突出數(shù)學本質(zhì) 重視研究過程 發(fā)展核心素養(yǎng)-高中數(shù)學教學應著重把握的幾個問題課件

突出數(shù)學本質(zhì)重視研究過程

發(fā)展核心素養(yǎng)

——高中數(shù)學教學中應著重把握的幾個問題

引言（準確理解數(shù)學核心素養(yǎng)——立德樹人的抓手）把握教材的整體結(jié)構(gòu)、研究路徑（一般觀念）突出內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì)，滲透相應的數(shù)學思想方法注重研究過程，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng)

（重視數(shù)學對象的獲得過程、數(shù)學概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)；從“一般觀念”出發(fā)研究數(shù)學對象，體現(xiàn)研究方法的引導，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；重視概念背景和知識應用，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)）問題引導學習、訓練系統(tǒng)（例、習題）有效性、信息技術(shù)和數(shù)學文化融合2022年義務教育課程標準頒布新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見（2019）深化課堂教學改革。提高課堂教學效率，培養(yǎng)學生學習能力，促進學生系統(tǒng)掌握各學科基礎知識、基本技能、基本方法。積極探索基于情境、問題導向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學，注重加強課題研究、項目設計、研究性學習等跨學科綜合性教學。提高作業(yè)設計質(zhì)量，精心設計基礎性作業(yè)，適當增加探究性、實踐性、綜合性作業(yè)。深化考試命題改革。考試命題要以普通高中課程標準和高校人才選拔要求為依據(jù)，實施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱。優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹人導向，重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力。創(chuàng)新試題形式，加強情境設計，注重聯(lián)系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題。把數(shù)學講好就是落實四基、培養(yǎng)四能、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。要挖掘數(shù)學內(nèi)在的教育價值，并通過設計自然的過程，將它們體現(xiàn)在教材、教學的各個環(huán)節(jié)——加強兩個過程的合理性（

“數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程”和“學生思維過程”的合理性）首先：要深入理解、整體把握教學內(nèi)容，從數(shù)學學科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認識數(shù)學教學內(nèi)容，完整地體現(xiàn)好數(shù)學的科學性、工具性、價值理性和人文性這些特質(zhì)，使數(shù)學教材成為一個融數(shù)學知識、技能、方法、思想和精神于一體的整體。教給學生完整的數(shù)學，全面發(fā)揮數(shù)學的育人功能。教材、教學中如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)其次，要讓學生經(jīng)歷完整的學習過程。重視數(shù)學對象（包括概念）的獲得過程，要注重數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系，也要注重數(shù)學內(nèi)在的前后邏輯，從現(xiàn)實或數(shù)學事實出發(fā)，讓學生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，使學生學會數(shù)學地認識問題，這就是用數(shù)學的眼光觀察世界，也就是落實數(shù)學抽象素養(yǎng)、直觀想象的素養(yǎng)。重視要讓學生經(jīng)歷數(shù)學對象的研究過程，從數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程和學生的認知規(guī)律出發(fā)構(gòu)建研究問題的思路，重視以“一般觀念”為引導發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，證明結(jié)論，這就是用數(shù)學的思維思考世界，也是落實邏輯推理、數(shù)學運算的素養(yǎng)。二、把握符合數(shù)學邏輯和學生認知規(guī)律的教科書體系（整體結(jié)構(gòu)、研究路徑、一般觀念）順序性主要以數(shù)學知識的縱向關聯(lián)為內(nèi)容組織的邏輯依據(jù)，自然而然、水到渠成地引入和展開學習內(nèi)容。連續(xù)性是指圍繞數(shù)學課程中的核心概念及其反映的數(shù)學思想方法，構(gòu)建連貫的學習過程，促使學生通過持續(xù)的帶有探究性的數(shù)學活動達成較高的理解水平。整合性是指數(shù)學課程中包含的各主題知識之間的聯(lián)系，注重把數(shù)學課程各主題的內(nèi)容緊密聯(lián)系起來，以使學生能從整體上理解數(shù)學知識，避免孤立地、零散地理解知識。關聯(lián)性指注重學科之間的聯(lián)系，特別是數(shù)學與物理、化學、生物等理科課程的聯(lián)系。函數(shù)一般到特殊：一般函數(shù)

基本初等函數(shù)；連續(xù)函數(shù)離散函數(shù)。研究路徑：運動變化現(xiàn)象函數(shù)的概念、表示函數(shù)的圖象、性質(zhì)函數(shù)的應用（整體與分段的幾個一般觀念）三角函數(shù)的處理課標：強調(diào)整體性?！叭呛瘮?shù)”納入“函數(shù)”；“三角恒等變換”納入“三角函數(shù)”（可看作性質(zhì)）。教材：“事實（周期性現(xiàn)象）—角與弧度—數(shù)學對象（三角函數(shù)的概念）—圖象

