2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華僑中學(xué)三校聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華僑中學(xué)三校聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x+3y+2024=0的傾斜角為A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知空間向量a=(m+1,m,?2)，b=(?2,1,4)，且a⊥b，則mA.?103 B.?10 C.10 3.求圓x2+y2?2x+6y=0的圓心到A.23 B.2 C.34.有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該5位同學(xué)中任取3人，至少有1名女生的概率為(

)A.110 B.25 C.355.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是7”，則(

)A.A與B互斥 B.B與C互為對立 C.A與B相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立6.已知O空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若OD=12OA+xOBA.12 B.14 C.187.已知點(diǎn)A(1,2)在圓C:x2+y2+mx?2y+2=0A.(?3,?2)∪(2,+∞) B.(?3,?2)∪(3,+∞)

C.(?2,+∞) D.(?3,+∞)8.互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點(diǎn)P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記P(a,b).若斜坐標(biāo)系中，x軸正方向和y軸正方向的夾角為θ，則該坐標(biāo)系中M(x1,y1)和A.(x1?x2)2+(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題正確的有(

)A.兩平行線間的3x+4y+5=0，3x+4y?5=0距離為2

B.過點(diǎn)(1,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩條

C.直線3x+4y+5=0的方向向量可以是n=(3,4)

D.直線ax+2y+4=0與直線x+(a?1)y+2=0平行，則a=?1或10.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)=13，P(B)=16A.P(A?)=23 B.13≤P(A+B)≤12

C.若11.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD?A1B1CA.當(dāng)P在平面BCC1B1上運(yùn)動時，三棱錐P?AA1D的體積為定值4

B.當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]

C.若F是A1B1的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動，且滿足PF//平面B1CD12.已知點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)在圓上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．13.在棱長為4的正四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，則AE?AD=14.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為23；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為12.假定每局之間相互獨(dú)立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

直線l經(jīng)過兩直線l1：3x+4y?2=0和l2：2x+y+2=0的交點(diǎn)．

(1)若直線l與直線3x+y?1=0垂直，求直線l的方程；

(2)若點(diǎn)A(3,1)到直線l的距離為5，求直線l16.(本小題12分)

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(?3,0)和點(diǎn)B(1,0)兩點(diǎn)，且圓心C在直線y=x+1上．

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)(3,4)，另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動，求線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程．17.(本小題12分)

質(zhì)量監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)x，y，z，用綜合指標(biāo)Q=x+y+z核定該產(chǎn)品的等級．若Q≤5，則核定該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如表：產(chǎn)品編號AAAAA質(zhì)量指標(biāo)

(x,y,z)(1,1,2)(2,1,2)(2,2,2)(1,3,1)(1,2,3)產(chǎn)品編號AAAAA質(zhì)量指標(biāo)

(x,y,z)(1,2,2)(2,3,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,1,1)(1)利用表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；

(2)在該樣品的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)均滿足Q≤4”，求事件B的概率．18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐A?BCDE中，△BCE為等邊三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D?AC?E的大小為60°．

(1)求證：CD//平面ABE；

(2)若AC=BC=2，點(diǎn)G為線段AB上的點(diǎn)，若直線CB與平面CEG所成角的正弦值為217，求線段AG的長度．19.(本小題12分)

在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架ABCD，ADEF的邊長都是1，且它們所在平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AE和BD上移動，且EM和DN的長度保持相等，記EM=DN=a(0<a<2)，活動彈子Q在EF上移動．

(1)求證：直線MN//平面CDE；

(2)Q為線段EF上的點(diǎn)，求EB與平面QCD

參考答案1.D

2.B

3.C

4.D

5.D

6.C

7.A

8.A

9.AB

10.ABC

11.BD

12.(x?2)13.8

14.417215.解：(1)聯(lián)立方程組3x+4y?2=02x+y+2=0，

解得x=?2y=2，

所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,2)，

又因?yàn)橹本€l與直線3x+y?1=0垂直，所以直線l的斜率為13，

則直線l的方程為y?2=13(x+2)，即x?3y+8=0；

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=?2，滿足點(diǎn)A(3,1)到直線l的距離為5；

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y?2=k(x+2)，即kx?y+2k+2=0，

則點(diǎn)A到直線l的距離為|3k?1+2k+2|k2+1=5，

解得k=125，

故直線l的方程為16.解：(1)由圓心C在直線y=x+1上，可設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a,a+1)，

再根據(jù)圓C經(jīng)過點(diǎn)A(?3,0)和點(diǎn)B(1,0)，可得|CA|=|CB|，

即(a+3)2+(a+1)2=(a?1)2+(a+1)2=r2，解得a=?1，r2=4，

可得圓心C的坐標(biāo)是(?1,?1)，r=2，

∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=4；

(2)設(shè)N(x1,y117.解：(1)根據(jù)題意，計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：產(chǎn)品編號AAAAAAAAAAS4565656634其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，故該樣本的一等品率為610=0.6，

從而估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6．

(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為：{A1,A2}，{A1,A4}，{A1,A6}，{A1,A9}，{A1,A10}，

{A2,A4}，{A2,A618.(1)證明：在四棱錐A?BCDE中，因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面CDE，平面ACD∩平面CDE

=CD，AC⊥CD，AC?平面ACD，所以AC⊥平面CDE．又CE，CD?平面CDE，所以AC⊥CE，

AC⊥CD．所以∠ECD為二面角D?AC?E的平面角，所以∠ECD=60°，又△BCE為等邊三角形，∠BEC=60°，所以CD

//

BE．又BE?平面ABE，CD?平面ABE，所以CD

//平面ABE．(2)解：取BE的中點(diǎn)F，連結(jié)CF.則CF⊥BE，又BE

//

CD，所以CF⊥CD．又AC⊥平面CDE，CF?平面CDE，所以AC⊥CF，所以AC，CF，CD兩兩垂直．以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CF的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C?xyz，則A(0,0,2)，B(3,?1,0)，C(0,0,0)則CE=(3,1,0)，設(shè)AG=λAB，得G(3λ,?λ,2?2λ)設(shè)平面CEG的法向量為n=(x,y,z)，

則CG·不妨令x=3，可得n=(設(shè)直線CB與平面CEG所成的角為α，則sinα=|cos<n，CB所以AG的長為2

19.解：(1)證明：在平面ADEF內(nèi)，過點(diǎn)M作MG/?/DE，交AD于點(diǎn)G，連接NG，MN，

由MG/?/DE，得AMME=AGGD，而AE=BD=2，EM=DN=a，

則AM=BN，AMME=BNND，AGGD=BNND=AMME，于是GN/?/AB，

又AB/?/CD，則GN/?/CD，而MG?平面CDE，MG/?/DE，DE?平面CDE，

因此MG/?/平面CDE，

同理GN//平面CDE，又MG?平面MNG，GN?平面MNG，MG∩GN=G，

則平面MNG/?/平面CDE，而MN?平面MNG，

所以直線MN/?/平面CDE．

(2)由平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，

ED?平面ADEF，得ED⊥平面ABCD，又DA⊥DC，

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系