17,求/(x)的解析式.

【答案】(1)〃力二/一51+6

(2)/(x)=2x+|或/⑴―

(4)/U)=2x+7

【分析】(1)根據(jù)配湊法或換元法求解即可；

(2)設(shè)/(幻=依+〃(。=0),再代入求解即可:

(3)令1=4+1換元求解即可；

(4)設(shè)/(幻=心+優(yōu)女工。)，再代入3/(x+l)-2/(x-l)=2工+17求解即可.

【詳解】(1)方法一(配湊法)：???/(%+1)=/-3彳+2

=(x+l)'-5x4-1=(x+l)'-5(x+l)+6,

：./(x)=x2-5x+6.

方法二(換元法)：令，=工十1,則冗二，一1,

/(r)=(r-i)2-3(r-l)+2=r2-5r+6.

即f(x)=W-5x+6.

(2)設(shè)/(A)=ax+b[aw0),

則f(/(x))=f(cix+b)+a(ax+b)+b=a2x+ab+b.

又f(/(x))=4x+8,工a2x+ab+b=4x+Sf

4=2

=4

"+一'解得,8或，

b=-

3

f(x)=2x+g或f(x)=-2x-8.

(3)令1=G+1,則INI,x=(/-l)\

因?yàn)?(?+l)=x+2?,

所以/S=(I)2+2(I)=/_[,

所以/(x)=f7(x21);

(4)由題可設(shè)./1*)=6+伙ZHO),則

f(x+\)=k(x+\)+b,=k(x-\)+b,

所以3f(x+1)-2f(x-1)=3k(x+1)+3b—2k(x-\)-2b

=kx+5k+h=2x+\l,

k=2

所以

5k+b=\l'

所以&=Z/=7,

所以/(x)=2x+7.

鞏固訓(xùn)練

1.(2023秋?河南新鄉(xiāng)?高一?？计谀?已知/(?+l)=x-2,貝J〃x)=.

【答案】X2-2X-\(X>\)

【分析】利用換元法求解即可

【詳解】令『=五+1(/21),貝l」x=r-2/+1，

所以f(t)=r-2t+\-2=r-2t-\(t>\),

即F(x)=x2-2x-\(x>1),

故答案為：X2-2X-1(X>1)

2.(2023秋.四川成都.高一成都七中?？计谀?已知函數(shù)/(幻是二次函數(shù)，/(-1)=0,/(-3)=/(1)=4.

(I)求/⑶的解析式;

⑵解不等式/(X-DN4.

【答案】(1)f(%)=(“+1)2

(2)[-8,-2][2,”)

【分析】(1)根據(jù)/'(-3)=/(1)得對(duì)稱軸為4-1,再結(jié)合頂點(diǎn)可求解；

⑵由(I)得Y24,然后直接解不等式即可.

【詳解】(1)由/(-3)=/(1),知此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=-l,

又因?yàn)閒(-D=0,所以(TO)是“力的頂點(diǎn)，

所以設(shè)/(x)=a(x+l)2

因?yàn)?。)=4,即a(I+l)2=4

所以得。=1

所以/(X)=(X+1)2

(2)因?yàn)?(x)=(x+l)2所以

/(上一1)24化為4224,即X4-2或4N2

不等式的解集為(e，-2]1⑵心)

3.(2023秋?湖南永州?高一永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))(I)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足

3/G+1)-/(工)=2x+9,求/(X)的解析式；

(2)已知/(?+l)=x+26,求“力的解析式；

【答案】(1)/(x)=x+3；(2)/(x)=x2-l(x>l)

【分析】(1)設(shè)出/(0="+方(分0),根據(jù)題目條件得到方程組,求出。=1,。=3,得到函數(shù)解析式;

(2)換元法求出函數(shù)解析式，注意自變量取值范圍.

【詳解】(1)由題意.設(shè)函數(shù)為/(6=?+〃(。工0).

3/(x+l)-/(x)=2x+9,

:.^a^x+\)+3/}-ax-b=2x+9,

2a=2

即2or+3a+2/w2x+9,由恒等式性質(zhì)，得「?八，

3a+2b=9

:.a=\,b=3,

???所求函數(shù)解析式為/(x)=x+3

(2)令t=6+l,Mr>l,x=(r-l)2,

因?yàn)?(五+l)=x+24,所以/(/)=?-爐+2(/_])=「_],

所以/(x)=f-1(x21).

4.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))(1)已知"x)=Y,求/(2x+l)的解析式；

(2)已知/(4+2)=1+4五，求函數(shù)〃力的解析式；

(3)已知/(力是二次函數(shù)，且滿足〃0)=1,/(X+1)=/(A-)+2X,求函數(shù)/(力的解析式；

(4)已知〃X)+2/(T)=2X+3.求的解析式.

(5)已知“X)是定義在R上的函數(shù)，/(0)=1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,yf(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),

求函數(shù)/(力的解析式.

【答案】(I)/(2x+1)=4x2+4x+l；(2)/(.r)=x2-4(x>2)；(3)/(x)=x2-x+l；(4)j(x)=-2x+\；

(5)/(x)=x2+x+l

【分析】(1)用2x+l代/3中的x計(jì)算可得;

(2)用換元法，設(shè)f=《+2,解出人后代入可得，注意，的取值范圍；

(3)設(shè)/("=加+瓜+c?3。。)，代入已知條件解方程組可得;

(4)用一x替換/(x)+2/(r)=2x+3中的x,兩式組成方程組后解之可得；

(5)在已知式中令＞=工代入求解.

