2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量的概念及線性運算（解析版）

專題28平面向量的概念及線性運算（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................7

【考點1】平面向量的概念.....................................................7

【考點2】向量的線性運算....................................................12

【考點3］共線向量定理的應(yīng)用................................................17

【分層檢測】...............................................................23

【基礎(chǔ)篇】.................................................................23

【能力篇】.................................................................31

【培優(yōu)篇】.................................................................35

考試要求：

1.了解向量的實際背景.

2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.

3.理解向量的幾何表示.

4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.

5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.

6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

■,知識梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量

的方向.向量后的大小就是向量的是度(或稱模)，記作畫1.

(2)零向量：長度為0的向量,記作0.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,8平行，記作a〃氏規(guī)定：0與任

一向量平行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

C

交換律：

A，a'B(1)

=

求兩個向量和三角形法則a~\~bb~\~a.

加法

的運算(2)結(jié)合律：

(a+A)+c=a+(A+c)

OA

平行四邊形法則

求兩個向量差

減法a~b=a+(—b)

的運算a

三角形法則

規(guī)定實數(shù)丸與

(lW=|2||fl|；

向量a的積是

(2)當(dāng)丸＞0時，加的方向=2"。；

一個向量，這

數(shù)乘與a的方向相回；當(dāng)丸＜0(2+fi)a—；

種運算叫做向

時，7a的方向與a的方向〃〃+1)=/1。+勸

量的數(shù)乘，記

相反;當(dāng)7=0時，2a=0

作ka

3.共線向量定理

2

向量a（aWO）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)九使歸公.

|常用結(jié)論

1.中點公式的向量形式：若P為線段A3的中點，。為平面內(nèi)任一點，則。＞=/以+麗）.

2.OA=AO5+//OC（A,〃為實數(shù)），若點A,B,C共線，則4+〃=1.

3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向;

二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）已知向量〃也c滿足同=網(wǎng)=1,同=3,且〃+6+3=0,則cos〈a—c,A-c〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

2.（2020?山東?高考真題）已知平行四邊形ABC。，點E,尸分別是AB,的中點（如圖所示），設(shè)A5=〃，

AD=b,則石尸等于（）

D______________7c

—a+b

2

3.（2020,海南?高考真題）在ABC中,。是AB邊上的中點,則CB

A.2CD+CACD-2CAC.2CD-CACD+2CA

、填空題

4.（2021?全國?高考真題）已知向量4=（2,5）力=（幾,4）,若°〃6，貝1］彳=.

3

5.（2020?天津?高考真題）如圖，在四邊形A3CD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,S.AD=ABC,ADAB=--,

則實數(shù)％的值為,若MN是線段BC上的動點，且|MN|=1,則。的最小值為.

6.（2020?江蘇?高考真題）在EIABC中，AB=4,AC=3,N8AC=90。,。在邊BC上，延長40至l」P,使得AP=9,

^PA=mPB+（--m）PC（m為常數(shù)），則CD的長度是.

3

參考答案:

1.D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為a+/;+e=0,所以1+/?=-

即必+)2+2無方=/，即1+1+2」?/?=2,所以。=0-

如圖，設(shè)。4=口。月=方,。0=乙

C

ADB

由題知,OA=OB=1,OC=^/2,^OAB是等腰直角三角形,

AB邊上的高0。=立,A￡>=走，

22

所以CO=CO+OO=應(yīng)+變=逑,

22

tanZACD=-=-,cosZACD=2

CD3VTo

cos(a-c,b-c〉=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

2.A

【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案;

【詳解】連結(jié)AC,則AC為.ABC的中位線，

EF=-AC=-a+-b,

222

4

D,C

F

AEB

故選：A

3.C

【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2^CD-CA)=2CD-CA

故選:C

【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于2的方程，解方程即可求得實數(shù)％的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-4x5=0,

Q

解方程可得：A=|.

Q

故答案為：—.

【分析】可得NBAD=120,利用平面向量數(shù)量積的定義求得彳的值，然后以點8為坐標(biāo)原點，3c所在直

線為左軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點M（x,O）,則點N（x+l,O）（其中0WxW5）,得出。關(guān)于》的函

數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得DA7.DN的最小值.

