2024學(xué)年雙鴨山某中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷及答案解析

（數(shù)學(xué)）科試卷

科試卷滿分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前考生需將姓名、班級(jí)填寫在答題卡指定位置上，并粘貼好條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).

3.回答非選擇題時(shí)，請(qǐng)使用0.5毫米黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡各題目的答題區(qū)域

內(nèi)，超出答題區(qū)域或在草稿紙、本試卷上書寫的答案無(wú)效.

4.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄皺、弄破，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

］若集合A—{x|—={x|l<x<4},則/n=（）

A.{x|-1<x<4}B.{x|l<x<4}

C.{x|3<x<4}D,{x|l<x<3}

【答案】D

【解析】

【分析】按交集定義求解即可.

【詳解】解：^4n5={x|-l<x<3}n{x|l<x<4}={x|l<x<3},

故選：D.

兀1

2.“。=一”是“sin9=一”的（）

62

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

兀1

【詳解】由，=—,可得sin￡=—成立，即充分性成立；

62

17T571

反正：若sin8=—,可得e=—+2而或e=—+2E#eZ,即必要性不成立，

266

兀1

所以。=一是sine=一的充分不必要條件.

62

故選：A.

lnx+2,x>0

3.已知函數(shù)/(x)=(，則/⑴+/(0)=()

2-5,x<0

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出/(I)=2,/(0)=20-5=-4從而可求解

【詳解】由題意可得/(l)+/(0)=(lnl+2)+(2°—5)=—2,故B正確.

故選:B.

4.如圖，圓柱的軸截面N8CD是正方形，點(diǎn)E是底面圓周上異于43的一點(diǎn)，若46=4,當(dāng)三棱錐

。―45E體積最大時(shí)，則點(diǎn)C到平面RDE的距離()

A.2B.2A/2C,-V2D.-V3

33

【答案】D

【解析】

【分析】法一：當(dāng)三棱錐￡>-48E體積最大時(shí)，即直接A48E的面積最大，可得點(diǎn)E是弧A8的中點(diǎn)，

連接NC交AD于點(diǎn)。，點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)A到平面的距離，利用體積相等可得答

案；

法二：當(dāng)三棱錐￡)-4BE體積最大時(shí)，即直接的面積最大，可得點(diǎn)￡是弧的中點(diǎn)，易證

8EJ_平面40瓦...平面8Z)E_L平面4DK,因此點(diǎn)A到平面ADE的距離為點(diǎn)A到直線DE的距離，可得

答案；

法三：當(dāng)三棱錐。-48E體積最大時(shí)，即直接的面積最大，可得點(diǎn)￡是弧的中點(diǎn)，建立空間

直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的空間距離公式計(jì)算可得答案.

【詳解】法一：因?yàn)槿忮FZ>—48E的高即為圓柱的高，即40=4,

當(dāng)三棱錐￡>-48E體積最大時(shí)，即直角A48￡的面積最大，

由于25=4,所以點(diǎn)E是弧N8的中點(diǎn)時(shí)，即A/BE是等腰直角三角形，

此時(shí)S“BE=-x4x2=4,V=-5^Z)=-x4x4=—,

△ylDzlUD_/IDAtBhE3AAHHJ33

連接ZC交8。于點(diǎn)。，所以點(diǎn)。為NC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)C到平面BDE的距離等于點(diǎn)A到平面BDE的距離，

設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為h,

因?yàn)?D_L平面49￡,BEu平面ABE,所以

又4ELBE,ADcAE=A,AD.Z￡u平面ZOE,

所以平面ADE,

由于。Eu平面4DE,所以BE上DE,

DE7AD?+AE?=J16+8=2a,所以邑8m=1x272x276=473,

所以%-/BE=JS-BDE/Z=2，解得人二野1-

333

法二：因?yàn)槿忮FZ>—48E的高即為圓柱的高，即/。=4,

當(dāng)三棱錐。-48E體積最大時(shí)，即直角△48E的面積最大，

由于48=4,所以點(diǎn)E是弧N8的中點(diǎn)時(shí)，即△48E是等腰直角三角形,

所以2￡=2行，DE=NAD?+AE2=J16+8=2后

連接ZC交8。于點(diǎn)。，所以點(diǎn)。為NC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)C到平面BDE的距離等于點(diǎn)A到平面BDE的距離，

