新高考數(shù)學二輪復習對點題型第35講高考題中的解答題六（導數(shù)）（學生版）

第35講高考題中的解答題六（導數(shù)）導數(shù)與函數(shù)的零點問題(一)探求函數(shù)零點的個數(shù)[典例](2022·太原一模)已知函數(shù)f(x)＝xex－x－1.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最值；(2)討論方程f(x)＝lnx＋m－2實根個數(shù)．[關(guān)鍵點撥]切入點求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值隱藏點換元，令t＝xex，構(gòu)造函數(shù)h(t)＝t－lnt＋1(t>0)遷移點再根據(jù)導函數(shù)求出單調(diào)性、最值，結(jié)合圖象求解方法技巧求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題的步驟第一步將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點問題第二步利用導數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖象第三步結(jié)合圖象求解針對訓練(2022·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝aln(x＋1)sinx－eq\f(1,2)(a∈R)，且f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值為eq\f(2ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))－1,2).(1)求實數(shù)a的值；(2)討論函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明．．(二)由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)[典例](2022·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍．[關(guān)鍵點撥]切入點先算出切點，再求導算出斜率隱藏點求導，對a分類討論遷移點對x分(－1,0)，(0，＋∞)兩部分研究反思點本題的關(guān)鍵是對a的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明方法技巧已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍的策略(1)根據(jù)區(qū)間上零點的個數(shù)情況估計出函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導出導數(shù)需要滿足的條件，進而求出參數(shù)滿足的條件．(2)先求導，通過求導分析函數(shù)的單調(diào)性情況，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點情況，推導出函數(shù)本身需要滿足的條件．此時，由于函數(shù)比較復雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過多次求導，層層推理得解．針對訓練(2022·鄭州二模)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－x＋1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設函數(shù)g(x)＝aex－x＋lna，若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．(三)隱零點問題近幾年高考中隱零點問題也經(jīng)常出現(xiàn)，該類問題主要是對函數(shù)的零點設而不求，通過整體代換和過渡，再結(jié)合其他條件求解，主要在解答題中以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查學生的邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，題目的綜合性較強，難度大.[典例](2022·鷹潭二模)已知函數(shù)f(x)＝2alnx－x＋a，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x2－eq\f(1,2).(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．[關(guān)鍵點撥]切入點利用導數(shù)的幾何意義求切線隱藏點設h(x)＝2alnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x2－x＋a＋eq\f(1,2)，研究其單調(diào)情況遷移點討論a≥eq\f(1,2)和a<eq\f(1,2)兩種情況，分析函數(shù)的零點方法技巧隱零點問題求解三步曲(1)用零點存在定理判定導函數(shù)零點的存在性，列出零點方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點的取值范圍．(2)以零點為分界點，說明導函數(shù)f′(x)的正負，進而得到f(x)的最值表達式．(3)將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當縮?。槍τ柧氁阎瘮?shù)f(x)＝ln(2x＋1)＋2ax－4aex＋4，且a>0.(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的最大值；(2)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．綜合性考法針對練——導數(shù)與函數(shù)的零點問題1．(2022·江南十校一模)已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))lnx＋eq\f(1,x)－2，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)只有一個零點，求a的取值范圍．2．(2022·汕頭三模)已知函數(shù)f(x)＝x－2sinx.(1)求f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))的極值；(2)證明：函數(shù)g(x)＝lnx－f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))上有且只有兩個零點．3．(2022·湖北新高考聯(lián)考協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2exsinx－ax.(e是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若a＝0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若0<a<6，試討論f(x)在(0，π)上的零點個數(shù)．(參考數(shù)據(jù)：eeq\f(π,2)≈4.8)4．(2022·日照二模)已知函數(shù)f(x)＝a|lnx|＋x＋eq\f(1,x)，其中a>0.(1)當a＝1時，求f(x)的最小值；(2)討論方程ex＋e－x－a|ln(ax)|－eq\f(1,ax)＝0根的個數(shù)．導數(shù)與不等式恒(能)成立問題(一)分類討論解決不等式恒成立問題近幾年高考中利用導數(shù)解決不等式恒成立問題是常見的題型，函數(shù)中經(jīng)常含有參數(shù)，對參數(shù)進行分類討論解決問題，主要在解答題中以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查學生的邏輯推理能力和計算能力，題目的綜合性較強，難度大．[典例]已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x.(1)當a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍．[關(guān)鍵點撥]切入點(1)構(gòu)造函數(shù)m(x)，判斷f′(x)的單調(diào)性，進而判斷f(x)的單調(diào)性(2)構(gòu)造函數(shù)，把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題障礙點不能把導函數(shù)正確的分解因式，分類討論的標準不可解方法技巧不等式恒成立問題的解題關(guān)鍵點針對訓練已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．(二)分離參數(shù)解決不等式恒成立問題近幾年高考中利用導數(shù)解決不等式恒成立問題是常見的題型，函數(shù)中經(jīng)常含有參數(shù)，利用分離參數(shù)法解決該類問題，主要在解答題中以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查學生的邏輯推理能力和計算能力，題目的綜合性較強，難度大．[典例]已知函數(shù)f(x)＝(x＋a)lnx－eq\f(1,2)x2－ax＋a－1.