2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬檢測(cè)卷2（新高考專用）解析版

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測(cè)卷02（新高考專用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.（2024?云南貴州?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）-i=2（i為虛數(shù)單位），貝”的虛部為（）

444.4.

A.-B.C.-1D.—i

5555

2.（2024?江蘇宿遷?一模）已知集合4=卜|04%〈4,》€(wěn)?4},2=卜?=3左一1,左€2},則4口3=（）

A.{0,2}B.{2,4}C.{2}D.{1,3}

3.（2023?北京東城?一模）恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的

三大成就.其中對(duì)數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為"用縮短計(jì)算時(shí)間延長了天文學(xué)家的壽

命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，則由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值（精確到0.001）,可得N的

值為（）

M2371113

lgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

4.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為

j2,向右移動(dòng)的概率為：1.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置，

則P（X>0）=（）

-4-3-2-10123456^

5052217

A.---B.—-C.—D.—

243243981

5.（2023?廣東佛山?二模）已知方程42+g2+3+瓜+4+尸=0,其中尸.現(xiàn)有四

位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

其中，真命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.（2024?天津?高考真題）一個(gè)五面體已知AD〃3E〃CF,且兩兩之間距離為1.并已知

AD=LBE=2,CF=3.則該五面體的體積為（）

F

B

A73口3百,1「百c3gl

642242

7.（2024?貴州黔東南?二模）已知正實(shí)數(shù)。，6滿足e2"-2+e；e23+e-J則的最大值為（）

2b

13

A.0B.—C.1D.一

22

8.（2024?浙江?二模）已知函數(shù)滿足對(duì)任意的x,ye（1,"）且x<y都有了若

氏=/1+5〃+二'"N*,則％+&+%+…+—=（）

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)不等的平面向量圓方滿足1=（1,⑷石=（九-1,2）,其中力是常數(shù)，則下列

說法正確的是（）

A.若M//B，則2=—1或4=2

B.若3,貝5在4+方上的投影向量的坐標(biāo)是，

C.當(dāng)B+2,取得最小值時(shí)，同=與

D.若的夾角為銳角，則兒的取值范圍為

10.（2024?遼寧沈陽?一模）如圖，點(diǎn)A3,c是函數(shù)〃x）=sin（ox+9）（o>0）的圖象與直線y=￥相鄰的三

個(gè)交點(diǎn)，且忸C-M同/則（）

A.co=4

2

C.函數(shù)/（X）在Y，鼻上單調(diào)遞減

D.若將函數(shù)〃尤）的圖象沿x軸平移e個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則網(wǎng)的最小值為最

11.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)“力與g（x）的導(dǎo)函數(shù)分別為了'（X）和g'（x）,若

g（x）一〃3—x）=2,/'（x）=g'（x-l）,且g（—x+2）=—g（x+2）,則下列說法中一定正確的是（）

A.g（x+2）為偶函數(shù)B./'（x+2）為奇函數(shù)

2024

C.函數(shù)“X）是周期函數(shù)D.￡g伏）=0

k=l

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（2023?天津?高考真題）在12x3-的展開式中，/的系數(shù)為.

22

13.（2024?廣東江蘇?高考真題）設(shè)雙曲線C:f-1=l（a>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為不工，過F,作平行

ab

于y軸的直線交C于A,8兩點(diǎn)，若|耳41=13,11=10,則C的離心率為.

14.（2024?山東青島?一模）已知球。的表面積為12兀，正四面體A8C。的頂點(diǎn)8,C,。均在球。的表面上，

球心。為△BCD的外心，棱與球面交于點(diǎn)P.若Ae平面%,Be平面a2,Ce平面&3，Dw平面%，

%//%+《=1,2,3）且％與%（i=l,2,3）之間的距離為同一定值,棱AC,分別與a?交于點(diǎn)。，R，貝以尸。、

的周長為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（23-24高二上?四川內(nèi)江?期末）設(shè)S“為數(shù)列｛%｝的前，7項(xiàng)和，已知弓=2,Sn-an+1+2=0.

