2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合研析（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合

研析含答案

褊救名導(dǎo)熬中的新定義除合研析傳安版，

-------------------------------------------------------------0°----------------------------------------------------------------------

考情探究.....................................................................................2

考點(diǎn)梳理.....................................................................................2

題型一高斯取整函數(shù).....................................................................2

題型二二階行列式........................................................................4

題型三狄利克雷函數(shù).....................................................................4

題型四sgnrc函數(shù).........................................................................5

題型五最大值最小值函數(shù).................................................................6

題型六歐拉函數(shù)..........................................................................6

題型七黎曼函數(shù)..........................................................................8

題型八曲率..............................................................................8

題型九極值點(diǎn)與拐點(diǎn).....................................................................9

題型十洛必達(dá)法則.......................................................................11

題型十一不動(dòng)點(diǎn)與復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)...........................................................13

題型十二可移倒數(shù)點(diǎn).....................................................................15

題型十三泰勒展開.......................................................................16

題型十四麥克勞林展開..................................................................18

題型十五拉格朗日中值定理.............................................................20

題型十六考點(diǎn)十六、帕德近似............................................................24

題型十七萊布尼茨.......................................................................28

題型十八函數(shù)凹凸性....................................................................31

題型十九切線問題.......................................................................33

題型二十類型函數(shù).......................................................................37

好題沖關(guān)....................................................................................40

???

Q（考情探究）o

在新高考數(shù)學(xué)科目的考核體系中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的新定義內(nèi)容占據(jù)了核心地位，它綜合了新概念、新公

式、新定理、新法則及新運(yùn)算等五大要素，旨在全面檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)概念、核心性質(zhì)以及運(yùn)算技巧的掌

握深度與廣度。此部分內(nèi)容不僅要求學(xué)生深刻理解導(dǎo)數(shù)概念，展現(xiàn)其計(jì)算能力，還強(qiáng)調(diào)了在多種實(shí)際應(yīng)用

場(chǎng)景中靈活運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的重要性。試題設(shè)計(jì)緊密貼合現(xiàn)實(shí)生活與科學(xué)實(shí)踐,力求評(píng)估學(xué)生運(yùn)用函

數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)體系解決復(fù)雜實(shí)際問題的能力。

新定義題型以其獨(dú)特性著稱，通常通過引入新概念、約定新運(yùn)算或構(gòu)建新模型，創(chuàng)設(shè)出全新的問題情境。這

要求學(xué)生具備良好的閱讀理解能力，能夠依據(jù)題目提供的信息,結(jié)合所學(xué)知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的有效遷

移,從而達(dá)到靈活解題的目的。面對(duì)新定義問題，學(xué)生需保持耐心，細(xì)致分析新定義的特點(diǎn),準(zhǔn)確把握其性

質(zhì)，并嚴(yán)格按照新定義的要求進(jìn)行逐條分析、驗(yàn)證和運(yùn)算，以解決問題。

對(duì)于新定義題目的解答，關(guān)鍵在于深入理解定義本身。這不僅是對(duì)舊知識(shí)點(diǎn)的延伸考查，更是對(duì)新知識(shí)獲

取與理解能力的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。因此,學(xué)生應(yīng)緊扣新定義,充分利用函數(shù)的性質(zhì),深入分析新定義的特點(diǎn)，明確

其所述問題的本質(zhì)，并將其應(yīng)用于具體的解題過程中。同時(shí)，學(xué)生還應(yīng)善于從試題中發(fā)掘可利用的函數(shù)性

質(zhì)因素，以輔助解題。

為了更好地理解和應(yīng)用新定義，學(xué)生可采取以下策略：

1.通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單應(yīng)用，以加深對(duì)信息的理解。

2.用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容,若能清晰描述，則說明對(duì)此信息理解較為透徹。

3.發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系,并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律。

4.若新信息是課本知識(shí)的推廣，則應(yīng)關(guān)注其與課本中概念的不同之處，以及何時(shí)可以使用書上的概念。

此外，考生還需對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運(yùn)算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本定

義、其蘊(yùn)含的幾何與物理意義以及多樣化的計(jì)算方法。針對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的典型應(yīng)用，如