【詳解】AD=ABC，AD//BC,.-.ZBAD=180-ZB=120;

ABAD=ABC-AB=^BC^AB^cos120

=Ax6x3x=-92=,

解得2=,，

o

以點3為坐標(biāo)原點，3c所在直線為無軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xHy,

5

BC=6,.\C(6,0),

團(tuán)又團(tuán)AD=pC,則竽，設(shè)Af(x,O),則N(x+l,O)(其中04x45),

3行

DM=x——,—-—,DN=x——

I22JI2

DMDN==x2-4x+—=(x-2)2+—,

2l72

所以，當(dāng)x=2時，DA1.DN取得最小值了.

、113

故答案為：—；--.

62

【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于

中等題.

18一

6.二或。

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)*2即(2>0)，結(jié)合日加尸""也與民D,C三點共線，可求得力,再根

據(jù)勾股定理求出BC,然后根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】回ARP三點共線，

團(tuán)可設(shè)PA=XPD(X>0),

0PA=mPB+—J，

^APD=mPB+(^-m]pC,即m,

\ZJrLf——JTDH-------rC

3

若mwO且加工5,則民D,C三點共線，

Em(I-?]「即2=3,

--1-------=1o

22乙

回AP=9,團(tuán)AT>=3,

6

AB=4,AC=3,ABAC=90°,

團(tuán)5C=5,

設(shè)CD=x,/CDA=?,貝！|BD=5—x,ZBDA=7r-e.

團(tuán)根據(jù)余弦7E理可得cos蚱2皿⑺=%，=2皿BD=提了,

團(tuán)cos0+cos（"一e）=0,

2

x（5—x）—7ATJZH18

回"+</<\=。，解得％=”，

66（5-x）5

1Q

團(tuán)8的長度為￡.

當(dāng)機(jī)=0時，PA=^PC,C,。重合，此時CD的長度為0,

當(dāng)m=5時，PA=^PB,氏。重合，此時m=12,不合題意，舍去.

1Q

故答案為：0或

【點睛】本題考查了平面向量知識的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出

PA=APD（/l>0）.

■考點突破

【考點1J平面向量的概念

一、單選題

1.（2024?廣西南寧?一模）已知.ASC的外接圓圓心為。，且2AO=A2+AC,pd=kq,則向量C4在向量

CB上的投影向量為（）

A.-CBB.CBC.—CBD.-CA

4442

2.（2024?湖南永州?三模）在，ABC中，ZACB=12O,\AC\=3,|BC|=4,DCDB=0,則|AB+A4的最

小值為（）

A.65/3-2B.2V19-4C.373-1D.719-2

二、多選題

3.（2022?浙江?模擬預(yù)測）已知向量。=（0,1）,ZJ=（cos0,sin0）（0<6><^-）,則下列命題正確的是（）

A.若o_L。，則tan。=也

B.若B在a上的投影向量為-也。，則向量a與6的夾角為當(dāng)

63

7

C.若6與“共線，貝也為［乎，半］或［一半，一半

D.存在仇使得卜+0=忖+忖

4.（2022?遼寧丹東?模擬預(yù)測）已知°,b，c為單位向量，若a+26+3c=0，則（）

A.|a-c|=2B.b=c

C.ab+bc=0D.3a+2b+c=0

三、填空題

5.（2022?遼寧，模擬預(yù)測）已知四棱錐P-ABC。的底面ABC。是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球。的

球面上，B4團(tuán)平面ABC。，B4=AB=2,BC=20，點E在棱尸3上，且序=2儻，過E作球。的截面，則

所得截面面積的最小值是.

6.（2022?江蘇?三模）己知向量。=（6,2）,與°共線且方向相反的單位向量/=.

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)題意，得到03=-0C，得到點。為線段3C的中點，得出ABC為直角三角形，且AOC為

等邊三角形，進(jìn)而求得向量值在向量C2上的投影向量.

【詳解】由2Ao=A3+AC，可得(A8-AO)+(AC-AO)=OB+OC=0,

所以O(shè)3=-OC，即點。為線段8C的中點，

又因為sABC的外接圓圓心為O,所以ASC為直角三角形，所以|Q4|=JB4

因為|OA|=|AC|,可得|oA|=kc|=|oc|,所以二AOC為等邊三角形，

故點A作AD13C,可得|CD|=|AC|cosNACB=<|AC],所以

因為向量C4在向量C2同向，所以向量CA在向量C8上的投影向量為;CB.

故選；A.

8

B.

