2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第2課時(shí)函數(shù)的平均變化率學(xué)案新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第2課時(shí)函數(shù)的平均改變率課程標(biāo)準(zhǔn)理解函數(shù)的平均改變率與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；了解直線斜率的概念；會(huì)用函數(shù)的平均改變率證明函數(shù)的增減性．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一直線的斜率一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的隨意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱________為直線AB的斜率；當(dāng)________時(shí)，稱直線AB的斜率不存在．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二函數(shù)的平均改變率1．一般地，若I是函數(shù)y＝f(x)的定義域的子集，對(duì)隨意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y(tǒng)(1)y＝f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是ΔyΔx______0在I(2)y＝f(x)在I上是減函數(shù)的充要條件是ΔyΔx______0在I一般地，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱ΔfΔx＝fx2?fx1x2?x1為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1＜x2時(shí))或[x2．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的單調(diào)性為：(1)當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在____________上單調(diào)遞減，在______________上單調(diào)遞增，函數(shù)沒(méi)有最大值，但有最小值________________；(2)當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在____________________上單調(diào)遞增，在____________________上單調(diào)遞減，函數(shù)沒(méi)有最小值，但有最大值____________________.基礎(chǔ)自測(cè)1．直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(－1，3)，B(－1，6)，則直線l的斜率是()A．1B．－1C．122．斜率為2的直線過(guò)(3，5)，(a，7)，(－1，b)三點(diǎn)，則a＋b等于()A．4B．－7C．1D．－13．函數(shù)f(x)＝x2－3x－4在區(qū)間[0，2]上的最小值點(diǎn)為________，最大值為________.4．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象．(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]上的平均改變率為________；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的平均改變率為________．課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1三點(diǎn)共線問(wèn)題例1已知平面上三點(diǎn)A、B、C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，則直線AB的斜率為________，若A、B、C三點(diǎn)共線，則x＝________．教材反思直線斜率的計(jì)算方法(1)推斷兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；(2)若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等，則可以用斜率公式k＝y(tǒng)2?y1x2?(3)推斷三點(diǎn)共線的問(wèn)題，就是由這三點(diǎn)隨意構(gòu)造兩條直線，若構(gòu)造的兩條直線的斜率相等，則三點(diǎn)共線，否則此三點(diǎn)不共線．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，4)和點(diǎn)B(1，2)，則直線AB的斜率為()A．3B．－2C．2D．不存在(2)求證：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三點(diǎn)共線．題型2求函數(shù)的平均改變率例2已知函數(shù)f(x)＝2x2＋1.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，2.01]上的平均改變率；(3)求當(dāng)x0＝1，Δx＝12時(shí)平均改變方法歸納求函數(shù)f(x)在[x1，x2]上的平均改變率的方法步驟是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定義求出ΔyΔx＝f跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f(x)＝－2x2＋5在區(qū)間[2，2＋Δx]上的平均改變率為________．題型3用函數(shù)的平均改變率推斷單調(diào)性例3證明函數(shù)f(x)＝1x2在(0，＋狀元隨筆用函數(shù)遞增遞減的充要條件不必關(guān)注x1，x2間的大小，只需x1≠x2即可． 方法歸納利用函數(shù)遞增遞減的充要條件證明單調(diào)性的步驟：(1)設(shè)?x1，x2∈I?定義域，且x1≠x2；(2)計(jì)算ΔfΔx(3)推斷ΔfΔx(4)依據(jù)充要條件得結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3證明f(x)＝x是定義域上的增函數(shù)．題型4一元二次函數(shù)的最值例4(1)函數(shù)f(x)＝－2x2＋x＋1在區(qū)間[－1，1]上最小值點(diǎn)為________，最大值為________；(2)f(x)＝x2－2ax＋1，試求函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最值．方法歸納一元二次函數(shù)的最值(1)不含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值配方或利用公式求出對(duì)稱軸，依據(jù)對(duì)稱軸和定義域的關(guān)系確定最值點(diǎn)，代入函數(shù)解析式求最值．(2)含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值以一元二次函數(shù)圖象開口向上、對(duì)稱軸為x＝m，區(qū)間[a，b]為例，當(dāng)開口向下、區(qū)間不是閉區(qū)間等時(shí)，類似方法進(jìn)行探討，其實(shí)質(zhì)是探討對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a，(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)在[0，3]上的最大值與最小值；(2)若a<0，求使函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a的定義域?yàn)閇－1，1]，值域?yàn)閇－2，2]的a的值．第2課時(shí)函數(shù)的平均改變率新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一y2?y1x2學(xué)問(wèn)點(diǎn)二1．(1)＞(2)＜平均改變率2．(1)?∞，?b2a?b(2)?∞，?b2a?b[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：D2．解析：由題意得2＝7?5a?3＝b?5?1?3，∴a＝4，b＝－3，∴a＋答案：C3．解析：函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝32，開口向上，所以最小值點(diǎn)為32，最大值為答案：324．解析：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]上的平均改變率為f1?f?11??1(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)＝x+32，?1≤x≤1，x+1，1＜x≤3，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的平均改變率為f2?f答案：(1)12(2)課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】直線AB的斜率為2?13?2＝1，因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以AB與BC斜率相等，即4?2x?3＝1，解得【答案】15跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)直線AB的斜率為4?20?1(2)證明：直線AB的斜率為3??51??3＝2，直線BC的斜率為11?35?1＝2，因此A，答案：(1)B(2)見解析例2【解析】(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2x0+Δx2+1?2x02∴ΔyΔx＝2Δx2x0+ΔxΔx(2)由(1)可知ΔyΔx＝4x0＋2Δx，當(dāng)x0＝2，Δx＝0.01時(shí)，ΔyΔx＝4×2＋2(3)由(1)可知ΔyΔx＝4x0＋2Δx，當(dāng)x0＝1，Δx＝12時(shí)，ΔyΔx＝4×1＋2跟蹤訓(xùn)練2解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴ΔyΔx＝－8－2Δx，即平均改變率為－8－2Δx答案：－8－2Δx例3【證明】設(shè)?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，則ΔfΔx＝fx2?fx1x∵x∴ΔfΔx＜0，∴f(x)＝1x2跟蹤訓(xùn)練3證明：函數(shù)f(x)＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，設(shè)?x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，則ΔfΔx＝fx2＝x2?x∴函數(shù)f(x)＝x在定義域[0，＋∞)上是增函數(shù)．例4【解析】(1)函數(shù)f(x)＝－2x2＋x＋1的對(duì)稱軸為x＝－12×?2＝14，函數(shù)的圖象開口向下，所以函數(shù)的最小值點(diǎn)為－1，最大值為f14＝－2×(2)函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝a，①當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以f(x)min＝f(0)＝1；當(dāng)0≤a≤2時(shí)，f(x)min＝f(a)＝－a2＋1；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，所以f(x)min＝f(2)＝5－4a，所以f(x)min＝1，a＜0，②當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)max＝f(2)＝5－4a；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1，所以f(x)max＝5?4a，a≤1，答案：(1)－198跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2－4x＋2