⑴數(shù)列｛4｝是否是等比數(shù)列？若是，則求出通項(xiàng)公式，若不是請(qǐng)說明理由；

（2）設(shè)a=log2”“，數(shù)列」一的前〃項(xiàng)和為I，證明：

〔她+2J4

16.（15分）（23-24高三上?江蘇常州?期中）已知函數(shù)〃尤）=3/+（2a-l）x-21nx,aeR.

⑴討論〃尤）的單調(diào)性；

（2）對(duì)于Vxe[l,e],切科2,心），使得泊，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

17.（15分）（23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí)）學(xué)校食堂為了減少排隊(duì)時(shí)間，從開學(xué)第1天起，每餐只推

3

出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，若他前1天

選擇了米飯?zhí)撞停瑒t第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿間；若他前1天選擇了面食套餐，則第2天選擇米飯?zhí)撞?/p>

22

的概率為“已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕柿?

⑴求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?/p>

（2）記該同學(xué)開學(xué)第〃（〃eN*）天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樨?證明：當(dāng)〃22時(shí)，P?<^.

18.（17分）（2023?廣東佛山?二模）中國正在由“制造大國”向"制造強(qiáng)國”邁進(jìn)，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)

過硬的技術(shù)工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳

承工藝、革新技術(shù)的重要基石.如圖所示的一塊木料中，A3CD是正方形，B4_L平面A3C￡>,PA=AB^2,

點(diǎn)E,廠是尸C,AD的中點(diǎn).

BC

⑴若要經(jīng)過點(diǎn)E和棱A3將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由并計(jì)算截面周長；

⑵若要經(jīng)過點(diǎn)2,E,B將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由.

19.（17分）（2024廣東深圳二模）設(shè)拋物線C：（。>。），直線/：V=履+2交C于A,B兩點(diǎn).過

原點(diǎn)。作/的垂線，交直線>=-2于點(diǎn)對(duì)任意％eR,直線AM,AB,8M的斜率成等差數(shù)列.

⑴求C的方程；

⑵若直線/'〃/,且/'與C相切于點(diǎn)N,證明：AAMN的面積不小于2忘.

參考答案：

題號(hào)12345678910

答案ACCDCCADBCACD

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，即可根據(jù)虛部的概念求解.

2+i（2+i）23+4i

【詳解】由z（2—i）-i=2可得

2^i-（2-i）（2+i）5

4

4

故虛部為二,

故選：A

2.C

【分析】求出集合43或明確集合中元素的特征，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解】由題意得A={0,1,2,3,4},3={x|x被3除余數(shù)為2的整數(shù)},

:.AIB={2},

故選：C.

3.C

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，N的70次方為83位數(shù)，所以解?！?082,1（）83）,則坨1082<坨V。<坨1083,即

82<701gN<83,整理得1.171<lgN<1.185,

根據(jù)表格可得Igl4=lg2+lg7=1.146<1.171,Igl6=41g2=1.204>1.185,所以lgN=lgl5,即N=15.

故選：C.

4.D

【分析】由題意當(dāng)X>0時(shí)，X的可能取值為135,且*~3（5彳），根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算即可求

解.

2

【詳解】依題意，當(dāng)X>0時(shí)，X的可能取值為1,3,5,且X?8（5,§）,

所以P（X>0）=尸（X=5）+P（X=3）+P（X=1）

543217

81

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)圓，拋物線，橢圓及雙曲線的方程特點(diǎn)結(jié)合條件分析即得.

【詳解】因?yàn)榉匠藺x2+gy2+c孫+瓜+份+尸=0,其中A2B2CND2石之尸，

所以當(dāng)4=3=12。=。=石=0力方=—1時(shí)，方程為Y+J?_]=0,即必+y2=]是圓的方程，故方程可以是

圓的方程；

當(dāng)A=1N6=。=。=02石=—12尸=—2時(shí)，方程為x2-y-2=0,即y=f-2是拋物線的方程，故方程可

以是拋物線的方程;

5

當(dāng)4=233=1學(xué)。=￡>=石=0上/=-1時(shí)，方程為2x?+/-1=0,即丁+1=1是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程

2

可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有AB<0,C=D=E=0,/<。，這與A232c2￡>2石之尸矛盾，故方程不

可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

所以真命題有3個(gè).

