奧本海姆《信號與系統(tǒng)》（第2版）課后習題（下冊）

第7章采樣

第8章通信系統(tǒng)

第9章拉普拉斯變換

第10章Z變換

第11章線性反饋系統(tǒng)

第7章采樣

基本題

7.1已知實值信號x(t),當采樣頻率僚時，x(t)能用它的樣本值唯一確

定。問、…在什么⑴值下保證為零？

解：對于「因其為實函數(shù).故是偶函數(shù)。由題意及采樣定理知……的最大角

頻率

"即當-T寸，

7.2連續(xù)時間信號x⑴從一個截止頻率為的理想低通濾波器的輸出得到，如果對

x(t)完成沖激串采樣，那么下列采樣周期中的哪一些可能保證x⑴在利用一個合適的

低通濾波器后能從它的樣本中得到恢復(fù)？

r=o.5xio'

(b)r=2

(?)r3io?

解：因為x(l)是某個截止頻率■M-，的理想低通濾波器的輸出信號，所

以x(I)的最大頻率就為'=1000Z由采樣定理知，若對其進行沖激采樣且欲由其采樣

點恢復(fù)出x⑴，需采樣頻率

，，，---'-即采樣時間間隔-'從而有(a)和

(c)兩種采樣時間間隔均能保證x(t)由其采樣點恢復(fù)，而(b)不能。

7.3在采樣定理中，采樣頻率必須要超過的那個頻率稱為奈奎斯特率。試確定下列

各信號的奈奎斯特率：

(ht.⑴=包惻吟

Kt

,f4in(40(XH/7y

解：(a)x(t)的頻譜函數(shù)為

義而r2^?0r；;癡&-21向舊)

?r)一)k3

由此可見\“衣?，〃

故奈奎斯特頻率為

(b)x(t)的頻譜函數(shù)為由此可見

故奈奎斯特頻率為

(c)x(t)的頻譜函數(shù)為

由此可見，當

故奈奎斯特頻率為

7.4設(shè)x⑴是一個奈奎斯特率為的信號，試確定下列各信號的奈奎斯特率：

解：(a)因為不一1的傅里葉變換為一三1可見x⑴的最大頻率也

是一；的最大頻率，故二1三的奈奎斯特頻率為空。

(b)因為的傅里葉變換為總可見x(t)的最大頻率也是的最大頻

率.故的奈奎斯特頻率仍為--0

(c)因為的傅里葉變換蔓可見1的最大頻率是x⑴的2

倍。從而知x2(t)的奈奎斯特頻率為2?

(d)因為一的傅里葉變換為x(t)的最大頻率為

:，故一］向己的最大頻率為：,從而可推知其奈至斯特頻率為

7.5設(shè)K⑴是一個奈奎斯特率為。)0的信號，同時設(shè)其中。

當某一濾波器以Y⑴為輸入，x(t)為輸出時，試給出該濾波器頻率響應(yīng)的模和相

位特性上的限制。

解：P⑴是一沖激串，間隔對x⑴用p(t-1)進行沖激采樣。先分別求出

P⑴和P(t-1)的頻譜函數(shù)：

注意％是,⑴的奈奎斯特頻率,這意味著,⑴的最大頻率為左，當以

對X(t)進行采樣時，頻譜無混疊發(fā)生。由Y(石)的表達式可見，Y(石)是x

()平移且復(fù)指數(shù)函數(shù)加權(quán)之后的疊加，且此采

樣使中的每個的復(fù)制項均有不同的相移若想輸入、

⑴,而輸出為X(t)，濾波

器的截止頻率應(yīng)選擇在至之間。因當一時故濾波器的幅度

^■1

頻譜只需設(shè)置為常數(shù)T,相位頻譜為。即可，即濾波器的頻率響應(yīng)為

7.6在如圖7-1所示系統(tǒng)中，有兩個時間函數(shù)xl(t)和x2(t)相乘，其乘積W

(t)由一沖激串采樣，Xi(t)帶限于sl,x2(t)帶限于s2,即

L.1

O

試求最大的采樣間隔T,以使W⑴通過某一理想低通濾波器能從3P(t)中恢復(fù)出

來，

圖7-1

解：因!從而有又因

即W⑴的最大角頻率為于是由采樣定理知，對W(t)采樣的最小角頻率為

從而可求得最大采樣時間間隔T二

7.7信號x⑴生采樣周期T經(jīng)過一個零階保持的處理產(chǎn)生一個信號xO⑴，設(shè)

