5.5三角恒等變換【七大必考點(diǎn)+八大秒殺招+九大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類(lèi)（解析版）

5.5三角恒等變換【七大必考點(diǎn)+八大秒殺招+九大題型+分層訓(xùn)練】知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01兩角和與差的余弦、正弦、正切公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式適用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R兩角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R兩角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠1兩角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠－1知識(shí)點(diǎn)02兩角和與差的余弦公式的靈活運(yùn)用要學(xué)會(huì)順用(從左至右，即展開(kāi))、逆用(從右至左，即化簡(jiǎn))、變用(移項(xiàng)變形)公式．(1)順用公式，如：cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(2)逆用公式，如：cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.(3)變用公式，如：cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.知識(shí)點(diǎn)03兩角和與差的正切公式的靈活運(yùn)用(1)正切公式的逆用eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(2)正切公式的變形應(yīng)用tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；1＋tanαtanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β).知識(shí)點(diǎn)04二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)知識(shí)點(diǎn)05二倍角公式的變形(1)(2)sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα).(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.知識(shí)點(diǎn)06“二倍”的含義倍角公式中的“倍角”是相對(duì)的，對(duì)于兩個(gè)角的比值等于2的情況都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．這就是說(shuō)，“倍”是相對(duì)而言的，是描述兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系的．知識(shí)點(diǎn)07萬(wàn)能公式用正切來(lái)表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“萬(wàn)能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).解題大招解題大招大招01在利用兩角差的三角公式求非特殊角的三角函數(shù)式的值時(shí)，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接化簡(jiǎn)求值．逆用公式時(shí)充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式．大招02兩角差的余弦公式常見(jiàn)題型及解法:①兩特殊角之差的余弦值，利用兩角差的余弦公式直接展開(kāi)求解;②求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的差，然后利用兩角差的余弦公式求解;③含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角差的余弦公式求解.大招03公式的運(yùn)用有三種:①正用;②逆用;③變形用，都要熟練.大招04給值求值（1）由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中可以根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角．常見(jiàn)角的變換有①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．（2）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時(shí)，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系．大招04給值求角問(wèn)題的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．大招05二倍角公式的給值求值尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見(jiàn)角的變換和角之間的二倍關(guān)系．大招06二倍角公式的給角求值（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．（2）若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過(guò)程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．大招07利用二倍角公式給值求角問(wèn)題的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．大招08在給值求角時(shí)，一般選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定所求角的范圍，然后再求出角．其中確定角的范圍是關(guān)鍵的一步．題型分類(lèi)題型分類(lèi)題型01兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用【例1】已知sinα+7π12cosA．15 B．?15 C．3【解題思路】根據(jù)α+3π4【解答過(guò)程】因?yàn)閟inα+所以cosπ12+α所以cos2π3即?1所以sinα+所以cos2α+5=?2故選：D．【變式1-1】已知sinπ2?θ=5A．3 B．?13 C．?3 【解題思路】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，求得tanθ=?2【解答過(guò)程】因?yàn)閟inπ2?θ又因?yàn)棣取?π2所以tanθ=sinθ故選：B.【變式1-2】已知α，β都是銳角，cosα=17，cosα+β=?A．12 B．3998 C．5998【解題思路】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得sinα，sin【解答過(guò)程】由cosα=17，cosα+β=?1114以及α所以cos=?11故選：A.題型02利用和（差）角公式化簡(jiǎn)、求值【例2】已知sinα?sinβ=1?32，cosA．?32 B．?12 C．【解題思路】先求出sinα?sinβ=1?32【解答過(guò)程】因?yàn)閟inα?所以(sin因?yàn)閏osα?所以(cos所以cos2所以1+1?2(cos所以2?2cos故cos(α?β)=故選：D．【變式2-1】若sinπ4?α?β=?1A．?25 B．265 C．【解題思路】由題得sinπ【解答過(guò)程】由題sin==2所以sinα+β故選：C.【變式2-2】化簡(jiǎn)下列各式：(1)cosα+β(2)sinθ+105°(3)cosθ+(4)tanα?β【解題思路】（1）（2）（3）（4）根據(jù)兩角和差的正余弦公式及正切公式即可求解．【解答過(guò)程】（1）cos(α+β)cosβ+sin(α+β)（2）sin(θ+105°)cos(θ?15°)?cos(θ+105°)（3）cos(θ+π4)+sin（4）tan(α?