故選：C.

6.C

【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個(gè)棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.

【詳解】用一個(gè)完全相同的五面體H〃-LMN（頂點(diǎn)與五面體ABC-DEF——對(duì)應(yīng)）與該五面體相嵌，使得

D,N.重合，

因?yàn)锳￡>〃班〃CF,且兩兩之間距離為1.AD=1,BE=2,CF=3,

則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，

該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為1+3=2+2=3+1=4,

v_lv_11.1V3,73

VABC-DEF=~VABC-HU=]'5X1X1XyX4=y,

故選：C.

【分析】根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造函數(shù)/（x）=e'-eT,由其單調(diào)性可得2a-2=-b,于是結(jié)合基本不等式可得

的最大值.

【詳解】由題e2"-2-e22=e-,—eJ構(gòu)造函數(shù)/⑺=/一口，則〃2。-2）=〃一。），

顯然/'（X）在R上單調(diào)遞增，所以2a-2=-b,即a=^,

所以a_-L=與_-L=l_」.（6+1[41_1x2、fI=0,當(dāng)且僅當(dāng)a=[,6=1時(shí)等號(hào)成立.

2b22b2\b）2\b2

所以的最大值為0.

2b

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某

些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用

函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌

握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解

題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

8.D

11111

【分析】根據(jù)了%一y將?！?/,再用裂項(xiàng)相消法求

1—xyxy*+5〃+5〃+2〃+3

a1+a2+a3-\-------Fa2024的值.

【詳解】回函數(shù)F（X）滿足對(duì)任意的X,ye（1,+8）且x<y都有f［W卜（J_

(n+2)—(n+3)]

團(tuán)令x=n+2,y=n+3,

1一孫l-(n+2)(n+3)n2+5n+5

回聿而尸門廠內(nèi)

肌+…+…+5心一個(gè)卜0（口+…擊］

=3一2027］（漢］

（2027）11—3x2027J（760》

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項(xiàng)，本題的關(guān)

]

鍵是將通項(xiàng)分析為:

/+5〃+5

9.BC

【分析】根據(jù)平面向量平行、垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，投影向量的概念進(jìn)行求解.

【詳解】選項(xiàng)A：若日〃人則2（2-1）=2,解得2=-1或彳=2,但當(dāng)2=2時(shí)，商=（1,2）=5,與題意不符

合，故A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B：若。_/_B，則2—1+24=0,解得2=耳,

因此@-5=,,+5=n，則萬-方在商+石上的投影向量為

_10

k-4R+6)”57

3■①+一|("=H故B正確;

k+J\a+b^5

7

選項(xiàng)C：\a+2&|=^(22-1)2+(2+4)2=A/522+4A+17=5ht)+M

則當(dāng)2=-|時(shí)，卜+2同取得最小值，此時(shí)1=1,2司=烏，故c正確;

選項(xiàng)D：若。,B的夾角為銳角，則1Z>0,萬與5不同向,

4—1+24>01

得,c,解得且2/2,故D錯(cuò)誤.

%W23

故選：BC

10.ACD

【分析】令〃力=立求得乙，乙,％根據(jù)忸C|-|AB|=W求得。=4,根據(jù)，71

=0求得的解析式,

2312

再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).