xl⑴是在x⑴的樣本上經(jīng)過一階保持處理的結(jié)果，即

其中E⑴是如圖7-2所示的函數(shù)。試給出一個濾波器的頻率響應(yīng)，當輸入為X。

⑴時，該濾波器產(chǎn)生的輸出為xi⑴。

解：

7.8有一實值且為奇函數(shù)的周期信號x(t),它的傅里葉級數(shù)表示為

令"代表用采樣周期T:0.2的周期沖激串對x⑴進行采樣的結(jié)果。

(a)混疊會發(fā)生嗎？

(b)若通過一個截止頻率為兀燈和通帶增益為T的理想低通濾波器，求輸出信

號g⑴的傅里葉級數(shù)表示。

解：(a)由題意知，x(t)的傅里葉級數(shù)為x⑴

故X⑴的頻譜函數(shù)為

X(>)如圖7-3所示，可見x(t)的最大角頻率也二5。

1

圖7-3

當采樣時間間隔T=0.2時，采樣角頻率二一―造成的頻譜函數(shù)

如圖7-4所示'什〃(Iw:"「處由于出現(xiàn)混疊，相互抵消

由圖7-4可知，當T=().2時，采樣會造成頻譜出現(xiàn)混疊。

圖7-4

(b)若x(t)通過一截止頻率.通帶增益為T=0.2的理想低通濾波器，由

圖7-4易知，輸出信號g(I)的頻譜函數(shù)為

從而可知g⑴的傅里葉級數(shù)表達式為

7.9考慮信號x(t)為，現(xiàn)想用采樣頻率，對x⑴進行采樣，以得到一個信號g

(t),其傅里葉變換為G(js)。為確保

求0)0的最大值，其中X(j3)為X⑴的傅里葉變換；

解：因為

故有

即X⑴的最大角頻率=100兀

又因

即有

顯然，由于一頻譜發(fā)生混疊，為了保證當

二最大只能等于

7.10判斷下面每一種說法是否正確。

(a)只要采樣周期二信號的沖激串采樣就不會有

混疊。

(b)只要采樣周期nRfcl傅里葉變換為的信號x

(t)的沖激串采樣就不會有混疊。

(c)只要采樣周期傅里葉變換為的信號x(t)

的沖激串采樣就不會有混疊。

答：(a)因為信號--的頻譜函數(shù)為

,即不是帶限信號.所以無論采樣頻率多高，采樣

的時間間隔多么小，采樣必然會導(dǎo)致頻譜的混疊。這個論斷是錯誤的。

(b)因為z(￡)的頻譜函數(shù)為口，■二=一三一說明x(t)是帶限

的，且最高頻率為'「，那么根據(jù)采樣定理知，只要采樣頻率I,即采樣時間間隔

上一一I就可以保證無混疊發(fā)生。這個論斷是正確的。

(c)設(shè)對x⑴進行沖激串采樣得到信號a⑴，易知

===I

現(xiàn)已知如圖7.5所示。若采樣時間間隔卜二，那么

.、此時如圖7-6所示，可見并無混疊發(fā)生。那么，當I時，就更不會出

現(xiàn)混疊了。所以此論斷是正確的。

*2.3

圖7-5圖7-6

7.11設(shè)是一連續(xù)時間信號，它的傅里葉變換具有如下特點：

■■—1

某一離散時間信號經(jīng)由"丁而得到。試對下列每一個有關(guān)

的傅里葉變換

Gr所給限制，確定在上的相應(yīng)限制：

(a)牙二為實函數(shù)

(b)對所有M「的最大值是I

解：將連續(xù)時間信號進行離散化處理

_________~~--

(a)要讓I1為實函數(shù)，則-為實函數(shù)

(b)對所有(0,1的最大值是1

此時應(yīng)滿足

又由題目可知

綜上所述：(d)

7.12有一離散時間信號其傅里葉變換具有如下性質(zhì)：

現(xiàn)該信號被轉(zhuǎn)換為一連續(xù)時間信號為

其中確定&⑴的傅里葉變換■保證為零的s值.