求解最優(yōu)化問題、分析變化率趨勢(shì)、確定曲線在某點(diǎn)的切線方程等，考生應(yīng)具備扎實(shí)的分析思路和有效的解

決策略。

-O（考點(diǎn)梳理）O

題型一高斯取整函數(shù)

1.(2024.山東青島.三模)定義[x]表示不超過土的最大整數(shù).例如：[1.2]=1,[-1,2]=—2,則()

A.[c]+[y]=[,x+y}B.Vn6Z,{x+n\=[x]+n

C./(rr)=x-[x]是偶函數(shù)D./(rr)=rr-[a?]是增函數(shù)

2.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)函數(shù)/(力)=[x]被稱為取整函數(shù),也稱高斯函數(shù)，其中[句表示不大于實(shí)數(shù)比的最

大整數(shù).若VmC(0,+8),滿足[句2+皿L,則力的取值范圍是()

m

A.[-1,2]B.(—1⑵C.[-2,2)D.(-2,2]

3.(2024.重慶.模擬預(yù)測(cè))高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其

名字命名的“高斯函數(shù)”定義為:對(duì)于任意實(shí)數(shù)T，記[切表示不超過出的最大整數(shù)，則g=[句稱為“高斯

函數(shù)”.例如：4=[-3.5]=—4,y=[2.1]=2.

(1)設(shè)/㈤=[x]+[/+/]-[2句，xE七求證：]是f(a)的一個(gè)周期，且/(力)=0恒成立；

(2)已知數(shù)列{冊(cè)}的通項(xiàng)公式為“=白+T不+-^―+…+^—(neN*),設(shè)bn=

nn+1n+2n+2n

7[^]+[i+i](nG2V，)-

o

①求證：n<—<n+1；

Qn

②求14+二+?一+41的值.

L氏匕2&2024」

o[x]_1

4.(2024?全國?一模)數(shù)學(xué)上，常用[句表示不大于2的最大整數(shù).已知函數(shù)9="二則下列正確的是(

3W+1

).

A.函數(shù)4="二1在定義域上是奇函數(shù)

B.函數(shù)二^的零點(diǎn)有無數(shù)個(gè)

C.函數(shù)沙=去"在定義域上的值域是(—1,1)

D.不等式夕=空二1W0解集是(一8,0]

5.(2024?河南開封?二模)(多選)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.用其名字命名的高斯取

整函數(shù)為/(/)==],㈤表示不超過，的最大整數(shù)，例如[―3.5]=-4,[2.1]=2.下列命題中正確的有

()

A.3xER,f(x)=x—l

B.\/xER,nEZ,f(x+n)=f(x)+n

???

c.VJ；,y>o,/(lg^)+/(lgy)=/(lg(rry))

D.3nEN*,fQgl)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lgn)=92

6.（2024.全國.模擬預(yù)測(cè)）（多選）函數(shù)4=［句是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中［句表示不超過力的最

大整數(shù)，例如：［3.9］=3,［—2.1］=-3.若在函數(shù)/（力）的定義域內(nèi)，均滿足在區(qū)間［an,an+1）上，g=

43）］是一個(gè)常數(shù)，則稱｛0｝為的取整數(shù)列，稱為/Q）的區(qū)間數(shù)列.下列說法正確的是

（）

A.f（N）=log2/（力＞1）的區(qū)間數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)=2八

B.f（X）=log2T（T＞l）的取整數(shù)列的通項(xiàng)與=九一1

C./（力）=log2（33/）（力＞1）的取整數(shù)列的通項(xiàng)與＞九十5

71n

D.若f（6）=10826（1《力＜2）,則數(shù)列｛bn（an+1—an）｝的前九項(xiàng)和5九=（n—2）2+2

題型二二階行列式

abXx—a

7.（2024.福建寧德?模擬預(yù)測(cè)）定義=ad—be,若關(guān)于x的不等式＞2在五上恒成立，則實(shí)

cd2X

數(shù)Q的取值范圍為（）

-004一8(

B.C.r+coD.P+CO

abab

8.（2023?河南?三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運(yùn)算為ad-be.已知函數(shù)/（力）的定

cdcd

xf(y)

義域?yàn)椋ā?,0）U（0,+8）,且/（為W0,若對(duì)定義域內(nèi)的任意⑨沙都有=0,則（）

yf(x)

A./(1)=1B.f（x）是偶函數(shù)C.f（x）是周期函數(shù)D.f（x）沒有極值點(diǎn)

）稱為二階行列式,規(guī)定它的運(yùn)算法則為0）=ad-bc.

