高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題02 垂直問題的證明(解析版)

第三篇立體幾何專題02垂直問題的證明常見考點(diǎn)考點(diǎn)一線面垂直的判定典例1．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面EAB．【答案】見解析【解析】【分析】通過證明和，進(jìn)而可得證.【詳解】E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，在Rt△和Rt△中，，所以Rt△Rt△，所以△，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)檎襟w中，平面,平面，所以，和平面EAB內(nèi)的兩條相交直線，所以平面EAB.變式1-1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，且，判斷直線AC與平面PBD是否垂直，并說明理由．【答案】垂直，理由見詳解.【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理即可證明.【詳解】設(shè)，連接，底面ABCD是菱形，則，且為的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?所以平面PBD變式1-2．如圖，在中，M為邊BC的中點(diǎn)，沿AM將折起，使點(diǎn)B在平面ACM外．在什么條件下直線AM垂直于平面BMC？【答案】AB=AC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判斷定理分析即可求解.【詳解】解：由線面垂直的判斷定理有，要使直線AM垂直于平面BMC，則應(yīng)有AM垂直于MC，且垂直于MB，即AM是BC上的高，又因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，所以AB=AC，即在AB=AC的條件下直線AM垂直于平面BMC．變式1-3．如圖，在三棱柱中，為正三角形，，，為的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見解析【解析】【分析】按照線面垂直的判定，證明垂直平面內(nèi)的兩條相交線即可.【詳解】，得，因?yàn)闉檎切危詾檎切?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn).所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，平面，所以平面考點(diǎn)二面面垂直的判定典例2．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，，平面，且，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平面【答案】證明見解析【解析】【分析】利用面面垂直的判定定理即可得到證明【詳解】連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以三角形為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以因?yàn)椋云矫?又平面，故平面平面變式2-1．如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)定義，在平面中找一條線讓其垂直平面即可.【詳解】在正三棱柱中，平面，平面，則.是棱的中點(diǎn)，為正三角形，則.，平面，平面，.又，，，，，，則和相似，故，，則有，故.，平面，且平面，平面平面.變式2-2．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面底面，求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】由面面垂直的性質(zhì)可得面，根據(jù)面面垂直的判定即可證平面平面．【詳解】證明：由底面為矩形，則，∵面面，面面，面，∴面，又平面，∴平面平面．變式2-3．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點(diǎn)．求證:平面⊥平面.【答案】證明見解析【解析】【分析】先證直線平面，再證平面⊥平面.【詳解】證明:∵是圓的直徑，是圓上任一點(diǎn)，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單證明.考點(diǎn)三線面垂直的性質(zhì)典例3．如圖，已知平面，D為的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】通過線面垂直證明線線垂直即可.【詳解】證明：因?yàn)?，D為的中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以，又,且、平面，所以平面，又平面,所以.變式3-1．如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，，在平面內(nèi)的射影為的中點(diǎn).證明.【答案】證明見解析【解析】連結(jié)，則易知與的交點(diǎn)為，利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，即可得證.【詳解】證明：連結(jié)，則易知與的交點(diǎn)為，如圖所示：由正六邊形的性質(zhì)可得，∵，，，∴平面，∵平面，∴.變式3-2．如圖，在三棱錐P-ABC中，，垂足為D，底面ABC，垂足為O,且O在CD上，求證：.【答案】證明見解析【解析】通過線面垂直證得，結(jié)合得平面POC，即可得證.【詳解】證明：底面ABC，底面ABC，.∵O在CD上,.又，平面POC.平面POC，.【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，利用線面垂直得線線垂直.變式3-3．如圖，在空間四邊形PABC中，，，．求證：【答案】見詳解【解析】【分析】先證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直推出線線垂直.【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)．，．，．，平面．平面，．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題型.考點(diǎn)四面面垂直的性質(zhì)典例4．在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由中位線定理，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果．（2）由題意可證，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可證平面，由此即可證明結(jié)果．(1)證明:因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；(2)證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，，又平面平面平面平面，所以平面又平面.所以.變式4-1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)．（1）求證：AD∥平面PBC；（2）求證：AB⊥平面PAD【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，進(jìn)而證明AD∥平面PBC；（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)定理證明．【詳解】（1）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC；（2）證明：∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.變式4-1．如圖所示，所在的平面與長(zhǎng)方形所在的平面垂直．(1)求證：平面；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件利用線面平行的判定推理作答.(2)由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)推理得證.(1)因四邊形是長(zhǎng)方形，則，而平面，平面，所以平面.(2)長(zhǎng)方形中，則，平面平面，平面PDC平面，平面，則有平面，又平面，所以.變式4-2．如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：(1)平面PAD；(2)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)利用面面得到平面；(2)證明面，從而得．(1)四邊形是的菱形，∴為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面；(2)，為的中點(diǎn)，∴，又，，平面，∴平面，又∵面，∴．鞏固練習(xí)練習(xí)一線面垂直的判定1．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，求證：CD⊥平面PAD.【答案】證明見解析【解析】由PA⊥CD，AD⊥CD即可得出.【詳解】因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)锳D⊥CD，所以CD⊥平面PAD.2．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn).(1)求證：平面PAB；(2)求證：平面PAB.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行即可；（2）根據(jù)線面垂直得線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直.