解：由連續(xù)時間信號與離散時間處理知：連續(xù)時間信號&和離散時間信號頻率w的關(guān)

系為：，"

|『一年

所以當連續(xù)時間信號為一，離散時間信號的頻率為：

7.13參照如圖7?7所示的濾波方法，假定所用的采樣周期為T,輸入xc(t)為帶

限，而有

若整個系統(tǒng)具有試求圖7-7中離散時間濾波器的單位脈沖響應(yīng)

同理可由yc(0可得對應(yīng)的離散時間信號序列yd(n)

由上式可得當n=2時，等式右邊恒為0,當/2時,利用洛比達法則可得上式的極限

為七，故

所以此濾波器的脈沖響應(yīng)為：

7.14假定在上題中有重做習題7.13.

解：令,則總輸出

由Xc⑴可得離散時間序列Xd(n)

同理可由yc(t)可得離散時間序列yd(n)

恒成立，故

所以此濾波器的脈沖響應(yīng)為：

7.15對進行脈沖串采樣，得到若

試確定當采樣時保證不發(fā)生混疊的最大采樣間隔N。

解：

7.16關(guān)于及其傅里葉變換

給出下列條件：

(1)「為實序列

⑵

求’。解題時注意到：4滿足其中為兩個條件是有用的。

解■滿足第一個和第一個兩個條件，但是不滿足第三個條件。

因為此信號的傅里葉變換是矩形波，當E之時，傅里葉變換為0,

符合前兩個條件，在時是一個矩形，顯然滿足

第三個條件。綜上所求的為

7.17考慮理想離散時間帶阻濾波器，其單位脈沖響應(yīng)為頻率響應(yīng)在條件下為,求單位

脈沖響應(yīng)為h[2n]的濾波器的頻率響應(yīng)。

解：抽樣分兩步進行，第一步進行脈沖抽樣，得到：

由’『三可得抽樣頻率。

的傅里葉變換為：

,J______________

1______________

圖7-9

故h[2n]理想低通濾波器，截止頻率為兀2通帶增益為1

7.18假設(shè)截止頻率為nil的一個理想離散時間低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)是用于

內(nèi)插的，以得到一個2倍的增采樣序列，求對應(yīng)于這個增采樣單位脈沖響應(yīng)的頻率響應(yīng)。

圖7-10

解：兩倍的內(nèi)插會導(dǎo)致頻率響應(yīng)被壓縮兩倍，內(nèi)插的脈沖響應(yīng)相當于一個截止頻率為

n/4,通帶增益為2的理想低通濾波器

7.19考慮如圖7?11所示的系統(tǒng)，輸入為x[n],輸出為零值插入系統(tǒng)在每一序

列x[n]值之間插入兩個零值點，抽取系統(tǒng)定義為其中W[n]是抽取系統(tǒng)的輸入序列。若輸入

x[n]為試確定下列el值時的輸出y[nl:

圖7-11

解：設(shè)x[n]經(jīng)零值插入后得輸出z[n]o

(a)各部分輸出信號如圖7-12(a)所示

(b)各部分輸出信號如圖7-12(b)所示

圖7-12

7.20有兩個離散時間系統(tǒng)S1和S2用于實現(xiàn)一個截止頻率為TT/4的理想低通濾波

器。系統(tǒng)S1如圖(a)所示，系統(tǒng)S2如圖7?13(b)所示。在這些圖中，SA相應(yīng)于

一個零值插入系統(tǒng)，在每一個輸入樣本之后插入一個零值點；而SB相應(yīng)于一個抽取系

統(tǒng)，在其輸入中每兩個取一個。

(a)Si相應(yīng)于所要求的理想低通濾波器嗎？(b)S2相應(yīng)于所要求的理想低通濾波器

嗎？

圖7-13

解：(a)假設(shè)如圖7-14所示，則傅里葉變換一是的輸出信號，傅里葉

變換能是低通濾波器的輸出，-:是的輸出，如圖7-14所示。顯然Si實現(xiàn)了

理想低通濾波器的功能。

(b)假設(shè)上如圖7-14所示，則傅里葉變換是的輸出，傅里葉變換

謔第一個低通濾波器的輸出，?是的輸出信號，傅里葉變換r是第二

個低通濾波器的輸出，如圖7-14所示.顯然S?不能實現(xiàn)理想低通濾波器的功能。

圖7-14

基本題

7.21一信號x(t),其傅里葉變換為X(js),對x(t)進行沖激串采樣，產(chǎn)生為

其中

關(guān)于X⑴和/或X(j(D,)進行下列一組限制中的每一種，采樣定理能保證X⑴可完

全從中恢復(fù)嗎？

解：采樣時間間隔則采樣頻率

(a)由所給條件知，x⑴的奈奎斯特頻率為：，因采樣頻

率“故由采樣定理知，x(t)能夠由Xp(t)恢復(fù)得到。

(b)由所給條件知的奈奎斯特頻率一―一=〕而采樣頻率

故由采樣定理知，x(I)無法由Xp(I)恢復(fù)得到。

(c)雖然已知當i時】-—，但不知當‘一一-

「是否也為()，故無法確定信號x(t)的奈奎斯特頻率，所以無法保證能由Xp

⑴恢復(fù)x⑴。_

(d)因為x(t)是實信號，所以二二是偶函數(shù)即當二-，則可

推知當時，：—也等于0,從而可知x(t)的奈奎斯特頻率

采樣頻率故由采樣定理知，x⑴可由Xp⑴恢

復(fù)得到。_______

(e)與(d)同理，由已知條件可知x(I)的奈奎斯特頻率X-1

I,由于采樣頻率

------故由采樣定理知，x(t)無法由Xp⑴恢復(fù)得至ij0

(0因為若當時，)」一］；貝IJ當:aw一時,方：,in—。所以由

已知條件可推知，當

■1-1時,即x(t)的奈奎斯特頻率日

于采樣頻率

】故由采樣定理知，X(t)可由Xp⑴恢復(fù)得到。

(g)雖然已知當「時，二—，但不知當一時是否

也等于0.故無法確定X⑴的奈奎斯特頻率，即無法保證能由Xp⑴恢復(fù)x⑴。

7.22信號Y(t)由兩個均為帶限的信號xl⑴和x2(t)卷積而成，即

晨現(xiàn)對Y(t)進

行沖激串采樣，以得到

試給出y(t)保證能從yp⑴中恢復(fù)出來的采樣周期T的

范圍。

又當^一時，

于是當

由采樣定理知，若采樣頻率即時，y⑴能

夠由Yp⑴恢復(fù)。

7.23如圖7-15所示是一個用交替符號沖激串來采樣信號的系統(tǒng)。輸入信號的傅里

葉變換X(jw)如圖7?15(c)所示。

(a)對于-I,畫出Xp(t)和Y(t)的傅里葉變換。

(b)對于確定一個能從xp⑴中恢復(fù)x⑴的系統(tǒng)。

(c)對于‘三當，確定一個能從Y(t)中恢復(fù)x⑴的系統(tǒng)。

(d)

圖7-15

解：(a)由圖7-15(a)所示系統(tǒng)知，xp(t)=x(t)p⑴，從而有

P(t)是個周期信號，周期為22i,其傅里葉系數(shù)為

故其傅里葉變換為

于是得

圖7-16

因H(丁夕)是一帶通濾波器，上、下截止頻率分別為f和廠所以易得Yg如圖

7-17所示。

圖7-17

(b)如圖7-18所示系統(tǒng)，可實現(xiàn)用xp⑴回復(fù)x(t)的波形。其中,

說明：因

即

圖7-18圖7-19

(c)如圖7-19所示系統(tǒng)，可完成由y(t)重建x(t)的任務(wù)。其中，

—n-u-aaijjy產(chǎn)?

一一J-------」說明:因

故~■

即L-O

(d)由圖7-16和圖7-17所示的XpU°)和Y(J?)可見，要能由xp(t)或y

(t)重建x⑴，必須有

即4的最大值

7.24如圖7?20所示是一個將輸入信號乘以一個周期方波的系統(tǒng)，S⑴的周期是

T,輸入信號是帶限的，且為

(a)對于N5^利用com確定T的最大值，以使在W(jco)中x(jco)的重復(fù)部分

之間沒有混疊。

(b)對于明用⑴m確定T的最大值，以使在w(j(D)中XG(o)的重復(fù)部分

之間沒有混疊。

圖7-20

解：如圖7-20所示的s⑴可以表示為s(t)=g(t)-1,其中g(shù)(t)如圖7-21所

不，易知

于是

圖7-21

-：(■)

5,2-7----”3)