與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等）—三角恒等變換—聯(lián)系與拓展（y=Asin(ωx+φ)）—應用”

。突出三角函數(shù)作為刻畫周期運動的數(shù)學模型借助單位圓定義三角函數(shù)、研究三角函數(shù)三角恒等變換的和差角公式體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性（推導公式時承上啟下）；y=Asin(ωx+φ)處理方式變化（刻畫一般勻速圓周運動），應用時用一下三角變換。不出三角函數(shù)線解析幾何（統(tǒng)一到選擇性必修）直線和圓（確定圖形的幾何要素、建立方程、研究性質(zhì)和位置關系）圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）曲線與方程：按照課標，不出一般概念，結(jié)合具體問題闡釋。直線l上任意一點的坐標一定滿足關系式y(tǒng)-y0=k(x-x0)，坐標滿足關系式y(tǒng)-y0=k(x-x0)的點一定在直線l上，我們把方程y-y0=k(x-x0)稱為過點P0（x0，y0），斜率為k的直線l的方程。橢圓上任意一點的坐標（x，y）都滿足方程

⑥；反之，以方程⑥的解為坐標的點（x，y）與橢圓的兩個焦點（c，0），（-c，0）的距離之和為2a，即以方程⑥的解為坐標的點都在橢圓上．我們稱方程⑥是橢圓的方程。充分體現(xiàn)坐標法思想用向量統(tǒng)領幾何與代數(shù)主題——向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。平面向量：平面幾何中的向量方法；余弦定理、正弦定理、解三角形。復數(shù)：復數(shù)的幾何意義、三角表示；復數(shù)代數(shù)形式加減運算，乘除運算三角形式的幾何意義。立體幾何初步：用向量方法理解判定定理（例：線面垂直）。空間向量與立體幾何：空間直角坐標系；證明判定定理；直線、平面間的位置關系；解決距離、夾角問題。解析幾何：傾斜角引入，斜率公式推導，兩點間的距離公式，點到直線距離公式。概率與統(tǒng)計整體安排概率在前，統(tǒng)計在后高中統(tǒng)計屬于推斷統(tǒng)計，在形式上這么安排可以體現(xiàn)概率的理論基礎作用。但由于概率知識不夠，沒有要求（也不可能）給統(tǒng)計的推斷結(jié)果用概率進行刻畫，推斷的合理性主要是基于直觀或經(jīng)驗，因此在內(nèi)容上高中概率作為統(tǒng)計的理論基礎體現(xiàn)得并不充分，在必修中更是如此。統(tǒng)計按處理數(shù)據(jù)的維數(shù)安排統(tǒng)計內(nèi)容數(shù)據(jù)的表示—數(shù)據(jù)的特征刻畫—直觀推斷數(shù)據(jù)的表示—數(shù)據(jù)的特征刻畫—直觀推斷或基于概率推斷一維數(shù)據(jù)成對數(shù)據(jù)必修

選擇性

必修概率必修——概率隨機事件與概率——事件的關系與運算古典概型——概率的性質(zhì)事件的相互獨立性頻率與概率選擇性必修——隨機變量及其分布條件概率與全概率公式——計算復雜事件的概率離散型隨機變量——分布、數(shù)字特征（期望、方差）——二項分布與超幾何分布連續(xù)型隨機變量——正態(tài)分布數(shù)學建模活動設置在與現(xiàn)實聯(lián)系緊密的函數(shù)、概率與統(tǒng)計等主題中，數(shù)學探究活動設置在數(shù)學知識的交匯點上。數(shù)學文化不僅融入正文內(nèi)容之中，而且以“文獻閱讀與數(shù)學寫作”欄目為載體對數(shù)學文化提出具體的學習要求。函數(shù)的形成與發(fā)展；對數(shù)概念的形成與發(fā)展；幾何學的發(fā)展；解析幾何的形成與發(fā)展；微積分的創(chuàng)立與發(fā)展。正文的展開過程是主戰(zhàn)場必修第一冊數(shù)學建模

