北師大版九年級數學上冊同步教案全冊

第一章特殊平行四邊形

1菱形的性質與判定

第1課時菱形的性質

‘涓教與目標

【知識與技能】

理解菱形的概念，掌握菱形的性質.

【過程與方法】

經歷探索菱形的性質和基本概念的過程，在操作、觀察、分析過程中發(fā)展學

生思維意識，體會幾何說理的基本方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學生主動探究的習慣、嚴密的思維意識和審美意識.

【教學重點】

理解并掌握菱形的性質.

【教學難點】

形成推理的能力.

打與a聯(lián)

一、情境導入，初步認識

四人為一小組先在組內交流自己收集的有關菱形的圖片，實物等，然后進行

全班性交流.

引入定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

【教學說明】認識菱形，感受菱形的生活價值.

二、思考探究，獲取新知

教師拿出平行四邊形木框（可活動的），操作給學生看，讓學生體會到：平

移平行四邊形的一條邊，使它與相鄰的一條邊相等，可以得到一個菱形，說明菱

形也是平行四邊形的特例，因此，菱形也具有平行四邊形的所有性質.

【教學說明】通過教師的教具操作感受菱形的定義.

如圖：將一張矩形的紙疝折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，再打開.

思考：1.這是一個什么樣的圖形呢？

2.有幾條對稱軸？

3.對稱軸之間有什么位置關系？

4.菱形中有哪些相等的線段？

【教學說明】充分地利用學具的制作，發(fā)現菱形所具有的性質，激發(fā)課堂學

習的熱情.

【歸納結論】菱形具有平行四邊形的一切性質，另外，菱形的四條邊相等、

對角線互相垂直.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P3第1題.

2.見教材P3例1.

3.如圖,菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°,則B、D兩點之間的距離

為（A）

A.15B.—>/3

2

C.7.5D.15G

R

【教學說明】本題考查有一個角是60。的菱形的一條對角線等于菱形的邊

長.

4.如圖所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC且交BC的延長線

于點E.

求證：DE=-BE.

2

AD

G

BCE

分析：由四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,易得BDJ_AC,ZDBC=30°,

又由DE〃AC,即可證得DE1BD,由30°所對的直角邊等于斜邊的一半，即

可證得DE=-BE.

2

證明：

方法一：如圖，連接BD,

???四邊形ABCD是菱形，NABC=60°,

ABDIAC,ZDBC=30°,//V\

BCE

VDE/7AC,

ADE1BD,即NBDE=90°,

.\DE=-BE.

2

方法二：

???四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

???AD〃BC,AC=AD,

VAC//DE,

???四邊形ACED是菱形，

.,.DE=CE=AC=AD,

又四邊形ABCD是菱形，

.,.AD=AB=BC=CD,

???BC=EC=DE,即C為BE的中點，

.*.DE=BC=-BE.

2

【教學說明】此題考查了菱形的性質，直角三角形的性質等知識.此題難度

不大，注意數形結合思想的應用.

5.如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,O為對角線BD的中點，過

。點作OE_LAB,垂足為E.

(1)求NABD的度數；

(2)求線段BE的長.

DC

分析：(1)根據菱形的四條邊都相等，又NA=6()。，得到4ABD是等邊三

角形，NABD是60°；

(2)先求出OB的長和NBOE的度數，再根據30°角所對的直角邊等于斜

邊的一半即可求出.

解：(1)在菱形ABCD口，AB=AD,ZA=60°,

?二△ABD為等邊三角形，

AZABD=60°；

(2)由(1)可知BD=AB=4,

又丁。為BD的中點，

???OB=2,

XVOE1AB,ZABD=60°,

AZBOE=30°,

/.BE=1.

【教學說明】本題利用等邊三角形的判定和直角三角形30°角所對的直角

邊等于斜邊的一半求解，需要熟練掌握.

學生自主完成，如有一定難度可相互交流，最后由教師總結.

四、師生互動、課堂小結

先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結，教師作補充.

;課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“習題1.1"中第1、2題.

2.完成練習冊中相應練習.

；敦與反思

本節(jié)課中，重在探索菱形性質的過程，在操作活動和觀察分析過程中發(fā)展學

生的審美意識，進一步體會和理解說理的基本步驟，了解菱形的現實應用.

第2課時菱形的判定

教與目標

【知識與技能】

1.理解并掌握菱形的定義及兩個判定方法；

2.會用這些判定方法進行有關的論證和計算.

【過程與方法】

經歷探索菱形判定思想的過程，領會菱形的概念以及應月方法，發(fā)展學生主

動探究的思想和說理的基本方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)良好的思維意識以及推理的能力，感悟其應用價值及培養(yǎng)學生的觀察能

力、動手能力及邏輯思維能力.

【教學重點】

菱形的兩個判定方法.

