2024-2025學年新教材高中數學第三章函數3.1函數的概念與性質3.1.2函數的單調性第2課時函數的平均變化率學案新人教B版必修第一冊

PAGEPAGE1第2課時函數的平均改變率課程標準理解函數的平均改變率與函數單調性的關系；了解直線斜率的概念；會用函數的平均改變率證明函數的增減性．新知初探·自主學習——突出基礎性教材要點學問點一直線的斜率一般地，給定平面直角坐標系中的隨意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當x1≠x2時，稱________為直線AB的斜率；當________時，稱直線AB的斜率不存在．學問點二函數的平均改變率1．一般地，若I是函數y＝f(x)的定義域的子集，對隨意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y(1)y＝f(x)在I上是增函數的充要條件是ΔyΔx______0在I(2)y＝f(x)在I上是減函數的充要條件是ΔyΔx______0在I一般地，當x1≠x2時，稱ΔfΔx＝fx2?fx1x2?x1為函數y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1＜x2時)或[x2．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的單調性為：(1)當a＞0時，f(x)在____________上單調遞減，在______________上單調遞增，函數沒有最大值，但有最小值________________；(2)當a＜0時，f(x)在____________________上單調遞增，在____________________上單調遞減，函數沒有最小值，但有最大值____________________.基礎自測1．直線l經過兩點A(－1，3)，B(－1，6)，則直線l的斜率是()A．1B．－1C．122．斜率為2的直線過(3，5)，(a，7)，(－1，b)三點，則a＋b等于()A．4B．－7C．1D．－13．函數f(x)＝x2－3x－4在區(qū)間[0，2]上的最小值點為________，最大值為________.4．如圖是函數y＝f(x)的圖象．(1)函數f(x)在區(qū)間[－1，1]上的平均改變率為________；(2)函數f(x)在區(qū)間[0，2]上的平均改變率為________．課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1三點共線問題例1已知平面上三點A、B、C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，則直線AB的斜率為________，若A、B、C三點共線，則x＝________．教材反思直線斜率的計算方法(1)推斷兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；(2)若兩點的橫坐標不相等，則可以用斜率公式k＝y2?y1x2?(3)推斷三點共線的問題，就是由這三點隨意構造兩條直線，若構造的兩條直線的斜率相等，則三點共線，否則此三點不共線．跟蹤訓練1(1)已知直線經過點A(0，4)和點B(1，2)，則直線AB的斜率為()A．3B．－2C．2D．不存在(2)求證：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三點共線．題型2求函數的平均改變率例2已知函數f(x)＝2x2＋1.(1)求函數f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率；(2)求函數f(x)在區(qū)間[2，2.01]上的平均改變率；(3)求當x0＝1，Δx＝12時平均改變方法歸納求函數f(x)在[x1，x2]上的平均改變率的方法步驟是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定義求出ΔyΔx＝f跟蹤訓練2函數f(x)＝－2x2＋5在區(qū)間[2，2＋Δx]上的平均改變率為________．題型3用函數的平均改變率推斷單調性例3證明函數f(x)＝1x2在(0，＋狀元隨筆用函數遞增遞減的充要條件不必關注x1，x2間的大小，只需x1≠x2即可． 方法歸納利用函數遞增遞減的充要條件證明單調性的步驟：(1)設?x1，x2∈I?定義域，且x1≠x2；(2)計算ΔfΔx(3)推斷ΔfΔx(4)依據充要條件得結論．跟蹤訓練3證明f(x)＝x是定義域上的增函數．題型4一元二次函數的最值例4(1)函數f(x)＝－2x2＋x＋1在區(qū)間[－1，1]上最小值點為________，最大值為________；(2)f(x)＝x2－2ax＋1，試求函數在區(qū)間[0，2]上的最值．方法歸納一元二次函數的最值(1)不含參數的一元二次函數的最值配方或利用公式求出對稱軸，依據對稱軸和定義域的關系確定最值點，代入函數解析式求最值．(2)含參數的一元二次函數的最值以一元二次函數圖象開口向上、對稱軸為x＝m，區(qū)間[a，b]為例，當開口向下、區(qū)間不是閉區(qū)間等時，類似方法進行探討，其實質是探討對稱軸與區(qū)間的位置關系．跟蹤訓練4已知函數f(x)＝x2－2ax＋a，(1)當a＝2時，求函數f(x)在[0，3]上的最大值與最小值；(2)若a<0，求使函數f(x)＝x2－2ax＋a的定義域為[－1，1]，值域為[－2，2]的a的值．第2課時函數的平均改變率新知初探·自主學習[教材要點]學問點一y2?y1x2學問點二1．(1)＞(2)＜平均改變率2．(1)?∞，?b2a?b(2)?∞，?b2a?b[基礎自測]1．答案：D2．解析：由題意得2＝7?5a?3＝b?5?1?3，∴a＝4，b＝－3，∴a＋答案：C3．解析：函數的對稱軸為x＝32，開口向上，所以最小值點為32，最大值為答案：324．解析：(1)函數f(x)在區(qū)間[－1，1]上的平均改變率為f1?f?11??1(2)由函數f(x)的圖象知，f(x)＝x+32，?1≤x≤1，x+1，1＜x≤3，所以函數f(x)在區(qū)間[0，2]上的平均改變率為f2?f答案：(1)12(2)課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】直線AB的斜率為2?13?2＝1，因為A、B、C三點共線，所以AB與BC斜率相等，即4?2x?3＝1，解得【答案】15跟蹤訓練1解析：(1)直線AB的斜率為4?20?1(2)證明：直線AB的斜率為3??51??3＝2，直線BC的斜率為11?35?1＝2，因此A，答案：(1)B(2)見解析例2【解析】(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2x0+Δx2+1?2x02∴ΔyΔx＝2Δx2x0+ΔxΔx(2)由(1)可知ΔyΔx＝4x0＋2Δx，當x0＝2，Δx＝0.01時，ΔyΔx＝4×2＋2(3)由(1)可知ΔyΔx＝4x0＋2Δx，當x0＝1，Δx＝12時，ΔyΔx＝4×1＋2跟蹤訓練2解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴ΔyΔx＝－8－2Δx，即平均改變率為－8－2Δx答案：－8－2Δx例3【證明】設?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，則ΔfΔx＝fx2?fx1x∵x∴ΔfΔx＜0，∴f(x)＝1x2跟蹤訓練3證明：函數f(x)＝x的定義域為[0，＋∞)，設?x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，則ΔfΔx＝fx2＝x2?x∴函數f(x)＝x在定義域[0，＋∞)上是增函數．例4【解析】(1)函數f(x)＝－2x2＋x＋1的對稱軸為x＝－12×?2＝14，函數的圖象開口向下，所以函數的最小值點為－1，最大值為f14＝－2×(2)函數的對稱軸為x＝a，①當a<0時，f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數，所以f(x)min＝f(0)＝1；當0≤a≤2時，f(x)min＝f(a)＝－a2＋1；當a>2時，f(x)在區(qū)間[0，2]上是減函數，所以f(x)min＝f(2)＝5－4a，所以f(x)min＝1，a＜0，②當a≤1時，f(x)max＝f(2)＝5－4a；當a>1時，f(x)max＝f(0)＝1，所以f(x)max＝5?4a，a≤1，答案：(1)－198跟蹤訓練4解析：(1)當a＝2時，f(x)＝x2－4x＋2