建立函數(shù)模型解決實際問題必修第二冊數(shù)學探究

用向量法研究三角形的性質(zhì)選擇性必修數(shù)學探究

楊輝三角的性質(zhì)與應用選擇性必修數(shù)學建模

建立統(tǒng)計模型進行預測三、突出內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì)，滲透相應的數(shù)學思想方法教材重視“講數(shù)學”，通過展示數(shù)學概念、結(jié)論的形成過程，促使學生領悟數(shù)學的本質(zhì)；通過對學生進行在數(shù)學形式下的思考和推理的訓練，提高他們的數(shù)學思維能力，形成用數(shù)學的思想和方法來思考和處理問題的習慣，培育理性精神。教材重視以數(shù)學核心概念及其反映的基本思想為紐帶，加強內(nèi)容的縱橫聯(lián)系，通過類比、歸納、推廣、特殊化，使不同內(nèi)容相互溝通，從而加深對數(shù)學的整體性認識，幫助學生建立結(jié)構(gòu)功能優(yōu)良、遷移能力強的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學的思維方式，提高對數(shù)學的整體認識。案例：突出函數(shù)所刻畫的運動變化現(xiàn)象的本質(zhì)，滲透研究函數(shù)的思想方法突出函數(shù)所刻畫的運動變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征數(shù)學研究的數(shù)量關系和空間形式是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，無論數(shù)量關系中還是空間形式中都充滿了運動變化的問題，函數(shù)就是對客觀事物從運動變化的角度進行數(shù)量化研究的數(shù)學語言和工具。高中階段對于函數(shù)的認識已經(jīng)從初中的“變量之間的單值對應”提升到“數(shù)集之間的對應關系”，但其刻畫運動變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征沒有改變，變化與對應也是研究函數(shù)的基本思想方法。函數(shù)刻畫了運動變化現(xiàn)象，基本初等函數(shù)刻畫了某一類具體的運動變化現(xiàn)象。一次函數(shù)——“勻速”變化指數(shù)函數(shù)——“指數(shù)爆炸”的變化對數(shù)函數(shù)——“對數(shù)增長”的變化三角函數(shù)——“周期往復”的變化分段函數(shù)——不同階段有不同變化二次函數(shù)——“勻變速”變化案例：三角函數(shù)的研究——突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學模型這一本質(zhì)刻畫循環(huán)往復、周而復始的規(guī)律——周期性（為什么選三角函數(shù)）最簡單——單位圓上的單位角速度勻速圓周運動用一個模型貫穿全章始終，串聯(lián)起不同的概念和內(nèi)容?？坍媹A周運動——任意角及性質(zhì)刻畫單位圓周運動——三角函數(shù)概念單位圓的對稱性——三角函數(shù)誘導公式、三角恒等變換公式三角函數(shù)的單位圓定義——三角函數(shù)圖象與性質(zhì)筒車、摩天輪——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)針對具體知識，利用模型的變化，設計更加貼切的情景。擴大角的范圍實際上是刻畫運動規(guī)律（運動方程、位置函數(shù)）誘導公式——三角函數(shù)的性質(zhì)由于三角函數(shù)利用單位圓定義，因此利用單位圓的幾何性質(zhì)（對稱性），可以研究三角函數(shù)的性質(zhì)，從而得到三角函數(shù)的誘導公式。利用定義，直接得出同角三角函數(shù)的關系周期性——誘導公式一：終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等三角函數(shù)的誘導公式利用圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關系。我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)。由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性。

——誘導公式的引導語二（π+α）三（?α）四（π?α）五（π/2?α）

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)任意一點——體現(xiàn)函數(shù)圖象的本質(zhì)如何建立模型如何發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學問題——梳理已學知識，需要一般化為什么改標題？體現(xiàn)什么？研究圖象的思想方法從何而來——梳理二次函數(shù)圖象的研究過程你認為例1應該怎么安排？其作用是什么？三角函數(shù)的應用案例：概率與統(tǒng)計的數(shù)學理解關系與運算分布與數(shù)字特征計算與性質(zhì)樣本空間隨機事件概率隨機變量概率空間建立的過程：X樣本空間可測空間概率空間導出空間按概率空間建立的過程安排概率內(nèi)容必修

選擇性

必修概率的變化來自于數(shù)學化和理論上的需要；統(tǒng)計的變化主要反映了“獲得”總體取值規(guī)律、大數(shù)據(jù)時代的需要。概率與統(tǒng)計內(nèi)容和要求的主要變化增加減少變化概率有限樣本空間、乘法公式、全概率公式等幾何概型頻率穩(wěn)定于概率作為確定概率的方法，不作為概率的定義統(tǒng)計分層隨機抽樣的均值和方差、百分位數(shù)、樣本相關系數(shù)系統(tǒng)抽樣變量的相關關系、事件的獨立性在必修和選擇性必修中位置互換（1）概率更加數(shù)學化，強調(diào)古典概型的作用。概念、性質(zhì)、法則等主要以古典概型為載體，推廣得到一般的結(jié)論。例如，樣本空間，事件的相互獨立性、條件概率、概率乘法公式、全概率公式，以及超幾何分布等。（2）統(tǒng)計突出統(tǒng)計學科的特點，強調(diào)對統(tǒng)計含義的理解。例如，強調(diào)對概念和方法統(tǒng)計含義的理解，強調(diào)對統(tǒng)計思維與確定性思維差異的體會，重視統(tǒng)計方法的可操作性，更加強調(diào)統(tǒng)計方法的靈活性。