【教學難點】

判定方法的證明及運用.

空馳與伺程

一、情境導入，初步認識

回顧：

（1）菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形.

（2）菱形的性質：

性質1菱形的四條邊都相等；

性質2菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角.

（3）運用菱形的定義進行菱形的判定，應具備幾個條件？（判定：2個條

件）

【教學說明】通過對菱形的性質復習回顧，讓學生養(yǎng)成勤復習的習慣.用以

溫故而知新.

二、思考探究，獲取新知

活動1

按下列步驟畫出一個平行四邊形：

（1）畫一條線段長AC=6cm；

（2）取AC的中點0,再以點0為中點畫另一條線段BD=8cm,且使BD_LAC；

（3）順次連接A、B、C、D四點，得到平行四邊形ABCD.

猜猜你畫的是什么四邊形？

【歸納結論】菱形的判定方法1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂

直.

［教學說明】首先教師活動讓學生觀察，然后讓學生自己動手親自體驗活動

從而猜想出結論來.

已知：在口ABCD中，ACXBD.

求證：ZZ7ABCD是菱形.

證明：

???四邊形ABCD是平行四邊形，AC±BD,

???0ABCD是菱形.

活動2

畫一畫：作一條線段AC,分別以A、C為圓心，以大于AC的一半為半徑

畫弧，兩弧分別交于B、D兩點，依次連接A、B、C、D.

思考：四邊形ABCD是什么四邊形？你能證明嗎？

【歸納結論】菱形的判定方法2：四條邊相等的四邊形是菱形.

【教學說明】讓學生親自動手體驗活動，猜想出結論來并進行證明.從而加

深印象

三、運用新知，深化理解

1.見教材教例2.

2.如圖，在菱形ABCD中，E、F、G、H分別是菱形四邊的中點，連結EG

與FH交點于0,則圖中的菱形共有（B）

A.4個B.5個

C.6個D.7個

A

E,H

c

3.下列說法正確的是（B）

A.對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.對角線互相平分且相等的四邊形是菱形

D.對角線相等的四邊形是菱形

4.如圖，ZXABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D,交AC于點0,

CE〃AB交MN于E,連結AE、CD.

求證：AD=CE；

證明：:MN是AC的垂直平分線.

A0A=0C,ZAOD=ZEOC=90°,

VCE/7AB,

/.ZDAO=ZECO,

.?.△ADO^ACEO,

AAD=CE.

5.如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,CE平分NACB,交

AD于G,交AB于E,EF_LBC于F,求證：四邊形AEFG是菱形；

證明：?.?CE平分NACB,EA±CA,EF_LBC,

AAE=FE,

,/ZACE=ZECF,

AAAEC^AFEC,

；?AC=FC,

VCG=CG,

.,.△ACG^AFCG,

.\ZCAG=ZCFG=ZB,

???GF〃AE,

VADIBC,EF1BC,

???AG〃EF,故四邊形AGFE是平行四邊形

XVAG=GF（或AE=EF）,

，平行四邊形AGFE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

【教學說明】讓學生先獨立完成，然后將不會的問題各小組交流討論得出結

果.讓學生從題目中找解題信息，從圖形中找解決問題的突破口.

四、師生互動、課堂小結

1.師生共同回顧判定一個四邊形是菱形的方法：有一組鄰邊相等的平行四邊

形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

：課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“習題1.2”中第2、3題.

2.完成練習冊中相應練習.

［弱與反思

本節(jié)課讓學生動手操作，不僅可以調動學生的積極性,而且通過動手做一做,

然后再說一說的過程，鞏固了菱形的判定.只有這樣，才能使學生在今后的學習

中有更嚴密的思維，使他們的抽象概括能力有更好的提升.

第3課時菱形的性質與判定的運用

73教與目標

【知識與技能】

能靈活運用菱形的性質定理及判定定理解決一些相關問題，并掌握菱形面積

的求法.

【過程與方法】

經歷菱形性質定理及判定定理的應用過程，體會數形結合、轉化的思想.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)良好的探究意識以及推理能力，感悟其應用價值;培養(yǎng)學生的觀察能力、

動手能力及邏輯思維能力.

【教學重點】

利用菱形性質定理與判定定理解決一些相關問題.

【教學難點】

菱形性質的探究.

二低與另程

一、情境導入，初步認識

活動：

如圖，你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使NA成為菱形的

一個內角嗎？

【教學說明】通過折紙活動激發(fā)學生的興趣，同時對于菱形的相關判定方法

也進行了鞏固.

二、思考探究，獲取新知

如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分ABCD是菱形嗎？為什

么？

拓展：若紙條的寬度是4cm,ZABC=60°,你會求菱形的面積嗎？你有幾

種不同的方法？與同學交流.

