等比數(shù)列的概念課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.3.1等比數(shù)列的概念第一課時Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation1ADDYOURTITLEHERE情景導(dǎo)入

類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，觀察下列幾個問

題中的數(shù)列，它們有什么規(guī)律？1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄的數(shù)列:

2.《莊子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是

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類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，觀察下列幾個問

題中的數(shù)列，它們有什么規(guī)律？3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下,某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代,那么一個這種細菌從第1次分裂開始,各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是

2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入銀行a元，存期為５年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他５年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ADDYOURTITLEHERE情景導(dǎo)入思考1：觀察上述數(shù)列中的項，每一項與它前一項之間有什么關(guān)系？

每一項與它的前一項的比都等于

常數(shù).第2項起，同一個

2,4,8,16,32,64,…⑤a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ADDYOURTITLEHERE知識講解

知識點一

等比數(shù)列的定義

一般地，若一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列;這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比常用字母q(q≠0)表示.

遞推公式:(q為常數(shù)，且q≠0)(q為常數(shù)，且q≠0，n≥2)或

ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)一

(1)1，3，9，27，…

(3)5，5，5，5，…(2)1，-1，1，-1，…(5)1，0，1，0，…

判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出

首項a1和公比q,如果不是，說明理由．a(chǎn)1=1,q=3a1=5,q=1a1=1,q=-1(4)0，0，0，0，…(6)1,a,a2,a3,…(7)x0,x,x2,x3,…a1=x0,q=x1、等比數(shù)列中，每一項都不能為0；2、對于常數(shù)列a,a,a,a,...若a=0，則為等差數(shù)列若a≠0，則既為等差又為等比數(shù)列.ADDYOURTITLEHERE方法小結(jié)(2)公比q一定是由后項比前項所得，而不能用前項比后項來求，且q≠0；(1)等比數(shù)列｛an｝中,an≠0；(3)若q＝1，則該數(shù)列為非零常數(shù)列．

(4)常數(shù)列a,a,a,a,

…時,既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列;時,只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列.ADDYOURTITLEHERE知識講解

知識點二

等比中項

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項.（ab>0)（ab>0)注意：

若a，b異號則無等比中項;

若a，b同號則有兩個等比中項.ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)二（1）2，x，8成等比數(shù)列，則x=_______;（2）2,x,8,-16成等比數(shù)列，則x=______.ADDYOURTITLEHERE知識講解

知識點三

等比數(shù)列的通項公式方法1：不完全歸納法等差數(shù)列……由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：……由此歸納等比數(shù)列的通項公式可得：等比數(shù)列類比ADDYOURTITLEHERE知識講解

知識點三

等比數(shù)列的通項公式方法2：累乘法類比……+）等差數(shù)列累加法……共n–1個×）等比數(shù)列ADDYOURTITLEHERE知識講解思考2：如何方法2（累乘法）對其加以嚴格的證明呢？證明：將等式左右兩邊分別相乘可得：此式對n=1也成立∵，…，…………ADDYOURTITLEHERE知識講解

知識點三

等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列，首項為,公比為q,則通項公式為注意：a1≠0,q≠0ADDYOURTITLEHERE知識講解

知識點三

等差數(shù)列的通項公式

∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d(n≥2)上述各式兩邊同時相加，得an-a1=(n-1)d方法2：∵由等差數(shù)列的定義可得累加法又∵當(dāng)n=1時，上式也成立∴an=a1+(n-1)dan+1-an=d∴an=a1+(n-1)dADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)三已知等比數(shù)列的首項和公比,可以求得任意一項.(1)若等比數(shù)列{an}的首項是a1=1,公比q=2,則其通項公式是：＿＿＿＿＿＿ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)四（課本P31練習(xí)T2)2.已知{an}是一個等比數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當(dāng)?shù)臄?shù).

a1a3a5a7q2820.2500.080.0032ADDYOURTITLEHERE例題講解

例1

解得ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)五（課本P31練習(xí)T3)３.在等比數(shù)列{an}中，a１a３＝３６，a２＋a４＝６０．求a１和公比q．ADDYOURTITLEHERE例題講解