兀27c

【詳解】令/(x)=sin(GX+夕)=^-得，(ox+(p=—+2kncox+cp=—+2kn,k《Z,

7T712兀

由圖可知：(oxA+(p=—+2kii,coxc+(p=—+2kji+2ji,a)xB+(p=—+2kn,

所以忸==、+2\AB\=-=]-.-7L,

-14XBXA

2兀1

所以T=WC|TAB|=；1—+271I,所以①二4,故A選項(xiàng)正確,

3CD\

7171

所以1(x)=sin(4x+0),由/=。且》=-三處在減區(qū)間，得sin-=0,

1212I

71

月f以———71+2kli,kGZ,

47r

所以夕=+2lai,左￡Z,

所以/(x)=sin14x+子+2kit=sin(4x+犯=-sinf4x+yj,

I3

9兀兀

-sin一+—p故B錯(cuò)誤.

23

,“71(5兀八兀)

當(dāng)XE時(shí)'M+利5,2兀+力

3

因?yàn)閥=-sint在f€（年,271+5）為減函數(shù)，故/（無）在兀71

i,2上單調(diào)遞減，故C正確;

將函數(shù)八”的圖象沿x軸平移。個(gè)單位得g（尤）=—sin14x+46+1）,（8v0時(shí)向右平移，。>0時(shí)向左平移）,

g（x）為偶函數(shù)得4。+]=|'+%兀，keZ,

所以。=熱+等，keZ,則冏的最小值為以，故D正確.

故選：ACD.

8

11.BCD

【分析】結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性的定義，借助賦值法與函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判

斷即可得.

【詳解】對(duì)A：由g(—x+2)=-g(x+2),故g(x+2)為奇函數(shù)，

若g(x+2)為偶函數(shù)，則g(x)=O,與條件不符，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由g(x)-"3-x)=2,則g〈x)+r(3—x)=0,

又r⑺=g'(x—1),即廣(X+1)=g\x)=-f'(3-x),

QPr(x+2)=-r(2-x),又廣(X+2)定義在R上，

故/'(x+2)為奇函數(shù)，故B正確；

對(duì)C：由g(—x+2)=-g(x+2),r(x)=g1x—l),g(x)-/(3-x)=2,

所以/(x)=g(x—l)+b,貝U/(—x+3)=g(—x+2)+b=-g(x+2)+6,

所以g(x)-〃3-x)=g(x)+g(x+2)-b=2,g(x)+g(x+2)=b+2,

所以g(x+2)+g(x+4)=6+2,所以g(x+4)=g(x),

則函數(shù)g(x)是周期函數(shù)4的周期函數(shù)，函數(shù)〃x)是周期函數(shù)4的周期函數(shù)，故C正確；

對(duì)D：由g(尤)是周期函數(shù)4的周期函數(shù)，

由g(-x+2)=-g(x+2),令x=0,貝ljg(2)=-g⑵，即g(2)=0,

令x=l,則g(l)=-g(3),即g(l)+g(3)=0,

由g'(x)+/'(3-x)=0,f'(-x+3)=g'(-x+2),

貝Ug'(x)=—g'(f+2),則g'(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，則g(元)關(guān)于x=l對(duì)稱，

又g(x+2)為奇函數(shù)，即g(x)關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱，

故g(尤)關(guān)于x=3對(duì)稱，貝|g(4)=g⑵=。，

2024

則￡g伏)=506[g⑴+g⑵+g⑶+g⑷]=506x0=0,故D正確.

k=\

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：

9

（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線X=。軸對(duì)稱，貝IJ/?（尤）=7（2。-x）,若函數(shù)/（X）關(guān)于點(diǎn)（。力）中心對(duì)

稱，則/（幻=26-/（2a-尤），反之也成立；

（2）關(guān)于周期：若/（x+a）=-/（x）,或/（%+。）=工，或可知函數(shù)/（x）的周期為2a.

/（x）/（x）

12.60

【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式J=（-球X26Tx或義"8』，令18-4左=2確定后的值,

然后計(jì)算爐項(xiàng)的系數(shù)即可.

3

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式Tk+l=晨（2x廣］_口=（一琰x26T*晨x產(chǎn)i，

令18—4k=2可得，k=4,

則爐項(xiàng)的系數(shù)為（-1）4X26-4xC^=4x15=60.

