2025年高考數(shù)學二輪復習 專題六 解析幾何 第2講　圓錐曲線的方程與性質原卷版

第2講圓錐曲線的方程與性質（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點一】圓錐曲線的定義與標準方程 3【考點二】橢圓、雙曲線的幾何性質 5【考點三】拋物線的幾何性質及應用 6【專題精練】 7考情分析：高考對這部分知識的考查側重三個方面：一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率以及漸近線問題；三是拋物線的性質及應用問題．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023·全國·高考真題）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．54．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．三、填空題10．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．11．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．12．（2022·全國·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．考點突破考點突破【考點一】圓錐曲線的定義與標準方程核心梳理：1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2．求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”“定型”：確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；“計算”：利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．一、單選題1．（2024·江蘇南京·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線交于另一點，的內切圓與相切于點．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山西呂梁·二模）若函數(shù)，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為（

）A．6 B．12 C．16 D．18二、多選題3．（2020·山東·高考真題）已知曲線.（

）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線4．（2024·重慶·三模）已知雙曲線的左，右焦點分別為為雙曲線上點，且的內切圓圓心為，則下列說法正確的是（

）A． B．直線PF1的斜率為C．的周長為 D．的外接圓半徑為三、填空題5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）直線與拋物線交于兩點，若，則中點到軸距離的最小值是．6．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）已知拋物線為拋物線內一點，不經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，連接分別交拋物線于兩點，若對任意直線，總存在，使得成立，則該拋物線方程為.規(guī)律方法：求圓錐曲線的標準方程時的常見錯誤雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關系式弄混，橢圓中的關系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關系式為c2＝a2＋b2；確定圓錐曲線的方程時還要注意焦點位置．【考點二】橢圓、雙曲線的幾何性質核心梳理：1．求離心率通常有兩種方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根據(jù)條件建立關于a，b，c的齊次式，消去b后，轉化為關于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．2．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．一、單選題1．（23-24高三下·貴州·階段練習）已知橢圓的左右焦點分別為，，點在直線上運動，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．13 D．152．（2023·安徽蚌埠·三模）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A．6 B．或 C． D．或二、多選題3．（2024·浙江·二模）已知橢圓左右兩個焦點分別為和，動直線經(jīng)過橢圓左焦點與橢圓交于兩點，且的最大值為8，下列說法正確的是（

）A． B．C．離心率 D．若，則4．（2024·遼寧·模擬預測）已知是等軸雙曲線C的方程，P為C上任意一點，，則（

）A．C的離心率為B．C的焦距為2C．平面上存在兩個定點A，B，使得D．的最小值為三、填空題5．（2024·湖北·二模）已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上在第一象限內的點，直線的傾斜角分別為，則；當取最小值時，的面積為．6．（2024·廣東深圳·二模）已知△ABC中，，雙曲線E以B，C為焦點，且經(jīng)過點A，則E的兩條漸近線的夾角為；的取值范圍為．規(guī)律方法：(1)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合橢圓(或雙曲線)的定義，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．(2)求雙曲線漸近線方程的關鍵在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到．【考點三】拋物線的幾何性質及應用核心梳理：拋物線的焦點弦的幾個常見結論設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)當AB⊥x軸時，弦AB的長最短為2p.一、單選題1．（22-23高三下·河南開封·階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線為軸正半軸上一點，線段的垂直平分線交于兩點，若，則四邊形的周長為（

）A． B．64 C． D．802．（23-24高三上·山東青島·開學考試）設拋物線：的焦點為，在上，，則的方程為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線與拋物線關于軸對稱，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點坐標是B．拋物線關于軸對稱C．拋物線的準線方程為D．拋物線的焦點到準線的距離為44．（2024·河北·二模）已知為坐標原點，焦點為的拋物線過點，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點為，則（

）A． B．C． D．直線與拋物線的準線相交于點三、填空題5．（2024·河南鄭州·二模）拋物線的準線方程為，則實數(shù)a的值為.6．（2024·河南·模擬預測）設拋物線的焦點為，直線與的一個交點為，直線與的另一個交點為，則.規(guī)律方法：利用拋物線的幾何性質解題時，要注意利用定義構造與焦半徑相關的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來溝通已知量與p的關系，靈活運用拋物線的焦點弦的特殊結論，使問題簡單化且減少數(shù)學運算．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·江蘇南通·三模）已知為橢圓：的右焦點，為上一點，為圓：上一點，則的最大值為（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24高三上·全國·開學考試）已知橢圓的焦點在軸上，若焦距為4，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·遼寧·三模）設點分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，若使得成立的點恰好有4個，則實數(shù)的值可以是（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2024·遼寧撫順·三模）過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線交于兩點．若，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·廣西梧州·階段練習）若雙曲線的右支上一點到右焦點的距離為9，則到左焦點的距離為（

）A．3 B．12 C．15 D．3或156．（2024·北京海淀·一模）若雙曲線上的一點到焦點的距離比到焦點的距離大，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．7．（2024·江蘇南通·二模）設拋物線的焦點為F，C的準線與x軸交于點A，過A的直線與C在第一象限的交點為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A． B． C． D．8．（2024·廣東·模擬預測）拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于A，B兩點．則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多選題9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓的左右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，則（

）A．的周長為4B．PF1C．PQ的最小值是3D．若點在橢圓上，且線段中點為，則直線的斜率為10．（2024·湖北·一模）某數(shù)學興趣小組的同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設其焦點為，若為其圖象上任意一點，則（

）A．是它的一條對稱軸 B．它的離心率為C．點是它的一個焦點 D．11．（2024·全國·二模）已知圓O：經(jīng)過橢圓C：（）的兩個焦點，，且P為圓O與橢圓C在第一象限內的公共點，且的面積為1，則下列結論正確的是（

）A．橢圓C的長軸長為2 B．橢圓C的短軸長為2C．橢圓C的離心率為 D．點P的坐標為三、填空題12．（23-24高三下·上?！るA段練習）若拋物線的焦點到它的準線距離為1，則實數(shù)m=13．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知是雙曲線上任意一點，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點到焦點距離的最小值為．14．（23-24高三上·江蘇無錫·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上一點，且，H是線段上靠近的三等分點，且，則C的離心率為.四、解答題15．（22-23高二上·河北邢臺·階段練習）已知橢圓經(jīng)過點，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于，兩點，是坐標原點，求的面積