例2

an=a1qn-1

①解：由題意，得am=a1qm-1

②①的兩邊分別除以②的兩邊，得ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)六在等比數(shù)列{an}中，a2＝5，a４＝10，求公比q．ADDYOURTITLEHERE例題講解

例3數(shù)列{an}共有5項,前三項成等比數(shù)列,后三項成等差數(shù)列,第3項等于80,第2項與第4項的和等于136,第1項與第5項的和等于132.求這個數(shù)列.解:設(shè)前三項的公比為q,后三項的公差為d,則數(shù)列的各項依次為80,80+d,80+2d.于是得,所以這個數(shù)列是20，40，80，96，112，

或180，120，80，16，-48.ADDYOURTITLEHERE方法小結(jié)ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)七

解：設(shè)三個正數(shù)為：得：（a＞0,q≠0)ADDYOURTITLEHERE課堂小結(jié)等比數(shù)列名稱等差數(shù)列定義

常數(shù)通項公式1中項公式2an=am+(n-m)d從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)公差(d)d可正、可負、可零從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)公比(q)q可正、可負、不可零an=amqn-m第二課時Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation2ADDYOURTITLEHERE新知探究知識點一等比數(shù)列通項公式與函數(shù)的關(guān)系o12345612345678等比數(shù)列的通項公式：ADDYOURTITLEHERE知識講解等比數(shù)列{an}的三種判定、證明方法：ADDYOURTITLEHERE新知探究課本P31練習(xí)T22.已知{an}是一個等比數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當(dāng)?shù)臄?shù).

a1a3a5a7q2820.2500.080.0032由a1·a7=a3·a5，猜想若p+q=s+t,則apaq=asat由a1·a7=a3·a5，猜想若p+q=s+t,則apaq=asatADDYOURTITLEHERE知識講解等比數(shù)列{an}中，若p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k,則apaq=asat=

ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)一

2.在等比數(shù)列{an}中，已知a7·a12＝5，則a8·a9·a10·a11等于(

)A．10 B．25C．50 D．75

√√×××ADDYOURTITLEHERE知識講解知識點二等比數(shù)列項的對稱性ADDYOURTITLEHERE例題講解

例4

用１0000元購買某個理財產(chǎn)品一年．

（１）若以月利率0.400％的復(fù)利計息，12個月能獲得多少利息

（精確到0.01元）？

（２）若以季度復(fù)利計息，存４個季度，則當(dāng)每季度利率為多少

時，按季結(jié)算的利息不少于（１）中按月結(jié)算的利息（精

確到10-5）？ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)二（課本P34練習(xí)T3)３.某汽車集團計劃大力發(fā)展新能源汽車，２０１７年全年生產(chǎn)新能源汽車５０００輛．如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的１５０％，那么２０２５年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛（精確到１）？ADDYOURTITLEHERE例題講解

例5

ADDYOURTITLEHERE例題講解

例5

已知數(shù)列{an}的首項為a1=3(1){an}為等差數(shù)列,公差d=2,證明數(shù)列{}為等比數(shù)列(2){an}為等比數(shù)列,公比q=,證明數(shù)列{}為等差數(shù)列解：(2)∵a1=3，q=設(shè)cn=則cn=∴cn+1－cn=[3－2(n+1)]－(3－2n)=－2又c1=1故數(shù)列{}是以首項為1，公差為－2的等差數(shù)列ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)三（課本P34練習(xí)T2)

ADDYOURTITLEHERE例題講解

例6某工廠去年12月試產(chǎn)1050個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90％．從今年１月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.１月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高５％，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4％，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個以內(nèi)？ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)四（課本P34練習(xí)T4)4.某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)為105，力爭２年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)達到240.這個城市空氣質(zhì)量“優(yōu)”“良”的天數(shù)的年平均增長率應(yīng)達到多少（精確到0.01）？ADDYOURTITLEHERE新知探究思考1：

已知等比數(shù)列{an}首項a1,公比q，取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，構(gòu)成新的數(shù)列，是否還是等比數(shù)列？取出a1,a12,a23,a34……呢？ADDYOURTITLE