概率與統(tǒng)計內(nèi)容和要求的主要特點（3）對統(tǒng)計軟件明確提出了要求，尤其在成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析中。新教材在概率與統(tǒng)計中，特別注重：新概念、新原理引入的的必要性、合理性新概念、新原理的形成過程（結(jié)合實例（實際問題的解決過程）+適當理論推導）概念、原理的應用過程四、重視數(shù)學對象的獲得過程、數(shù)學概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學研究對象是從數(shù)量和數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象得到的，數(shù)學對象的獲得過程蘊含著豐富的數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。問題情境（現(xiàn)實、數(shù)學、其他學科）——概念（必要性、合理性）例如，函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的數(shù)學模型，因此對于函數(shù)及相關概念（基本初等函數(shù)、數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、導數(shù)），都要從反映這些概念本質(zhì)特征的現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、其他學科情境等問題情境出發(fā)，讓學生經(jīng)歷歸納其共同特征、概括其本質(zhì)屬性的過程，使學生學會數(shù)學地認識問題，學會“用數(shù)學的眼光觀察世界”，從而發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象的素養(yǎng)。初中函數(shù)概念分析在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們稱x是自變量，y是x的函數(shù)。變量間的單值對應關系，變量說在具體的變量背景上定義函數(shù)，有利于學生直觀認識函數(shù)的本質(zhì)特征，但很難擺脫表達形式（表達式、表格、圖象）的束縛，因此很難一般地認識函數(shù)，很難把握函數(shù)的本質(zhì)特征。根據(jù)這種定義很難判定兩個具有不同表達式的函數(shù)f（x）=1和g（x）=sin2x+cos2x是否相同；這種方式定義的函數(shù)，沒有明確函數(shù)的定義域，因此也很難研究函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)概念教學中的重點加強背景，從典型實例出發(fā)引出函數(shù)概念，體現(xiàn)函數(shù)刻畫運動變化的本質(zhì)特征，體現(xiàn)“函數(shù)模型”思想，在學生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。加強概念形成過程，讓學生自己歸納概括函數(shù)的本質(zhì)：單值對應（直觀語言）→數(shù)集之間的單值對應（數(shù)學語言）；這個過程就是抽象素養(yǎng)落實的過程。感性具體理性具體理性一般

47教學中可以設問S是t的函數(shù)嗎？為什么？（用初中概念判斷）“根據(jù)對應關系S=350t，這趟列車加速到350km∕h后，運行1h就前進了350km．”這個說法正確嗎？

（1）時間t的變化范圍是什么？相應的，路程S的變化范圍是什么？

（2）能根據(jù)現(xiàn)有條件回答“0.6h時對應的距離是多少”嗎？

你認為應該如何更準確地描述S與t之間的對應關系？

對于數(shù)集中的任一時刻t，按照對應關系s=350t，在數(shù)集中有唯一確定的路程s和它對應。有解析式，提升點在于明確時間t和路程S的變化范圍．問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？離散型函數(shù)與問題1相比，解析式相同，但定義域不同，是不同的函數(shù)。非連續(xù)，進一步體會關注自變量取值范圍的重要性。

年份2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57歸納上述問題的共同特征（感性具體理性具體）上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；都有一個對應關系；盡管對應關系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應．理性具體理性一般：給出函數(shù)定義辨析、鞏固（變化，直接關鍵點、難點——對應關系）：用新定義描述一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)構(gòu)建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10－x)的對應關系兩個函數(shù)相同（變化）——定義域、對應關系分別相同經(jīng)歷概念教學的基本環(huán)節(jié)概念的引入——從數(shù)學概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念；概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；概念的明確與表示——下定義，給出準確的數(shù)學語言描述（文字的、符號的）；概念的辨析——以實例為載體分析關鍵詞的含義（恰當使用反例）；概念的鞏固應用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；概念的精致化——建立與相關概念的聯(lián)系,納入概念系統(tǒng)。

