北師大版數(shù)學九年級下冊全冊教案（2021年春修訂）

北師大版數(shù)學一年級下冊

全冊教案設(shè)計

2021-1-24

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

1銳角三角函數(shù)

第1課時正切

「謝而要求

【知識與技能】

讓學生理解并掌握正切的含義，并能夠舉例說明；會在直角三角

形中說出某個銳角的正切值；了解銳角的正切值隨銳角的增大而增

大.

【過程與方法】

讓學生經(jīng)歷操作、觀察、思考、求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學思想方法，培養(yǎng)學生理性思維的習慣，提高學生運用數(shù)學知識解決

實際問題的能力.

【情感態(tài)度】

能激發(fā)學生學習的積極性和主動性，引導學生自主探索、合作交

流，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

【教學重點】

1.從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.

2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義，密切數(shù)學與生活的聯(lián)

系.

【教學難點】

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.

?教學耳睚

一、情景導入，初步認知

你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法?

【教學說明】通過實際問題，創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學生產(chǎn)生認知盲點，激

發(fā)學生學習的興趣和探究的欲望。.

二、思考探究，獲取新知

(1)RtZ\ABC和RtZ\AB2c2有什么關(guān)系？

姐

(2)AC1有什么關(guān)系

(3)如果改變Bz的位置(如B3c3)呢?

(4)由此你得出什么結(jié)論？

【教學說明】通過相似溝通了直角三角形中的邊、角關(guān)系，從而變

換角度繼續(xù)探討，符合學生的認知規(guī)律此時學生的思維豁然開朗，同

時培養(yǎng)了學生思維的深刻性.此環(huán)節(jié)的設(shè)計正是數(shù)學思維的開闊性，

多角度、多方位性的展現(xiàn)師生的共同努力，淋漓盡致地演繹了數(shù)學體

現(xiàn)在思維藝術(shù)上的美，從而解決了本節(jié)課的第一個難點.

【歸納結(jié)論】在RtZXABC中，如果銳角A確定，那么NA的對邊與鄰

邊的比便隨之確定.這個比叫做NA的正切,記作：tanA二第鬻

NA的鄰邊

當銳角A變化時，tanA也隨之變化。

⑸梯子的傾斜度與tanA有關(guān)系嗎？

【教學說明】借助幾何畫板，從運動的角度來實施動態(tài)化、形象化、

直觀化教學.

【歸納結(jié)論】在這些直角三角形中，當銳角A的大小確定后，無論直

角三角形的大小怎樣變化，ZA的對邊與NA的鄰邊的比值總是唯一

確定的.所以，傾斜角的對邊與鄰邊的比可以用來描述坡面的傾斜程

度.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P3上第1題.

2.如圖，在RtAABC中，ZC=90o,AC=12,C=5,求tanA和

tanB.

3.若某人沿坡度i=3:4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的

位置升高一米.

解析：坡度i=3:4,也就是說tanB=言二；，.?.設(shè)AC=3X,BC=4X.

根據(jù)勾股定理可求出x=2m,/.AC=6m

答案：6

4.若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值。

解：在三角形中，根據(jù)大邊對大角，可知7所對的角最小.又由

勾股定理，可知該三角形為直角三角形。

最小角的正切值二］

【教學說明】鞏固正切的概念，進一步落實課標要求.習題1、2是對

基礎(chǔ)知識的訓練.習題3、4在對基礎(chǔ)知識鞏固的同時，發(fā)展了學生

的思維能力，使思維進一步縝密，認識進一步深化.

四、師生互動、課堂小結(jié)

師生一起小結(jié)在研究怎樣描述坡面的傾斜程度的過程中.我們首

先從實際問題中抽象出數(shù)學模型，構(gòu)建直角三角形.這里體現(xiàn)出從實

際問題中抽象出數(shù)學模型的建模思想.這樣一來問題就轉(zhuǎn)化為對直角

三角形的邊、角這些基本元素的探討上.經(jīng)過大家的探討，單一元素

中：可以用銳角來描述坡面的傾斜程度，而只用一條邊卻不可以.

大家主動變換思考問題的角度去探究，從而得到可以用傾斜角的對邊

與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度.同時還找到了傾斜角和傾斜角的

對邊與鄰邊的比之間的關(guān)系.

通課后作業(yè)

L布置作業(yè)：教材“習題1.1“中第1、2、4題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

攀瓠與反思

本課的學習，以實際問題為背景并從學生已有的直角三角形和相

似三角形的有關(guān)知識出發(fā)，引入正切函數(shù)概念.學生在知識的形成中，

進一步感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.通過實際問題的思考、探索，

提高解決實際問題的能力和應用數(shù)學的意識.為后面的學習打下基礎(chǔ),

作好鋪墊.

第2課時正弦、余弦

格課標要浜

【知識與技能】

L使學生理解銳角正弦、余弦的定義。

2.會求直角三角形中銳角的正弦、余弦值。

【過程與方法】

通過探索正弦、余弦定義，培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括

等邏輯思維能力.