【詳解】(D因?yàn)?所以/(2X+1)=(2X+1)2=4/+4X+1.

⑵設(shè)7=4+2,則，＞2,77=r-2,KUr=(r-2)2,

所以/。)=(…2)2+4(.2)=〃-4,所以/(工)=/-4*22).

(3)因?yàn)?(力是二次函數(shù)，所以設(shè)〃力=?2+加+以。工0).由〃0)=1,得c=l.

由f(x+l)=/(x)+2x,得a(x+l『+/?(X4-1)+1=ar2+灰+1+2工，

整理得(2。-2)%+(〃+3=0,

2a20，1

所以I"I='所以:=1，所以/("=/7+1.

a+b-0[Z;=-l

(4)用r替換/(X)+2/(T)=2X+3中的”,得/(r)+2/(x)=—2x+3,

/(x)+2/(-x)=2x+3

解得/(x)=-2x+l.

2f(x)+f(-x)=-2x+3

<5)令)'=x,則/(工_)，)=/(0)=/(人)一入(2入一入十1)=1,所以/(1)=丁十x十i

5.(2023秋?四川眉山?高一?？计谀?已知一次函數(shù)“勸滿足/⑵=3,/(x+l)-/W=2.

⑴求八用的解析式；

(2)若WxeR,〃?[2+1)+/叭x)<l,求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【答案】(l)/(x)=2x—l

(2)-l<m<0

【分析】(1)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設(shè)〃力=履+乩代入條件，得到方程組，解出參數(shù)即可;

(2)將函數(shù)解析式代入即可轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式恒成立的問(wèn)題.

【詳解】(1)設(shè)/(x)=H+b,則/(x+l)=k(x+l)+b.

由/(x+l)-/(x)=2得2.

因?yàn)椤?）=2k+b=3,所以Z,=?l.

所以，/（力的解析式為/W=2x-1.

（2）將/（x）=2x-l代入+1）+"始（力<1得,加+2〃tr一1<0（*）.

即Vx€R,nix2+2inx-\<0.

①當(dāng)〃?=（）時(shí)，不等式*變?yōu)?1<0,滿足條件；

m<0

②當(dāng)〃?00時(shí)，原問(wèn)題等價(jià)于小y,/八

（2ni）-4m

解得-1<m<0.

綜上，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為-1<用<0.

題型七求函數(shù)的值域

【例7】（1）（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)），=J-x2+2x+2的值域?yàn)?

【答案】［。,6］

【分析】根據(jù)題意可得0?-V+2x+2?3,可求出結(jié)果.

【詳解】令〃（力=一￡+2工+2,則0工〃（同=一/+2討+2=—（工—1）2+343,

所以0K），W6.

故答案為：［。，6］

（2）（2023秋?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合），=3工-3.1+4的值域?yàn)椋ǎ?/p>

x-x+l

（131L131（八131L13'

A?a旬B.久c.［o,y］D.闖

【答案】B

【分析】分離參數(shù)后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，即可結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.

［詳解］由）,=3x：―3x+4可得產(chǎn)3+二

A：2-X+1X~-X+1

由于函數(shù)/"）=丁7+1=1-；］+9之:，所以0<

故選:B

（3）（2023?全國(guó)?高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域:

⑴/(x)=(x-1)2+1,Xe{-1,0,1,2,3}；

⑵f(x)=(x-l)2+l.

【答案】(1){1,2,5}

⑵3”1}

【分析】(1)(2)根據(jù)定義域即可求出函數(shù)的值域；

【詳解】(1)由題意，

在f(x)=(X—4+1中，xw{-1,0,1,2,3},

/(-1)=[(-1)-1]2+1=5,

/(0)=2,/(1)=1,/(2)=2,/(3)=5,

???這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?1,2,5).

(2)由題意，

在f(x)=*-])2+i中，XeR,

(x-l)2+l>l,

???這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)閧ylyzi}.

(4)(2023秋?廣東佛山?高一?？茧A段練習(xí))完成下列各小題：

⑴若正數(shù)巴》滿足2x+y+6=.w，求x+y的最小值.

(2)已知x>1,求1+7X+10的最小值

x-l

⑶已知定義在(0,y)的函數(shù)/(x)=2-3%,，求函數(shù)的值域

【答案】⑴4&+3

⑵9+6夜

⑶F2-4拘

【分析】(1)用工表示)'得'=生粵，再利用基本不等式即可;

x-1

(2)利用換元法和基本不等式即可：

(3)利用基本不等式即可.

【詳解】(1)由題得，正數(shù)人，滿足24十)，十6=町，，

2x+6八

v=---->0

因?yàn)?工+)，+6=母，所以，x-1=>x>\,

x>0

=x+^i^=x+2+—=(x-I)+—+3>2/(x-l)--+3=472+3；

x—1x—1x—1Vx—1

當(dāng)且僅當(dāng)（工-1）=白，得（工一行=8,即x=l+2加時(shí)，等號(hào)成立;

A'-1

所以X+V的最小值為4亞+3.

（2）因?yàn)閤>l,所以x-l>0,令f=x-l,所以f>0,

所以』、7x+l()=(叁小四也=r+%+18=/+竺+9之代+9=9+6人，

x-1tttVt

當(dāng)且僅當(dāng)，=3&，即x=l+3近時(shí)，等號(hào)成立;

所以%