A

2.A

【分析】以C為坐標(biāo)原點，C5所在直線為x軸，過C垂直BC的直線為〉軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，求得點。的軌跡方程，取瓦）的中點為求得M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求

【詳解】由題意，以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為無軸，過C垂直CB的直線為>軸建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系,

則A（弓竽），8（4，。），由0008=0,可得。是以BC為直徑的圓,

所以。的軌跡方程為（x-2）2+V=4,

取的中點為設(shè)M（x,y）,D（Xo，%）,

3+4

X=

2x0=2x-4

可得<,所以所以(2x—6)2+(2y>=4,

%+。y0=2y

y=

2

所以點M的軌跡方程為（了-3）2+/=1,圓心為8（3,0）,半徑為1,

由AB+AO=2AM，所以|AB+AD|=2|所以|AB+AD1mhi=21AM1mto,

(一,-3)2+(竽—Op-1=3A/3-1，

所以IAM1mhi=|A"|-1=

所以IAB+AO1mto=66-2.

故選：A.

3.BD

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示可知A錯誤，由投影向量的定義可知B正確，由單位向量和共線向量的定

9

義可知C錯誤，由向量。與方同向，可求得tane=，2,可知D正確.

2

【詳解】對于A,若a_Lb,則有V^cose+sin。=0，即tanO=-A錯誤；

對于B,同=6,6在.上的投影為一?口=彳，又因為忖=1,所以cos*4,

：.9弋2%,B正確；

對于C,若匕與〃共線，設(shè)6=（但"），所以有呼方=1，解得一冬

因為Z?=（cosasin8）（00，《?）,sin>0,:.九=與,所以石=（坐,孝），C錯誤；

對于D,若卜+0第+欠成立，則。與人同向，所以〃=私（丸>0）,即有夜=Xcos6，l=4sine,解得

tan0=故D正確.

2

故選：BD.

4.AC

【分析】對Q+2〃+3c=。移項后平方可得出：b?c=—1，a=1,c-a=-1f對于A,

。）={J+c-2a.c,代入即可判斷A；由b.c=-l可判斷B；由人.〃=1，b.c=-l可判斷C；

由慟+2Z?+d=J（3〃+2/?+c'代入即可判斷D.

【詳解】因為a，b，c為單位向量，所以忖=W=H=1,由a+2Z?+3c=0，則a=-2>-3c,兩邊同時平方

得：a=4b+9c+12b-c^所以6?c=—1；由a+2b+3c=0，則3c=-a-2b,兩邊同時平方得：

9c之—(X+4Z?2+4b-a'所以〃?〃=1；由Q+2Z?+3c=0,則2〃=—a—3c，兩邊同時平方得：4//=a+9(?2+6c?a,

所以C,Q=—1;

對于A,卜—c|=J（a—c）=+——2a?c=2,故A正確；

對于B,因為〃.c=-l，所以瓦c為反向共線的向量，故B錯誤;

對于C,ab+bc=l-l=09故C正確；

對于D,pa+2Z?+c[=J(3a+2.+c)=y/9a2+4Z?2+c2+I2ab+6ac+4cb

=:9+4+1+12—6—4=4,所以D錯誤；

故選：AC.

16

5.—7C

9

【分析】將四棱錐尸-ABCD補(bǔ)形為長方體，再根據(jù)長方體里面的三角形關(guān)系求得0E=2叵，再根據(jù)當(dāng)。瓦

3

10

截面a時，截面積最小求解即可

【詳解】如圖，將四棱錐尸-ASCD補(bǔ)形為長方體，易知該長方體的外接球即為四棱錐尸-ABCD的外接球,

SPC為長方體的體對角線，回球心。在尸。的中點上，回外接球半徑R=LPC=UBCZ+A笈+PA?=2,設(shè)

22

平面a為過E的球。的截面，則當(dāng)?！?平面a時，截面積最小，由圖可知0E=Job'+E保？=*,設(shè)截

3

面半徑為廣，則產(chǎn)=改一?！?=令，所以截面圓的面積為g萬，即所得截面面積的最小值為gw

【點睛】本題主要考查了球的截面問題，重要思路是當(dāng)OE0截面a時，截面積最小，同時也考查了立體幾

何中的線段求解，需要利用直角三角形求解，屬于中檔題

a

【分析】利用與a共線且方向相反的單位向量為一百，即可得出答案.

【詳解】a=(6,2),|?|=73674=2710,所以與a共線且方向相反的單位向量是:

a_(3^/10屈、

故答案為：［-何,J.

反思提升：

平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移

混淆.