【情感態(tài)度】

通過探索、發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的

學習習慣.

【教學重點】

理解銳角正弦、余弦的定義；會求直角三角形中銳角的正弦、余

弦值.

【教學難點】

求直角三角形中銳角的正弦、余弦值.

“承教與耳程

一、情景導入，初步認知

操場里有一根旗桿，老師讓小明去測量旗桿高度.（演示學校操

場上的國旗圖片）

小明站在離旗桿底部10米遠處，目測旗桿的頂部，視線與水平

線的夾角為34°,并且已知眼睛距離地面的高度為1米.然后他很快就

算出旗桿的高度了.你想知道小明是怎樣算出的嗎?

【教學說明】通過實際問題，創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學生產(chǎn)生認知盲點,

激發(fā)學生學習的興趣和探究的欲望.

二、思考探究，獲取新知

1,想一想：如圖

⑴直角三角形ABE1和直角三角形AB2c2有什么關(guān)系？

⑵任L和軍1有什么關(guān)系？嶼和呢？

BA,B2AB|A

⑶如果改變B2在梯子AB1上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論？

⑷如果改變梯子AB1的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論？

請討論后回答.

【教學說明】通過學生的觀察、探索，加上教師的引導，使學生

探究一步一步走向深入，并從中體會到探究的樂趣、知識的魅力，應

用價值，開拓學生視野，鍛煉學生思維，提高學生能力.

【歸納結(jié)論】在RtAABC中，如果銳角A確定，那么NA的對

邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.

ZA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦(sine),記作sinA,即：sinA二

NA的對邊

斜邊

NA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦(cosine),記作cosA,即:

8sA二S管邊

斜邊

銳角A的正切、正弦、余弦都是NA的三角函數(shù)，當NA變化時,

相應的的正切、正弦、余弦值也隨之變化.

【教學說明】讓學生借助正切的概念，自己試著歸納正弦、余弦的概

念。

2.議一議：如圖

由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系.

【教學說明】可以讓學生通過計算，明白它們之間的關(guān)系.

【歸納結(jié)論】sinA的值越大，梯子越陡;cosA的值越小，梯子越

陡.

三、運用新知，深化理解

L見教材P5例2.

2.在RtZXABC中，ZC=90°,BC=6,sinA=|,求cosA和tanB的值。

_BC

解：VsinA

~AB

BC

：.AB==6義合10.

sinAo

又VAC=VAB2-BC2=X/102-62=8，

???cosA=W=”,tanB=AC_4

BC=T,

3.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,cosA=j|,AC=10,AB等于多少?

sinB呢？

AC1012565

解：,/cos4——————AD——

ABAB136

八4c612

sinB=—=lOx—=

AB6513

4.在RtAABC中，ZC=90D,sinA和cosB

有什么關(guān)系？你能得到什么結(jié)論?

解：VsinA=—,

AB

BC

cosDB=——.

AB

/.sinA=cosBo

結(jié)論：在同一直角三角形中，一銳角的正弦值等于另一銳角的余

弦值。

5.已知：如圖,CD是RSABC的斜邊AB上的高，求證:BC?二AB?BD.（用

正弦、余弦函數(shù)的定義證明）

解：在RtZXABC中,

.八BC

smA=——

AB

在RtABCD中

BD

cosBn=——

BC

根據(jù)第4題中的結(jié)論，可知：

在RtaABC中，

sinA=cosB.

?BCBD

??----=-----

ABBC

即BC2=AB?BD.

【教學說明】對于前三題，比較簡單，可以放手讓學生獨立完成.

而后面兩題，可以適當?shù)募右蕴崾尽⒀a充.

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過學習，你對正弦、余弦在知識應用方面有什么認識，對指導

解決現(xiàn)實問題有什么意義？你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律或公式在解決問題中起到

了什么作用？

受訓后作業(yè)

1?布置作業(yè)：教材“習題1.2”中第1、4題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

J教學反思

本節(jié)課，通過探究，將學生知識引向深入，在整個過程中體現(xiàn)了

教師的主導作用，學生的主體地位,在教學過程中，如何保證每位學

生都得到發(fā)展，如何給予每個學生以發(fā)展平臺，這是每位教師在課堂

教學中必須做到的.

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

格課標要浜

【知識與技能】

L經(jīng)歷探索30°、45。、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行

有關(guān)的推理，進一步體會三角函數(shù)的意義。

2.能夠進行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索30。、45。、60°角的三角函數(shù)值的過程，培養(yǎng)學生

觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

【情感態(tài)度】

讓學生積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學生獨立思

考問題的習慣.

【教學重點】

能夠進行含30°、45。、60°角的三角函數(shù)值的計算

【教學難點】

進一步體會三角函數(shù)的意義.

篁教孚國程

一、情景導入，初步認知

如圖所示，在Rt△ABC中，ZC=90°,NA、ZB>NC的對邊

分別為a、b、c

B

(1)a、b、c三者之間的關(guān)系是,ZA+ZB=.

