北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)數(shù)學(xué)試卷班級(jí)姓名成績(jī)學(xué)號(hào)考生須知1.本試卷共8頁，共28道小題，滿分100分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級(jí)、姓名和學(xué)號(hào)。3.答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。一、選擇題(共16分，每題2分)第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1.下面四個(gè)標(biāo)志中是中心對(duì)稱圖形的是().2.方程x2A.x=0B.x=2C.x=0或x=2D.x=0或x=-23.若A(-3,y?),B(-2,y?),C(3,y?)為二次函數(shù).y=xA.y?<y?<y?4.二次函數(shù)y=(x-5)(x+7)的圖象的對(duì)稱軸是().A.直線x=-1B.直線x=1C.直線x=2D.直線x=65.如圖,AB為⊙O直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,如果∠ABC=70°,那么∠D的度數(shù)為().A.20°B.30°C.35°D.70°6.2024年北京第一季度GDP約為1.058萬億元,第三季度GDP約為1.167萬億元，設(shè)2024年北京平均每季度GDP增長(zhǎng)率為x，則可列關(guān)于x的方程為().A.1C.1.05817.如圖是一個(gè)鐘表表盤，連接整點(diǎn)2時(shí)與整點(diǎn)10時(shí)的B、D兩點(diǎn)并延長(zhǎng)，交過整點(diǎn)8時(shí)的切線于點(diǎn)P，若切線長(zhǎng)PC=2，則表盤的半徑長(zhǎng)為().A.3B.3C.23第1頁(共8頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)8.某農(nóng)場(chǎng)用籬笆圍成飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長(zhǎng))，已知計(jì)劃中的籬笆(不包括門)總長(zhǎng)為12m，現(xiàn)有四種方案(如圖)中面積最大的方案為().A方案為一個(gè)封閉的矩形B方案為一個(gè)等邊三角形，并留一處1m寬的門C方案為一個(gè)矩形，中間用一道垂直于墻的籬笆隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門D方案為一個(gè)矩形，中間用一道平行于墻的籬笆隔開，并在如圖所示的四處各留1m寬的門二、填空題(共16分，每題2分)9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y=3x210.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠A=50°,則∠DCE的度數(shù)為.11.拋物線y=x212.如圖,PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C為AB上一點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙O的切線分別交PA、PB于M、N兩點(diǎn)，若△PMN的周長(zhǎng)為10，則切線長(zhǎng)PA等于.13.已知2a2-3a+第2頁(共8頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)14.“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個(gè)竹筒水容器，圖2為該竹筒水容器的截面.已知截面的半徑為10cm，開口AB寬為12cm，這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是cm.15.二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠016.如圖,在直角三角形ABC中,∠A=90°,D是AC上一點(diǎn),BD=10,AB=CD,則BC的最大值為.三、解答題(共68分,第17題8分,第18、21、25題每題4分,第19、23、24題每題5分,第20、26題6分,第22、27、28題每題7分)17.解下列方程：1318.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,1),B(-3,1),C(-1,4).將△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A?BC?;(2)線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積是(結(jié)果保留π).第3頁(共8頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)19.如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE,連接CD,BE.(1)求證:△AEB≌△ADC;(2)連接DE,若∠ADC=96°,求∠BED的度數(shù).20.已知關(guān)于x的一元二次方程2(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程有一個(gè)根小于3，求k的取值范圍.21.已知:如圖⊙O及⊙O外一點(diǎn)P.求作:直線PB,使PB與⊙O相切于點(diǎn)B.·P李華同學(xué)經(jīng)過探索，想出了兩種作法.具體如下(已知點(diǎn)B是直線OP上方一點(diǎn))：作法一(如圖1)作法二(如圖2)①連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)A；②以點(diǎn)A為圓心，以AO的長(zhǎng)為半徑作⊙A,⊙A交⊙O于點(diǎn)B;③作直線PB，則直線PB是⊙O的切線.①連接OP,交⊙O于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作OP的垂線MN;②以點(diǎn)O為圓心,以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑作弧，交直線MN于點(diǎn)Q;③連接OQ,交⊙O于點(diǎn)B;④作直線PB,則直線PB是⊙O的切線.證明:如圖1,連接OB,∵PO為⊙A直徑,∴∠PBO=90°.(___________)∴PB⊥OB.∵OB是⊙O的半徑,∴直線PB是⊙O的切線.證明:……請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).(1)“作法一”中的“依據(jù)”是指；(2)請(qǐng)寫出“作法二”的證明過程.第4頁(共8頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)填寫表格并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；x-101一212y-20(3)若一次函數(shù)y=mx+n的圖象也經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫出不等式x2+23.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AB上,DE⊥EB.(1)求證:AC是△BDE的外接圓的切線;(2)若AD=2,AE=23求EC的長(zhǎng).24.如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器.將發(fā)石車置于山坡底部O處，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)看，其飛行路線可以近似看作拋物線y=ax(1)求拋物線的解析式；(2)試通過計(jì)算說明石塊能否飛越防御墻.