β)+tanβ題型03兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形【例3】cos162°cosA．32 B．12 C．?3【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.【解答過(guò)程】cos=?=cos故選：A.【變式3-1】tan3π4A．3 B．?3 C．?33【解題思路】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】由題意可得tan=tan所以tan3故選：A.【變式3-2】利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：(1)sin72°(2)cos20°(3)1+【解題思路】（1）根據(jù)正弦兩角差公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)余弦兩角和公式運(yùn)算求解；（3）根據(jù)正切兩角和公式運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】（1）由題意可得：sin72°（2）由題意可得：cos20°（3）由題意可得：1+tan題型04輔助角公式的應(yīng)用【例4】函數(shù)f(x)=3sin4x+A．?2,π2 B．?2,π2【解題思路】首先利用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)，再求函數(shù)的最值和周期.【解答過(guò)程】f(x)=3=2sin所以函數(shù)的最小值為?2，周期為2π故選：B.【變式4-1】已知23sinα=1+2cosα,α∈A．7+3516 B．?78 C．【解題思路】根據(jù)輔助角公式合二為一，再換元，結(jié)合同角三角函數(shù)式,二倍角公式和兩角和的正弦公式，計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由1+2cosα=23sinα令θ=α?π6∈(π2sin2θ=2且α=θ+π6，則則sin(2α?故選：C．【變式4-2】已知函數(shù)fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,【解題思路】（1）利用二倍角公式整理函數(shù)的表達(dá)式為fx=a?12sin2x+3（2）由（1）知fx=sin2x+π3，當(dāng)x∈0,【解答過(guò)程】（1）f=a?1因?yàn)閒π4=12所以fx=12sin（2）當(dāng)x∈0,π時(shí)，當(dāng)2x+π3=π2當(dāng)2x+π3=3π2即x=7π12時(shí)fx最小值為?1，x=題型05利用二倍角公式化簡(jiǎn)【例5】已知α∈0,π4，化簡(jiǎn)2?2A．2sinα B．?2sinα 【解題思路】由倍角公式化簡(jiǎn)即可.【解答過(guò)程】∵α∈0,2?2sin2α=故選：B.【變式5-1】化簡(jiǎn)21?sin4+2+2A．2sin2 B．?2sin2 C．【解題思路】根據(jù)正弦、余弦的二倍角公式即可求解．【解答過(guò)程】21?sin4+2+2cos4故選C.【變式5-2】若x∈?π,?π2A．2cosx2 B．2sinx2【解題思路】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷正負(fù)即可求解.【解答過(guò)程】1?sinx+由于x∈?π,?π2，所以x故sinx進(jìn)而sinx故選：D.題型06利用二倍角公式求值【例6】已知角α的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊過(guò)點(diǎn)(2,?1)，則cos2α?π4A．4225 B．?7225 【解題思路】由三角函數(shù)定義可得cosα=25【解答過(guò)程】由三角函數(shù)的定義，得cosα=25所以sin2α=2sinαcos2α=2cos2α?π4故選：D.【變式6-1】若tanα+π4=3，則A．1 B．65 C．75 【解題思路】借助兩角差的正切公式可得tanα【解答過(guò)程】由tanα+則tanα=故sin==2×故選：C.【變式6-2】已知tanα=17，tanβ=1(1)求sin2α(2)求α+2β的值.【解題思路】（1）利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.（2）利用二倍角公式得tan2β=34【解答過(guò)程】（1）由tanα=17（2）由tanβ=13，得tan因此tan(α+2β)=又α，β為銳角，且tanα=17因此0<α+2β<3所以α+2β的值是π4題型07三角恒等式的證明【例7】證明下列恒等式：(1)sinα+β(2)tanθ+【解題思路】（1）運(yùn)用恒等變換公式，同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可化簡(jiǎn)；（2）運(yùn)用兩角和的正切公式證明即可．【解答過(guò)程】（1）sin(α?β)sin==tan（2）tan(θ+π=tan【變式7-1】證明下列三角恒等式：(1)sinx(2)1+sin【解題思路】（1）利用正切差角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到答案；（2）利用二倍角公式，化弦為切，證明出結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）∵tanx?∴1+==sin∴sinx（2）1+==sin【變式7-2】在銳角△ABC中，求證：(1)tanA+(2)tanA【解題思路】（1）利用銳角△ABC，通過(guò)內(nèi)角和與兩角和的正切公式結(jié)合將tanA+tanB（2）對(duì)左式提取tanB2，對(duì)tanA2+tanC【解答過(guò)程】（1）由A+B+C=π，且在銳角△ABC中，故A+B=兩邊取正切得：tan(A+B)=tan(整理得tanA+（2）在銳角△ABC中，有A+B+C=π，則A+C則tanA+C又tanA+C則左式====1?tan故原式成立.題型08利用三角恒等變換判斷三角形的形狀【例8】在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【解題思路】根據(jù)兩角和與差的余弦公式可得sinA【解答過(guò)程】因?yàn)閏oscos所以sinA因?yàn)閟in則?又A+B=π所以cosC=?所以?所以cosA?B又A,B為△ABC的內(nèi)角，所以A?B=0.所以A=B，故△ABC為等腰三角形.故選：C.【變式8-1】已知△ABC，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，且sinA+sinB=cosA+A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形【解題思路】根據(jù)給定條件，利用和差角的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)變形即可推理作答.【解答過(guò)程】依題意，sin(則有2sinA+B2cosA?B2=2因此tanA+B2=1，又0<A+B2所以△ABC是直角三角形.故選：A.【變式8-2】在△ABC中，已知sinBsinC=cos2A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【解題思路】由二倍角公式可得，cos2A2=121+cosA【解答過(guò)程】因?yàn)閟inBcosB+C所以，cosBcosC因?yàn)锽,C∈0,π，所以所以B=C，即△ABC為等腰三角形.故選：A．題型09三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用【例9】筒車(chē)是一種水利灌溉工具（如圖1所示），筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心為O，筒車(chē)的半徑為r，筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為24s，如圖2所示，盛水桶M在P0處距水面的距離為?0.4s后盛水桶M在P1處距水面的距離為?1，若