五、從“一般觀念”出發(fā)研究數(shù)學對象，體現(xiàn)研究方法的引導，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)概念——性質(zhì)——聯(lián)系——應用（函數(shù)主題獲得研究對象）觀察——探索——抽象——概括（猜想）——論證例：研究函數(shù)性質(zhì)的一般觀念什么是性質(zhì)：性質(zhì)就是一類事物共有的特性什么是函數(shù)的性質(zhì)：變化之中保持的“不變性”就是性質(zhì)；變化過程中出現(xiàn)的規(guī)律性就是性質(zhì)。現(xiàn)實世界中的某些變化會隨著時間的推移而有增有減、有快有慢，有時達到最大值有時處于最小值……這些現(xiàn)象反映到數(shù)學中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加還是減少、什么時候函數(shù)值最大、什么時候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)——“單調(diào)性”“最大值”“最小值”。等差數(shù)列的前n項和公式——更為合理地構(gòu)建研究思路，引出運算、代數(shù)變換等思想方法，用數(shù)列的概念、通項公式和性質(zhì)推導倒序相加法與上版教材比較：強化了基礎，進一步加強了思想性和可操作性累加法、累乘法類似例：研究代數(shù)性質(zhì)的一般觀念引入一個對象就要研究其運算與運算律不等式、指數(shù)、對數(shù)向量——研究運算及其運算律，使得向量威力無窮；否則知識路標復數(shù)：數(shù)系擴充思想引導，向量方法統(tǒng)領例：幾何圖形性質(zhì)的研究（結(jié)合主題獲得研究對象）什么是幾何圖形的性質(zhì)？

要素和要素之間確定的關系（位置、數(shù)量）就是性質(zhì)怎么研究幾何圖形的性質(zhì)直觀感知（識圖）——操作確認（畫圖）——度量計算（算圖）——推理論證（證圖）。直觀想象——邏輯推理一般到特殊；復雜

簡單；空間

平面研究平面與平面垂直的性質(zhì)，就是在兩個平面垂直的條件下，能推出哪些結(jié)論．這些結(jié)論又該從哪個角度提出呢？實際上就是要研究與這兩個互相垂直的平面有關的直線、平面之間的關系．接下來，根據(jù)以往的研究經(jīng)驗（平面與平面的關系轉(zhuǎn)化為直線與平面的關系），我們可以研究其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的位置關系．一般到特殊，一般情況是相交，考慮其中的特殊情況，一個平面內(nèi)的直線與交線平行時，這條直線和另一個平面平行（已研究），一個平面內(nèi)的直線與交線垂直時，這條直線和另一個平面有什么位置關系？證明得到平面與平面垂直的性質(zhì)定理“兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直”。對于兩個平面互相垂直的性質(zhì)，我們探究了一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的特殊位置關系。如果直線不在兩個平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論？例如，已知平面α⊥平面β，

直線a⊥β，a

α，判斷a與α的位置關系．αβγ滲透了“位置關系的性質(zhì)”的研究的思想方法研究基本圖形的某種位置關系的性質(zhì)，就是探索在這種位置關系下的幾何圖形的組成元素之間以及與其他同類幾何圖形所形成的位置關系中出現(xiàn)的確定關系（不變性），具體方法是讓“其他幾何圖形”動起來，看“變化中的不變性”。這就是落實“四基”“四能”的過程，也是直觀想象、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng)落地的過程。最終的目標都聚焦在理性思維上，使學生逐步養(yǎng)成有結(jié)構(gòu)地、有邏輯地思考的習慣。解析幾何加強運算能力的培養(yǎng)要把握解析幾何中運算的特點。解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數(shù)運算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關系，再用代數(shù)語言表達，而且在運算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算，這是解析幾何教學中突破運算難點的關鍵舉措。教學中，提高運算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實數(shù)形結(jié)合思想上下功夫。點到直線的距離公式點到直線的距離公式推導這個公式有多種方法.第一種方法是典型的坐標法.它是解析幾何研究問題最基礎、最常用的方法，即把點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為已知點與交點之間的距離，交點的坐標可以由兩條直線的方程得到，表示點到直線的距離的線段所在直線的方程可以由點斜式得到，其斜率可以由與它垂直的直線的斜率的負倒數(shù)求得.它完全通過代數(shù)運算，中間過程都是帶字母系數(shù)的表達式，形式很復雜，得到最終結(jié)果需要較強的數(shù)學運算能力，這對提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)是有利的.根據(jù)直線PQ與已知直線l垂直，可以獲得直線PQ的斜率，進而得到直線PQ的方程，由直線PQ和直線l的方程，可以求出它們的交點Q的坐標，利用兩點間的距離公式，求出|PQ|是最常見的一種方法，也是基本方法.

第三種方法是典型的向量法.用投影向量的模表示點到直線的距離，把求距離轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的運算，而且把點到直線的距離這個點與已知直線上的點的距離的最小值，用已知點與已知直線上任意一點構(gòu)成的向量在與已知直線垂直的單位向量上的投影向量的模表示.這種方法構(gòu)造性強，需要較高的思維水平以及對向量的深入認識，但是運算較為簡便.這種用一般化的向量(參考向量)處理最特殊的距離（點到直線的距離）的思路給了解決此類問題的通性通法.在“空間向量與立體幾何”一章中，我們有過類似的方法.其他方法面積法等提升運算求解能力六、重視背景和應用，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)

發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)課標：通過高中數(shù)學課程的學習，學生能有意識地用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關聯(lián)；學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗；認識數(shù)學模型在科學、社會、工程技術(shù)諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神。一個數(shù)學概念的引入，總有它的現(xiàn)實或數(shù)學理論發(fā)展的需要。教材中任何一個新概念的引入，都強調(diào)它的現(xiàn)實背景、數(shù)學理論發(fā)展的背景或數(shù)學發(fā)展歷史上的背景，這樣才能使教材顯得自然、親切，讓學生感到知識的發(fā)展水到渠成而不是強加于人，也利于學生更好地理解其本質(zhì)。應用數(shù)學知識解決實際問題，可以幫助學生更深刻地理解數(shù)學知識，利于提高學生的數(shù)學學習興趣，加強應用意識提高數(shù)學創(chuàng)造力。教材千方百計地開發(fā)數(shù)學應用的背景素材，通過解決具有真實背景的問題，引導學生體會數(shù)學的作用、數(shù)學與生活及其他學科的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)，培養(yǎng)應用意識，提高實踐能力。例：重視函數(shù)相關概念產(chǎn)生的背景，體現(xiàn)函數(shù)是刻畫運動變化現(xiàn)象的數(shù)學語言和工具函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的數(shù)學模型，理解函數(shù)概念，必須需要相應的運動變化的背景作為支撐。一般的函數(shù)概念：“復興號”高鐵運行、空調(diào)維修工人的工資、北京市某一天的空氣質(zhì)量、某市近十年的恩格爾系數(shù)四個問題，從“感性具體”到“理性具體再到“理性一般”，抽象得到函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)刻畫了呈現(xiàn)“指數(shù)增長”的運動變化現(xiàn)象。現(xiàn)實世界中，細胞分裂、人口增長、放射性物質(zhì)的衰減等呈現(xiàn)了這種運動變化規(guī)律；通過某景區(qū)游客人數(shù)增長的問題和碳14含量的衰減的問題，引入指數(shù)函數(shù)的概念。三角函數(shù)刻畫周期運動。教科書在三角函數(shù)的開篇語中列舉了大量現(xiàn)實世界中的周期變化現(xiàn)象，如晝夜交替、四季交替、月亮圓缺、朝夕變化、勻速圓周運動的位置變化、簡諧振動的位移變化、交變電流的變化等。在三角函數(shù)的概念、誘導公式、圖象、性質(zhì)的研究過程中，一以貫之的運用勻速圓周運動這一最簡單的周期變化的背景，以加深學生對三角函數(shù)刻畫周期運動的本質(zhì)的理解。例：重視應用函數(shù)模型解決實際問題，發(fā)展學生應用意識通過應用函數(shù)解決實際問題，可以幫助學生更好地理解函數(shù)如何刻畫客觀世界事物的變化規(guī)律，逐漸掌握建立函數(shù)模型解決實際問題的一般過程，體會函數(shù)的模型思想。函數(shù)的應用（一）：個稅問題、汽車行駛中速率的變化問題。分段函數(shù)。函數(shù)的應用（二）：馬爾薩斯人口模型、利用碳14推測良渚遺址年代、投資方案的選擇、獎勵方案的制訂。既包括用已知模型解決實際問題，也包括選擇合適的模型解決實際問題。數(shù)學建?；顒樱航⒑瘮?shù)模型解決實際問題數(shù)學建模活動觀察實際情景，發(fā)現(xiàn)和提出問題中國茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？通過實測數(shù)據(jù)建立茶水水溫關于時間的函數(shù)模型，將該茶水溫度的實測過程轉(zhuǎn)變?yōu)闀r間估計的問題。使得不用時刻測試水溫，根據(jù)函數(shù)模型，通過簡單計算就可以知道大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感．收集數(shù)據(jù)秒表、溫度計計算機、數(shù)據(jù)采集器、溫度傳感器等信息技術(shù)工具實驗環(huán)境、容器形狀、不同茶葉等影響，數(shù)據(jù)可能與教科書不一致，不同小組也可能不一致．時間/min012345水溫/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10分析數(shù)據(jù)、畫散點圖散點圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學生可能會提出各種遞減函數(shù)作為模型，結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導學生做出選擇．

y＝kax＋25為什么要加25？所選函數(shù)一般只能大致反應茶水溫度變化的局部規(guī)律，難以做到準確刻畫每一個具體數(shù)據(jù)，因此，建立模型之后需要對模型進行檢驗．建立和求解模型利用已知數(shù)據(jù)求y＝kax＋25中的k，a。a如何計算？能否直接將一組數(shù)據(jù)代入求a？（用比的均值求a）檢驗模型畫出y＝60×0.9227x＋25的圖象，檢驗原始數(shù)據(jù)。求解問題將y＝60代入y＝60×0.9227x＋25，得x≈6.6997，所以泡制一杯最佳口感茶水所需時間大約是7min。自主開展建?；顒舆x題應在炒菜之前多長時間將冰箱里的肉拿出來解凍？用微波爐或電磁爐燒一壺開水，找到最省電的功率

設定方法；估計閱讀一本書所需要的時間．活動過程指導撰寫活動報告（樣例）交流展示七、重視問題引導，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力

問題是數(shù)學的心臟，問題引導學習在知識形成過程的“關鍵點”上，在運用數(shù)學思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關節(jié)點”上，在數(shù)學知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點”上，在數(shù)學問題變式的“發(fā)散點”上，在學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當?shù)?、對學生數(shù)學思維有適度啟發(fā)的問題，引導學生的思考和探索活動，使他們經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，體會數(shù)學研究方法、積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。道而弗牽、強而弗抑、開而弗達八、訓練系統(tǒng)（例、習題）的有效性構(gòu)建有助于學生鞏固知識、領悟思想、積累經(jīng)驗、發(fā)展能力、提升核心素養(yǎng)的訓練系統(tǒng)。例題是具有典型性、示范性，除了為說明知識應用而設置的常規(guī)性例題外，根據(jù)內(nèi)容的需要，選取帶有開放性、探索性的題目以及實踐題（如，在學生先收集資料、實例進行數(shù)學實踐活動等的基礎上，再在課堂里進行講解）習題具有針對性、層次性、開放性和探索性等將練習作為學生課內(nèi)學習活動的一個組成部分，按課時安排，發(fā)揮其課內(nèi)鞏固所學內(nèi)容之用。習題按功能分為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，發(fā)揮習題的鞏固知識、培養(yǎng)數(shù)學能力、拓展知識、深化數(shù)學理解和應用的功能，注重習題在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力的重要作用，發(fā)揮習題和復習參考題在達成學業(yè)要求上的評價功能。注：上一版教材的習題量偏少，針對性、層次性等都需要改進，特別是具有應用性、開放性、探究性的問題偏少。例題、練習、習題、復習題針對性：抓住各章內(nèi)容的核心，促進概念的理解和思想方法的生成。有效性：關注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。創(chuàng)新性：題目具有一定新意，但不離開內(nèi)容本質(zhì)這個“根”，不在奇、特上做文章。應用性：在函數(shù)、概率與統(tǒng)計等與現(xiàn)實聯(lián)系緊密的主題中，加強具有現(xiàn)實背景的問題，體現(xiàn)真正的應用。探究性：通過欄目、邊空、遞進式習題等，通過創(chuàng)設情境和問題，幫助學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。例題、練習、習題、復習題針對性：抓住各章內(nèi)容的核心，促進概念的理解和思想方法的生成。有效性：關注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。創(chuàng)新性：題目具有一定新意，但不離開內(nèi)容本質(zhì)這個“根”，不在奇、特上做文章。應用性：在函數(shù)、概率與統(tǒng)計等與現(xiàn)實聯(lián)系緊密的主題中，加強具有現(xiàn)實背景的問題，體現(xiàn)真正的應用。探究性：通過欄目、邊空、遞進式習題等，通過創(chuàng)設情境和問題，幫助學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。層次性：通過“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”體現(xiàn)習題的層次和梯度，體現(xiàn)教材有關習題的各部分、各欄目的要求，形成立體化的“四基”“四能”培養(yǎng)系統(tǒng)。系統(tǒng)性：在復習參考題的選擇和編排中，關注單元知識的系統(tǒng)性，幫助學生達到相應單元的學業(yè)要求；同時還關注不同數(shù)學內(nèi)容主線之間的聯(lián)系性以及六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)之間的協(xié)調(diào)，幫助學生整體理解、系統(tǒng)掌握學過的數(shù)學知識，實現(xiàn)學業(yè)質(zhì)量的相應要求。精確性：保證科學性和準確性，確保所選例題具有典型性、示范性，所選習題達到能力培養(yǎng)效果。對練習、習題、復習題的處理每課時配備練習（3~5個）；每節(jié)配備習題（每課時3~5個）；每章配備復習題（每課時1~1.5個）。“復習鞏固、綜合運用、拓廣探索”，不是按難度分類，是按照習題功能分類，根據(jù)學生情況，結(jié)合教學功能使用。關注新題型用好教材的題目（配合、層次推進、綜合應用、體現(xiàn)發(fā)展性）不要把教輔作為教學依據(jù)圓錐曲線：根據(jù)圓錐曲線的方程，a，b，c，p，e等是決定圓錐曲線性質(zhì)的關鍵量。圓錐曲線的焦點、頂點、軸、準線、弦及其中點、切線、焦距、長（短）軸的長、焦半徑、面積、內(nèi)接圖形（特別是內(nèi)接三角形、內(nèi)截矩形等）、角（與焦點、中心等相關）等以及它們之間的相互關系，都可以用這些不變量來表示。對此展開一番研究，能極大地提升學生對圓錐曲線的認識水平。先是把握圓錐曲線的基本要素、不變量，然后從“相互關系”“相互轉(zhuǎn)化”等角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、獲得性質(zhì)，然后再通過邏輯推理證明其正確性．在發(fā)現(xiàn)曲線性質(zhì)的過程中，運算、距離、角度、斜率、不變量等核心概念提供了基本思路和方法．除正文研究簡單幾何性質(zhì)外，把那些通過不太復雜的代數(shù)運算就能得出的性質(zhì)及其在現(xiàn)實中的應用設計為例題、習題，讓學生進一步體會坐標法的思想。從“角度”的關系反映性質(zhì)

如果一個動點與兩個定點連線的斜率之積是一個負（正）常數(shù)，那么它的軌跡是橢圓（雙曲線）。九、數(shù)學文化融入課程內(nèi)容，培養(yǎng)學生數(shù)學的眼光、思維方式、理性精神等

十、重視融合信息技術(shù)，改進內(nèi)容呈現(xiàn)方式，促進學生理解數(shù)學本質(zhì)

數(shù)學是自然的，它的概念、原理、法則、公式、性質(zhì)等，都有其內(nèi)在的邏輯必然性。在教學中，為了提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，需要我們突出數(shù)學本質(zhì)，整體把握數(shù)學教學，以數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的內(nèi)在邏輯為基礎，加強研究方法的引導（重要數(shù)學思想方法的運用），使學生不僅學會具體的數(shù)學知識和技能，更能學會如何發(fā)現(xiàn)和提出問題，如何思考解決問題的思路。這樣，數(shù)學的育人目標才能更好地實現(xiàn)。讓我們共同努力！敬請批評指正李龍才lilc@

數(shù)學學科核心素養(yǎng)怎來的？數(shù)學核心素養(yǎng)是對影響數(shù)學發(fā)展的最重要的數(shù)學思想的提煉，體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)

數(shù)學發(fā)生、發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型——通過抽象，從現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念、原理、公理和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系。Key

Laboratory

of

Applied

Statistics

of

MOE

NortheastNormalUniversity六個核心素養(yǎng)及其層次性：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象（伴隨）、數(shù)學運算（特殊）和數(shù)據(jù)分析（特殊）三會（落實成學生的行為）：會用數(shù)學眼光觀察世界——數(shù)學抽象+直觀想象（數(shù)學的第一個特征：一般性），會用數(shù)學思維思考世界——邏輯推理+數(shù)學運算+直觀想象（第二個特征：嚴謹性），會用數(shù)學語言表達世界——數(shù)學建模+數(shù)據(jù)分析+直觀想象（第三個特征：應用的廣泛性）（+學會學習——義教新課標新增）四基、四能以“四基”“四能”為載體

——過程的教學目標不明確，等等義務教育數(shù)學課程標準（2011版）把雙基拓展為四基基礎知識、基本技能+基本思想、基本活動經(jīng)驗（運用數(shù)學的思想和方法獲得）把兩能拓展為四能

運用數(shù)學知識與方法發(fā)現(xiàn)問題、提出問題+分析問題、解決問題希望：在數(shù)學教學的活動中，引發(fā)學生獨立思考、與他人交流，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學的基本思想，積累思維的和實踐的經(jīng)驗?；舅枷耄?/p>

數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展過程中必須依賴的思想；學習數(shù)學的人應當具備的基本思維特征。數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模數(shù)學核心素養(yǎng)與四基、四能數(shù)學核心素養(yǎng)的主線是三會，內(nèi)涵是數(shù)學思想

基礎是知識與技能，獲取方式是過程

是經(jīng)驗的積累，是思維的習慣和做事的習慣

在這個意義上，數(shù)學核心素養(yǎng)與四基是一致的。沒有改變的

雙基（包括數(shù)學思想方法）、三大能力是數(shù)學育人目標的內(nèi)核——與時俱進豐富內(nèi)涵，萬變不離其宗！數(shù)學核心素階段（等級）水平每個核心素養(yǎng)水平涉及四個方面（四個維度）：情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思情境與問題：情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境，問題是指在情境中提出的數(shù)學問題；知識與技能：主要是指能夠幫助學生形成相應數(shù)學學科核心素養(yǎng)的知識與技能；思維與表達：主要是指