第5頁(共8頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)25.如圖1,線段AB及一定點(diǎn)C,P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),作直線CP,過點(diǎn)A作AQ⊥CP于點(diǎn)Q,已知AB=7c小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)函數(shù).y?、下面是小明的探究過程：第一步：按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了y?x/cm00.30.50.811.5234567y?/cm00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.78y?/cm00.080.090.0600.290.731.823.034.205.336.41第二步：在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y?),(x,y?),并畫出函數(shù)y?、y?的圖象.解決問題：(1)在給出的平面直角坐標(biāo)系中(圖2)補(bǔ)全函數(shù)y?的圖象；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△APQ中有一個(gè)角為30°時(shí)，AP的長(zhǎng)度約為cm.第6頁(共8頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y(1)當(dāng)a=1時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知Mx?y?和Nx?y27.已知,如圖,在△ABC中，∠ACB=90°(1)求證:∠(2)用等式表示CG,DG和AE的數(shù)量關(guān)系,并證明.第7頁(共8頁)

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)(數(shù)學(xué)學(xué)科)28.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的直線l和點(diǎn)P，若點(diǎn)A關(guān)于l作軸對(duì)稱變換得到點(diǎn)A?,點(diǎn)A?關(guān)于點(diǎn)P作中心對(duì)稱變換得到點(diǎn).A?,，我們則稱點(diǎn)已知B(-1,0),C(2,0),(1)寫出B關(guān)于y軸和點(diǎn)C的“正對(duì)稱點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)C12m0≤m≤12,存在過原點(diǎn)O的直線(3)已知點(diǎn)H是直線.x=1上的一點(diǎn),且點(diǎn)H的縱坐標(biāo)小于0,C(3,0),E點(diǎn)在以C為圓心1為半徑的圓上，對(duì)于直線.x=第8頁(共8頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1.D2.C3.B4.A5.A6.C7.B8.C二、填空題9.y=313.814.1815.③④⑤16.5補(bǔ)充說明：T15只有一個(gè)正確答案得1分，有錯(cuò)誤答案不得分。三、解答題17.解下列方程：解：1x2x-x-xx1補(bǔ)充說明：使用公式法判別式正確得1分，代入公式正確得2分，解正確得4分。(2)2x(x-3)=(x-3),---2分(x-3)(2x-1)=0,∴x118.(1)如圖-2分213第1頁(共6頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案19.(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,---1分由旋轉(zhuǎn)得AE=AD,∠EAD=60°,∴∠BAE=∠CAD=60°-∠BAD,------2分在△AEB和△ADC中,A∴△AEB≌△ADC(SAS).-3分(2)解:∵AE=AD,∠EAD=60°,∴△AED是等邊三角形，∴∠AED=60°,∵△AEB≌△ADC,∴∠AEB=∠ADC=96°,4分∴∠BED=∠AEB--∠AED=96°-60°=36°,----5分∴∠BED的度數(shù)是36°.20.解:(1△因?yàn)?k+所以，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.-3分(2)解方程得:x1∵4>3,∴-k?<3,∴k>-6.-6分21.(1)直徑所對(duì)的圓周角是直角.-----1分(2)證明：由作法可得，MN⊥OP,OP=OQ,∴∠OMQ=90°.∵OB=OM,∠BOP=∠MOQ,∴△OBP≌△OMQ(SAS).---2分∴∠OBP=∠OMQ=90°.∴OB⊥PB.3分∵OB是⊙O的半徑,∴直線PB是⊙O的切線.4分22.解:(1)∵二次函數(shù).y=∴c第2頁(共6頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案解得b∴二次函數(shù)的解析式為y=(2)x***-101-212y0-2—9-204分(沒有0.5分)---5分(3)由圖象可知，不等式.x2+23.(1)證明:取BD中點(diǎn)O,連接OE,∵∠DEB=90°,∴BD為直徑,∴BD的中點(diǎn)O為外接圓的圓心.-----1分∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBO,∵OE=OB,∴∠OEB=∠EBO,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∵BC⊥AC,∴OE⊥AC,------2分∵OE為半徑,∴AC是△BDE的外接圓的切線；-----3分(2)解:設(shè)⊙O半徑為r,則在Rt△AOE中，由勾股定理得：O即r解得:r=2,-----4分∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°,第3頁(共6頁)

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案∴∠CBE=∠OBE=30°∴E24.解：(1)設(shè)石塊運(yùn)行的函數(shù)關(guān)系式為y=把(0,0)代入解析式得:400a+10=0,-----2分解得：a∴解析式為：y=-140(2)石塊能飛越防御墻AB，理由如下：把x=30代入y=-140x2+∵7.5>6,∴石塊能飛越防御墻.-----5分25.解：(1)利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象如圖所示：-----2分(出頭扣一分)(2)5.5或2.5.-----4分26.(1)當(dāng)a=1時(shí),y∴∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2，-4)；-----2分(2)①當(dāng)a>0時(shí),如圖,此時(shí)5a>2a，∴點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，∵當(dāng)x>2a時(shí),y隨x的增大而增大,且y?<y?,0<5≤x?≤6,∴x?<x?,即5a<5,∴a<1,----4分又∵a>0,∴0<a<1;第4頁(共6頁)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期初三年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案②當(dāng)a<0時(shí),如圖,此時(shí)5a<2a，∴點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為M’,所以M’(-a,y?),∵0∵當(dāng)x>2a時(shí),y隨x的增大而減小,且y?<y?,∴x?>x?,即-a>6,解得a<-6,又∵a<0,∴a<-6;