(4)非零向量a與言的關(guān)系：言是與a同方向的單位向量.

11

【考點2】向量的線性運算

一、單選題

_____ULULULUUUU

1.（2024?廣西?模擬預(yù)測）在ABC中，AB=4AD^CE=2ED,若BC=JLAE+從CD,則（）

2

A.九十〃=5B.A-jU=lC.加=6D.-=3

A

2.（2024?河北承德?二模）在中，。為中點，連接AD,設(shè)E為AD中點，且胡.=羽55=了，則

（）

A.4x+2yB.-4x+y

C.-4x-2yD.4y-2x

二、多選題

3.（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測）已知點。為內(nèi)的一點，D,E分別是3C,AC的中點，則（）

A.若。為中點，則AO=g（QB+OC）

31

B.若。為中點，則OBn7AB-彳AE

42

C.若。為0A8C的重心，貝！）OB+OE=0

D.若。為EABC的外心，且BC=4,則03."=-8

4.（2024?福建廈門?三模）已知等邊「ABC的邊長為4,點。，E滿足8￡>=2D4，BE=EC,AE與CD交于

點。，貝U（）

21

A.CD=-CA+-CBB.B0BC=8

C.CO=2ODD.\OA+OB+OC1=73

三、填空題

5.（2023?上海黃浦?三模）在：ABC中，NC=90,ZB=30,NBAC的平分線交8C于點。，若

AD=AAB+juAC（A.,jueR）,則一=.

6.（2024?山西太原?三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一

書作序時，介紹了“勾股圓方圖"，亦稱"趙爽弦圖"（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比"趙爽弦

圖"，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，

且DF=AF,點尸在A3上，BP=2AP,點Q在DEF內(nèi)（含邊界）一點，若尸。=/LPD+PA,則幾的最大

值為—.

12

參考答案：

1.C

【分析】將向量AEC?？醋骰?，利用向量的加減法法則以及數(shù)乘的運算法則，得到8C=_3AE-28即

可.

【詳解】依題意，AB=4AD，

所以BC=DC-=-CD-3AD=-CD-3（AE+ED）,

又因為CE=2E￡），

所以BC=-CO-3AE-3EO=-8-3AE-。=-3AE-2cO，

所以4=—3,〃=—2,

23

所以2+〃=-5,2-//=-1,力〃=6,—=只有選項C正確；

〃2

故選：C.

2.D

【分析】利用平面向量基本定理將BE用BC,BA表示出來，再用向量的線性運算把BC用BE,BA表示即可.

【詳解】由于BE=g（K4+BD）=：BA+：BC,所以8C=4BE-28A=4y—2x,

故選:D

3.ABD

【分析】由。為AD中點，結(jié)合平面向量的加法法則即可判斷A,B；由重心的性質(zhì)即可判斷C；由三角形外

心性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積公式判斷D.

【詳解】對于A,因為。為AD中點，所以AO=OO=；（OB+OC）,故A正確；

13

對于B,由。為AO中點，則

1-I-I2*1al

OB=OA+AB=——AD+AB=——x-（AB+AC]+AB=-AB一一AC=-AB——AE,故B正確;

222、）4444

對于C,由。為S48c的重心，則根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得08=2E0，所以O(shè)8+OE=-OE，故C錯誤;

對于D,若點。為0A8C的外心，BC=4,則根據(jù)三角形外心的性質(zhì)得OCBC，

^OBBC=(^OD+DB)BC=-^BC2=-8,故D正確.

4.ABD

【分析】根據(jù)向量的線性運算，向量共享定理的推論，得出。為AE中點，。為8上靠近點。的四等分點,

對選項進(jìn)行判斷，得出答案.

【詳解】

B

14

對于A選項，CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CA+-CB,故A正確;

33、'33

對于B選項，因為，ABC為等邊三角形，BE=EC,E為中點，所以

所以A07.BC,即AO.8C=0，所以BO-8C=(胡+A。1BC

=BA-BC+AO-BC=BA-BC=|BA||BC|cos600=4x4x1=8,故B正確；

對于c選項，設(shè)co=/ia),

9i222A2A

由(i)^CD=-CA+-CB=-CA+-CE,所以CO=—CA+一CE,

333333

OJOJ]Q

又O,A,E三點共線，所以<+『=1,解得2=；,所以。為CD上靠近點。的四等分點，故C錯誤；

111313

對于D,AE=-AC+-AB=-AC+-AD,設(shè)A￡=rAO，貝1"40=—4。+—4。，

222222

所以AO=k1AC3+?A-r>,又o,CD三點共線，所以丁1+*3=1,解得f=2,

2t2t2t2t

所以。為AE中點，所以O(shè)A+O8+OC=Q4+(O2+OC)=Q4+2OE=OE=1AE,故D正確，

故選：ABD.

