2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與解三角形 第4講　平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題原卷版

第4講平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】求參數(shù)的最值(范圍) 3【考點(diǎn)二】求向量模、夾角的最值(范圍) 4【考點(diǎn)三】求向量數(shù)量積的最值(范圍) 5【專題精練】 7考情分析：平面向量中的最值與范圍問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍．解決這類問(wèn)題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題，同時(shí)，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是解決平面向量中的最值與范圍問(wèn)題的重要方法．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則PA?PB的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2024·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則；為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．4．（2022·天津·高考真題）在中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足.記，用表示，若，則的最大值為5．（2022·浙江·高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．6．（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為；的最小值為．7．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】求參數(shù)的最值(范圍)一、單選題1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（

）

A．1 B．2 C．4 D．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．4 D．2二、多選題3．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為44．（2024·江蘇·二模）在長(zhǎng)方形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，設(shè)，，則（

）A．， B．為定值C．的最小值50 D．的最大值為三、填空題5．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為；的最小值為.6．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是.規(guī)律方法：利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線?λ＋μ＝1.【考點(diǎn)二】求向量模、夾角的最值(范圍)一、單選題1．（2024·河北石家莊·二模）在平行四邊形中，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．2二、多選題3．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．的最小值為三、填空題5．（2023·天津河西·一模）在梯形中，，且，，分別為線段和的中點(diǎn)，若，，用，表示．若，則余弦值的最小值為．6．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┰谄叫兴倪呅沃?，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．規(guī)律方法：找兩向量的夾角時(shí)，要注意“共起點(diǎn)”以及向量夾角的取值范圍是[0，π]．若向量a，b的夾角為銳角，包括a·b>0和a，b不共線；若向量a，b的夾角為鈍角，包括a·b<0和a，b不共線．【考點(diǎn)三】求向量數(shù)量積的最值(范圍)一、單選題1．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知圓的半徑為2，弦長(zhǎng)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B．C． D．2．（2024·江西·一模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A，B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，則的取值范圍為（

）A． B．5,7 C． D．二、多選題3．（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（

）A． B．的最大值為C． D．若，則的最小值為4．（2024·福建龍巖·一模）已知點(diǎn)與圓是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為C．D．的最小值為三、填空題5．（2024·天津·二模）在四邊形中，為中點(diǎn)．記，用表示；若，則的最大值為．6．（2024·天津·一模）在中，，則；若點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是．規(guī)律方法：向量數(shù)量積最值(范圍)問(wèn)題的解題策略(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷．(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集或方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式或方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·河南鄭州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）已知，，P是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在等腰中，的外接圓圓心為，點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．5．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在邊上（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．47．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知是圓O：的直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B．-2 C．-4 D．8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，.則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B．C．角A的最大值為 D．面積的最大值為10．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．一定可以作為一個(gè)基底B．一定有最小值C．一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是11．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn)．下列命題正確的是（

）A．若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2B．若，則的軌跡方程為C．若，則的軌跡與圓沒(méi)有交點(diǎn)D．若，則的最大值為3三、填空題12．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．13．（22-23高二下·上海浦東新·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家