9.（22-23高一下?江西萍鄉(xiāng)?期中）把符號(hào)

caca

cos。1—/Isin^

已知函數(shù)/（。）=

2COS0

⑴若/1=*,夕6凡求/⑹的值域;

X2-1

（2）函數(shù)gQ）=］］，若對(duì)V①e［―1」］,veeA,都有。（乃―恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值

x2+l

范圍.

題型三狄利克雷的教

10.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷｛Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一,下列關(guān)于狄利克雷函

數(shù)。㈤北;黑溫的結(jié)論正確的是（）

A.。（。（2））有零點(diǎn)B.是單調(diào)函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是周期函數(shù)

11.（23-24高三上?廣東惠州?階段練習(xí)）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定

義在實(shí)數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對(duì)研究微積分就有

很重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為。Q）=（其中Q為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關(guān)于狄利克

雷函數(shù)說法正確的是（）

A.O（r）（e））=lB.它是偶函數(shù)

C.它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期D.它的值域?yàn)椋?,1］

12.（2024.廣東惠州.三模）（多選）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet,1805-1859）,是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.

他提出了著名的狄利克雷函數(shù)㈤=［；'哼］?智，以下對(duì)03的說法正確的是（）

［出27￡尢埋數(shù)

A.。（。（0）=1B.。⑸的值域?yàn)閧0,1}

C.存在c是無理數(shù)，使得。0+1）=。（c）+1D.\/26人,總有。3+1）=。（—力—1）

13.（2024.重慶.一模）（多選）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)〃/）=

被稱為狄利克雷函數(shù)'其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集'則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)〃乃的結(jié)

論中，正確的是（）

A.函數(shù)/（乃為偶函數(shù)

B.函數(shù)/（①）的值域是［0,1］

C.對(duì)于任意的cCR,都有/（/（2））=1

D.在f（x）圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)ABC，使得△ABC為等邊三角形

E.在f⑹圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn)ABC,使得△ABC為等邊三角形

題型四8glic函數(shù)

1,力＞0

14.（2024?山東臨沂?一模）已知函數(shù)sgn（c）=（o,x=0，則“sgn(e*—1)+sgn(—力+1)=?！笔恰傲Γ?”的

-1,rc＜0

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)上的符號(hào)函數(shù)可以返回一個(gè)整型變量，用來指出參數(shù)的?正負(fù)號(hào)?，一般?用

x<0

sgnQ）來表示，其解析式為sgnc=<0,x=0.已知函數(shù)/（力）=2sinc?sgn（cos/），給出下列結(jié)論:

①>0

①函數(shù)/（宓）的最小正周期為兀；

②函數(shù)/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為［―版,g+k兀］（kez）；

③函數(shù)/Q）的對(duì)稱中心為（/CT,0）（Rez）；

④在［一2兀,2兀］上函數(shù)gQ）=時(shí)（力）—1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

題型五最大值最小值函數(shù)

16.（22—23高三上?階段練習(xí)）已知max{a,fe,c}表示a,b,c中的最大值，例如max{l,2,3}=3,若函數(shù)

/（力）=max{一/2+4,一力+2,①+3},則/（/）的最小值為（）

A.2.5B.3C.4D.5

a,b,Q—b,對(duì)于任意實(shí)數(shù)c>0,g>0,

17.（2024?廣東韶關(guān)二模）定義max{a,b}=

b,a<ba,a<b

貝Umin<max<2x,3y,-^―+-^―的值是（)

[[4/29g2

A.^2B.V2D.招

18.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)max{/，佻？}為x,y,z中最大的數(shù).已知正實(shí)數(shù)0,匕,記河=111@*<{80,26,^^卜

IVabJ

則州的最小值為（）

A.1B.V2C.2D.4

19.（2024.湖北.一模）記max{/（x）},min{/（6）}分別表示函數(shù)/（優(yōu)）在［a,b］上的最大值和最小值.則

xE［a,b］x&［a,b］

minmax{|m+n—2Vn|}I=

[—3,3][0,9]J

題型六歐拉函數(shù)

20.（2023?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)0（71）（"6"*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)外且與切互素的正

整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，8⑴=1,8⑷=2.若？72GN*,且⑵）=13,則0（m）=（）

i=l

A.3B.4C.5D.6

21.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容.對(duì)于一個(gè)正整數(shù)日，歐拉函數(shù)少⑺）表

示小于或等于"且與打互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目.換句話說，磯⑶是所有不超過"且與n互素的數(shù)的總數(shù).