(2)sinA=,cosA=,tanA=.

sinB=,cosB=,tanB=.

(3)若ZA=30°,貝當

c

【教學說明】復習鞏固上一節(jié)課的內(nèi)容,為本課學習做準備.

二、思考探究，獲取新知

問題1觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少

度？

問題2sin30等于多少呢？你是怎樣得到的？與同伴交流.

問題3cos30°等于多少？tan30°呢？

問題4我們求出了30°角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角

一一45°、60。，它們的三角函數(shù)值分別是多少？你是如何得到的？

【教學說明】利用三角板，進行計算.從而推導特殊角三角函數(shù)值.

【歸納結(jié)論】

三所7角函數(shù)

sinacosatana

角a

173

30°

~2~2~3

旦

45°旦1

~2~2

1

60°包

萬~2百

【教學說明】通過表格的形式進行歸納，可使學生熟記三角函數(shù)值.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P8例1.

2.見教材P9例2.

3.求下列各式的值：

(1)cos260°+cos245°十&sin300sin45°

/、cos600+sin45°cos600-cos45°

(2)-------------+-------------

cos60°-sin45°sin300+cos45°

解:(1)原式=(；＞+(曰)?+您

1115

=—I—I—=一

4224

172172

(2)原式

172172

------——+——

2222

1+721-72

=-----1-----

1-y21+%^2

=-(1+72)2-(1-72)2

二-3-24-3+24=-6

【教學說明】本題主要考查特殊角的正弦、余弦值，解題關(guān)鍵是熟悉

并牢記特殊角的正弦、余弦值.易錯點是因沒有記準特殊角的正弦、

余弦值造成計算錯誤.

4.在4ABC中，ZC=90°,若2AO0AB,則NA的度數(shù)是,cosB

的值為o.

角翠析：=AC=90°,2AC=/2AB,

AC42

AC72

*/cos4=—,cos4=l,/.Z-A-45°,

AB'2

???Z-B=45°cos8==.

2

答案：45。彳

5.已知：在AABC中，ZB=45°，ZC=75°,AC=2,求BC的長.

分析：作aABC的一條高，把原三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，并注

意保留原三角形中的特殊角

解:作CD，AB于D點.

VB=45°,ZACB=75°AZA=60°

CD

???AC=2,sinA=￡,

/.CD=2sin60°=V3^.

在RtABCD中，/CDB=90°，NB=45°.

??_CD_V2

??sinnP—7777——，

L5LL

BC=B

【教學說明】不論是特殊角，還是特殊角的三角函數(shù)值，都要在

直角三角形中才可以發(fā)揮作用，所以合理構(gòu)造直角三角形，并通過轉(zhuǎn)

化得到特殊角是解決此類問題的關(guān)鍵。

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，然后以小組為單位派代表進行總結(jié),

教師作以補充。

季課后作觀

L布置作業(yè)：教材“習題1.3”中第1、4、5題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

?教學反思

三角尺是學生非常熟悉的學習用具，在這節(jié)課的教學中，教師應

大膽地鼓勵學生用所學的數(shù)學知識如“直角三角形中，30°角所對的

邊等于斜邊的一半”的特性，經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角

函數(shù)值的過程，發(fā)展學生的推理能力和計算能力。另外通過小組合作

交流形式，讓學生積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學生

獨立思考問題的習慣，并在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困

難的意志，建立自信心.給學生留充分的時間，采取多種形式讓學生

記住特殊角的三角函數(shù)值。

3三角函數(shù)的計算

第一課時已知一個角求三角函數(shù)值

產(chǎn)課標要浜

【知識與技能】

1.會用計算器求一些銳角的三角函數(shù)值.

2.運用銳角三角函數(shù)解直角三角形.

【過程與方法】

通過學生動手操作，提高學生動手能力.

【情感態(tài)度】

讓學生積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學生動手操

作能力.

【教學重點】

會用計算器求一些銳角的三角函數(shù)值。

【教學難點】

會用計算器求一些銳角的三角函數(shù)值。

皆敢與耳程

一、情景導入，初步認知

問題上節(jié)課我們學會了求一些特殊銳角（30°、45°、60。）的

三角函數(shù)值.那你知道15°、55°等一些銳角的三角函數(shù)值嗎？這節(jié)

課我們就來學習求這樣的角的三角函數(shù)值.

【教學說明】通過問題，給學生創(chuàng)造困難，從而激發(fā)學生強烈的

求知欲.

二、思考探究，獲取新知

觀察手中計算器的各種按鍵，了解它們的功能

【教學說明】學生先了解計算器各按鍵的功能，為利用計算器求

銳角三角函數(shù)值打下基礎(chǔ).

三、運用新知，深化理解

1.見教材P12的圖表.

2.sin63°52，41”的值.（精確到0.0001）

解：先用如下方法將角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”：

MODE||MODE||1|顯示F1T1

再按下列順序依次按鍵:

sin可…印41…

顯示結(jié)果為0.897859012.