5.—/0.5

【分析】根據(jù)給定條件，探求出線段CD與。3的倍分關(guān)系，再結(jié)合平面向量基本定理求解作答.

【詳解】在，ABC中，NC=90,ZB=30,則ZBAC=60,又AD平分/BAC,即有NC4O=ZDAB=30,

11I2

因此BD=AD=2CD,即有。。=萬。*AD-AC=-(AB-AD)fAD=-AB+-AC,

12

ffi]AZ)=2AB+//AC,且A民AC不共線，于是；1=耳,〃=1，

故答案為：;

DP2

【分析】先利用向量線性運算得到AQ.町作出輔助線，得到上MH,且而方從而得到答案.

【詳解】PQ=APD+PA^PQ-PA=A.PD=>AQ=APD,

15

取DE的中點連接AW,

因為BD=DE,故BD=2HD,

又BP=2AP,所以北=黑=］，故DP//AH,且名■=1，

ABBH3AH3

3

所以2的最大值為:，此時點。與點H重合.

2

3

故答案為：；

反思提升：

1.（1）解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反

向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

（2）在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及

三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向

量線性表示.

2.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加

法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

【考點3】共線向量定理的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?全國,模擬預(yù)測）己知平面上點O,A,8滿足|。4卜|。4=2,且|。4+。5|=|。4|,點°滿足

\OC-OB\=^-,動點P滿足=則|。尸|的最小值為（）

A.叵B.巫C.1D.1或叵

777

22

2.（2024?浙江臺州?二模）設(shè)耳，耳是雙曲線C：+-當(dāng)=1（。＞0力＞0）的左、右焦點，點M,N分別在雙

ab

rr

曲線。的左、右兩支上，且滿足NgN=§,則雙曲線。的離心率為（）

NF2=2MFX,

7廠5

A.2B.—C.D.一

32

二、多選題

3.（2022?全國?模擬預(yù)測）如圖，在等腰梯形A3CD中，AB=2AD=2CD=2BC,E是BC的中點，連接

AE,8。相交于點尸，連接CR則下列說法正確的是（）

16

A.AE^-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

4255

—1—2——1—3—

C.BF=一一AB+-ADD.CF=—AB——AD

55105

4.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知。是坐標(biāo)原點，平面向量Q=OA，b=OB，c=OC，且〃是單位向量，a,b=2,

4?:=1,則下列結(jié)論正確的是（）

.21

B.若A,B,。二點共線，則

C.若向量b—q與c-Q垂直，則1+c—2M的最小值為1

D.向量與b的夾角正切值的最大值為史

4

三、填空題

UUUuuuUUULILIU4

5.（2023?上海黃浦?一模）已知四邊形A8CZ）是平行四邊形，右AD=2￡）E，BF〃BE，AF-BE=0,且

UUUuuu

AF-AC=60，則AC在AF上的數(shù)量投影為.

6.（2024,安徽淮北?一模）已知拋物線/=2/（2>0）準(zhǔn)線為/,焦點為F,點A,B在拋物線上，點C在/

上，滿足：AF=AFB，AB=JUBC,若4=3,則實數(shù)〃=.

參考答案：

1.A

【分析】由題設(shè)三個條件依次得到0402==,推得點C的軌跡是以點B為圓心，叵為半徑的圓，再得

點P,A,C三點共線，通過建系將問題轉(zhuǎn)化成由點4卜1,百）向圓做切線，求原點到該切線的最短距離問

題.

【詳角單】由題意，OA2=（OA+OB）2=OA2+OB2+2OA-OB

=4+4+2x2x2xcosOA,OB=4,所以cosOA,OB=一；.

2兀

因為OVQAOBVTI,所以。A,02=7.

又|oc-02卜浮，即|BC|=g,所以點C的軌跡是以點B為圓心，理為半徑的圓.

17

如圖，以。為坐標(biāo)原點，以05的方向為％軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.

易知3（2,0）,石），則點C的軌跡方程為（尤-2）2+/=,

由OP=〃M+（1—得點P,A,C三點共線.