做加，￡石，且交。E于點(diǎn)尸，

因?yàn)?D_L平面/BE,8Eu平面/8E,所以

又AELBE,ADcAE=A,AD.ZEu平面ZOE,

所以平面4DE,4Fu平面4DE,

所以又DEcBE=E,DE、BEu平面BDE,

所以平面ADE,

因此點(diǎn)A到平面8DE的距離為點(diǎn)A到直線DE的距離,

法三：因?yàn)槿忮F。-48E的高即為圓柱的高，即40=4,

當(dāng)三棱錐。-48E體積最大時(shí)，即直角△48E的面積最大，

由于48=4,所以點(diǎn)E是弧N2的中點(diǎn)時(shí)，即是等腰直角三角形,

可得￡（2,2,0）,8（0,4,0）,。（0,0,4）,C（0,4,4）,

麗=（0,4,—4）,反=（2,2,—4）,前=（0,0,4）,

設(shè)方=卜//）為平面60￡的一個(gè)法向量,

DB-n=04y-4z=0

貝I一即《，令y=1,則z=l,x=l,

DE-n=02x+2y-4z=0

所以為=(1,1,1),

4473

所以點(diǎn)C到平面BDE的距離為h=甲飛一亍

5.已知平面向量1和B滿足舊|=2|初，B在）上的投影向量為則1在B上的投影向量為（）

1_1_1_1_

A.——bB.——bC.-bD.-b

4242

【答案】A

【解析】

【分析】運(yùn)用投影向量的概念計(jì)算即可.

—*1—*

【詳解】?.?3在萬(wàn)上的投影向量為詈=—落，小3=—團(tuán)匕

，5在B上的投影向量為&j==,

口田⑸24

故選:A.

6.已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且6%,%,4a2成等差數(shù)列，若兄〉^—，恒成立，則幾

3ali

的取值范圍是()

I2,2I8

A.X〉一B.A>—C.A>1D.4>一

339

【答案】C

【解析】

f〃3'

【分析】先求基本量公比4,求出｛4｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列｛下卜構(gòu)造函數(shù)/(x)=xln3-31nx,

x>4,研究函數(shù)的單調(diào)性證明/(x)〉0,從而證明當(dāng)“24時(shí)，3"〉"成立，進(jìn)而得到數(shù)列誕)的最大

項(xiàng)，由此可得X的范圍.

【詳解】由等比數(shù)列｛□“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，可知公比q>0.

???6alM3,4a2成等差數(shù)列，，2%=6%+4a2.

—1,/.2q?-6+4q,即q?—2q—3=0,

解得4=一1（舍），或夕=3,貝U{a,,}的通項(xiàng)公式%=3"T,

3

/n3

.?.彳=”構(gòu)造數(shù)列{g},設(shè)

當(dāng)〃=1時(shí)，h=△—=—；當(dāng)〃=2時(shí)，a=——=—；

13"33〃9

當(dāng)〃=3時(shí)，b3=—=l,故4

下面證明當(dāng)〃24時(shí)，bn<1.

構(gòu)造函數(shù)/(%)=xln3-31nx,x>4,

則r(x)=ln3--,且/'(X)在［4,+8)單調(diào)遞增；

X

33

則/'(x)>/'(4)=ln3-->l-->0,

故/⑴在［4,+8)上單調(diào)遞增，

Q1

則/(x)2/(4)=41n3—31n4=lnJ〉lnl=O,

64

所以當(dāng)轉(zhuǎn)4,xln3〉31nx成立，即3”>無(wú)3,

力3

故當(dāng)“24時(shí)，3"〉/,則”=上<1,伍=1,

"3"

則當(dāng)"24時(shí)，4<&.

綜上可知，數(shù)列｛與｝的最大項(xiàng)為A，即(")max=L

“3

要使幾〉丁恒成立，即％>“恒成立，則4〉1.