所以sin63°52/41"^0.8979

3.求co求0°45’的值.（精確到0.0001）

解:在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出21）,按下

列順序依次按鍵：

顯示結(jié)果為0.349215633.

所以cot70°45,^0.3492.

4.如圖，RtAABC中，ZC=90°，ZA=35°,AC=6,求BC,

AB的長（精確至I10.001）.

B

C1-------------------------1/I

解：因為些=tanA=tan35°

AC

由計算器求得tan35°^0.7002,

所以BC=AC?tanA^6X0.7002^4.201

X—=cosA=cos35°,

AB

由計算器求得cos35°^0.8192,

所以AB=^^=—^7,324

csA0.8192

【教學說明】不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣.

四、師生互動，課堂小結(jié)

不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣.同一銳角的正切值與

余切值互為倒數(shù).在生活中運用計算器一定要注意計算器說明書的

保管與使用.

【方法歸納】在解決直角三角形的相關(guān)問題時，常常使用計算器

幫助我們處理比較復雜的計算.

學課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習題1.4”中第1、2題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

產(chǎn)教學反思

本節(jié)課的內(nèi)容比較簡單，學生能夠用計算器進行計算，不需要

學生動筆，所以學生積極性較高，教學效果較好.

第2課時已知三角函數(shù)值求角

格課標要浜

【知識與技能】

能根據(jù)銳角的三角函數(shù)值用計算器求出相應的銳角.

【過程與方法】

經(jīng)歷使用計算器的過程，通過計算銳角三角函數(shù)值，加深對三角

函數(shù)之“函數(shù)”意義的感受.

【情感態(tài)度】

體會現(xiàn)代工具的快捷、準確，培養(yǎng)用數(shù)學的意識并養(yǎng)成認真、細

心、嚴謹?shù)膶W習習慣.

【教學重點】

用計算器由銳角三角函數(shù)值求銳角.

【教學難點】

用計算器由銳角三角函數(shù)值求銳角.

教學耳睚

一、情景導入，初步認知

上節(jié)課我們學習了用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值，同學們計

算sin63°52’41〃和cos2°的值

這節(jié)課我們來一起研究如何利用計算器由銳角三角函數(shù)值求銳

角.

【教學說明】自然引入，使學生理解知識的連貫性.

二、思考探究，獲取新知

閱讀教材P13中“想一想”的內(nèi)容，和同桌一起討論、交流。如

何能根據(jù)銳角的三角函數(shù)值用計算器求出相應的銳角.

【教學說明】提高學生團隊合作意識.

三、運用新知，深化理解

L已知tanx=0.7410,求銳角x（精確到1,）

解:在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕

顯示出口），按下列順序依次按鍵：

SHIFTtan-110=

顯示結(jié)果為36.53844577.

再按鍵：

SHIFT||o,,,

顯示結(jié)果為363518.4.

所以,xg36°32'.

2.已知cotx=0.1950,求銳角x（精確到lr）

分析：根據(jù)tanx二一匚，可以求出tanx的cotx值，然后根據(jù)第1

cotx

題的方法就可以求出銳角X的值

3.己知銳角a的三角函數(shù)值，使用計算器求銳角（精確到1。）

sina=0.2476；

cosa=0.4174;

tana=0.1890.

解：⑴14°（2）65°（3）11°

【教學說明】教師要強調(diào)，讓每位學生必須動手操作，達到熟練.

從而提高學生動手操作能力，鞏固所學知識.

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，然后以小組為單位派代表進行總結(jié),

教師作以補充.

季課后作觀

L布置作業(yè)：教材“習題1.4”中第3、5題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

」教學反思

學生在操作過程中可能存在以下問題:按鍵順序不對；沒按要求

取近似值或干脆不取近似值.所以應該在這幾個方面要進行強調(diào).

4解直角三角形

格課標要浜

【知識與技能】

使學生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系，會運用勾股定理，直

角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.

【過程與方法】

通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角

函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度】

滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.

【教學重點】

直角三角形的解法.

【教學難點】

三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用.

教學耳睚

一、情景導入，初步認知

L在三角形中共有幾個元素？

2.直角三角形48c中，ZC90°,a.b、c、NA、N8這五個元素

間有哪些等量關(guān)系呢？

（1）邊角之間關(guān)系

..a/rc、人a

smA=—V3cAosA=—tanA=—

cab

（2）三邊之間關(guān)系

a2+b2=c2（勾股定理）

（3）銳角之間關(guān)系

ZA+ZB=90°

【教學說明】以上三點正是解直角三角形的依據(jù)，通過復習，使

學生便于應用.

二、思考探究，獲取新知

1.做一做：在直角三角形A8C中，已知兩邊，你能求出這個直角

三角形中其它的元素嗎？

2.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一邊，你能求出這個

直角三角形中其它的元素嗎？

3.想一想：在直角三角形ABC中，已知兩角，你能求出這個直角

三角形中其它的元素嗎？

【教學說明】我們已掌握Rt△ABC的邊角關(guān)系、二邊關(guān)系、角角關(guān)

系，利用這些關(guān)系，在知道其中的兩個元素（至少有一個是邊）后,

就可求出其余的元素?這樣的導語既可以使學生大概了解解直角三角

形的概念，同時又陷入思考，為什么兩個已知元素中必有一條邊呢？

激發(fā)了學生的學習熱情.