A．π12 B．π6 C．π4【解題思路】首先做出輔助線，然后結(jié)合幾何體的特征進(jìn)行計(jì)算即可求得直線與水面的夾角．【解答過(guò)程】如圖，

過(guò)O作直線l與水面平行，過(guò)P0作P0A⊥l，垂足為點(diǎn)A，過(guò)P1作設(shè)∠AOP0=α，∠BOP1則sinα=P0所以，sinβ?所以sinα+整理可得sinα?因?yàn)?<α<π2，則?π3<α?故選：A.【變式9-1】某大型商場(chǎng)為迎接新年的到來(lái)，在自動(dòng)扶梯AC（AC>5）的C點(diǎn)的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE，如圖所示，廣告牌底部點(diǎn)E正好為DC的中點(diǎn)，電梯AC的坡度∠CAB=30°．當(dāng)人在A點(diǎn)時(shí)，觀測(cè)到視角∠DAE的正切值為39．當(dāng)人運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)P時(shí)，PE=（

A．57 B．53 C．5 【解題思路】當(dāng)人在A點(diǎn)時(shí)，根據(jù)兩角和的正切公式求出BC和AB，當(dāng)人運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)P時(shí)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，由勾股定理即可求解PE．【解答過(guò)程】由題意，E為CD的中點(diǎn)，由DE=5，得EC=5，當(dāng)人在A點(diǎn)時(shí)，如下圖所示，設(shè)BC=x，則AB=3在△DAB中，tan∠DAB=在△EAB中，tan∠EAB=因?yàn)閠an∠DAB=所以39+5+x3x因?yàn)锳C>5，所以x>52，則BC=5，則當(dāng)人運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)P時(shí)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，如下圖所示，則PQ=12AB=所以EQ=EC+CQ=5+5在Rt△PQE中，故選：B．【變式9-2】已知OPQ是半徑為1，圓心角為π3的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn).ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COB=θ，矩形ABCD的面積為S(1)當(dāng)θ=π6時(shí)，求矩形ABCD的面積(2)求S關(guān)于角θ的解析式，并求S的最大值.【解題思路】（1）根據(jù)直角三角形得出BC=sinθ，AB=cosθ?33sin（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值.【解答過(guò)程】（1）在Rt△OBC中，OB=cosθ，BC=sinθ∴OA=33DA=∴S=AB?BC==12=333當(dāng)θ=π6時(shí)，（2）由（1）知S=由0<θ<π3得π6<2θ+π6<分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,?4，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則（