【歸納結論】菱形面積的計算公式：①如圖，S受形ABCD=AB-DE,即菱形的

面積等于底乘高;

②S箜形ABCD-’AC-BD,即菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半.

2

【教學說明】對菱形性質的歸納是學生對菱形特征的認識、是知識的一次升

華，有助于培養(yǎng)學生的概括能力，突出教學重點.

三、運用新知，深化理解

如圖，在AABC中，AB=BC,D、E、F分別是BC、

AC、AB的重點.

(1)求證：四邊形BDEF是菱形；

(2)若AB=10cm,求菱形BDEF的周長.

解：(1)證明：YE、F分別是AC、AB的中點，

.*.EF=-BC,EF〃CB.

2

又???D、E分別是BC、AC的中點，

/.DE=yAB,DE〃AB,

???四邊形BDEF是平行四邊形.

XVAB=BC,AEF=DE,

???四邊形BDEF是菱形.

(2)YF是AB的中點，ABF=-AB.

2

又.“8=10cm,

?*.BF=5cm.

???四邊形BDEF是菱形，

ABD=DE=EF=BF,

???四邊形BDEF的周長為4X5=20(cm).

【教學說明】菱形的性質與判定的綜合應用，一般先證明四邊形是菱形，再

利用菱形的性質進行求解或證明，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系.

四、師生互動、課堂小結

通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

空課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“習題1.3”中第2、3、4題.

2.完成練習冊中相應練習.

空弱與反思

通過復習回顧菱形的性質和判定，喚醒學生的記憶，然后給學生設置好一個

個有梯度的問題，調動學生的求知欲，樹立勇于戰(zhàn)勝自我的信念.

2矩形的性質與判定

第1課時矩形的性質

73教與目標

【知識與技能】

了解矩形的有關概念，理解并掌握矩形的有關性質.

【過程與方法】

經過探索矩形的概念和性質的過程，發(fā)展學生合情推理意識；掌握幾何思維

方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)嚴謹的推理能力，以及自主合作精神；體會邏輯推理的思維價值.

【教學重點】

掌握矩形的性質，并學會應用.

【教學難點】

理解矩形的特殊性.

:敦字國程

一、情境導入，初步認識

將收集來的有關長方形的圖片給學生觀察，讓學生進行感性認識，引入新課

一一矩形.

【教學說明】讓學生體會到數學來源于生活，找到數學的價值.

二、思考探究，獲取新知

1.拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點并觀察，它還是一個平行

四邊形嗎？為什么？（演示拉動過程如圖）

2.再次演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角時停止，讓學生

觀察這是什么圖形？

力蘭角時

??z'llII

平行四邊形

【歸納結論】矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫

長方形）.讓學生觀察教師的教具，研究其變化情況，可以發(fā)現：矩形是平行四邊

形的特例，屬于平行四邊形，因此它具有平行四邊形所有性質.

思考：矩形還具有哪些特殊的性質？為什么？

【教學說明】采用觀察、操作、交流、演繹的手法來解決重點突破難點.

【歸納結論】

矩形性質1矩形的四個角都是直角.

矩形性質2矩形的對角線相等.

3.矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？

4.如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點0,求A0與BD的數量關系.

【歸納結論】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【教學說明】引導學生盡可能多地發(fā)現結論，養(yǎng)成善于觀察的好習慣.

三、運用新知，深化理解

1.已知:如圖,矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,ZAOB=60°,AB=4cm,

求矩形對角線的長.

D

n

分析：因為矩形是特殊的平行四邊形，它具有對角線相等且互相平分的特殊

性質，根據矩形的這個特性和己知條件，可得4OAB是等邊三角形，因此對角

線的長度可求.

解：???四邊形ABCD是矩形，

.'AC與BD相等且互相平分.

.'.OA=OB.

又NAOB=60°,

AAOAB是等邊三角形.

???矩形的對角線長AC=BD=2OA=2X4=8(cm).

2.已知：如圖，矩形ABCD,AB長8cm,對角線比AD長4cm.求AD的

長及點A到BD的距離AE的長.

分析：因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經常要用到直角三角形

的性質，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中

常用的方法.

解：(1)設AD二xcm,則對角線長(x+4)cm,在RtZ\ABD中，由勾股定

理：x2+82=(x+4)2,解得x=6.則AD=6cm.

(2)“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩

直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關系式：AE?DB=AD-AB,解得AE

=4.8cm.

3.已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF_LAE于F,若AE=BC.

求證：CE=EF.

分析：CE、EF分別是BC,AE線段上的一部分，若AF=BE,則問題解決,

而證明AF=BE,只要證明AABE空ZXDFA即可，在矩形中容易構造全等的直角

三角形.

證明：???四邊形ABCD是矩形,

???NB=90°，且AD〃BC.

AZ1=Z2.

VDF1AE,

AZAFD=90°.

AZB=ZAFD.

又AD=AE,

/.△ABE^ADFA(AAS).

???AF=BE.

???EF二EC.

此題還可以連接DE,證明△DEF^^DEC,得至ljEF=EC.

【教學說明】給予學生足夠的時間，讓學生獨立思考，小組合作，由不同學

生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使學生能做一題會一類，熟知矩形中

的基本圖形.

4.若矩形的一個角的平分線分一邊為4cm利3cm的兩部分，則矩形的周長

為為或20cm.

解：本題需分兩種情況解答.

即矩形的一個角的平分線分一邊為4cm和3cm,或者矩形的角平分線分一

邊為3cm和4cm.

當矩形的一個角的平分線分一邊為4cm和3cm時，矩形的周長為2X(3+4)

+2X4=22cm；

當矩形的角平分線分一邊為3cm和4cm時，矩形的周長為2X(3+4)+2X

3=20cm.

【教學說明】本題考查的是矩形的基本性質，學生需要注意的是分兩種情況

作答即可.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧矩形的性質.

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

?J譚后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習題1.4”中第2、3題.

2.完成練習冊中相應練習.

:弱與反思

本節(jié)課以“平行四邊形變形為矩形的過程”的演示引入課題，將學生的視線

集中在數學圖形上，思維集中在數學思考上，更好地突出了觀察的對象，使學生

更容易把握問題的本質，真實、自然、和諧，體現了數學學習的內在需要，加強

了學生對知識之間的理解和把握.

第2課時矩形的判定

’3教與目標

【知識與技能】

1.理解并掌握矩形的判定方法.

2.使學生能應用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證明題和計算題，進一

步培養(yǎng)學生的分析能力.

【過程與方法】

經歷探索矩形判定的過程，發(fā)展學生實驗探索的意識；形成幾何分析思路和

方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)推理能力，會根據需要選擇有關的結論證明，體會來自于實踐的需要.

【教學重點】

理解并掌握矩形的判定方法及其證明，掌握判定的應用.

【教學難點】

定理的證明方法及運用.

;敦亨國程

一、情境導入，初步認識

事例引入：小華想做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是找來兩根長度

相等的短木條和兩根長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做的是矩

形相框嗎？看看誰的方法可行？

【教學說明】事例引入，激發(fā)學生的興趣.

二、思考探究，獲取新知

動手操作，拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點.

a

思考：1.隨著Na的變化，兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？

2.當兩條對角線的長度相等時，平行四邊形有什么特征？你能證明嗎？

【教學說明】讓學生動腦思考，動手操作.為下面的學習做準備.

【歸納結論】對角線相等的平行四邊形是矩形.

證明：（見教材Pi4例題）

矩形的四個角都是直角，反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個

四邊形就是矩形呢？請證明你的結論，并與同伴交流.

【歸納結論】有三個角是直角的四邊形是矩形.

【教學說明】培養(yǎng)學生的歸納總結能力，同時也訓練了學生的語言表達能力

和分析問題的能力.

三、運用新知，深化理解

1.對角線相等的平行四邊形是矩形.

有三個角是直角的四邊形是矩形.

解析：矩形的判定定理有：

（1）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（2）有三個角是直角的四邊形是矩形.

2.下列說法正確的是（D）

A.一組對邊平行且相等的四邊形是矩形

B.一組對邊平行且有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是矩形

D.一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形

解析：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故A錯誤；B、一

組對邊平行且相等并有一個角是直角的四邊形是矩形，故B縉誤；C、對角線相

等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形"），故C

錯誤；D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故D正確.

【教學說明】讓學生口答第1、2道題，訓練學生的語言表達能力.

3.如圖所示，OABCD的四個內角的平分線分別相交于E、F、G、H,試說

明四邊形EFGH是矩形.

DC

H

AB

解:VZHAB+ZHBA=90°.

/.ZH=90°.

同理可求得

ZHEF=ZF=ZFGH=90°

???四邊形EFGH是矩形.

【教學說明】在黑板上展示第3題，有多種證明方法的題目學生口答展示，

教師予以總結.既訓練了學生的語言表達能力，也訓練了學生的書寫能力和分析

問題的能力.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧矩形有哪些判定定理？

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

譚尼作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習題1.5”中第2、3題.

2.完成練習冊中相應練習.

本節(jié)課用邏輯推理的方法對以前曾用直觀感知、操作說明得到的矩形判定進

行的重新研究，讓學生充分感受到邏輯推理是研究幾何的重要方法.盡可能地提

供多種機會讓學生自己去理解、感悟、體驗，從而提高學生的數學認識，激發(fā)學

生的數學情感，促進學生數學水平的提高.

第3課時矩形的性質與判定的運用

’3教與目標

【知識與技能】

熟練運用矩形的性質和判定定理進行相關的計算和證明.