【歸納結(jié)論】由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素過程,

叫做解直角三角形。

在解直角三角形中，兩個已知元素中至少有一條邊.

【教學說明】讓全體學生的思維目標一致，在作出準確回答后，教師

請學生概括什么是解直角三角形？

三、運用新知，深化理解

L見教材P16例1、例2,

2.已知：c=86,ZA=60°,ZC=90°,求N8、。、b.

fa

解:〃=因由60。=8乃X三=12

乙

〃=ccos60°=8伍義^~=49，

ZB=30°.

3.已知：a=3>/6,ZA=30°ZC=90°,求NB、b、c。

解：/3=90°—30°=60°,

6=atanB=3展乂6=9后，

c=ya2+62=y(3^)2+(972)2

=/54+162=X/H6=6瓜

(另解：由于9=sinA，所以=

csinA1

~2

=6A/6).

4.已知：c=>/6-&,O=G-1,NC=90°,求NA、N8、b.

一人aA-1(73-1)(76+72)

解：sin4=——=-----=----------------

C底-姓(76-72)(76+72)

_3笈-乃+乃一&_笈

=T)

由此可知，44二45。，43=90。-450=45。，

且有6=a=73-l.

5.已知：。=6,〃=2?,/。=90°,求NA、NB、c.

解:由于lan4=；=Tz=yj,

b273

.?.乙4=60。，48=90。-60。=30。，

jaWc=26=2x2；/3=4/3.

6.在直角三角形ABC中，銳角A為30°,銳角B的平分線BD的長

為8cm,求這個三角形的三條邊的長.

解：由已知可得4BCD是30°的直角三角形，所以CD=-BD=i

22

X8=4(cm),

△ADB是等腰三角形，

所以AD=BD=8(cm),

貝I」有AC=8+4=12(cm),

BC=ACcot60°=12Xy=4>/3(cm),

AB=7(4^)2+122="8+144=V192=86(cm)

【教學說明】解直角三角形是解實際應用題的基礎(chǔ)，因此必須使學生

熟練掌握。為此，教材配備了針對各種條件的練習，使學生熟練解直

角三角形，并培養(yǎng)學生運算能力.

四、師生互動，課堂小結(jié)

請學生小結(jié)：

L在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素(至

少有一個是邊)，就可以求出另三個元素

2.解決問題要結(jié)合圖形.

學課后作觀

1.布置作業(yè)：教材“習題1.5”中第2、3題.

2,完成練習冊中本課時的練習.

“承教與反思

解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學生完全可以自己解決,

但例題具有示范作用,因此，此題在處理時，首先，應讓學生獨立完

成，培養(yǎng)其分析問題、解決問題的能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想.

其次，教師組織學生比較各種方法中哪些較好，選一種板演.

第1課時三角函數(shù)的應用（1）

【知識與技能】

使學生會把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，從而把實際問

題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決.

【過程與方法】

逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度】

滲透數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養(yǎng)學生用數(shù)

學的意識.

【教學重點】

要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形

元素之間的關(guān)系，從而利用所學知識把實際問題解戾.

【教學難點】

要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形

元素之間的關(guān)系，從而利用所學知識把實際問題解決.

一、情景導入，初步認知

海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向

東航行，開始在A島南偏西55。的B處，往東行駛20海里后，到達

該島的南偏西25。的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行,你認為貨輪

繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎？你是怎樣想的？與同伴進行

交流.

【教學說明】經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三

角函數(shù)在解決實際問題中的應用.

二、思考探究，獲取新知

如圖，一艘海輪位于燈塔戶的北偏東65°方向，距離燈塔80海

里的4處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔戶的南偏東

34°方向上的B處.這時，海輪所在的8處距離燈塔P有多遠（精確到

0.01海里）？

解:如圖，在Rt中,

PC=PA-cos(90°-65°)=80xCos25°?72.8

在Rt△3PC中，45=34。.

PC

,/sinB=—,

PB'

PC72.872.8

PB=--130.23(海

sinBsin340~0.559

里）

因此，當海輪到達位于燈塔〃的南偏東34。方向時，它距離燈

塔/大約130.23海里.

三、運用新知，深化理解

如圖所示，一條自西向東的觀光大道/上有A,B兩個景點，A,B

相距2km,在A處測得另一景點C位于景點A的北偏東60°方向，在

B處測得景點C位于景點B的北偏東45°方向，求景點C到觀光大道

1的距離.（結(jié)果精確到0.1km）

分析：過點C作CD_L/于點D,設(shè)CD為xkm,用含x的代數(shù)式表

示出AD和BD,然后根據(jù)AD-BD=AB,列方程即可求解

解:如圖所示，過點C作CO，/于點D,設(shè)

CD=xkm.