故答案為：60.

13.2

2

【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|然|,結(jié)合雙曲線第一定義求出|A耳即可得到。力"的值，從

而求出離心率.

22

【詳解】由題可知4民鳥三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將X=c代入「一斗=1

ab

得）=±^-,即Ac,一3,---:故同=^-=10,|71司=名=5,

又|前|—|然|=2〃，得|M[=|M|+2a=2a+5=13,解得〃=4,代入幺=5得/=20,

a

「63

故/=1+〃=36,,即c=6,所以e=—=—=一.

。42

14.1+近/近+1

10

【分析】結(jié)合球的表面積公式，根據(jù)正三角形外接圓的性質(zhì)求得邊長，利用三點(diǎn)共線及數(shù)量積的運(yùn)算律求

得==然后利用平行平面的性質(zhì)求得4?=1,AQ=；,再利用余弦定理求得PQ=RQ=五，即

322

可求解APQR的周長.

【詳解】設(shè)%與生+?=1，2,3）之間的距離為力設(shè)球。的半徑為此則由題意得4位2=12兀，解得R=有，

所以02=0尸=6，所以48=8。=石08=3,所以0A=JAP-08。=R,

由A,P,3三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)彳使得存=2函+（1-⑷麗（0＜彳＜1）,

2

所以而2=2282+（］_彳）2礪2+2彳（］-/1）弧.礪，所以3=6%+3（l-；l）2,BP3/l-2A=0,

2.o__.1__.Apii

解得彳=—,所以。尸=一次+—而，所以——=—,所以AP=—48=1,

333PB23

又//%（i=1,2,3）且%與a,.+10=1,2,3）之間的距離為止則蕓=名=＜,2g=￡=：,

AD3a3AC2a2

所以A/?=l,AQ=-,所以PQ=R0=Jl+2_2xlx-x，=立,

2V4222

又PR=LBD=1,所以APQR的周長為1+2X也=l+g;

32

故答案為：1+"

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的空間想象能力，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)P,Q,R的位置.本題中應(yīng)用正四

面體的性質(zhì)結(jié)合球的半徑，求出邊長，利用平行平面的距離，得到所求三角形的邊長即可求解.

15.⑴是等比數(shù)列,%=2'；

⑵證明見解析.

【分析】（1）應(yīng)用?！翱偳蟮谩庇?2%且〃22,注意驗(yàn)證的=2q,即可判斷是否為等比數(shù)列，進(jìn)而寫出通

項(xiàng)公式；

（2）由（1）得"=",裂項(xiàng)相消法求】，即可證結(jié)論.

【詳解】（1）由題設(shè)4,=S“-S,i=（a“+i-2）-（a“-2）=a,+i-a“，即a“+］=2a“，且”22,

又〃=1日寸，I—%+2=4—%+2=。，可得出=4=2%,

綜上，｛。“｝是公比為2的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為。,=2".

11

(2)由題設(shè)勿=log2%=",故土=花匕=34一出)，

匚匚2Tl八1111111111III、

所以7；=—(I-一+---+----+…+---------4--------)=—Z(1I+------------)

”232435n-ln+\n〃+222n+\〃+2

3II1^11

=----(----+----),又----+---->0,

42n+1n+2n+1〃+2

3

所以看<［，得證.

16.（1）答案見解析;

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論。＞0研究導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定區(qū)間單調(diào)性；

（2）問題化為〃對(duì)立41,可恒成立，討論。＜1、△1求參數(shù)范圍.

【詳解】（1）由題設(shè)r（x）=辦+2a_］_2=a.+（2aT）x2=（*l）（x+2）且xw（o,+_）,

XXX

當(dāng)口＜0時(shí)廣（同＜。,〃》）在（0,+8）上遞減；

當(dāng)°＞0時(shí)，令/（%）=0=＞尤=!，

當(dāng)0〈尤＜工時(shí)/'（x）＜0,〃x）在區(qū)間（0」］上遞減；

aVa）

當(dāng)X＞工時(shí)＞f（x）＞0"（x）在U，+s］上遞增.

a\aJ

所以當(dāng)時(shí)，/（乃的減區(qū)間為（0,+8）,無增區(qū)間；

當(dāng)a＞0時(shí)，/（久）的增區(qū)間為（j+sj,減區(qū)間為（o,￡|.