【過程與方法】

經歷從性質到判定的轉化過程，合理、準確地運用已有的知識進行推導、證

明，體會數學知識之間的聯(lián)系和區(qū)別.

【情感態(tài)度】

通過嚴謹的推理，強化學生的規(guī)范意識.

【教學重點】

靈活運用矩形的性質和判定定理進行相關的計算和證明.

【教學難點】

利用矩形的相關性質構造新的圖形，進而對知識進行轉化.

一、情境導入，初步認識

如圖，在矩形ABCD中，AD=6,對角線AC與BD相交于點O,AE1BD,

垂足為E,ED=3BE.求AE的長.

【教學說明】通過例題感受知識的應用的同時體會知識之間的聯(lián)系及轉化,

并通過規(guī)范的步驟強調教學推理的嚴謹性.

二、思考探究，獲取新知

己知：如圖，在aABC中，AB=AC,AD是aABC的一條

角平分線，AN為4ABC的外角NCAM的平分線，CE1AN,

垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形.

【思考】在上例中，連接DE,交AC于點F.

（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結論；

（2）線段DF與AB有怎樣的關系？請證明你的結論.

【教學說明】讓學生感受矩形與等腰三角形之間的聯(lián)系，感受知識轉化在解

決問題中的作用.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P16?P17例3.

2.如圖，0是矩形ABCD的對角線的交點，過點0的直線EF分別交AB、

CD于點E、F,那么陰影部分的面積是矩形ABCD的面積的（B）

AD

A—C.-D—

*54310

3.（一題多解）如圖所示，AABC為等腰三角形，AB二AC,CD±AB于D,

P為BC上的一點，過P點分別作PE_LAB,PF1CA,垂足分別為E,F,則有

PE+PF二CD,你能說明為什么嗎？

解：解法一：能.如圖所示，過P點作PHJ_DC,垂足為H.

可得四邊形PHDE是矩形，

APE=DH,PH//BD

.\ZHPC=ZB又

VAB=AC

/.ZB=ZACB

:.ZHPC=ZFCP.

又,.?PC=CP,ZPHC=ZCFP=90°

/.△PHC^ACFP

???PF=HC

JDH+HC=PE+PF

即：DOPE+PF.

解法二：能.如圖，延長EP,過C點作CH_LEP,垂足為點H,如圖所示,

可得四邊形HEDC是矩形，

.*.EH=PE+PH=DC,CH//AB

/.ZHCP=ZB.

/.△PHC^APFC

.e.PH=PF

???PE+PF=DC.

【教學說明】通過應用性的練習，鞏固基礎知識的同時，感受知識的綜合運

用在解題過程中的重要性，使所學知識進行深化.

四、師生互動，課堂小結

通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

;需后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習題1.6”中第1、2、3題.

2.完成練習冊中相應練習.

:狗I與反思

本節(jié)課在復習前一節(jié)課內容的基礎上利用矩形的性質和判定解決具體問題，

在例題的選擇和設計上，追尋知識向能力的轉化，讓學生主動嘗試從數學的角度

運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，同時訓練學生清晰、有條理地表達自

己的思考過程，從而培養(yǎng)學生的推理能力和分析問題的能力.

3正方形的性質與判定

第1課時正方形的性質

‘涓教與目標

【知識與技能】

使學生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性質，并會用

它們進行有關的論證和計算.

【過程與方法】

學會用正方形的性質解決一些問題，進一步發(fā)展學生的推理能力，促進其

逐步掌握說理的基本方法.

【情感態(tài)度】

通過分析正方形的概念、性質與矩形、菱形的概念、性質的聯(lián)系和區(qū)別，

對學生進行辯證唯物主義教育.

【教學重點】

正方形的性質.

【教學難點】

正方形的性質.

二低與另程

一、情境導入，初步認識

1.在我們的生活中除了平行四邊形、矩形、菱形外，還有什么特殊的平行四

邊形呢？

2.展示正方形圖片，學生觀察它們有什么共同特征？

【教學說明】學生回答后，再展示圖片，使學生感受到生活中到處存在數學,

激發(fā)學習熱情.

【歸納結論】有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方

形.

二、思考探究，獲取新知

1.做一做：用一張長方形的紙片折出一個止方形.

2.觀察：這個正方形具有哪些性質？

【教學說明】讓學生在動手操作中對正方形產生感性認識.

【歸納結論】正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等

且互相垂直平分.

3.議一議：平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關系？你能用一個

圖直觀地說明嗎？

【教學說明】小組交流，引導學生從角、對角線的角度歸納總結.使學生感

受變化過程，更清晰地了解各四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P21例1.