CD

在RtZUCO中，??,tan4C40=F，

AD

.「IO二CD二CD

tanZ.CADtan3O0'

AD-/3CD-%/3xkm.

在RtABCD中,vLBDC=90°,Z.CBD=

45°,??.BD=CD=xkm.

vAD-BD=AB,

有人-X=2,解得：%="+1=2.7(km).

故景點C到觀光大道1的距離約為2.7km.

【教學說明】結(jié)合圖形信息解直角三角形問題時，注意轉(zhuǎn)化思想

的運用，即構(gòu)造直角三角形，將方位角、方向角問題轉(zhuǎn)化為解直角三

角形問題，靈活運用銳角三角函數(shù)構(gòu)造相關(guān)的三角函數(shù)式，進行有關(guān)

線段以及角度計算.

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過學習以上例題，讓學生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通

過解直角三角形來解決有關(guān)方向角問題.

學課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習題1?6”中第4題.

2.完成練習冊中本課時的練習

產(chǎn)教學反思

本節(jié)課應首先認識方向角及其代表的實際意義，然后結(jié)合解直角

三角形的有關(guān)知識，層層展開，逐步深入.

第2課時三角函數(shù)的應用（2）

【知識與技能】

進一步掌握用解直角三角形的知識解決實際問題的方法，體會仰

角、俯角、坡度的含義及其代表的實際意義，并進行相關(guān)的計算.

【過程與方法】

通過實際問題的求解，總結(jié)出用解直角三角形的知識解決實際問

題的一般過程，增強分析問題和解決問題的能力.

【情感態(tài)度】

滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，增強學生的數(shù)學應用意識和能力.

【教學重點】

用三角函數(shù)知識解決仰角、俯角、坡度問題.

【教學難點】

學會準確分析問題，并將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型.

一、情景導入，初步認知

1.仰角、俯角的概念.

2.坡度的含義

【教學說明】教師提出問題，師生共同理解，為后繼學習作好準備

二、思考探究，獲取新知

想一想：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測

得仰角為30°,再往塔的方向前進50nl至B處.測得仰角為60°.

那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1m）

D

分析：要求塔CD的高度，必須利用銳角三角函數(shù).則要求出直角

三角形ACD或直角三角形BCD的一邊.可以根據(jù)等腰三角形的有關(guān)知

識求出BD=50m,NDBC=60°,用正弦就可求出塔CD的高度.

做一做：由題意易知CDVAC.ACAD=30°,

4。8。=60。，4〃=50111,???/.ACD=90°,/-ADB=

LCBD-乙CAD=30°,/.AB=BD=50m.在Rt

△BCD中，CD=BD-sinZCBD=50xsin60°=25

有（m）.即該塔高2573m.

【教學說明】利用實際問題，提高學生學習興趣.教師要幫助學生學

會把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而解決問題.

三、運用新知，深化理解

1.熱氣球的探測器顯示，從熱氣球上看

一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底sags

999S

部的俯角為,熱氣球與高樓的水平距離

60°B3BS

@S9S

為這棟高樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？

120m,國國國民

@SSS

sass

故景點C到觀光大道1的距離約為

Bma

2.7km.c

解：根據(jù)仰角和俯角定義知，圖中a=

30°,p=60°,AD=120m.在RtAABD中，由

BD

tana=tan30°=—，故BD=AD-tan30°=120x

AD

/￥CD

—=4073,4Rt/SACD中，由tan^S=-=

3AD

lan60。,所以CD=AD-tan60°=120x73=120

有，故這棟高樓的高為BC=BD+CD=4043+

12073=16073^277m.

【教學說明】上述題目可讓學生自主探索，也可相互交流，最后

師生共同獲得解答過程，學生自查，增強解題技能.

2.建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D

處觀測旗桿頂部A的仰角為50°,觀測底部B的

仰角為45°,求旗桿的高度(結(jié)果保留一位小數(shù))

解：BC=DC?tan45°=40(m),AC=DC?tan50°%

47.67(m),AB=AC-BO7.67弋7.7(m)

3.同學們對公園的滑梯很熟悉吧！如圖是某公園“六?一”前新

增設(shè)的一臺滑梯，設(shè)滑梯高度AC=2m,滑梯著地點B與梯架之間的距

離BC—4m.

(1)求滑梯AB的長(精確到0.1m);

(2)若規(guī)定滑梯傾斜角(NABC)不超過45°屬于安全范圍，請通

過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符合要求？

解：(1)48=VAC2+BC2=/4H6=26=4.5

4c21

(m)；(2)tanZ4BC=—=—=LABC^

BC42

26.6°<45°,/.符合要求.

4.如圖，在一次龍卷風中，一棵大樹在離地面若干米處折斷倒地,

B為折斷點，樹頂A落在離樹根C的12m處，測得NBAC=48°,則此

棵大樹原長為多少米？(精確到0.1m).

