2025年高考數(shù)學二輪復習 專題一 函數(shù)與導數(shù) 第7講　導數(shù)與不等式的證明原卷版

第7講導數(shù)與不等式的證明（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點一】導數(shù)與不等式的證明 3【專題精練】 5考情分析：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型，而導數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題是高考的熱點和難點.2.多以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．真題自測真題自測一、解答題1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線y=fx在處的切線斜率；(2)求證：當時，；(3)證明：．3．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．4．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：當時，恒成立．5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．6．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．考點突破考點突破【考點一】導數(shù)與不等式的證明一、單選題1．（2024·江西·一模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西南昌·一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）設，，，則（

）A． B．C． D．4．（22-23高三下·山東·開學考試）設，則（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023·遼寧·一模）已知實數(shù)a，b滿足，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·湖北·二模）已知，則下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·安徽·開學考試）已知函數(shù)，則下列選項中正確的是（

）A．函數(shù)的極小值點為B．C．若函數(shù)有4個零點，則D．若，則8．（2024·湖北武漢·模擬預測）對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B．C．若方程有6個不等實數(shù)根，則D．對任意正實數(shù)，且，若，則三、填空題9．（2023·海南·模擬預測）已知函數(shù)，，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.10．（22-23高三上·河南·階段練習）已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則，，由大到小依次為．11．（22-23高二下·四川成都·期末）已知和是函數(shù)的兩個不相等的零點，則的范圍是．12．（23-24高二上·山西·期末）若存在實數(shù)使得，則的值為.四、解答題13．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且．(1)若曲線在處的切線為，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：．14．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，.15．（2023·天津河西·二模）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)求證：；(3)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．16．（22-23高三上·廣東河源·期末）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.(1)當時，函數(shù)有極小值，求；(2)證明：恒成立；(3)證明：.規(guī)律方法：利用導數(shù)證明不等式問題的方法(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)．(2)適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論．(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·湖南長沙·一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·江蘇南通·期末）設,,,則（

）A． B．C． D．3．（2023·上海奉賢·二模）設是一個無窮數(shù)列的前項和,若一個數(shù)列滿足對任意的正整數(shù),不等式恒成立,則稱數(shù)列為和諧數(shù)列,有下列3個命題:①若對任意的正整數(shù)均有,則為和諧數(shù)列;②若等差數(shù)列是和諧數(shù)列,則一定存在最小值;③若的首項小于零,則一定存在公比為負數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列．以上3個命題中真命題的個數(shù)有(

)個A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·山東臨沂·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當時，則不等式在上的解集為（

）A． B．C． D．5．（22-23高三上·浙江·期末）已知，則（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·浙江杭州·階段練習）設，則（

）A． B．C． D．7．（22-23高二下·湖南株洲·開學考試），，，則的大小關(guān)系為（

）.A． B．C． D．8．（23-24高三上·廣東·期末）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（21-22高二下·湖南·階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．10．（22-23高二上·湖南張家界·期末）已知，且，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．（2023·山東濰坊·三模）已知函數(shù)，實數(shù)滿足不等式，則的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空題12．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是．13．（22-23高三上·湖北·階段練習）請寫出一個滿足以下條件的函數(shù)的解析式.①為偶函數(shù)；②當時，.14．（23-24高三上·上海楊浦·期中）已知函數(shù)，，若有且僅有一個正整數(shù)，使得不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是.四、解答題15．（22-23高二下·河南·期末）已知函數(shù)，．(1)當時，證明：在上恒成立；(2)若有2個零點，求a的取值范圍．16．（2024·北京平谷·模擬預測）設函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為1．(1)求a的值；(2)設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：．17．（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)