2.如圖，aABC是一個等腰直角三角形，DEFG是其內接正方形，H是正方

形的對角線交點；那么，由圖中的線段所構成的三角形中互相全等的三角形的對

數為()

A.I2B.13C.26D.30

解析：根據全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數，由于圖中全等三

角形的對數較多，可以根據斜邊長的不同確定對數，可以做到不重不漏.設AB=3,

圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為1的有5個，它們組成

10對全等三角形；斜邊長為拉的有6個，它們組成15對全等三角形；斜邊長

為2的有2個，它們組成1定全等三角形；共計26對.故選C.

3.已知正方形ABCD在直角坐標系內，點A(0,1),點B(0,0),則點C,

D坐標分別為(1,0)和(1,1).(只寫一組)

解析：首先根據正方形ABCD的點A(0,1),點B(0,0),在坐標系內

找出這兩點，根據正方形各邊相等，從而可以確定C,D的坐標.??,正方形ABCD

的點A(0,1),點B(0,0),???AD〃x軸，CD〃y軸，這樣畫出正方形，即

可得出C與D的坐標，分別為：C(1,0),D(1,1).

4.如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG1EF,垂足為

G,且AG=AB,求NEAF度數.

分析：根據角平分線的判定，可得出△ABFgAAGF,故有NBAF二NGAF,

再證明△AGEgZ\ADE,有NGAE=NDAE,所以可得NEAF=45°.

解：在Rt4ABF與RtZ^AGF中,

VAB=AG,AF=AF,ZB=ZG=90°，

AAABF^AAGF（HL）,

AZBAF=ZGAF,

同理易得：△AGEgAADE,

有NGAE=NDAE；

即NEAF=NEAG+NFAG

=-（ZDAG+ZBAG）

2

=-ZDAB=45°，

2

故NEAF=45°

【教學說明】主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定.

5.如圖，正方形ABCD中，AB=3,點E、F分別在BC、CD上，且NBAE=30。,

ZDAF=15°.

（1）求證：DF+BE=EF；

（2）求NEFC的度數.

分析：（1）延長EB至G，使BG=DF,連接AG利用正方形的性質，證明△

AGE^AAFE,AFAE^AGAE,得由DFIBE=EF；

（2）根據△AGE0ZXAFE及角之間的關系從而求得NEFC的度數；

解：（1）延長EB至G,使BG=DF,連接AG,

???四邊形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=90°，

VBG=DF,

.?.△ABG^AADF,

AAG=AF,

VZBAE=30°,ZDAF=15°,

AZFAE=ZGAE=45°,

VAE=AE,

AAFAE^AGAE,

???EF二EG=GB+BE=DF+BE；

(2)VAAGE^AAFE,

AZAFE=ZAGE=ZDFA=90°-ZDAF=75°,

AZEFC=180°-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°,

/.ZEFC=30°.

【教學說明】學生獨立完成以培養(yǎng)學生的獨立意識.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧正方形有哪些性質？

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

:譚后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材“習題1.7”中第2、3題.

2.完成練習冊中相應練習.

二打與反思

本課雖然是學習正方形的性質，實際上應起到對平行四邊形、矩形、菱形性

質的復習、歸納和總結的作用，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.

第2課時正方形的判定

’3教與目標

【知識與技能】

1.掌握正方形的概念、性質和判定，并會用它們進行有關的論證和計算.

2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別.

【過程與方法】

經歷探索正方形有關性質、判定重要條件的過程.在觀察中尋求新知，在探

索中發(fā)展推理能力，逐步掌握說理的基本方法.

【情感態(tài)度】

通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系的教學對學生進行辯證唯物主

義教育，提高學生的邏輯思維能力.

【教學重點】

正方形的判定方法.

【教學難點】

正方形的判定方法.

一、情境導入，初步認識

寧寧在商場看中了一塊方形紗巾，但不知是否是正方形，只見銷售員阿姨拉

起紗巾的一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾的另一組對角，只

見另一組對角也能完全重合，認為是正方形，把紗巾給了寧寧.你認為手上的紗

巾一定是正方形嗎？

【教學說明】采用情境弓入，使學生主動的聯(lián)想、想象、積極地發(fā)散思維，

也體現了數學建模思想.

二、思考探究，獲取新知

1.引導學生把實際問題轉化為數學問題.“對折兩次，能夠完全重合”實際上

告訴了我們什么？小組討論說一說.

2.匯報討論結果，統(tǒng)一結果.對折兩次可以得出四邊相等，也可以得出對角線

垂直平分，即紗巾的兩條對角線是對稱軸，即只能保證紗巾是菱形.

【教學說明】學生自己動手用紙代替紗巾折一折，鼓勵學生說出自己的結論

和想法.

思考：由矩形變?yōu)檎叫芜€需要哪些條件？由菱形變?yōu)檎叫芜€需要哪些

條件？

【教學說明】引導學生獨立思考，得到正方形所需要的條件.