AQ

M：BC=AC-tan48°?13.33(m),4B=-----

cos48°

?17.94(m),.\大樹原長為BC+AB=13.33+

17.94=31.27^31.3(m).

【教學說明】在學生自主探究過程中，教師巡視，與學生一道分

析解題思路，探討構(gòu)建直角三角形來解決實際問題的方法，并對有困

難的學生予以指導，樹立他們的學習信心.

5.某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AC、BD

和CD的長度（精確到0.1米）.

解：如圖，作BEC

垂直直線CD于E,

在直角三角形BED

中，有￡，D=5tan30°=

U73u1.732

5x—?5x----=

33

2.89(米),

如圖，作AF垂直直線CD于F,在直角三角形AFC中，

NACF=NCAF=45°,所以有CF二AF=BE=5

則有CD=(CF+FE)-ED=(CF+AB)-ED-(5+1.3)-2.89-3.4(米)

又有4。=笈*4/=5左=5乂1.414=7.1,

BD=2ED=2X2.89^5.8

所以CD,AC,BD的長分別約為3.4米，7.1米和5.8米.

【教學說明】鞏固所學知識.要求學生學會把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)

學問題；根據(jù)題意思考題目中的每句話對應圖中的哪個角或邊，本題

已知什么，求什么？

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？還有哪些疑問？不妨說說看.

【教學說明】讓學生在相互交流過程中總結(jié)解題思路，解題方法,

進一步積累解題經(jīng)驗，并聽取學生的疑問，及時查漏補缺.

季課后作觀

1.布置作業(yè)：教材“習題1.6”中第1、2題.

2.完成練習冊中本課時的練習

」教學反思

本課時教學時要盡量創(chuàng)設(shè)與學生生活環(huán)境、知識背景相關(guān)的教學

情境，引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化

能力，增強學生分析實際問題和解決實際問題的能力.

教學時應注意從實際生活出發(fā)，努力體現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系.此

外，還要注重培養(yǎng)學生自主提煉題干并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的能力,

注重從實物的形象思維向數(shù)學的抽象思維轉(zhuǎn)變.

6利用三角函數(shù)測高

格課標要浜

【知識與技能】

能夠利用三角函數(shù)測一些實際物體的高度.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索測高的過程，讓學生體會數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展、應用

過程.并發(fā)展了學生的動手能力.

【情感態(tài)度】

體會數(shù)學來源于生活又服務于生活.

【教學重點】

能夠利用三角函數(shù)測一些實際物體的高度.

【教學難點】

能夠利用三角函數(shù)測一些實際物體的高度.

德教與15睚

一、情景導入，初步認知

請同學們欣賞下列圖片，你們能測量出它們的高度嗎？

埃及金字塔法國巴黎上海東方明珠馬來西?亞

鐵塔電視塔雙子塔

【教學說明】用多媒體放映圖片并讓學生說明圖片的名稱和有關(guān)

圖片的一些歷史.可以提高學生的學習興趣.

二、思考探究，獲取新知

活動一：測量傾斜角.

測量傾斜角可以用測傾器，簡單的測傾器由度盤、鉛垂和支桿組

成（如圖）.

使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：

1.把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°

刻線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置.

2.轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準目標M,記下此時鉛垂線所指的

度數(shù).

根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出目標M的仰角或俯角嗎？說說你的理

由

活動二：測量底部可以到達的物體的高度

所謂“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測

點與被測物體底部之間的距離

如圖，要測量物體MN的高度，可以按下列步驟進行：

1.在測點A處安置測傾器，測得乂的仰角/1\/^￡二00.

2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN=I

3.量出測傾器的高度AC二a（即頂線PQ成水平位置時它與地面的

距離），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理

由。

M

￡卜--------二

NA

活動三：測量底部不可以到達的物體的高度

所謂“底部不可以到達”就是在地面上不能直接測得測點與被測

物體底部之間的距離.

如圖，要測量物體MN的高度，可以按下列步驟進行：

L在測點A處安置測傾器，測得M的仰角NMCE二a

2.在測點A與物體之間的B處安置測傾器（A,B與N在一條直線

上，且A,B之間的距離可以直接測得），測得M的仰角NMCE=。

3.量出測傾器的高度AC=BD=a,以及測點A,B之間的距離AB二b.

根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理由.

【教學說明】通過這三個活動的學習，可以掌握利用三角函數(shù)測

物體高度時，必須要測出哪些數(shù)據(jù)才能解決問題。

三、運用新知，深化理解

.在一次數(shù)學活動中，李明利用一根栓有小錘的細線和一個半圓形

量角器制作了一個測角儀，去測量學校內(nèi)一座假山的高度如圖，

CDO

已知小明距假山的水平距離BD為12m,他的眼睛距地面的高度為1.6

m,李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線0A和假山的最高點C,此時,

鉛垂線0E經(jīng)過量角器的60?？潭染€，則假山的高度為多少？

解：如圖，作AKJLCD于點K,

VBD=12,李明的眼睛高1.6米，即AB=L6,ZAOE=60°,

???tan/ACK=季，

CK

.AK1212.nr

??CK=-----/A=TTO=—=4V3.

lan/ACKtan6C展

???CD=CK+DK=4痣+L6.

