人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：2 1 1 傾斜角與斜率

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1§2.1直線的傾斜角與斜率2．1.1傾斜角與斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).思考任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？〖答案〗由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．1．任一直線都有傾斜角，都存在斜率．(×)2．任何一條直線有且只有一個(gè)斜率和它對(duì)應(yīng)．(×)3．若直線的傾斜角為α，則0°≤α≤180°.(×)4．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式適用于任何直線．(×)一、直線的傾斜角例1(1)已知直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°〖答案〗C〖解析〗直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°，又直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，所以直線l的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.(2)(多選)設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α－45°〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：通過(guò)圖象可知：當(dāng)0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論．(2)注意傾斜角的范圍．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為_(kāi)_______．〖答案〗60°或120°〖解析〗有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點(diǎn)為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為_(kāi)_______．〖答案〗135°〖解析〗設(shè)直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.二、直線的斜率例2經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)的直線的斜率，并確定直線的傾斜角α；(2)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(a，2)，B(3,6)的直線的斜率．解(1)存在．直線AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.(2)當(dāng)a＝3時(shí)，斜率不存在；當(dāng)a≠3時(shí)，直線的斜率k＝eq\f(4,3－a).反思感悟求直線的斜率(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的．(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無(wú)關(guān)．跟蹤訓(xùn)練2(1)若直線的傾斜角為135°，則直線的斜率為_(kāi)_______．〖答案〗－1(2)過(guò)點(diǎn)P(－2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，則m的值為_(kāi)_______．〖答案〗1〖解析〗由斜率公式k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.三、傾斜角和斜率的應(yīng)用例3已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．解如圖，由題意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1〗∪〖1，＋∞)．(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，∴α的取值范圍是45°≤α≤135°.反思感悟傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解．跟蹤訓(xùn)練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍．解(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直線AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直線AB的斜率為eq\f(1,7)，直線AC的斜率為eq\f(5,3).(2)如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).1．(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B．若k是直線的斜率，則k∈RC．任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角〖答案〗ABC2．下面選項(xiàng)中，兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是()A．(4,2)與(－4,1) B．(0,3)與(3,0)C．(3，－1)與(2，－1) D．(－2,2)與(－2,5)〖答案〗D〖解析〗D項(xiàng)，因?yàn)閤1＝x2＝－2，所以直線垂直于x軸，傾斜角為90°，斜率不存在．3．若經(jīng)過(guò)A(m，3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于()A．2B．1C．－1D．－2〖答案〗A〖解析〗由題意知，tan45°＝eq\f(2－3,1－m)，得m＝2.4.若A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．〖答案〗eq\f(9,2)〖解析〗設(shè)直線AB，BC的斜率分別為kAB，kBC，則由斜率公式，得kAB＝eq\f(3－2,2－3)＝－1，kBC＝eq\f(m－2,\f(1,2)－3)＝－eq\f(2,5)(m－2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kBC，即－1＝－eq\f(2,5)(m－2)，解得m＝eq\f(9,2).5．經(jīng)過(guò)A(m，3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是________