【歸納結論】對角線相等的菱形是正方形；對角線垂直的矩形是正方形；有

一個角是直角的菱形叫做正方形.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P23例2.

2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是(D)

/口

區(qū)

BC

A.當AB=BC時，它是菱形

B.當AC_LBD時，它是菱形

C.當NABC=90°時，它是矩形

D.當AC=BD時，它是正方形

解析：A、正確，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；B、正確，對角線互

相垂直的平行四邊形是菱形；C、正確，有一個角為90°的平行四邊形是矩形；

D、不正確，對角線相等的平行四邊形是矩形而不是正方形.故選D.

3.用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：(1)平行四邊形(不包含菱形、矩

形、正方形)；(2)矩形；(3)菱形；(4)正方形；(5)等腰三角形，一定可以

拼成的圖形是(A)

A.(1)(2)(5)B.(2)(3)(5)

C.(1)(4)(5)D.(1)(2)(3)

解析：兩個全等的直角三角形直角邊重合拼成的四邊形一定是平行四邊形；

直角邊重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜邊重合拼成的四邊形一定是矩

形.

【教學說明】本題考查學生的動手能力，有些題只要學生動手就能很快解決,

注意題目的要求有“一定”二字.

4.已知：如圖，D是AABC的BC邊上的中點，DE_LAC,DF_LAB,垂足

分別是E、F.且BF=CE

(1)求證：AABC是等腰三角形；

(2)當NA=90°時，試到斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結論.

分析：先利用HL判定Rtz^BDFgRtZ\CDE,從而得到/B=NC,即4ABC

是等腰三角形;

由已知可證明它是矩形，因為有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正

方形.

(1)證明：VDE±AC,DF_1_AB,

ZBFD=ZCED=90°,

又,.,BD=CD,BF=CE,

ARtABDF^RtACDE,

AZB=ZC.

故AABC是等腰三角形；

（2）解：四邊形AFDE是正方形.

證明：VZA=90°,DE1AC,DF1AB,

???四邊形AFDE是矩形，

又RtABDF^RtACDE,

?.DF=DE,

???矩形AFDE是正方形.

5.如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點O,E是BD延

長線上的點，且4ACE是等邊三角形.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若NAED=2NEAD,求證：四邊形ABCD是正方形.

分析：（1）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.由題意易得AAOEg

△COE,AZAOE=ZCOE=90°,/.BE±AC,工四邊形ABCD是菱形；

（2）根據有一個角是90°的菱形是正方形.由題意易得NADO=NDAE+N

DEA=150+30°=45°，:四邊形ABCD是菱形，.??NBAD=2NDAO=90°,J

四邊形ABCD是正方形.

證明：（1）??,四邊形ABCD是平行四邊形,

AAO=CO.

VAACE是等邊三角形，

/.EO±AC（三線合一）

???四邊形ABCD是菱形.

（2）從上易得：AAOE是直角三角形，

ZAED+ZEAO=90°

???△ACE是等邊三角形，

AZEAO=60°,

.??ZAED=30°

???ZAED=2ZEAD

???NEAD=15°,

JZDA0=ZEAO-ZEAD=45°

???四邊形ABCD是菱形，

JZBAD=2ZDAO=90°

???平行四邊形ABCD是正方形.

【教學說明】學生先獨立完成，然后將不會的問題各小組交流討論得出結果.

既達到鞏固新知識的目的又能讓學生意識到數學知識的應用是非常容易的.養(yǎng)成

學以致用的好習慣.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧正方形有哪些判定定理？

2.通過本節(jié)課的學習你還有哪些疑惑？請與同伴交流.

課后作皿

1.布置作業(yè)：教材“習題1.8”中第3、4題.

2.完成練習冊中相應練習.

:弱與反思

前邊己經學習了平行四邊形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行

四邊形、矩形、菱形的判定的綜合.可以通過本節(jié)的學習總結、歸納前面所學內

容，理清學習中存在的一些模糊概念，有助于我們發(fā)展演繹推理能力.

本章復習

’3教與目標

【知識與技能】

熟練掌握平行四邊形的定義，平行四邊形的性質及判定定理，并運用它們進

行有關的證明和計算.

【過程與方法】

引導學生通過練習回憶已學過的知識，提高邏輯思維能力、推理能力和歸納

概括能力，訓練思維的靈活性，領悟數學思想.

【情感態(tài)度】

在整理知識點的過程中發(fā)展學生的獨立思考習慣，讓學生感受成功，并找到

解決平行四邊形問題的一般方法.

【教學重點】

使學生能熟練地運用平行四邊形的性質、判定定理.

【教學難點】

構造平行四邊形解決問題.

?宜馳與亙聯(lián)

一、知識結構

性質

平

判定

行

性質

四

判定

邊

性質

形

判定

二、釋疑解惑，加深理解

1.菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質，另外，菱形的四條邊相等、

對角線互相垂直.