3a,

故選：C.

7.當(dāng)xe［0,2?t］時(shí)，曲線歹=sinx與y=2sin12x+Ej的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】在同一坐標(biāo)系下，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，即可得到答案.

【詳解】在同一個(gè)坐標(biāo)系下，作出曲線^=$由》與y=2sin(2x++］在xe［0,2兀］內(nèi)的圖像,

由圖像可知，共有4個(gè)交點(diǎn).

故選：B.

8.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的.它由八個(gè)正三角形和六

個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），點(diǎn)K滿足麗=麗+〃麗,則直線8K與平面/5E所成角的正

弦值（）

B.存在最大值，且最大值為1

D,存在最小值，且最小值為業(yè)

C.為定值1

6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件可得K在線段3p（不包括點(diǎn)8）,將該半正多面體補(bǔ)成正方體，可得直線8K與平面

N5E所成角等于直線4與平面LZ所成角，得解.

【詳解】-：EK=EB+/uEN,BK=piEN,//e（0,1］，即K在線段2尸（不包括點(diǎn)8）.

如圖，將該半正多面體補(bǔ)成正方體，則平面A8E//平面4？，

因此直線BK與平面ABE所成角等于直線JR與平面IJL所成角.

在正四面體R7L中，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,作平面〃垂足為O,

連接Q7,則NR7O即為直線力?與平面S所成角.

易求0/=氈，所以O(shè)R7RJ2—OJ2=口^

33

276_

所以sin/R/O=也工=由

RJ23

所以直線BK與平面ABE所成角的正弦值為國(guó)

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是將向量條件轉(zhuǎn)化為尿=〃麗,〃e(0,1],即K在線段8廠(不

包括點(diǎn)3),將該半正多面體補(bǔ)成正方體求解.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)復(fù)數(shù)Z]=。+歷/2=c+di,a,b,c,deR,則下列結(jié)論正確的是()

A.卜烏卜匕小內(nèi)B.Z]+Z2=Z]+Z2

C.若2必2=0,則Z]=0或Z2=0D.若Z]-Z?>0,貝|JZ]>Z?

【答案】ABC

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，方法一：計(jì)算出Z1-Z2=(ac-Ad)+(ad+bc)i,進(jìn)而得到忖-Zzl，再計(jì)算出匕?、椋?/p>

得到歸1烏|=㈤七2|；方法二：設(shè)馬=q(cosa+isina),Z2=%(cos尸+isin〃)，計(jì)算出

B選項(xiàng),分別計(jì)算出Z]+z2=%+z2=a+c-(A+d)i；

C選項(xiàng)，方法一：計(jì)算出4/2=(ac-bd)+(ad+6c)i,從而得到ac=6"①，ad=-be②,所以

a=6=0或c=d=O,/.Zi=0或Z2=0；方法二：設(shè)為={(cosa+isina)/2=q(cos/+isin/),由

2]22=0得到外=?；颉?0,故C正確；D選項(xiàng)，舉出反例即可.

2

【詳解】A選項(xiàng),方法一：?/zi-z2=(a-^bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi

=(ac-bd)+(ad+bc)i,

22

?.|zt-z2\-J(ac-bd￥+(ad+be?=Jde+b2d?+a,+7*,

2222222222

又匕卜匕21-J/+〃?yjc+d=y/ac+bc+ad+bd5

zzzz

■■■Ir2|=|i|,|2|-

方法二：設(shè)Z[=i(cosa+isina),Z2=^(cos/?+isin/?),

則Z[，z]=r\r2cos(6Z+/?)+外為isin(a+/?),

故,?Z21=cos(6Z+/)+sin(a+/)|=|，

又|訃匕2|=庵|,故上4|=匕1卜匕2|，故A正確；

B選項(xiàng)，＜4+z2=(a+bi)+(c+di)=Q+c+(b+d)i,

Zj+z2=Q+c-(Z?+d)i,

,?+22=(Q-bi)+(0-di)=Q+c-3+d)i，

:.zx+z2=zx+z2,故B正確；

C選項(xiàng)，方法一:vzx-z2=(ac-bd}+(ad+bc)i=0,

ac=bd?,ad=-be?,

將①式兩邊乘以d得acd=加2,代入②式得_bc2=42,..7=0或。=4=0,

「.〃=b=0或c=d=0,4=0或=0；

方法二：設(shè)4=i(cosa+isina),Z2=^(cos/?+isin/?),

zx-z2=rxr2(cos(cr+￡)+isin(a+￡))=0且cos(a+/?)+isin(a+/?)不恒等于0,

4弓=0,即4=。或芍=0,故C正確;

