2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練17 空間幾何體（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練17空間幾何體[考情分析]高考常考知識，主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問題．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，部分題目難度較大．【練前疑難講解】一、空間幾何體的截面問題1．用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵．2．確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個基本事實(shí)及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．二、表面積與體積1．柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：(1)圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；(2)圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；(3)圓臺的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；(4)球的表面積S＝4πR2.2．柱體、錐體和球的體積公式：(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V球＝eq\f(4,3)πR3.三、多面體與球多面體的外接球模型：(1)長方體的外接球直徑為體對角線，則R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)；正方體的外接球半徑為R＝eq\f(\r(3)a,2)；正方體的內(nèi)切球半徑為r＝eq\f(a,2).(2)柱體模型如圖①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，設(shè)外接球半徑為R，球心為O，△ABC的外接圓圓心為O1，則R＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1A2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r2)，其中r＝O1A為△ABC外接圓半徑．(3)錐體模型如圖②，在正三棱錐P－ABC中，先求出高線長h＝PO1＝eq\r(PA2－r2)，在Rt△OO1A中，R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R為外接球半徑，r＝O1A為△ABC外接圓半徑，O1為△ABC的外接圓圓心．(4)正四面體(構(gòu)造正方體)、對棱相等的三棱錐(構(gòu)造長方體)如圖③：正四面體D－A′BC′可構(gòu)造正方體(所有面對角線相等)；如圖④：對棱相等的三棱錐A－BCD可構(gòu)造長方體(對面的對角線相等)．一、單選題1．（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3，高為2.用一個平行于底面的截面截棱臺，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足.下列說法正確的是（

）

A．該圓臺軸截面ABCD的面積為B．該圓臺的表面積為C．該圓臺的體積為D．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為4．（2023·廣東深圳·二模）如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點(diǎn)E、F重合，記為點(diǎn)P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為三、填空題5．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．6．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面面積為，則該圓錐的外接球半徑的最小值為.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·湖南長沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（

）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米2．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·江蘇南京·二模）在圓臺中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2023·天津北辰·三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可以任意轉(zhuǎn)動的球，在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為（

）A． B． C． D．68．（2024·天津·二模）已知正方體的外接球的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）．A． B． C． D．9．（2024·河北邢臺·一模）如圖，正四棱臺容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（

）A． B． C． D．10．（2024·天津?yàn)I海新·二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當(dāng)時并不知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問題，用杠桿法解決體積問題.我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之比（

）A．， B．， C．， D．，二、多選題11．（2024·山西朔州·一模）已知圓錐的側(cè)面積為，底面圓的周長為，則（

）A．圓錐的母線長為4B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．圓錐的體積為D．沿著圓錐母線的中點(diǎn)截圓錐所得圓臺的體積為12．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點(diǎn)均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點(diǎn)的曲率為B．在四面體中，點(diǎn)的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則（

）A．直線平面B．直線平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積14．（2024·安徽·一模）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（

）A．直線與平面所成的角等于B．四棱錐的體積為C．兩條異面直線和所成的角為D．二面角的平面角的余弦值為三、填空題15．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為.16．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．17．（2024·全國·二模）已知圓錐的軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則.18．（2023·上海徐匯·二模）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知球與圓臺的上、下底面和側(cè)面均相切，且球與圓臺的體積之比為，則球與圓臺的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·一模）已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為和，且，則該棱臺的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）表面積為的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·江西九江·二模）已知一個圓臺內(nèi)接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南常德·三模）如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點(diǎn)，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（

）

A． B．C． D．6．（2024·福建莆田·二模）柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴(yán)格對稱，結(jié)構(gòu)等價的特點(diǎn)．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北武漢·二模）燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球缺）.如圖2，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（?。?/p>

）

A．cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm38．（2024·北京豐臺·一模）正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習(xí)俗．在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個“半正多面體”形狀的花燈（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為2．關(guān)于該半正多面體的四個結(jié)論：①棱長為；②兩條棱所在直線異面時，這兩條異面直線所成角的大小是60°；③表面積為；④外接球的體積為．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④9．（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱的6個頂點(diǎn)都在球的表面上，若，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．11．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題13．（2022·山東·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過四點(diǎn)的球的表面積為14．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱BC的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說法中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若是棱的中點(diǎn)，則過A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形的周長為C．若是棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為D．若CN與平面所成的角為，則15．（2022·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．底面橢圓的離心率為