2.菱形的判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形

是菱形.

3.矩形的性質：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.

4.矩形的判定：對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形

是矩形.

5.正方形的性質：正方形的四個角都是直角，四條邊相等；正方形的對角線

相等且互相垂直平分.

6.正方形的判定：對角線相等的菱形是正方形；對角線垂直的矩形是正方形;

有一個角是直角的菱形叫做正方形.

【教學說明】讓學生對知識進行回憶，進一步體會特殊平行四邊形的性質、

判定.

三、典例精析，復習新知

1.矩形的一條較短邊的長為5cm,兩條對角線的夾角為60°,則它的對角線

的長等于10cm.

2.己知菱形的銳角是60°,邊長是20cm,則較長的對角線是20港cm.

3.如圖，E是正方形ABCD內一點，如果4ABE為等邊三角形，那么

NDCE=11度.

4.如圖，周長為68的矩形ABCD被分成7個大小完全一樣的小矩形，則矩

形ABCD的面積為（C）

A.98B.196

C.280D.248

解析：設小矩形的長、寬分別為x、y,根據周長為68的矩形ABCD,可以

列出方程3x+y=34；根據圖示可以列出方程2x=5y,聯(lián)立兩個方程組成方程組,

解方程組就可以求出矩形ABCD的面積.設小矩形的長、寬分別為x、y,

3x+y=34,

依題意得＜

2x=5y

x=10

解之得＜

y=4

???則矩形ABCD的面積為7義10X4=280.

故選C.

5.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AP〃BD,DP〃AC,

AP、DP相交于點P,則四邊形AODP是什么樣的特殊四邊形，并說明你的理由.

p

分析：由AP〃BD,DP〃AC先判斷四邊形AODP是平行四邊形，再由

AO=DO判斷四邊形AODP為菱形.

解：四邊形AODP是菱形，理由如下:

?.?AP〃BD,DP〃AC,

，四邊形AODP是平行四邊形.

又??,矩形的對角線互相平分，

得AO=DO,

由菱形的判定得四邊形AODP為菱形.

6.如圖所示，有兩條筆直的公路BD和EF(寬度不計)，從一塊矩形的土地

ABCD中穿過，已知EF是BD的垂直平分線，BD=4()米，EF=30米，求四邊形

BEDF的面積.

分析：連接DE、BF,因為四邊形ABCD是矩形，所以AB〃CD,進而求

證DF二BE,再求證FD=FB,即可判定四邊形BFDE是菱形，根據菱形面積計算

公式即可計算菱形BFDE的面積.

解：如圖，連接DE、BF,

???四邊形ABCD是矩形，

AAB/7CD,

:.ZODF=ZOBE,

由EF垂直平分BD,

得OD=OB,ZDOF=ZBOE=90°,

又BE〃DF,???NFDO=/OBE,

AADOF^ABOE,

???DF二BE,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

又???EF是BD的垂直平分線，

AFD=FB,因此四邊形BFDE是菱形,

??.S菱形BFDE=-EF-BD

2

=1x30X40=600（米2）.

2

7.如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色塊圖，由6個顏色不同的正方形

組成，設中間最小的一個正方形邊長為1,求這個矩形色塊圖的面積.

分析：因為矩形內都是正方形，正方形的各邊長相等，又有中間小正方形的

邊長為1,可利用邊長之間的關系建立等式.

解:由圖可知DF-AE=1,AE=BE+1,2CF-DF=1,

即DF=AE+1,AE=CF+1+1,DF=CF+3,

故2CF-CF-3=1,解得CF=4,

.*.BE=5,AE=6,

/.AB=11,BC=13,S=AB?BC=11X13=143.

【教學說明】通過上面的解題分析，再對整個學習過程進行總結，能夠促進

理解，提高認識水平，從而促進數學觀點的形成和發(fā)展.

四、復習訓練，鞏固提高

1.已知：如圖，在矩形ABCD中，CE_LBD,E為垂足，ZDCE：ZECB=3：

1,MZACE=45_fi.

解析：根據矩形的性質首先求出NDCE,ZECB的度數.然后利用三角形內

角和定理求解即可.

2.如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，且CE=AC,AE交CD

于點F,則度.

AD

RCE

解析：由于正方形的對角線平分一組對角，那么NACB=45°,即N

ACE=135。，在等腰4CAE中，已知頂角的度數，即可由三角形內角和定理求得

ZE的度數.

3.如圖，以4ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形，即4

ABD、ABCE>AACF,請回答下列問題，并說明理由.

（1）四邊形ADEF是什么四邊形；

（2）當aABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形.

分析：（1）四邊形ADEF是平行四邊形.根據aABD,AEBC都是等邊三角

形，容易得到全等條件證明△D