工匕，“小專

S(J0)如圖7-22所示。

1

1：

圖7-22

又因為―-二,故

可見，W(jw)是被油樣函數(shù)(Sa函數(shù))幅度加權(quán)且平移了的X(jw)疊加而成的,

平移量為2kmT,若要想K發(fā)生頻域混疊，應(yīng)有

從而得到在這種情況下的T的最大值

(b)則

s(jw)如圖7-23所示。

圖7-23

由圖7-23可見，當二時，S(jw)=0,這意味著W(jw)中，兩個

相鄰的

相距4兀，T,因此若想不發(fā)生混疊，只有

從而得到在這種情況下的周期T的最大值

7.25如圖7?24所示是一個采樣器緊跟著一個用于從樣本xp(t)中恢復(fù)出X⑴的

理想低通濾波器。根據(jù)采樣定理知道，若大于x⑴中存在的最高頻率的2倍，而且那么

重建信號xr⑴就一定等于x⑴。如果在x(t)的帶寬上這個條件不滿足，xr(t)就

一定不等于'⑴。本題要證明，如果那么無論選什么T,xr(t)和x⑴在采樣瞬時總

是相等的，即為了得到這一結(jié)果，將xr(t)用x(t)的樣本值表示成

上式變?yōu)?/p>

只要考慮到的a值，無須對x(I)進行任何限制，由式證明：對任意

整數(shù)k,都有

圖7-24

證明：

7.26采樣定理表明，一個信號必須以大于它的2倍帶寬的采樣率來采樣(或者等效

為大于它的最高頻率的2倍)。這就意味著，如果有一個信號x⑴的頻譜如圖7?25

(a)所示，那么就必須用大于2s2的采樣率對x⑴進行采樣。然而，因為這個信號的

大部分能量是集中在一個窄帶范圍內(nèi)的，因此似乎有理由期望能用一個低于2倍最高頻率

的采樣率來采樣。能量集中于某一頻帶范圍內(nèi)的信號往往稱為帶通信號

(bandoasssitmal)。有各種辦法來對這樣的信號進行采樣，一般統(tǒng)稱為帶通采樣

(bandasssamoline)技術(shù)。

為了研究有可能存一個小于總帶寬的采樣率下對一個帶通信號進行采樣，考慮如圖7-

25所示的系統(tǒng)。假定求能有的最大T值，以及常數(shù)A,(Da和劍

的值。

\-------------------------

>——.I

/

/1

/

''二

圖7-26

當T增加時,趨于0。

當時，有混疊現(xiàn)象。

如果則當沒有混疊.

最大的T為二此時W2為。，故=

作出此時的圖像，可得

7.27在習題7.26中討論了帶通采樣和恢復(fù)的一種方法。當x⑴為實信號時可用

另一種方法，這種方法先將x⑴乘以一個復(fù)指數(shù)，然后再對乘積采樣。采樣系統(tǒng)如第7.

27(a)所示。由于x(t)為實函數(shù),且僅在時為非零，頻率。)0選為低通濾波器H1

(Js)的截止頻率為

(a)若XO)如圖7-27(b)所示，畫出

(b)確定最大的采樣周期T,以使可以從X。⑴中恢復(fù)x⑴。

(c)確定一個從xo(I)中恢復(fù)x(I)的系統(tǒng)。

圖7-27

解：(a)令—‘表示」的傅里葉變換。："是低通濾

波器的輸出，上-表不的傅立葉變和如圖7-28所

圖7-28

(b)的奈奎斯特率為,因此采樣周期T至少為

以使能從Xo(t)中恢復(fù)x(t)o

(c)從xo(t)中恢復(fù)x(t)的系統(tǒng)如圖7-29所示.

圖7-29

7.28如圖7-30所示的系統(tǒng)將一個連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換為一個離散時間信號。輸入x

⑴是周期的，周期為0.1s,x(t)的傅里葉級數(shù)系數(shù)是。低通濾波器H(jw)的頻率響

應(yīng)如圖7?30(b)所示，采樣周期

(a)證明x[n]是一個周期序列，并確定它的周期.

(b)確定x[n]的傅里葉級數(shù)系數(shù)。

圖7-30

解：⑶因為x(t)的周期T°=0.1s,故其基頻

則其傅里葉變換為

其中

低通濾波器的截止頻率金；因而xc(l)的博里葉變換為

注意到

則可求出Xp(jw)

Xc(jw)和Xp(jw)分別如圖和31(a)、(b)所示。

J

圖7-31

注意：由于采樣時間間隔，采樣頻率，因而在構(gòu)成Xp(jw)