D選項(xiàng)，當(dāng)Z]=2+i/2=l+i時(shí)，Zj-z2>0,但虛數(shù)均與Z2不能比較大小，故D不正確.

故選：ABC

10.己知2"=3"=6，則。，方滿足()

A.a=log26B.a〈b

C.—I—<1D,tz+>4

ab

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，由對(duì)數(shù)定義可得a；

B選項(xiàng)，由對(duì)數(shù)定義可得a,b,后比較與2的大小可判斷選項(xiàng)正誤;

C選項(xiàng)，由對(duì)數(shù)定義及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)正誤；

D選項(xiàng)，由C結(jié)合基本不等式可判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】A選項(xiàng)，由2"=6得，a=log26,故A正確；

B選項(xiàng)，由乎=6得，b=log36.va=log26>2,b=log36<2,:.a>b,故B錯(cuò)誤;

1111,

C選項(xiàng)，：一+工=^1_-+---=log62+log63=l,故c錯(cuò)誤；

ablog,6log36

D選項(xiàng)，aw".1.由基本不等式得:a+b=(a+b)j—l—|=2H--1—>4,故D正確.

b)ab

故選：AD

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/若/(x)/(y)—/(x+N)=9町，則()

A./(0)=1B.

C.函數(shù)/(x)為減函數(shù)D.函數(shù)y=/(x)-l為奇函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】令x=04=；求出/⑼，即可判斷A；令x=[了=—：求出/J；],即可判斷8；令了=—；

JJJ\JJJ

求出/(X)解析式，即可判斷C、D.

【詳解】因?yàn)?(》)/0)-/(》+P)=9肛,

令x=0/=；，得/(0)/⑼T]=0，

.-./(0)=1,故A正確；

令x=QT得心小卜/(。)=-1,

則函數(shù)/(x)為增函數(shù)，且函數(shù)y=/(x)—l=3x為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確;

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪了瓦?2塊，往下每一層多鋪2塊，斜面上鋪了瓦片

19層，共鋪瓦片塊.

【答案】1900

【解析】

【分析】運(yùn)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.

【詳解】瓦片塊數(shù)可以看作首項(xiàng)為82,公差2的等差數(shù)列，則

幾=19x82+19義(；9-1)*2=19x(82+18)=19x100=1900.

故答案為：1900.

13.已知函數(shù)/(x)=(x—c>e"在x=2處有極大值，則。的值為.

【答案】4

【解析】

【分析】求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分析出極大值點(diǎn)，從而求解.

【詳解】/'(x)=(x—c)(x—c+2)e",

令八x)>0,解得xe(—oo,c—2)U(c,+°o)；

令/'(x)<0,解得xe<-2,c)；

故/⑴在(-叫。-2),(G+8)上單調(diào)遞增;在(c-2,c)上單調(diào)遞減，

因此在x=c—2處有極大值，即c—2=2,c=4.

故答案為：4

14.如圖，已知OP。是半徑為1,圓心角為§的扇形.C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，45CD是扇形的內(nèi)接平行四

邊形，則四邊形/2CD的面積最大值為.

Q

【答案】—

6

【解析】

【分析】作。尸于點(diǎn)E,作方，0于點(diǎn)尸，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為矩形即的面積,

設(shè)NCOP=6,將矩形EFCD的面積表示為。，應(yīng)用三角運(yùn)算及三角函數(shù)性質(zhì)求最大值即可.