過點A作圓3的切線，設(shè)其方程為y-6=Mx+l）,即&+6=0.

由點8（2,0）到該切線的距離為叵，可得笆窣上畫=@,解得人一走或左=一走.

7717F725

由圖知，當(dāng)左=-1時，網(wǎng)最小，切線的方程為屈+2y-百=0,

此時耳的最小值即為點O到切線的距離，即|。尸|一上喝一里一回

?1mhi,3+4V77

故選：A.

2.B

【分析】設(shè)Nf；與“鳥的交點為尸，進(jìn)而根據(jù)下向量關(guān)系得，叫再結(jié)合雙曲線的性

791n

質(zhì)即可得|尸工|=耳（2°+同，\PN\=^（2a+2x）,進(jìn)而結(jié)合余弦定理求得x=，最后在△口物中利用余

弦定理求得7〃=3c,進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)NE與“的交點為尸，\MF^x,

因為%=25，所以|N耳=2防|=2尤，

所以，由雙曲線的定義可知：|M/^=|MF；|+2a=2a+x,\NFl\=2a+\NF2\=2x+2a,

因為入月=25，所以NF/MK，

所以NF『S.RMP,ZFlMF2=ZMF2N=,

2992

所以附|=1M用=耳（2"+無），沖|=總附=耳（20+2%）,

TT

所以，在，PN8中，ZPF2N=ZMF2N=-,

18

照「+內(nèi)甘_曲「兀J

所以，由余弦定理有：cos/P《N=

2|尸巴卜|西川i2

代入|尸馬=^（2〃+“，|9|二中2〃+2耳/叫卜2元，整理得3丁—10改=0,

解得%=g[,X=0（舍），

所以，阿周=,限馬=2[+%=與〃，閨司=2c,

所以，在△耳加工中，由余弦定理有：cos/用吟=笆雪龍町手叢=〈,

2\FYM\-\F,M\2

代入數(shù)據(jù)整理得：7a=3c,

c7

所以，雙曲線的離心率為：e=-=-.

a3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用向量的關(guān)系得到NFiPs.RMP,進(jìn)而在PN8中結(jié)合余

弦定理求得四用=不。.

3.ABD

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算并結(jié)合平面向量共線定理即可判斷答案.

【詳解】對于A選項，AE=AB+BE=AB+~^C=AB+-1-AB+AD+DC\

=AB+-\-AB+AD+-AB\=-AB+-AD,故A選項正確；

對于B選項，因為8,F,。三點共線，設(shè)/=尤凝+（1-到顯），由於〃怠，所以存在唯一實數(shù)入，使

得后=兄京，結(jié)合A可知，XAB+（1-X）AD=^AB+^AD\^L-^AAB=^-1+AAD,因為

-43t3T2T

A民AO不共線，所以1=%=，所以.二人加三A。，故B選項正確;

-2-l+x=0355

12

~~—>2~'2-'

對于C選項，結(jié)合B,BF=AF-AB=--AB+jAD,故C選項錯誤；

19

—>—>—>—>1—>—>Q—>O—>1—>Q—>

對于D選項，結(jié)合B,CF=CD+DA+AF=--AB-AD+-AB+-AD=—AB一一AD,故D選項正確.

255105

故選：ABD.

4.AD

【分析】根據(jù)給定條件，用坐標(biāo)表示向量。，仇再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算逐項計算判斷即得.

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，令a=(L0),Z?=(%,b),c=(X2，c),

由〃心=2，得石=2,則匕=(2*),。=§,。)，

對于Aa-c=(g,-c),因此|〃一°|==|c|,A正確;

對于B,由A,&C三點共線，得。4=(1-4)。3+20C,即(1,0)=(1-4)(2,b)+2(；,c),

1212

于是2(1—X)H—4=1,解得4=—,即〃=——c,B錯誤；

2333

對于C,b—a=(l,b\c—a=(——,c),由向量b—〃與°一〃垂直，得be=，

而Z7+c—2a=(g,b+c),則|b+c—2。|=J'+(A+c,=+Z?2+c2+2bc>,

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時取等號，C錯誤；

對于D,令向量力一〃與人的夾角為6,b-a=(l,b),當(dāng)人=0時，0=0,tan6=0,

b

當(dāng)bwO時，不妨令6>0,D(l,b),則b—a=3=/BOD,顯然tanNDOA=b,tanZBOA=—,

2

tanZD