時，Xp(jw)在處有疊加。而且由圖7-31(b)可看出，Xp

(jw)既具有周期性，又都是由沖激串組成的。在圖7-31(a)所示系統(tǒng)中，將沖激串X。

(t)變?yōu)殡x散序列x[n],只是一個頻率變換過程。也就是說，x[n]的頻譜與木⑴的頻譜

一樣，是周期性的沖激串，因而x[n]是周期的，因為周期離散信號的傅里葉變換就是同期

的沖激串。

下面求x[n]的周期。不難知&(t)的傅里葉級數(shù)為

因三」n,即

可將上式右端作為周期序列x[n]的傅里葉級數(shù)。因有

nr

而,其中N為x[n]的周期，故x[n]的周期

(b)在(a)中已得到x[n]的傅里葉級數(shù)為

因為當k=-10時；當k=10時,

所以此傅里葉級數(shù)也可寫為

即x[n]的傅里葉系數(shù)為

7.29如圖7?32(a)所示系統(tǒng)利用離散時間濾波器過濾連續(xù)時間信號。若和如圖7?

32(b)所示，以畫出和。

圖7-32

解：&(t)經(jīng)過沖激串采樣得到xo⑴，采樣頻率

易知采樣后信號的頻譜

Xn(jw)如圖7-33(a)所示。

由沖激串xp(t)轉(zhuǎn)換為序列x[n],在頻域中進行了頻率歸一化，即若將Xp(jw)表

示為Xp(jC),而x[n]的頻譜函數(shù)用X?"')表示，貝IJ

X(小)如圖7-33(b)所示。

x[n]通過截止頻率為x/4的低通濾波器得到y(tǒng)[n],易知

Y(/)如圖7-33(c)所示。

由序列y[n]轉(zhuǎn)換為沖激串yp(t),若yp(t)的頻譜函數(shù)用Yp(jQ)表示，則

Yp(jQ)如圖7?33(d)所示(圖中C換成為⑹。

通帶增益為T的低通濾波器，得到y(tǒng)c⑴，

yP⑴再通過截止頻率為

易知

如圖7.33(e)所示。

圖7-33

7.30如圖7?34所示系統(tǒng)由一個連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)接一個采樣器，轉(zhuǎn)換為一

個序列，再后接一個離散時間線性時不變系統(tǒng)。該連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)是因果的，且

滿足如下線性常系數(shù)微分方程：

輸入是一個單位沖激函數(shù)

(a)確定Yc⑴。

(b)確定頻率響應(yīng)一一和單位脈沖響應(yīng)使得有

圖7-34

解：(a)因為連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入-輸出方程為

可得其系統(tǒng)函數(shù)為

又因該系統(tǒng)是因果的，不難得其沖激響應(yīng)為當輸入n,不難

得出

(b)由于y[n]是對於(t)進行沖激串采樣得到的序列，故

于是有

且

7.31如圖7-35所示系統(tǒng)利用一個數(shù)字濾波器h[n]來處理連續(xù)時間信號，該數(shù)字濾

波器是線性的，因果的且滿足如下差分方程：

r圖

7-35

對于帶限輸入的信號，即圖中的系統(tǒng)等效為一個連續(xù)時間LTI

系統(tǒng)。確定從輸入r(t)到輸出孔(t)的整個系統(tǒng)的等效頻率響應(yīng)He(jw)。

解：為了區(qū)分數(shù)字頻率和模擬頻率，以下過程中用⑴表示模擬頻率，用。表示數(shù)字頻

率。由于采樣時間間隔為「而當疑Ml時,Xc(jw)=0,所以x[n]的頻譜函數(shù)為

對于數(shù)字濾波器，由其輸入-輸出方程可知其頻率響應(yīng)為

于是得y[n]的頻譜函數(shù)為

從而得等價連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

7.32信號x[n]的傅里葉變換在時為零，另一信號,試給出一個低通濾波器的頻率響應(yīng)

使得當該濾波器的輸入為時，輸出等于

解：令

如圖7-36所示

圖7-36

顯然為了得到‘l，低通濾波器的截止頻率為通帶增益為4。即

4.|<O|<M/4

0,?這H

7.33傅里葉變換為x(ejw)的信號x[n]具有如下性質(zhì)：

一個截止頻率為匚通帶增益為3的理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)為

要使對中的r＞的采樣相互不會混疊,則'-1則有

7.34一個實值離散時間信號x|nj,其傅里葉變換在時為零，可首先利用增采樣L

倍，然而再減采樣M倍的辦法將的非零部分占滿到的區(qū)域，試求L和M的值。

解：要使的非零部分占滿到的區(qū)域、,必須減采樣倍.又因為信

號不能直接減采樣一個非整數(shù)倍.因此需要先增采樣3倍，再減采樣倍。即

7.35考慮一個離散時間序列x[n],由x[n]形成兩個新序列xp[n]和zd[n],其中

xp[n]相應(yīng)于以采樣周期為2對x[n]采樣而得，而xd[n]則以2對x[n]進行抽取而得，即

(a)若x[n]如圖7-37(a)所示，畫出序列I鬧一

(b)若?'寺如圖7-37(b)所示，畫出上叁1和二

I

圖7-37

解：(a)序列『一和如圖7-38(a)所示

(b)序列和丁如圖7-38(b)所示

(b)