）A． B．7 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義及兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,?4，則將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則.故選：B.2．已知，，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的余弦公式求出即可得解.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：C3．的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，即可根據(jù)周期公式求解.【詳解】，故最小正周期為，故選：C4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)齊次式分子分母同除得到關(guān)于的等式，解得的值，用正切的和差角公式即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D.5．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式以及兩角和的正切公式即可得答案.【詳解】.故選：A6．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由誘導(dǎo)公式得到，進(jìn)而由誘導(dǎo)公式和二倍角公式求出答案.【詳解】，.故選：C7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用湊角法得到方程，兩式相加得到.【詳解】①，②，由①②相加，得，所以.故選：A.8．已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系，可采用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)最大值的求解問(wèn)題，根據(jù)的范圍和二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】，，令，則，則，，即的最大值為.故選：A.9．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱得，再結(jié)合二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式即可.【詳解】由題意，即，而，．故選：A．10．若函數(shù)，又，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可根據(jù)最大值和最小值求解得解.【詳解】，由于，結(jié)合，，故分別為的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，由于的最小值為，故,解得.故選；A11．（多選）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】利用誘導(dǎo)公式判斷A、C，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式判斷B，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由及兩角差的正弦公式判斷D.【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，又，，所以，則，所以，故D正確.故選：ABD12．（多選）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，兩式平方后相加得到；D選項(xiàng)，由得到；B選項(xiàng)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到；C選項(xiàng)，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，兩式平方后相加可得，所以，故A錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，故，由于，故，又，所以，故D正確；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，，故，故C錯(cuò)誤.故選：BD.13．（多選）下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，逆用余弦差角公式化簡(jiǎn)；B選項(xiàng)，利用正切和角公式化簡(jiǎn)；C選項(xiàng)，利用輔助角公式得到答案；D選項(xiàng)，利用正弦和角公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D正確.故選：BCD.14．已知函數(shù)的表達(dá)式為.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求方程在上的解.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用（1）求出的解析式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)直接解方程即可.【詳解】（1）由，令，解之得，即該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）由（1）知：，所以若，即，因?yàn)?，所以，則滿足題意的或，即或.15．已知函數(shù)，且的最小正周期為．(1)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，求的最小值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)的最小正周期求得，利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，再根據(jù)是偶函數(shù)來(lái)求得的最小值.（2）根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得.【詳解】（1），由于的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，由于是偶函數(shù)，所以，由于，所以時(shí)，取得最小值為.（2），由于，所以，所以.

【能力提升】1．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，結(jié)合余弦的差角公式，可得答案.【詳解】由，則，，，由，易知，解得，由，，且，則，可得，所以，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，則，由，，則，易知，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，則，由，，則，易知，解得，；故選：B.2．函數(shù)是（

）A．偶函數(shù)，且最小值為－2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．非周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判定方式以及函數(shù)的最值判斷A，B；根據(jù)周期性判斷，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C，D.【詳解】定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù)，又，令，，，當(dāng)時(shí)，即，有最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值，最大值為2，故A錯(cuò)誤，故B正確；因?yàn)?，所以為周期函?shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上先減后增，在上單調(diào)遞增；故C，D錯(cuò)誤，故選：B.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)再結(jié)合所給條件求解出代數(shù)式值即可.【詳解】，再由，可知，即，則.故選：D.4．若，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，結(jié)合三角恒等變換可求值.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，，所以，則．故選：D.5．已知為第一象限角，且，則（

）A．9 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合已知條件可求出，再結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)求值，即可得答案.【詳解】由題意知為第一象限角，且，故，解得或（舍去），則，故選：B6．已知函數(shù)，則關(guān)于的方程：的實(shí)根個(gè)數(shù)為：(

).A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)，再設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合得到其交點(diǎn)的范圍，再次數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，，則換元整理為，作出圖像和在上的大致圖象，由圖可知兩函數(shù)在定義域內(nèi)有兩交點(diǎn)，即方程在定義域內(nèi)有2個(gè)實(shí)根分別為，，再作出y=fx的圖像，用和與之相交，共有8個(gè)實(shí)根.故選：D.7．已知，是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．43【答案】D【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算得出，再應(yīng)用二倍角的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，所以，則.故選：D.8．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為 B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為【答案】A【分析】利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：令，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，，單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：的最小值為-2，故D正確.故選：A.9．在平面直角坐標(biāo)系中，，與原點(diǎn)距離最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式以及余弦的二倍角公式求解.【詳解】由已知得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為，故選：.10．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在上的值域和題設(shè)條件，可知區(qū)間長(zhǎng)度必須大于一個(gè)周期，從而建立不等式，即可求得的范圍.【詳解】因，顯然，當(dāng)時(shí)，，因，在上的值域均為，故區(qū)間長(zhǎng)度必須大于一個(gè)周期，即，解得.故選:D．11．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的一個(gè)周期 B．在上有2個(gè)零點(diǎn)C．的最大值為 D．在上是增函數(shù)【答案】ABC【分析】對(duì)于A利用誘導(dǎo)公式結(jié)合函數(shù)周期性的定義判斷，對(duì)于B將給定函數(shù)化簡(jiǎn)后結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷，對(duì)于C利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再求解二次函數(shù)的最值判斷，對(duì)于D舉反例判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，故A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以令，解得或，?dāng)時(shí)，，故舍去，當(dāng)時(shí)，而，，，，由余弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，我們分為不同區(qū)間進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，得到，所以此時(shí)在上存在一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，得到，所以此時(shí)在上存在一個(gè)根，綜上可得在上有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確，對(duì)于C，令，故可化為，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，且，，故最大值為，即的最大值為，故C正確，對(duì)于D，由題意得，，所以在上不可能是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12．（多選）已知函數(shù)的最大值為1，