如：研5)=4,p(14)=6.則以下是真命題的有()

A.W(n)的定義域?yàn)镹*,其值域也是N*

B.夕⑺)在其定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)

C.不存在九oCN*,使得方程w(n)=為有無數(shù)解

D.—1,當(dāng)且僅當(dāng)71是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立

22.(2024.湖北.模擬預(yù)測(cè))歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)n為正整數(shù)，集合X”={1,2,,歐

拉函數(shù)(p(n)的值等于集合X“中與打互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù);記M(x,y)表示①除以4的余數(shù)(x和y均為

正整數(shù))，

⑴求儀6)和夕(15)；

(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p,q,e(p<Q<e),n=pq,存在正整數(shù)d滿足7W(de,0?))=1；已知對(duì)素?cái)?shù)a和xG

Xa，均有M(rca-1,a)=1,證明：若力CX”,則x=M([M(a;e,n)]d,n);

(3)設(shè)"為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，生，e2為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且2ei=3e2+l；又。1=河(小,九)，C2

=M(xe2,n),xEX”,試用Ci，C2和ri求出x的值.

23.(2024.湖北武漢.二模)歐拉函數(shù)？S)SGN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)九，且與打互質(zhì)的正整數(shù)

的個(gè)數(shù)(公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù))，例如：？(3)=2,9(4)=2,則由8)=；若勾

=之三，則氏的最大值為

24.(23-24高三上?河北邢臺(tái)?開學(xué)考試)歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看

到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)磯九)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)介，且與n互素(兩個(gè)

數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：0⑴=1,?(4)=2.現(xiàn)從少⑴,?⑵,卬(3)，…,.(10)中任選兩

個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)相同的概率是.???

題型七黎曼西數(shù)

25.（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）（多選）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)

=為既約真分?jǐn)?shù)，（注:分子與分母是互質(zhì)

家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：R（x）=

。，力=0,1或（0,1）上的無理數(shù)

數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A-）=1

B.黎曼函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1]

C.黎曼函數(shù)的最大值為十

D.若fQ）是奇函數(shù)，且/（1一/）=/（劣），當(dāng)ne[0,1]時(shí),/（力）=陽劣）,則/（學(xué)）+/（V^+6）=《

26.（2024?北京石景山?一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：rcC[0,1]時(shí)，RQ）

片逃巧*為既約真分?jǐn)?shù)）,若數(shù)列.『鳳"1）

,nEN*,給出下列四個(gè)結(jié)論:

[0以=0,1和（0,1）內(nèi)的無理數(shù)'n'

①M(fèi)=工；②％+2<an+i；③文研汁1V1；④之為>In".

ni=l/i=l/

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

題型八

27.（2024?廣西來賓?模擬預(yù)測(cè)）曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo),對(duì)于曲線0=/（*），其在點(diǎn)（羯

/（g））處的曲率K=——儂。"3，其中廣（⑼是/（⑼的導(dǎo)函數(shù)，尸,（乃是尸（⑼的導(dǎo)函數(shù).則拋物線

{i+[/U）]2P

/2=2pg（p>0）上的各點(diǎn)處的曲率最大值為（）

19

A.2pB.pC.—D.—

PP

28.（2024.全國?二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標(biāo)性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學(xué)上用曲

率表示曲線的彎曲程度.設(shè)函數(shù)g=/Q）的導(dǎo)函數(shù)為（（名）,（（力）的導(dǎo)函數(shù)記為/〃（力，則函數(shù)g=/Q）的

圖象在（gj（g））的曲率K=一『’3。"3?

2

[l+（f（T0））F

（1）求橢圓車+耳=1在（2,V2）處的曲率；

o4

⑵證明：函數(shù)gQ）=tan圖象的曲率KQ）的極大值點(diǎn)位于區(qū)間（2個(gè)）.

29.（22-23高三上?山東?階段練習(xí)）（多選）曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)

???

率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大.曲線夕=/Q）在點(diǎn)）處的曲

率K（±）=[i+d）2]1.5，其中/〃（乃是/'（C）的導(dǎo)函數(shù)?下面說法正確的是（）

A.若函數(shù)/Q）=靖,則曲線o=/（力）在點(diǎn)（—a,-a3）與點(diǎn)（a,a3）處的彎曲程度相同

B.若/（⑼是二次函數(shù)，則曲線夕=/⑺的曲率在頂點(diǎn)處取得最小值

C.若函數(shù)/（rr）=sine,則函數(shù)KQ）的值域?yàn)閇0,1]

D.若函數(shù)/（⑼=工3>0）,則曲線9=/（2）上任意一點(diǎn)的曲率的最大值為造

x2

題型九極值點(diǎn)與拐點(diǎn)

30.（2024?湖南長沙?二模）極值的廣義定義如下:如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的一個(gè)鄰域（包含該點(diǎn)的開區(qū)間）內(nèi)處

處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（?。@函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（?。┲?

對(duì)于函數(shù)y=/（4），設(shè)自變量力從3變化到g+Arc,當(dāng)Ac>0,lim區(qū)也上―'"°）是一個(gè)確定的

△IT。l\x

值,則稱函數(shù)n=f⑸在點(diǎn)而處右可導(dǎo)；當(dāng)ArV0，lim〃g+叩-A”。）是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)y

=/（力）在點(diǎn)g處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)4=/（力）在點(diǎn)g處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)g=

/（力）在點(diǎn)g處可導(dǎo).

（1）請(qǐng)舉出一個(gè)例子,說明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）已知函數(shù)/（劣）=x2ea^+1—爐sine—ex2.

（i）求函數(shù)g（N）=鏟斗1—xsinx—e在c=0處的切線方程；

（五）若力=0為/（力）的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.

???

31.（2024.貴州.模擬預(yù)測(cè)）定義:設(shè)廣㈤是/㈤的導(dǎo)函數(shù),尸3是函數(shù):3）的導(dǎo)數(shù)，若方程/'3）=0有實(shí)

數(shù)解g，則稱點(diǎn)（g,/（g））為函數(shù)0=/（⑼的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且

“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)/（x）=爐+6/—力+a圖象的對(duì)稱中心為（0,1）,則下列

說法中正確的有（）

A.a=1,6=0B.函數(shù)/（⑼的極大值與極小值之和為2

c.函數(shù)/(2)有三個(gè)零點(diǎn)D.y=/Q）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減

32.（2024?河南?三模）設(shè)函數(shù)/Q）的導(dǎo)函數(shù)為尸（①），尸Q）的導(dǎo)函數(shù)為"0）,/"3）的導(dǎo)函數(shù)為嚴(yán)O）.若

/"（g）=0,且/”（g）W0,則（T0,/（T0））為曲線y=/O）的拐點(diǎn).

（1）判斷曲線夕=/是否有拐點(diǎn)，并說明理由；

（2）已知函數(shù)/（①）=a/—5爐，若為曲線o=/（乃的一個(gè)拐點(diǎn),求/⑺的單調(diào)區(qū)間與極

值.

???

題型十洛必達(dá)法則

33.(20-21高二下?重慶江北?階段練習(xí))我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為心型，比如：當(dāng)x

-0時(shí)，更二1的極限即為2型.兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在

1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.

-1

如：=lim?T)=lim^i=i,則lim^=()

cr-?0X*-001x->lXLYYX

A.0B.yC.1D.2

34.(2024.浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具--洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論:若函數(shù)

/(力),g(劣)的導(dǎo)函數(shù)分別為:(N)，g，(c),且甄/(力)=啊gQ)=0,則

「f⑺「f'⑸

nm-=nm---.

—Qg(x)—g'(/)

②設(shè)a>0,R是大于1的正整數(shù),若函數(shù)/Q)滿足:對(duì)任意宓6［0,a］,均有/Q)>/(%)成立，且

lim/O)=0,則稱函數(shù)/(乃為區(qū)間［0,a］上的k階無窮遞降函數(shù).