圖7-38

深入題

7.36設(shè)x⑴為一帶限信號，

(a)若x(t)用采樣周期T對其采樣.試確定一個內(nèi)插函數(shù)g(t),使得有

(b)函數(shù)g(t)是唯一的嗎？

解：(a)設(shè)x(t)的導(dǎo)數(shù)為,一，則

因為的奈奎斯特頻率為：,所以可以從中恢復(fù)信號。從7.2小節(jié)知

設(shè),則

因此

(b)不是唯一的。

7.37只要平均采樣密度為每秒2(VV/2n)個樣本，那么一個帶限于心|<W的信號

就能夠從非均勻間隔的樣本中得到恢復(fù)。本題說明一個特殊的非均勻采樣的例子。假設(shè)在

圖7-39(A)中:

(1)X⑴是帶限的，「

(2)P⑴縣一個非均勻間隔的周期沖激串，如圖7-39(b)所示。

0)f⑴是一個周期性波形，其周期事?^1由于f⑴與一個沖激串相乘，

因而只在t=0和t=△時的值f(0)=a和f")二b才有意義。

圖7-39

(4)7是一個90“的相移器，即

"匚是

一人理想低通濾波器，即

其中K是一個常數(shù)(可能是復(fù)數(shù))。

(a)求P⑴，Yi(t),Y2(t)和丫3⑴的傅里葉變換。

(b)給出作為△的函數(shù)的a,b和K值，以使對任何帶限信號x⑴和任何△,

都有X(t)=X(t)o

解：（a）.可以寫成

其中

因此

其中

因此

又

所以

因此

當時，有

I

7.38往往需要在示波器的屏幕上顯示出具有極短時間的一些波形部分(例如，千分

之幾毫微秒量級)，由于最快的示波器的上升時間也比這個時間長，因此這種波形無法直

接顯示。然而，如果這個波形是周期的，那么可以采用一種稱為取樣示波器的儀器來間接

地得到所需的結(jié)果。

圖7-40(a)就是用來對快速變化的波形x⑴進行采樣，采樣時每個周期采一次，

但在相鄰的下一個周期內(nèi)，采樣依次推遲。增量△應(yīng)該是根據(jù)x⑴的帶寬而適當選擇的

一個采樣間隔。如果讓所得到的沖激串通過一個合適的低通內(nèi)插濾波器，那么輸出Y(t)