【詳解】解：如圖：作。尸于點(diǎn)E,作。J_0于點(diǎn)/，

則矩形EFCD的面積等于平行四邊形ABCD的面積，

OAEBFp

設(shè)/COP=9,則。￡=CF=sine,。77=cosS,

NDOE=*,0E=-^=邛~

在中，3fan巴色

3

所以=OP-O￡=,

所以矩形EFCD的面積為?尸C=[COSe-注2\sin0

~^=(sin0cos0-sin2ff)

.—.、t八八兀LL.7T八八兀57r

因?yàn)?＜，v—,所以一＜29H—＜—,

3666

當(dāng)2。+巴=烏即。=四時(shí)，矩形ERR的面積最大為

6266

所以平行四邊形/BCD的面積最大值為3.

6

故答案為：立.

6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為凡，且S3=9,%.=2a“+l（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

（2）若a=3劭，設(shè)數(shù)列｛g｝的前“項(xiàng)和為北，求心，.

【答案】（1）an=2n-l.

⑵心）

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量轉(zhuǎn)化已知條件，求得首項(xiàng)和公差，即可求得通項(xiàng)公式;

（2）根據(jù)（1）中所求得到“，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)數(shù)列｛2｝的公差為d,由5=9,%“=24+1（〃eN*）得，

S3=3。］+3d=9,a2=2ax+1,

ci-t+d=36Z1—1

則1

%+d=2q+1d=2

an=2n-l.

【小問(wèn)2詳解】

b32M+1

，=3?！?321,則,=尹=9,又&=3

?.?{2}是首項(xiàng)為3,公比為9的等比數(shù)歹！J,

3（1-92"）3（92,,-1）

則氏=

1-98

16.已知a,b,c分別為△4BC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且acosC+sinC—b=0

（1）求A；

（2）若a=2,cos5=V^sin/，求△A5C的周長(zhǎng).

7T

【答案】（1）/二：

6

（2）2+V6+3A/2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和差公式求解即可;

（2）利用正弦定理結(jié)合兩角和差公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

在△A3C中，acosC+V3asinC-=0>

由正弦定理得sinZcosC+CsinZsinC-sin8=0，

,/sinB=sin（/+C）=sinAcosC+cosAsinCf

V3sin/sinC-cos4sinC=0，

且sinCw0,/.百sinA-cos4=0,

即tan/=——,v0<A<兀,，A=--

36

【小問(wèn)2詳解】

_兀

?「cosB=V2sinA=——且0<5<兀,，5=:

24

sinC=sin（4+5）=sinAcosB+cos/sin8=6；_?,

L7Qsm5crrQSinC/7FT

由正弦定理得b=—；-----=2V2,c=-；------=J6+,

sinAsinA

.?.△48C的周長(zhǎng)為a+6+c=2+指+3行.

17.已知函數(shù)/(x)=ax?+(a-2)x-lnx.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)/(x)在x=1處的切線；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，若/(x)的極小值小于0,求。的取值范圍

【答案】(1)3x+v-l=0

(2)0<a<l.

【解析】

【分析】(1)求出切線斜率/'⑴與切點(diǎn)坐標(biāo)(1,/⑴)，應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式求解即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)的極小值，再構(gòu)造g(a),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(a),解g(〃)<0即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=-2x-lnx,/(l)=-2,

所以/'(x)=_2_，，所以/")=—3,

x

所以函數(shù)/(X)在X=1處的切線為y+2=—3(x—l),即3x+y—1=0；

【小問(wèn)2詳解】

/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且/⑴」"—DQx+l),

X

當(dāng)。〉0時(shí)，令/'(x)〉0,則x>L,所以/(X)單調(diào)遞增；

a

令/'(x)<0,則0<x(工，所以/(x)單調(diào)遞減.

a

故當(dāng)X=!時(shí)，/(X)取極小值，

a

所以/(-j=lnQ---H1<0

\aJa.

設(shè)g(Q)=ln<2--+1(6Z>0),

a

則g'(a)=’+」T>0,所以g(。)是增函數(shù).

aa

因?yàn)間(D=0，所以g(Q)<。時(shí)，0<Q<1.

綜上所述，a的取值范圍是0<a<1.