(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)＞alnx－eq\f(1,2)x2－2x在(1，＋∞)上恒成立，求整數(shù)a的最大值．[關(guān)鍵點撥]切入點(1)問直接求導判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)問看到求整數(shù)a的最大值，想到分離參數(shù)a，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)求解遷移點把f(x)＞alnx－eq\f(1,2)x2－2x轉(zhuǎn)化為a＜eq\f(xlnx＋2x－1,x－1)在(1，＋∞)上恒成立障礙點(1)想不到分離導數(shù)，導致對a進行分類討論．(2)構(gòu)造函數(shù)后，若其導函數(shù)無法直接判斷單調(diào)性，不要忽略零點存在定理的應用方法技巧分離參數(shù)法的主要思想是將不等式變形成一個一端是參數(shù)a，另一端是變量表達式v(x)的不等式后，應用數(shù)形結(jié)合思想把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為水平直線y＝a與函數(shù)y＝v(x)圖象的交點個數(shù)問題來解決．針對訓練(2022·西安二模)已知f(x)＝eq\f(m,x＋1)＋nlnx(m，n為常數(shù))，在x＝1處的切線方程為x＋y－2＝0.(1)求f(x)的解析式并寫出定義域；(2)若?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，使得對?t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒有f(x)≥t3－t2－2at＋2成立，求實數(shù)a的取值范圍．(三)等價轉(zhuǎn)化法解決不等式能成立問題[典例]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)－ax＋b在點(e，f(e))處的切線方程為y＝－ax＋2e.(1)求實數(shù)b的值；(2)若存在x0∈[e，e2]，滿足f(x0)≤eq\f(1,4)＋e，求實數(shù)a的取值范圍．[關(guān)鍵點撥]切入點(1)利用導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程求b；(2)將問題轉(zhuǎn)化為a≥eq\f(1,lnx)－eq\f(1,4x)在[e，e2]上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求解隱藏點存在x0∈[e，e2]滿足f(x0)≤eq\f(1,4)＋e，只需f(x0)max≤eq\f(1,4)＋e即可，即求a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,4x)))min即可障礙點不會根據(jù)需要多次構(gòu)造函數(shù)方法技巧根據(jù)不等式能成立求參數(shù)的步驟(1)利用題設條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式的能成立問題；(2)用導數(shù)求該函數(shù)在區(qū)間上的最值；(3)構(gòu)建不等式求解．針對訓練已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax－1.(1)當a>0時，證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,＋∞)上只有一個零點；(2)若存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立，求a的取值范圍．1．(2022·連云港二模)已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))－8bf(x)，當x>1時，g(x)>0，求實數(shù)b的取值范圍．2．(2022·桂林、梧州一模)已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋2))eq\a\vs4\al(lnx).(1)當a＝－5時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，e))，使得f(x)－x2>2x＋eq\f(2a＋4,x)成立，求實數(shù)a的取值范圍．4．(2022·湖南新高考聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2ax－lnx，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若對任意x∈(0，＋∞)，不等式ex－2＋x≥xf(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．導數(shù)與不等式的證明問題(一)單變量不等式的證明問題[典例](2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝xeax－ex.(1)當a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當x>0時，f(x)<－1，求a的取值范圍；(3)設n∈N*，證明：eq\f(1,\r(12＋1))＋eq\f(1,\r(22＋2))＋…＋eq\f(1,\r(n2＋n))>ln(n＋1)．[關(guān)鍵點撥]切入點求出f′(x)，討論其符號后可得f(x)的單調(diào)性隱藏點設h(x)＝xeax－ex＋1，求導后進行分類討論遷移點由(2)可得2lnt<t－eq\f(1,t)對任意的t>1恒成立，從而可得ln(n＋1)－lnn<eq\f(1,\r(n2＋n))對任意的n∈N*恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設中的不等式方法技巧證明不等式的基本方法利用單調(diào)性若f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則①?x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；②?x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)．對于減函數(shù)有類似結(jié)論利用最值若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則?x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)構(gòu)造函數(shù)證明f(x)＜g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，證明F(x)＜0針對訓練(2022·邯鄲模擬)設函數(shù)f(x)＝x3＋ln(x＋1)．(1)求曲線y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))處的切線方程；(2)證明：當n∈N*且n≥2時，ln(n＋1)>eq\f(1,8)＋eq\f(2,27)＋…＋eq\f(n－1,n3).(二)極值點偏移問題(雙變量不等式)近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)極值點偏移問題的題目，采用對稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法進行研究，該類問題思維含量高，過程繁瑣，計算量大，在解答題中以壓軸題的形式出現(xiàn)，題目的綜合性強，難度大.[典例](2022·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)－lnx＋x－a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；(2)證明：若f(x)有兩個零點x1，x2，則x1x2<1.[關(guān)鍵點撥]切入點由導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值隱藏點f(x)的零點滿足x1<1<x2，要證x1x2<1，即證x1<eq\f(1,x2)遷移點轉(zhuǎn)化要證明條件為eq\f(ex,x)－－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(lnx－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(1,x)))))>0方法技巧極值點偏移問題的四種基本題設形式(1)若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1，x2且x1≠x2，求證：x1＋x2＞2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點)．(2)對于函數(shù)f(x)，存在x1，x2且x1≠x2，滿足f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2＞2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點)．(3)若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1，x2且x1≠x2，令x0