將正比于減慢了的，或者在時間上被展覽了的原始快變化波形，即Y⑴正比于x

(at),其中a<!<>

若二試求出△的取值范圍，使得圖7?40(b)中的y

(t)正比于x(at),a<l；同時，用T和△確定a的值。

圖7-40

解：X(jw),P(jw)和Y(jw)的傅里葉變換如圖7-41所示

圖7-41

明顯不能得到△=(),從圖7-41可以得到

所以

福

從圖7-41還可以得到

7.39信號Xp⑴是對一個頻率等于采樣頻率＜op一半的正弦信號x⑴進行沖激

串采樣得到的，即

且其中

(a)求一個g⑴，使得有

(b)證明U

(c)利用前兩部分的結(jié)果證明：若xp(t)作為輸入加到截止頻率為s/2的理想住通

濾波器上，則其輸出為

解：(a)因為

所以

(b)用2n/T替換騎NT替換t,則

上式右邊在n=0,±1,±2……時為0。

(c)根據(jù)(a)和(b)可得

當信號通過一個低通濾波器，濾除高頻部分，最終輸出為

7.40考慮一個圓盤，在該圓盤上畫有一個正弦曲線的4個周期。圓盤以近似15根

的速度旋轉(zhuǎn)，因此當通過一個窄縫看時，正弦曲線具有60Hz的頻率。整個裝置如圖7-42

所示。設(shè)v(f)代表從窄縫看到的線的位置，因而V⑴有如下形式：

為了符號上的方便，現(xiàn)將v⑴歸一化，以使A=l。在60Hz頻率下，入的眼睛是不

可能跟蹤v⑴的變化的，現(xiàn)假定這?效果可以通過把眼睛模型化為截止頻率為20Hz的

理想低通濾波器來代替。

對正弦曲線的采樣可以用一個頻閃燈照亮圓盤來完成，因此光照度i⑴可以用一個

沖激串來表示，即

其中1"是頻閃頻率(Hz)o所得到的已采樣信號是乘積一"1令

RO)、V(O)和I(jo)分別記為r⑴、v(t)和i⑴的傅里葉變換。

(a)畫出V(jco),并明確指出參量(p和co<)的影響°

(b)畫出I(j(o),并指出T的影響。

(c)根據(jù)采樣定理，利用而來表示存在一個最大的T值，使得v⑴能夠利用一個

低通濾波器從1?⑴中得到恢復(fù)。試確定這個T值和該低通濾波器的截止頻率，畫出當了

T微微小于這個最大T值時的RQco)0

圖7-42

如果采樣周期T取得大于(c)中所確定的值，將會發(fā)生頻譜混疊。由于混疊的結(jié)

果，感覺看到的將是一個較低頻率的正弦波。

(d)假定對畫出R(jw)。用Va(t)表示看到的

線的視在位置，如果假定眼睛表現(xiàn)為一個截止頻率為20Hz并具有單位增益的理想低通濾

波器，試將Va⑴表示成如下形式：

其中Aa是Va⑴的視在振幅，Wa是Va(t)的視在頻率，生是它的視在相位。

(e)當一一一時，重做(d)。

解：(a)V3)的傅里葉變換如圖7-43(a)所示

圖M3(b)

如圖7-43(b)所示。

(c)v(t)的奈奎斯特頻率為2?,所以

低通濾波器的截止頻率為

d)

因為如圖7-43(d)

所示。

因此將r⑴通過一個截止頻率為的低通濾波器可以獲得

因此

7.41在許多實際場合，是在有回波的情況下記錄信號的，因而希望通過適當?shù)奶幚?/p>

消除這些回波。例如，圖7?44(a)示意了一個系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中接收機同時接收到信號x

(t)和一個回波，該回波是用衰減并延遲了的x(t)來表示的。于是，接收機的輸出是其

中；為了恢復(fù)x(t),先將s(t)變換成一個序列，并用合適的數(shù)字濾波器h[n]對接收機

的輸出進行處理，如圖7?44(b)所示。

圖7-44

假定x(t)是帶限的，即

(a)若一并取采樣周期等于To(即T=T。)，試確定數(shù)字濾波器h[n]的

差分方程，以使汽(t)正比于x⑴。

(b)在(a)的假定條件下，確定該理想低通波波器的增益A,以使

—1=-1

(c)現(xiàn)在假定一二二一試選擇采樣周期T、低通濾波器增益A和數(shù)字

濾波器h[n]的頻率響應(yīng)，使得Yc(t)正比于x(t)0

解：本題中為了避免混淆，采用。表示離散時間頻率。

(a)的奈奎斯特頻率為2°因此根據(jù)抽樣定理，的抽樣頻率至少為

匕J。因為

I,所以只要y[n]=x[n],就有yc⑴二x⑴，故

為了滿足上述這些條件，需要，且當二二時有

7.42考慮一帶限信號xc⑴，以高于奈奎斯特率對其采樣，然后將相隔T秒的各

樣本按圖7-45轉(zhuǎn)換為一個序列x[n]o

試確定序列的能量以原始信號的能量艮和采樣間隔T之間的關(guān)系。序列x[n]的能量

定義為而連續(xù)時間函數(shù)小⑴的能量定義為

利用抽樣定理有

當時，上式又可以寫成

7.43如圖7-46(a)所示系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號。離散時間輸入x[n]

轉(zhuǎn)換為一連續(xù)時間沖激串xp⑴，然后將xp⑴經(jīng)過一個線性時不變系統(tǒng)過濾產(chǎn)生輸出

yc(t),而yc(t)又被轉(zhuǎn)換成禽散時間信號y[n]。

其中輸入為xc(t)且輸出為次(t)的線性時不變系統(tǒng)是因果的，且由如下線性常系

數(shù)微分方程所表示：

整個系統(tǒng)等效為一個因果離散時間線性時不變系統(tǒng)，如圖7