【詳解】（1）證明：取PA中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)?，且，所以，?所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB所以平面PAB.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD所以又因?yàn)?，所以，又?平面PAB所以平面PAB.3．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證得；（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即可證得.(1)由底面是正方形，又平面，平面，平面(2)平面，平面，又底面是正方形，又，平面，平面4．如圖，矩形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明四邊形為平行四邊形，從而可證平面；（2）先證明平面，可得，再利用勾股定理，證明，利用線面垂直的判定定理，證明平面．(1)證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．在中，，分別為，的中點(diǎn)，所以，且．由已知，，所以，且．所以四邊形為平行四邊形．所以．又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面?2)證明：在矩形中，．又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕谥苯翘菪沃?，，，可得．在中，，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，平面，所以平面．練?xí)二面面垂直的判定5．如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,為的中點(diǎn).(1)求證:面；(2)求證:平面平面.【答案】（1）要證明線面平行，則可以根據(jù)線面平行的判定定理來證明．（2）對(duì)于面面垂直的證明，要根據(jù)已知中的菱形的對(duì)角線垂直，以及面來加以證明．【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意得只需在平面AEC內(nèi)找一條直線與直線PD平行即可．設(shè)，連接EO，由三角形中位線可得即得；（2）連接PO，由題意得PO⊥AC，又底面為菱形，則AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．試題解析：（1）證明：設(shè)，連接EO，因?yàn)镺，E分別是BD，PB的中點(diǎn)，所以而，所以面（2）連接PO，因?yàn)椋?，又四邊形是菱形，所以而面，面，，所以面又面，所以面面考點(diǎn)：1．線面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；6．四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥面PAD；（2）求證：面PDC⊥面PAB；【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，只需在面PAD內(nèi)找到一條線與EF平行，由中點(diǎn)想到中位線，即可證出；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理，只需在其中一個(gè)面內(nèi)找到一條直線垂直于另一個(gè)平面即可．【詳解】（1）連接AC，∵ABCD為矩形，且F是BD的中點(diǎn)，∴AC必經(jīng)過F又E是PC的中點(diǎn)，所以，EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面內(nèi)∴EF∥面PAD．（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD又AP面PAB，所以，面PAB⊥面PDC【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的應(yīng)用，牢記定理?xiàng)l件是解題關(guān)鍵．7．如圖，在四棱柱中，平面底面，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）見解析;（2）見解析.【解析】【詳解】（1）立體幾何中線面平行的證明，可根據(jù)線面平行的判定定理來進(jìn)行證明，只需證明直線與該平面內(nèi)的某一直線平行即可，一般常用的方法是平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)或者是三角形中位線與底邊平行的性質(zhì)；（2）可根據(jù)面面垂直的判定定理來進(jìn)行證明，一般思路是“面面垂直線面垂直線線垂直”的過程.試題解析：（1）在四棱柱中，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，底面，且由知，所以平?又，故平面.而平面，所以平面平面.8．如圖所示，在四棱錐中，，，面面．求證：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題可得根據(jù)線面平行的判斷定理可證平面；（2）由題，易得，再利用面面可得面，即得證.【詳解】(1)面,面,∴平面(2)∵∴∵面面,面面,面,∴面,又面,∴面面【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何中平行以及垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，熟悉定理是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.練習(xí)三線面垂直的性質(zhì)9．P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求證：AE⊥PC．【答案】見解析【解析】【分析】由已知中P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，結(jié)合正方形的幾何特征，我們易得到BC⊥平面PAB，由線面垂直的性質(zhì)得到BC⊥AE，結(jié)合已知中AE⊥PB，及線面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由線面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．【詳解】證明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD又∵BC∥AD∴PA⊥BC又由AB⊥BC，PA∩AB＝A∴BC⊥平面PAB又AE?平面PAB∴BC⊥AE又由AE⊥PB，BC∩PB＝B∴AE⊥平面PBC又∵PC?平面PBC∴PC⊥AE【點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握正方形的幾何特征及線面垂直的判定定理和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，已知在正方體中，E為的中點(diǎn)．求證：．【答案】證明見解析.【解析】【分析】由正方體性質(zhì)知且面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，由線面垂直的判定及性質(zhì)即可證結(jié)論.【詳解】連接，在正方體中且面，又面，則，且，、面，所以面，又面，即.11．如圖，在三棱錐中，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)論.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接、.因?yàn)?，，所以?又，平面，平面，所以平面.又平面，所以.12．如圖，正方體中，求證.【答案】證明見解析．【解析】【分析】證明與平面垂直后可得線線垂直．【詳解】證明：如圖，連接，是正方形，則，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕毩?xí)四面面垂直的性質(zhì)13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AD，已知平面PAB⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn).求證:（1）AB平面DEF;（2）BC⊥平面DEF.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面垂直的定義，可得，又因?yàn)?，利用線面垂直的判定定理可得命題成立．【詳解】證明：（1）因?yàn)椋?，為的中點(diǎn).，

所以，所以四邊形是平行四邊形，所以

又因?yàn)槠矫?，平面所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫妫矫嫠云矫?

因?yàn)槠矫?所以

因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以因?yàn)?，所?/p>

因?yàn)槠矫?，平面，所以平?14．如圖，矩形所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，是半圓弧上異于，的點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得⊥平面，繼而得⊥，結(jié)合⊥可證；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∥平面，連結(jié)交于，連結(jié)，由∥可證.【詳解】（1）由題設(shè)知，平面