答：小山的高度為（4百'+1.6）米.

2.興義市進行城區(qū)規(guī)劃，工程師需測某樓AB的高度，工程師在D處

用高2m的測角儀CD,測得樓頂端A的仰角為30。，然后向樓前進

30m到達E,又測得樓頂端A的仰角為60。，樓AB的高度是多少？

?rAGv3八「

..CFG=---------=——AG

tan6003

在RtZ^ACG中，tanNACG=殷，ZACG=30°

CG

所以CG=-^-=V3AG

tan30°

又???CF=CG-FG=30,

即J3AG—§AG=30,

解得AG=15V3.

???AB=AG+GB=15畬+2.

J這幢教學樓的高度AB為（15g+2）m.

3.如圖，小山崗的斜坡AC的坡度是tan=3,在與山腳C距離200米

4

的D處，測得山頂A的仰角為26.6°,求小山崗的高AB（結(jié)果取整數(shù),

參考數(shù)據(jù)：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0,50）

4

??.BC=—AB.

3

48

???在Rl△408中，lan26.6°=麗=0.5,

??.BD=2AB.

???BD-BC=CD=200,

4

???2ABAB=200,

3

解得：45=30Q

答:小山崗的高度為300米.

【教學說明】教師引導學生評價黑板上的解題過程，做到全體學

生都掌握.

四、師生互動，課堂小結(jié)

師生歸納：利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程

是：

(1)將實際問題抽象為數(shù)學問題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角

三角形的問題)；

(2)根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;

(3得到數(shù)學問題的答案；

(4得到實際問題的答案.

J課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習題L7”中第2、3題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

徐敦與反思

通過本節(jié)課的學習鞏固了銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識，大大培養(yǎng)了

學生的動手能力、合作能力、思維能力和總結(jié)匯總能力.

章末復習

P-

，課標要正

【知識與技能】

1.了解銳角三角函數(shù)的概念，熟記30。、45°、60°的正弦、

余弦和正切的函數(shù)值.

2.能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)

值，由已知三角函數(shù)值求出相應的銳角的度數(shù).

3.會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題.

【過程與方法】

通過銳角三角函數(shù)的學習，進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與

對應的思想.

【情感態(tài)度】

通過解直角三角形的學習，體會數(shù)學在解決實際問題中的作用.

【教學重點】

會用解直角三的有關(guān)知識解決簡單的實際問題.

【教學難點】

會用點直角三的有關(guān)知識解決簡單的實際問題.

二藩教學過睚

一、知識結(jié)構(gòu)

【教學說明】引導學生回顧本章知識點，使學生系統(tǒng)地了解本章

知識及它們之間的關(guān)系.

二、釋疑解惑，加深理解

1.銳角三角函數(shù)

①正弦、余弦、正切的定義

②銳角三角函數(shù)的定義

2.三角函數(shù)的計算

3.解直角三角形

4.解直角三角形的應用

【教學說明】引導學生回憶本章所學的有關(guān)概念，知識點.加深學

生印象.

三、運用新知，深化理解

1.已知，如圖，D是4ABC中BC邊的中

點，ZBAD=90°,tanB=|,求sinNDAC.

解：過D作DE〃AB交AC于E,則NADE二NBAD=90°,

由tanB=1-,得當二：，

3AB3

設(shè)AD=2k,AB=3k；

???D是AABC中BC邊的中點,

ADE=-k,

在RtZkADE中,AE=-k,

2

sinZDAC=—

AE|k5

2.計算：tan23O°+cos230°-sin245°tan45°

解：原式原約+（爭2_（爭2X1

--+--―--

3.如圖所示，菱形ABCD的周長為20cm,DE±AB,垂足為E,sinA=

（則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）.

①DE=3cm;

②BE=lcm;/

③菱形的面積為15cm2;/

④BD=2V1Ocm.2_---

A.1個B.2個C.3個D.4個A

解析：由菱形的周長為20cm知菱形邊長是5cm.

在RtZ^ADE中，

3

VAD=5cm,sinA二一，

ADE=AD?sinA=5X|=3(cm).

AE=JAE2-DE2=4(cm).

ABE=AB-AE=5-4=l(cm).

菱形的面積為AB?DE=5X3=15(cm2).在RtADEB中,

BD=7DF2+BE2=V324-12=V10(cm).

答案：C.

4.如圖所示，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°

方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿

正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的

南偏東45°方向上的B處，求此時輪船所在的B

處與燈塔P的距離（結(jié)

分析：由題意知△/IB尸中Z.4=60°,乙B二

45°,乙APB=75。聯(lián)想到兩個三角板拼成的三角

形.因此很^自然作交48于。

解:過點。作PC，48垂足為C,則4APC=

30。，乙5PC=45°,4P:80,

PC

在RtZUPC中，cos乙4PC=—.

PA

??.PC=PA-cosZAPC=40V3,