18.如圖，多面體NBCDEE中，四邊形Z5ED與四邊形NC￡D均為直角梯形，ADLAB,ADVAC,

且點(diǎn)5,C,E,尸四點(diǎn)共面.

(1)證明：(i)平面48C//平面；

(ii)多面體Z8CDEE是三棱臺(tái)；

⑵若AB=AC=AD=2,DE=DF=4,45，NC,動(dòng)點(diǎn)尸在△￡)￡尸內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且

TT

NPAD=—,求異面直線/尸與星所成角的最小值.

4

【答案】(1)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)證明見(jiàn)解析

⑵-

6

【解析】

【分析】(1)(i)利用面面平行的判定定理證明即可；(ii)利用三棱臺(tái)的定義證明即可；

(2)先證明垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)，最后利用坐標(biāo)計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

(i)四邊形N8EZ)與四邊形NCED均為直角梯形，AD1AB,ADLAC,

WAB/IDE,ACIIDF,

因?yàn)槿势矫鎢平面￡)￡廠,所以Z8//平面￡)￡尸,

同理可得ZC//平面DER,

因?yàn)?8,ZCu平面48C,48nNC=N,

所以平面ABCII平面DEF-,

(ii)在梯形NAED中，延長(zhǎng)E8,D4交于點(diǎn)〃，

?/HeBE,BEu平面BEFC,：.Xe平面BEFC,

同理平面4DFC,

又?/平面BEFCn平面ADFC=CFHeCF

故直線E2,FC,。/相交于點(diǎn)X,

又由（i）可知：平面48C//平面。跖，

故多面體ABCDEF是三棱臺(tái)；

【小問(wèn)2詳解】

四邊形與四邊形NCFD均為直角梯形，AD±AB,AD±AC,

AD±DE,ADIDF,又DEcDF=D,AD1平面DEF,

又?.?動(dòng)點(diǎn)尸在力EF內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且ZPAD=-,

4

:.AADP是等腰直角三角形，DP=DA=2,

.??點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓（在無(wú)尸內(nèi)部及邊界上）

如圖以。E,DF,￡>/所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)尸(2cos%2sin0)0VaV],則4(0,0,2),5(2,0,2),F(0,4,0),

4P=(2cosa,2sina,—2),EB=(2,-4,2),設(shè)異面直線力尸與F5所成角為8,則

12sina—cosa+11

cos6=|cos<FB,AP>|=

1)2.1

cos。sina——T=COS6Z+1,設(shè)cos0二H，smo二79（取。為銳角）,

貝I]COS8=[JX|否sin(a—0)+l|

')1'jI'JJ77

—,且。為銳角，——<-(p<a-(p<——(p<—,

2222

n夕]+1=逐cos夕+1=3,V5sin(—0)+1=-^5sin。+1=0o<cos0<

TTTT

當(dāng)a=7，即P（0,2,0）時(shí)，異面直線/尸與9所成角的最小值;

26

19.若西尼，…再，為(。,6)上任意"個(gè)實(shí)數(shù)，滿足/[西+々+…2/(*)+/(%)+…+/(x"),

\n)n

當(dāng)且僅當(dāng)玉=%=…=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則稱函數(shù)/(%)在(生人)上為“凸函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)/(%)在

(。/)上的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),/'(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為9X),當(dāng)/〃(x)<0時(shí)，函數(shù)/(x)在(。,6)上的

為“凸函數(shù)”.若須,》2,…，X"為(。，6)上任意"個(gè)實(shí)數(shù)，滿足

f[苞+/+…+</（苞）+/（%）+…+/（七）,當(dāng)且僅當(dāng)X]=x2=...=xn時(shí)等號(hào)成立，則稱函數(shù)

\nJn

/(%)在(生6)上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)/(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為/'(x)j'(x)在(即b)上的導(dǎo)函

數(shù)為雙X),當(dāng)/"(x)>o時(shí)，函數(shù)/(X)在(a,切上的為“凹函數(shù)”.這里關(guān)于凹凸函數(shù)的不等式即為著名的

琴生不等式.

(1)討論函數(shù)/(x)=」~,