（2）由題設(shè)知F（x）Nba.a=2對(duì)Vxe［1,可恒成立.

當(dāng)。＜1時(shí)，止匕時(shí)/（1）=弓-1＜2,不合題設(shè)，舍去.

當(dāng)/I時(shí)，尸（x"0J（x）在［l,e］上遞增，只需〃1）=蓑-122=＞“2|符合.

綜上：a2w.

4

⑵證明見解析

【分析】（1）由己知結(jié)合全概率公式即可求解;

12

(2)由已知結(jié)合全概率公式及等比數(shù)列的定義即可求出｛匕｝的通項(xiàng)公式，分類討論即可證明.

【詳解】(])設(shè)4="第，天選擇米飯?zhí)撞?(，=1，2),則可="第i天選擇面食套餐"，

根據(jù)題意P(A)=|'，尸尸(&IA)=g，,

I/一、I一21124

由全概率公式，得尸(4)=尸(A)P(&R)+P(A)P(A|A)W+]X§=§；

(2)設(shè)4="第，天選擇米飯?zhí)撞?("=1,2,…),

則￡=P(4)，網(wǎng)4)=1一匕，P(A+1l4.)=p尸(AM%)」，

由全概率公式，得尸(心)=*4)玖414)+網(wǎng)4注(4+1同=-匕+|，

即心|=一"+：，所以七「9一；1一\，

因?yàn)椤┮?所以【匕-是以。為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列；

2oI2J63

可得尺C+XT("CN)

當(dāng)〃為大于1的奇數(shù)時(shí)，^=1+1x(-1rl-1+7X4)2=^;

26326327

當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí),月=;-34嚴(yán)<24,

2o322/

14

綜上所述：當(dāng)"N2時(shí)，^<—.

18.⑴詳見解析；

(2)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理可得鉆//平面P8,設(shè)PO的中點(diǎn)為G,根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得

2瓦EG,AG就是應(yīng)畫的線，然后根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得截面周長；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面3EF的法向量，設(shè)PDC平面3EF=H,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得H

的位置，進(jìn)而即得.

【詳解】(])因?yàn)锳3//CD,ABZ平面PCD,CDu平面PCD,

所以A5〃平面PCD,又ABu平面ABE,

設(shè)平面MEc平面PCD=/,貝IJA3〃/,

設(shè)PQ的中點(diǎn)為G,連接EG,AG,則EG//CD,又AB//CD,

所以AB〃EG,即EG為/,BE/GAG就是應(yīng)畫的線，

13

p

因?yàn)镻A_L平面ABCD,ABu平面ABC。，

所以AB_LE4,又PAr\AD=A,PAAOu平面尸4),

所以AB_L平面PAD,AGu平面PAD,

所以AB_LAG,即截面ABEG為直角梯形，又B4=TW=2,

所以AG=0,EG=1,8E=J(2-iy+(0)2=G，

所以，截面周長為亞+石+3；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD＞而分別為X，'，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,2),磯1,1,1),尸(0,1,0),

所以屁=(-1,1,1),訪=(-2,1,0),而=(0,2,-2),

設(shè)平面3EF的法向量為"=(x,y,z),

n-BE=-x+y+z-0,、

則一^,令x=l,可得力=1,2,—1),

n-BF=-2x+y=0

設(shè)PDc平面=設(shè)麗=彳麗=幾(0,2,-2),又尸(0,0,2),

ULU1

0H(0,22,2-2/1),BH=(-2,22,2-24),

umu「2

由8〃?〃=(-2,2/1,2-24)-(1,2,-1)=0,可得64—4