?->0

結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：

(1)試判斷/(t)=砂—32是否為區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù)；

(2)計(jì)算：lim(l+名產(chǎn)；

rr-*0

3

⑶證明：(普)<cosx,x€（兀,-1*兀）.

???

35.(2024?河北邢臺(tái)?二模)在函數(shù)極限的運(yùn)算過程中，洛必達(dá)法則是解決未定式長型或工型極限的一種重

要方法，其含義為:若函數(shù)/Q)和gQ)滿足下列條件：

①Hm/(x)=0且hm^(￡c)=0(或=co,limg(x)=oo)；

②在點(diǎn)a的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'Q)W0；

③lim^-=A(A可為實(shí)數(shù),也可為±8)，則=A.

J。￡0)-。gQ)J。g'O)

(1)用洛必達(dá)法則求lim「二；

Dsince

丁2^271—1

⑵函數(shù)/⑺=1+*+了+下+…+不F(71>2,"6"*),判斷并說明了(工)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

兀7C

(3)已知g(2c)=g(c)?cosx,g(0)=1,a?C7,-2，求g(cc)的解析式.

參考公式:lim/(x)=/(HmT),ljmfc/(x)=fcljmy(x).

12

題型十一不動(dòng)點(diǎn)與復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)

36.(2024?黑龍江齊齊哈爾?三模)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定

理，簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(⑼,存在一個(gè)點(diǎn)g,使得/(g)=g,那么我們稱該函

數(shù)為"不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).函數(shù)/(c)=22—since+cos工有個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

37.(2024.廣東廣州.二模)若g是方程/(gQ))=g(f⑸)的實(shí)數(shù)解，則稱g是函數(shù)"=/(*)與y=g(x)的

“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”.若函數(shù)/(4)=a\a>0且a￥1)與g⑸=2x-2有且僅有兩個(gè)不同的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”,

則a的取值范圍為()

A.(0,^^)B.(^^,1)C.(1,V2)D.(V2,+co)

38.(2024?貴州黔西.一模)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維

空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡單地講

就是:對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(，),存在實(shí)數(shù)如，使得/(g)=應(yīng)，我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函

數(shù),實(shí)數(shù)的為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).

(1)求函數(shù)/(*)=2x+x-3的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若函數(shù)gQ)=lnrc—b有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)如電,且Ci<22,若g—求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

???

39.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）對(duì)于函數(shù)/（乃，若實(shí)數(shù)g滿足/（3）=g,則g稱為/（為的不動(dòng)點(diǎn).已知

函數(shù)/（力）=ex—2x+%（2>0）.

（1）當(dāng)a=—1時(shí),求證/（力）>0；

（2）當(dāng)。=0時(shí),求函數(shù)/（力）的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）設(shè)4CN*,證明J+J+??-+1->ln（n+l）.

Vl2+1V22+2Vn;2+n

40.（2024?河北滄州?一模）對(duì)于函數(shù)0=/3）,461,若存在g門,使得/30）=如則稱3為函數(shù)/（0的一

階不動(dòng)點(diǎn)；若存在gC/,使得/（/（g））=而，則稱g為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函

數(shù)/（⑼的八階不動(dòng)點(diǎn).其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡稱為“不動(dòng)點(diǎn)”，二階不動(dòng)點(diǎn)簡稱為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)/（⑼的“不

動(dòng)點(diǎn)"和"穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為A和8,即A={$/（必）=3；},_B={”/（/（久））=2}.

⑴若/⑺=eeQ>0）,證明:集合人=?（2；）=①}中有且僅有一個(gè)元素；

（2）若/（立）=（a+l）H—工+旦竽（a>—1）,討論集合口的子集的個(gè)數(shù).

xe

???

題型十二可移倒數(shù)點(diǎn)

41.(2024.江蘇蘇州.三模)對(duì)于函數(shù)/(⑼，若存在實(shí)數(shù)多,使/(g)_fQo+/l)=模其中3W0,則稱/(⑼為“可

QX力>>Q

；C，若函數(shù)/(c)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)

{壬，x<0

點(diǎn)”，則a的取值范圍()

A.(2,e)B.(2,+co)C.(-1,2)D.

42.(2024?山東聊城,二模)對(duì)于函數(shù)/(⑼，若存在實(shí)數(shù)四，使/(&)/(而+冷=L其中4#0,則稱/Q)為''可移

A倒數(shù)函數(shù)"，割為'了3)的可移4倒數(shù)點(diǎn)”.已知g(x)=e",%(c)=力+a(a>0).

(1)設(shè)<p(x)=。(⑼分儂),若方為“從x)的可移一2倒數(shù)點(diǎn)”，求函數(shù)儀⑼的單調(diào)區(qū)間；

<7(rr),x>0

(2)設(shè)s(0=i一八,若函數(shù)s(c)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求a的取值范圍.

［砌，立<°

???

題型十三泰勒展開

43.（2024.貴州貴陽.一模）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：修=1+t+為+今+…+與+…其中心=

2!3!n!

1X2x3X4X-X7i,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)/（為=

亙于二'93）=亙甘二'根據(jù)以上信息'并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)'解決如下問題?

（1）證明：ex^l+x；

（2）設(shè)ce（0,+8）,證明：/^<gQ）；

X

（3）設(shè)尸（⑼=g（ic）-a（l+號(hào)），若t=0是斤（工）的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

44.（2024.貴州遵義.三模）英國數(shù)學(xué)家泰勒（B.Taylor,1685-1731）發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)函數(shù)/（非）在定義域內(nèi)n階

J（n）m3

可導(dǎo)，則有如下公式:=2r/（0）￡c"=/（0）+f（O）x+■尸（0那+4rf（O）x+…+3產(chǎn)（0如"

n!2!3!n!

+…以上公式稱為函數(shù)/⑶的泰勒展開式，簡稱為泰勒公式.其中，n!=1x2x3x4x…xn,嚴(yán)）（⑼

表示了（⑼的n階導(dǎo)數(shù)，即/Q）連續(xù)求n次導(dǎo)數(shù).根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下

問題：

（1）寫出e”的泰勒展開式（至少有5項(xiàng)）；

（2）設(shè)/㈤=e，+ef—1—a*若田=0是/Q）的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若e8七100k,k為正整數(shù)，求k的值.

???

45.(2024?安徽?一模)給出以下三個(gè)材料：

①若函數(shù)/(乃可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)/(2)的導(dǎo)數(shù)叫做/(工)的二階導(dǎo)數(shù)，記作/〃(c).類似的，函數(shù)

f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)/(功的三階導(dǎo)數(shù)，記作廣〃(乃，函數(shù)/(為的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

/(0的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)/(1)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)/(為的"階導(dǎo)數(shù)，記作/⑹Q)

=[尸T(t)]'，4；

②若nCN*,定義n!=nx(?i—l)x(?2—2)x…x3x2xl；

③若函數(shù)/(力)在包含新的某個(gè)開區(qū)間(a,6)上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意xC(a,6)有g(shù)(a?)=

/(力。)+空13-0)+華/踐―&y+…+犬黃(1一聞"+…，我們將稱為函數(shù)/⑺在點(diǎn)2

1!2!n!

=g處的泰勒展開式.

例如力(%)=e*在點(diǎn)力=0處的泰勒展開式為gi(rr)=1+力+士①2H十…

2n!

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

(1)求出-3)=COSN在點(diǎn)/=0處的泰勒展開式g(a?)；

(2)用/(2)=cos/在點(diǎn)x=Q處的泰勒展開式前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；

001

⑶現(xiàn)已知皂些1-二)(1+且)…，試求之士的值.

九兀八TVK'Mn

???

題型十四麥克勞林展開

46.（24-25高三上?四川成都?開學(xué)考試）麥克勞林展開式是泰勒展開式的一種特殊形式，/Q）的麥克勞林

展開式為：/3=/（o）+r（o）c+/，/+…+小?，"+…）入其中嚴(yán)）（o）表示

2!n!71=0n!

的八階導(dǎo)數(shù)在0處的取值,我們稱T=/平

n/九為了（名）麥克勞林展開式的第八+1項(xiàng).例如：e，=1+

n!

2!+3!4!+???.

