高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題04 立體幾何中的由夾角求其它量問題(原卷版)

第三篇立體幾何專題04立體幾何中的由夾角求其他量問題常見考點(diǎn)考點(diǎn)一已知線線角求其他量典例1．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求證：AB⊥A1C；（2）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．變式1-1．如圖：在三棱錐中，底面，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.變式1-2．如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.變式1-3．在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成夾角的正切值；(3)已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長.考點(diǎn)二已知線面角求其他量典例2．已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1的正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.變式2-1．如圖甲，正方形邊長為12，，，，分別交，于點(diǎn)，，將正方形沿，折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱，點(diǎn)在該三棱柱底邊上．（1）若，證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．變式2-2．如圖，三棱柱所有的棱長為2，，M是棱BC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面ABC;（Ⅱ）在線段B1C是否存在一點(diǎn)P，使直線BP與平面A1BC所成角的正弦值為?若存在，求出CP的值;若不存在，請說明理由.變式2-3．如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點(diǎn)?分別是?的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.考點(diǎn)三已知二面角求其他量典例3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).(1)證明：PO⊥平面ABC．(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.變式3-1．如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，?，，，PC與AD相交于O，現(xiàn)沿著AD折成四棱錐（如圖2）.(1)當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求點(diǎn)B到平面PCD的距離；(2)在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.變式3-2．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在側(cè)棱PC上，且．(1)證明：平面ACD；(2)是否存在λ，使二面角的余弦值為？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．變式3-3．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度．鞏固練習(xí)練習(xí)一已知線線角求其他量1．已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，點(diǎn)是線段中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面和平面的銳二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得與所成的角為？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．2．如圖，在三棱錐中，底面.點(diǎn)D，E，N分別為棱的中點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.3．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，且，，、分別、的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)，點(diǎn)在線段上，且異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.4．等邊的邊長為3，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且滿足.（如圖（1）)，將沿折起到的位置，使面平面，連接，(如圖（2）).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與直線所成角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.練習(xí)二已知線面角求其他量5．如圖，在正方體中，E為棱上一點(diǎn).(1)若E為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.6．如圖，四棱錐中，，，且是邊長為2的等邊三角形.(1)若，求證：；(2)若平面平面ABCD，，直線SC與平面SAB所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.7．在正四棱柱中，，E為的中點(diǎn).（用向量的方法證明）(1)求證：平面.（用向量的方法證明）(2)若F為上的動(dòng)點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值是，求BF的長.8．如圖，在五棱錐中，平面平面，是等邊三角形，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.練習(xí)三已知二面角求其他量9．如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一點(diǎn)．(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中點(diǎn)，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．10．如圖，在四棱柱中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PDC；(2)若二面角的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．11．如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.(1)設(shè)面PAB面PDC=l，證明: