2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷5（新高考專(zhuān)用）解析版

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之滾動(dòng)測(cè)試卷05（新高考專(zhuān)用）

測(cè)試范圍：

集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、平面向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知集合人=3={y[y=lg(/+i)},則AB

A.(-1,3)B.(T0]C.[0,3)D.f,3)

i-2

2.（2024?湖北黃岡?一模）復(fù)數(shù)則z的虛部為（)

A-11233.

B.C.——D.——1

222

（2023,黑龍江佳木斯?三模）已知3+19

3.—(6i>0,Z?>0),則下列結(jié)論不正確的是（）

a

A.5B.1+六竿

C.a2+b2<6D.ab>3

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為加若%-S3=35,%+@=7,則｛叫的公差

為()

A.1B.2C.3D.4

5.（2025?安徽?一模）已知忖二2間,若〃與匕的夾角為60。,則2〃-b在匕上的投影向量為（）

1f1737

A.—bB.——bujD.-b

222

6.⑵-25高三上,山東濟(jì)南?開(kāi)學(xué)考試）直線(xiàn)一—與曲線(xiàn)萬(wàn)皿十六-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

In31

7.(2025?寧夏?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=/—2-jdnx,a=f(ln也),b=f，則（）

e

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c

Yl

8.（2025?廣東?一模）己知等比數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，2=一.記分別為數(shù)列&｝,｛2｝的前”項(xiàng)和,

an

若電=axavS3+(=12,貝IjSn=(

A.4〃T—1

1

C.—4n-lD.4〃一2

12

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（2024?山東?二模）已知函數(shù)/（尤）=sinx?|cosX,則（）

A.八%）是奇函數(shù)B./（%）的最小正周期為兀

1JT

c.“X）的最小值為D.f（x）在0,-上單調(diào)遞增

10.（2024?貴州貴陽(yáng)?三模）已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+o）+3[A>O,G>O，M|</]的圖象如圖所示，下列說(shuō)

1rr

C.將函數(shù)g（x）=2cosx+l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;，再向右平移白個(gè)單位長(zhǎng)度，可得

212

到函數(shù)了（工）的圖象

（7兀17九一

D.函數(shù)/⑴在工￡（0,。）上有5個(gè)零點(diǎn)，貝的取值范圍為二，丁

I36」

11.（2024?河北石家莊?二模）已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為eN*）,前”項(xiàng)和為S“，則下列說(shuō)法

正確的是（）

A.數(shù)列｛。“｝有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng)B.使eZ的項(xiàng)共有5項(xiàng)

C.滿(mǎn)足。/,+4+2<0的”的值共有5個(gè)D.使S,取得最小值的〃為4

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線(xiàn)上）

12.（2024?江蘇無(wú)錫?二模）已知函數(shù)/（力=°一3?：+"+1，”<:滿(mǎn)足對(duì)任意的玉力%,都有

I2a,x>2

"%）一"%）<0成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

%一X2

13.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）VABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,若b=2asin3,bc=4,貝UVABC

的面積為.

2

14.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的綜合求和方法有：錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法及倒序相

加法.在組合數(shù)的計(jì)算中有如下性質(zhì)：C：=c7，c+c：+C+c：++c；；=2".應(yīng)用上述知識(shí)，計(jì)算

C：+2C；+3C：++nC：=.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15.（13分）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，邑=49,

且0，火，q成等比數(shù)列.

⑴求｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)歹必凡+4｝是公比為3的等比數(shù)列，且4=22,求他,｝的前w項(xiàng)和

16.（15分）（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知厘=吧也芻.

csinC

⑴求A；

⑵若N54C的角平分線(xiàn)與交于點(diǎn)D,AD=2,AC=20,求a+c.

17.（15分）（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（尤）=^——minx+2x,m&R.

X

⑴若曲線(xiàn)y=/（尤）在x=l處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x相互垂直，求加的值；

（2）若根=2,求函數(shù)“X）的極值.

18.（17分）（2023?河北保定?三模）己知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“（〃eN*）.q=l,2"S"=（2"T）（S”+「S”）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若%=7一八7----n'求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和卻

19.（17分）（2024?四川?一模）已知函數(shù)〃x）=xlnx—加+1.

⑴若〃x）在（0,+"）上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

（2）若a<0,證明：/（x）>0.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBCCBADCACABC

題號(hào)11

答案ABD

1.C

3

【分析】分別求出集合A和8,然后，利用交集的運(yùn)算可得答案.

【詳解】A={x|(x+I)(x-3)<O}=(-1,3),

2=卜,=嶺(尤2+1)}=[0,+8),

AB=[0,3).

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可求虛部.

辛向力】—>2(i_2)(l_i)-l+3i13.

【詳解】-i+i-0+i)0-i)-------F—1,

222

3

故z的虛部為大,

2

故選：B

3.C

【分析】選項(xiàng)A,將。+匕平方后與二+3相乘，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出最小值；選項(xiàng)B,利用不等

ab

式2(/+y2)N(x+y)2可求出?的最大值；選項(xiàng)C和D,將選項(xiàng)與題設(shè)條件相乘，化簡(jiǎn)后利用基本不等式

可求出最小值.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,(tz+Z?)2=(a1+2ab+Z?2)

=1+1+^-+-^-+—+—>2+2^+2^4=8,

abab

當(dāng)且僅當(dāng)[=(且竺=當(dāng)即〃=b=6時(shí)，等號(hào)成立，

abab

28=]2

所以("+”)^l~n~,a+b>2y/3,

/F

故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?1二+二]一(工+工]>0,

(標(biāo)b1)\ab)\ab)

當(dāng)且僅當(dāng)工=?即a=b=括時(shí)，等號(hào)成立，

ab

所以3-解得0<工+工4友,

3\ab)ab3

故B正確;

4

對(duì)于選項(xiàng)c,因?yàn)椋?+〃=1+1+—7+->2+2”=4,

ab

當(dāng)且僅當(dāng)%=，即a=b=若時(shí)，等號(hào)成立,

所W

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?（二+=，+/22a=2,

\abJab

當(dāng)且僅當(dāng)即〃=。=括時(shí)，等號(hào)成立，

ab

ab>..-...=3

所以,

a2b2

故D正確;

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計(jì)算即可求解.

［詳解］由50_邑=35=>510—S3=。4+。5+“6+%+”8+09+〃10=35,

故7%=35,貝！J%=5,

由〃3+qo=7得/+%=7,故。6=2,故公差為%-。6=3,

故選：C

5.B

【分析】應(yīng)用向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，結(jié)合投影向量公式計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)殁?2同，〃與方的夾角為60。，

所以Q.b=同1卜0$60。=同x2同xg=同2,

2222

則（2Q—b^'b=2a-b—b=2|a|—4|?|=-2|tz|,

\2a-b\-b卜-la2h1

所以2Q-Z?在。上的投影向量為□x［p=F*彳口=一彳6?

\b\\b\2a2\a\2

故選：B.

6.A

【分析】由題意知要求交點(diǎn)即求函數(shù)2尤-2=sz7vrx+—1的零點(diǎn)，等價(jià)于求s加rx=2x-2-一二的零點(diǎn)，等

x-lX-Y

5

價(jià)于求/'(x)=s%萬(wàn)X和M》)=2(X-1)-一二兩函數(shù)交點(diǎn)，作出相關(guān)圖形，利用數(shù)型結(jié)合從而可求解.

x—\

X]

【詳解】由題意可得y=s沅％x+二一一l=s歷％X+—所以其與直線(xiàn)y=2x-2的交點(diǎn),

x-ix-i

等價(jià)于求sm7rx+—^--=2x-2的零點(diǎn),等價(jià)于sinjix=2x-2---二的零點(diǎn),

X—1x—1

等價(jià)于求函數(shù)=sinTUX與函數(shù)=---)的交點(diǎn),

%—1

易得函數(shù)/(x)=s〃7；rx為周期為2的函數(shù)，且x=1時(shí)，f(l)=s■=(),

所以(L0)是函數(shù)/(x)=sin兀x的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,

對(duì)于//（無(wú)）=2（x-l）,/?（1+X）+/7（1-X）=2（.X+1-1）-------+2（l-.x-l）-------=0,

X1X+111X1

所以關(guān)于點(diǎn)（L0）對(duì)稱(chēng)，且y=2（x-l）為增函數(shù)，>=-一、為增函數(shù)，

X-L

所以刈尤)=2"-1)-工在(1,+8)上單調(diào)遞增,

X~1

所以可以作出/(x)和網(wǎng)力圖象如下圖,

故選：A.

7.D

lr)x

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合力(%)=干(％>e)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(%)=%2—2—xlnx且%￡(0,+oo),所以r(x)=2x-lnx-l,

17r—1

令g(x)=2尤一In無(wú)一1且xe(0,+oo),貝I]g'(x)=2---=———,

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,故函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<尤<；時(shí)，g'(x)<0,故函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

所以?f(x)=g(x)2g[gj=2><g_lng_：l=ln2>0,

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

6

=—(x>e),貝IJ/7'(x)=^^40,

XX

所以h{x}在［e,+oo)上單調(diào)遞減，/z(e)>/z(3)>/z(4),

即lnG*/<*/=g,則小n@<(與<0,即q<A<c.

故選：D

8.C

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式求解q的值，再由數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)一步判斷即可.

14

［詳解］q=3n"U=1n4=—，S3+n=12=>2q+3H—=12,

qq

貝!J2q2-9q+4=（2q-l）（q-4）=0=>4］=5,%=4.

由于為遞增數(shù)列，貝!Iq=4,q=；，

2

所以｛an｝的通項(xiàng)公式為??=4-

-(1-4

所以：

S=4_4"-ll'

"1-4

故選：c.

9.AC

【分析】對(duì)于A,直接用奇函數(shù)的定義驗(yàn)證；對(duì)于B,直接說(shuō)明兀不是周期；對(duì)于C,利用正弦二倍角公式

證明〃燈》-；，再由=可得最小值；對(duì)于D,直接計(jì)算得到.3=7⑼，即可否定結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/（久）定義域?yàn)镽,有"-尤）=sin（-x）?卜OS（-刈=-sinxJcosH=-〃x）,

所以f（x）是奇函數(shù)，A正確;

1工(3兀).3兀3兀1

—,f——=sincos——=一

2I4J442

71

所以,這表明兀不是“X）的周期，B錯(cuò)誤;

>-|sinxcosx|=--||sin2x|>--1

對(duì)于C,我們有/(x)=sinX?|cosx|

而之前已計(jì)算得到了,：］=-g,故/（X）的最小值為-；，C正確；

對(duì)于D,由于=cos］=0,/（0）=sin0-|cos0|=0,

故/⑼，所以〃尤）在。弓上并不是單調(diào)遞增的，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

7

10.ABC

【分析】根據(jù)圖象求得函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由題圖可知，一T二77=1一二it=三it，所以7=兀=2臼7r，所以①=2,

212122co

[C兀兀ZF4兀

由2x五十0=5，得9=§，

[A+B=3[A=2兀

由401，解得D…所以/(x)=2sin(2x+z)+l.

[-A+B=-l[3=13

對(duì)于A,令X=—事，則2x+m=—兀,/(—g)=l,故A正確；

對(duì)于B,7'(X)=4cos(2x+g),2J4211.,711.兀兀，故B正確；

3hm---------------------=—f(―)=—x4cos(2x—+—)=-1

…。2Ax22223

TT

對(duì)于C,函數(shù)g(x)變換后的解析式為y=2cos(2x-B)+l,因?yàn)?/p>

6

JTJTJTJT

2cos(2x—)+1=2COS[(2XH—)—]+l=2sin(2xd—)+1,即為函數(shù)/(%),故C正確；

6323

對(duì)于D,因?yàn)橛萫(0,a),得2無(wú)忖嗎,2°+。)，令/(x)=0,則sin(2尤+()=-；，由正弦函數(shù)圖象可知,

亭<2〃+9等，解得等<av學(xué)，故D錯(cuò)誤.

636124

故選：ABC.

11.ABD

【分析】首先利用作差法判斷單調(diào)性，列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再結(jié)合各選項(xiàng)一一判斷即可.

【詳解】因?yàn)??！岸迦f(wàn)(女N),所以%一%=彳7一==(2〃_7)(2〃-9)，

7o

令見(jiàn)+1—見(jiàn)>0,gp(2n-7)(2n-9)<0,解得『右,

又〃eN*,所以當(dāng)〃=4時(shí)a?+i-a?>0,

則當(dāng)1V“V3或“25時(shí)“用一見(jiàn)<。，

9Q

令凡=^-□>0'解得

2n-92

99

以4—-亍>%=-二>/=-3>〃4=-9，。5>。6>。7>>0,

所以數(shù)列｛4｝有最小項(xiàng)。4=-9,且有最大項(xiàng)。5=9,故A正確；

9

由a.eZ,則-----eZ又“eN*,所以“=3或〃=4或〃=5或九=6或"=9,

2n-9

所以使4eZ的項(xiàng)共有5項(xiàng)，故B正確；

要使%。用4+240，又見(jiàn)*0，所以4、。用、?！?2中有1個(gè)負(fù)數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，

8

所以“=1或"=2或"=4,故滿(mǎn)足見(jiàn)?！?4+24。的”的值共有3個(gè)，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)椤癡4時(shí)?！?lt;0,〃35時(shí)4,>0,

所以當(dāng)〃為4時(shí)5“取得最小值，故D正確.

故選：ABD

11

12.-<a<-

32

【分析】運(yùn)用分段函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性知識(shí)可解.

【詳解】由題意，/(x)為定義在R上的減函數(shù)，則各段為減函數(shù)，還要區(qū)間端點(diǎn)附近遞減,

1

a>一

1-3a<03

11

所以<0<。<1解得0<a<l,貝nlU—。w—.

32

2(1-3a)+Q+122/

-3<6Z<—

2

故答案為：

13.1

【分析】由正弦定理可得sinA=g,再由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=2qsin3,由正弦定理可得sin3=2sinAsin3,且sinBwO,

1111

所以sinA=5，貝!1sA=1bcsinA=］x4x1=l.

故答案為：1

14.n-2"-1

［分析］令C：+2c+3C：++5-1)C：T+〃=S“，結(jié)合C；=CT得到C：T+2c尸+3cL+5-DC：+n=Sn,

倒序相加求出答案.

【詳解】令C；+2C：+3C：+….+nC：=Sn,

貝第C：+2c+3c++(n-l)C：-'+n=Sn,

結(jié)合C；=C7可有C：-1+2c/+3c尸++n=Sn,

倒序相加法得”(C：+C：+C：++C：-')+2n=2Sn,

n(2"-2)+2?=2S?,S?=nx2,-1,

即C；,+2C：+3C：++nC'n=nx2"一.

故答案為：*2”T.

9

15.⑴氏=2〃-l(〃eN*)

【分析】（1）設(shè)公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于0和d的方程，求解即可

得｛即｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得等比數(shù)歹￡%+或｝的第三項(xiàng)/+4，進(jìn)而得4+4,從而得到｛%｝的通項(xiàng)公式，利用等差

和等比數(shù)列前w項(xiàng)和公式分組求和即可求出7“.

【詳解】（1）因?yàn)椋梗秊榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為力

由$7=49,得（4+；）X7=7%=49,n4=7即4+34=7,

由電，%，%成等比數(shù)列得n（7+d）2=（7—2d）（7+10d）,

化簡(jiǎn)（7+d）2=（7—2d）（7+10d）得/一2d=0,因?yàn)閐/O,所以d=2.

所以%=%+（〃-4）d=2"-l（“cN）

綜上%=2"-l（〃eN*）.

（2）由=2〃-1知q=1,%=5,

又｛q+〃｝為公比是3的等比數(shù)列，3=22,

所以q+4=（4+4）x9=5+22=27,即％+4=1+4=3,

所以a“+b,=3x3"T=3"^=3"-（2n-l）,（neN,）

所以7；=々+62+63+…+2=31+32+33+---+3,,-[1+3+5+---+（2?-1）]

3x（1-3"）（1+2〃一l）w3n+1-3

=------------------------=---------n2-

1-322

綜上（=二^-〃2.

2

16.⑴4=1.

（2）a+c=3+-\/3

【分析】（工）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解；

10

（2）利用等面積法以及余弦定理即可求解.

【詳解】（1）依題意，由正弦定理可得sinC-sinB,sin（4一B,

sinCsinC

所以sinC—sinB=sin（A—jB）,

又sinC=sin［兀一（A+3）］=sin（A+3）,

所以sinB=sin（A+B）—sin（A—3）=2cosAsinB,

因?yàn)樗詓inBwO,所以cosA=g,

又Ae（O,7i）,所以A=2

（2）解法一：如圖，由題意得，S^ABD+SAACD=SAABC,

A

BDC

所以！c?ADsin—+—b'ADsin—=—b-csin—,即b=2c,

262623

yLb-AC=2^/3,所以c=

所以。2=/+。2一2bccc吟=9,即a=3,

所以Q+C=3+V3.

解法二：如圖，ACO中，因?yàn)锳D=2,AC=26,/C4O=2,

6

由余弦定理得，CD2=22+（2^）2-2x2x26cos-=4,

6

所以CD=AD=2,所以C=NC4￡>=$,

6

所以3=兀一4一。=1,

所以Q=Z?COS工=3,c=/?sin^=^,

66

所以a+c=3+y/3.

5

17.（l）m=-；

⑵極小值e+2,無(wú)極大值.

11

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及給定直線(xiàn)列式計(jì)算即得.

(2)把m=2代入，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=f-Mnx+2x,求導(dǎo)得尸(x)=e"(x-l)_'+2,貝"/()=-機(jī)+2,

XXX

依題意，(-m+2)x2=-l,所以機(jī)=*.

2

(2)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，函數(shù)/⑴=6--21nx+2x的定義域?yàn)?0,+s),

X

求導(dǎo)得尸(x)=efT):+2=(e*+2?D,

X1XX1

當(dāng)0<x<l時(shí)，<0,當(dāng)尤>1時(shí)，f\x)>0,

因此函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)在x=l處取得極小值e+2,無(wú)極大值.

18.(1)??=2-

(2)7；,=|1

2"+1

【分析】(1)結(jié)合題意，利用?！迸cS”的關(guān)系式及等比數(shù)列的概念即可求解;

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.

【詳解】(1)由2"S,=(2"-l)(S“+「S”)，

得s.=1口―“)，g,

當(dāng)心2時(shí)，5"_|=11一而

兩式相減得見(jiàn),

化簡(jiǎn)得&包=2(〃22),

an

當(dāng)”=1時(shí)，S]=%=；X%=1,

所以數(shù)列｛廝｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以%=2"、

(2)由(1)知a“=2"T,

、_]__1_

所以"=(%+1)(%+1)=(2"一+1乂2"+1)=2"T+1'

12

所以北―2°+「2i+l+2i+「22+l++2"-1+1-2"+1

1l_j__1

120+112"+1-2-2"+1

19.(1)；，+"

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意可得根(x)W。在區(qū)間(0,+8)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)="r(x0),求得其最大

值，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意要證〃x)>0等價(jià)于證明lar-辦+,>0,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx-辦+工(%〉