（1）請(qǐng)寫出f（x）=sinx的麥克勞林展開式中的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)；

⑵數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組發(fā)現(xiàn)Ml+0的麥克勞林展開式為皿1+為=2—亨+（—亨+…，這意味眷當(dāng)

力>0時(shí)，ln（l+為>H-亨，你能幫助數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組完成對(duì)此不等式的證明嗎？

⑶當(dāng)rr>1時(shí)，若e，+Inc+>誓+小2，求整數(shù)m?的最大值.

26

???

47.(2024.河南周口?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(c)=(re—l)ln(l—x)-x-cosx.

(1)求函數(shù)/Q)在區(qū)間(0,1)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)“X”是一個(gè)求和符號(hào)，例如=1+2+…+n,'(2療)=2x+2x2+…+2科等等.英國數(shù)學(xué)家布

i=li=l

3(_］尸?子2-2

魯克?泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n-+8時(shí)，cos①=一1/1:，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個(gè)經(jīng)

i=i(24—2)!

典應(yīng)用.

"(_［丫+1.丁2升3

證明：⑴當(dāng)時(shí)，對(duì)\/2>0,都有fv2一L>°；

i=i(21+3)!

<lnn(nCN*,n,2).

題型十五拉格朗日中值定理

48.(2024.全國.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑸=(x—a)e~x+Ji—26,g(力)=xe~x—e37-1--^-x3+ax1—f(x)，

/o

且/(%)在/=0處取得極大值.

⑴求a的值與/(c)的單調(diào)區(qū)間.

(2)如圖,若函數(shù)g=/(切的圖像在［a,b］連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在cG(Q,6),使得

『(c)=nz,求?n的表達(dá)式〔用含a,b,f(a),f(b)的式子表示).

(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)g(乃圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于年-平?

49.（2024.山西.三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工

具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下：

如果函數(shù)/（⑼在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為尸（⑼,那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存

在一點(diǎn)c,使得/⑹=嗎FG，其中c叫做/（c）在［a,b］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù)/（t）=

（a［l）L］n,+_4詁。。一卷爐+）/,

（1）若a=-l,b=0,求函數(shù)/（c）在［1,7］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”T0;

（2）若a=-l,b=1,求證:函數(shù)/（⑼在區(qū)間（0,+8）圖象上任意兩點(diǎn)A,B連線的斜率不大于18-

（3）若a=l,b=—l,X1,X2,X3E（；,1）,且傷＜工2＜，3，求證："’2）一/（"1）〉/（g）—/（g）.

一、4＞x2—xix3—x2

??

50.（23—24高二下?江西九江?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（*）=x2—3x+alnx,aER.

⑴當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)/（c）的在點(diǎn)（1J（1））處的切線；

（2）若函數(shù)/Q）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

⑶若函數(shù)g⑺的圖象上存在兩點(diǎn)3，紡），且使得9,0產(chǎn)）=叱三|亨_,則

稱夕=g⑸為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段AB的中點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)“拉格朗日平均值點(diǎn)”.試判斷

函數(shù)/（力）是否為“拉格朗日中值函數(shù)”，若是，判斷函數(shù)/Q）的“拉格朗日平均值點(diǎn)”的個(gè)數(shù);若不是，說

明理由.

???

51.(2024?廣東?二模)拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一,其內(nèi)容為:如果函數(shù)/(乃在閉區(qū)間[a,b]

上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸(￡),那么在區(qū)間(a,6)內(nèi)存在點(diǎn)以使得/(b)—/(a)=

尸(c)(b—a)成立.設(shè)/Q)=e。+c—4,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e^2.71828.易知，/(為在實(shí)數(shù)集R

上有唯一零點(diǎn)r,且rC(1,1■卜

(1)證明：當(dāng)力e｝,7+、■)時(shí)，0<1；

(2)從圖形上看，函數(shù)/(尤)=^+力-4的零點(diǎn)就是函數(shù)/(為的圖象與T軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).直接求解

f(x)=e0+t—4的零點(diǎn)r■是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到了(①)零點(diǎn)的近似解:先用二分法，可在

(l,y)中選定一個(gè)g作為r的初始近似值，使得0</(g)(],然后在點(diǎn)(XO,/(TO))處作曲線0=/(必)

的切線，切線與力軸