2025屆高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)問題講義主要是含參函數(shù)

函數(shù)的零點(diǎn)問題（主要是含參函數(shù)）-------------------------------------------------學(xué)問點(diǎn)與方法總結(jié)-----------------------------------------------------一、函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)．2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系1）函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根?函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)有零點(diǎn)．2）函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；3）函數(shù)有零點(diǎn)方程F（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).3、二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210二、零點(diǎn)存在性定理假如函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得，這個(gè)也就是方程的根.【注】上述定理只能推斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).（1）若，則“肯定”存在零點(diǎn)，但“不肯定”只有一個(gè)零點(diǎn).要分析的性質(zhì)與圖象，假如單調(diào)，則“肯定”只有一個(gè)零點(diǎn)（2）若，則“不肯定”存在零點(diǎn)，也“不肯定”沒有零點(diǎn)。假如單調(diào)，那么“肯定”沒有零點(diǎn)（3）假如在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。假如單調(diào)，則肯定小于0.三、二分法1、二分法的概念對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連綿不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步靠近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；③計(jì)算f(c)；a．若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；b．若f(a)·f(c)<0，則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))．④推斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a?b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)②③④.【速記口訣】定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看，同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來把關(guān)口．四、函數(shù)零點(diǎn)的判定方法1、定義法（定理法）：運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)必需在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．2、方程法：推斷方程是否有實(shí)數(shù)解．3、圖象法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如，作出和的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).五、推斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法1、解方程法：令f(x)=0，假如能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．2、零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連綿不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必需結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)．3、數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).六、函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題1、已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時(shí)應(yīng)分三步：①推斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿意的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．在求解時(shí)，留意函數(shù)圖象的應(yīng)用．2、已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍一般狀況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，把此問題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．3、借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小或干脆比較函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大?。舾纱啾容^函數(shù)零點(diǎn)的大小，方法如下：①求出零點(diǎn)，干脆比較大??；②確定零點(diǎn)所在區(qū)間；③同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)圖象，由零點(diǎn)位置關(guān)系確定大小.七、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有關(guān)的零點(diǎn)分布設(shè)方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，它們的分布狀況見下面各表（每種狀況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）根的分布(m＜n＜p為常數(shù))圖象滿意條件x1＜x2＜mm＜x1＜x2x1＜m＜x2m＜x1＜x2＜nn＜x2＜p只有一根在(m，n)之間八、一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三個(gè)根分別為x1、x2、x3．原方程化為．∵x1、x2、x3是方程的三個(gè)根，∴．整理，得：，比較左右同類項(xiàng)的系數(shù)，得一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系是：．---------------------------------------------------------題型歸納------------------------------------------------------【題模1】：定義法解決函數(shù)零點(diǎn)問題【題模2】：數(shù)形結(jié)合法解決函數(shù)零點(diǎn)問題【題模3】：導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)零點(diǎn)問題題型一、零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程根的個(gè)數(shù)問題題型二、切線的條數(shù)問題，即以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)題型三、已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)【題模4】：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有關(guān)的零點(diǎn)分布【題模5】：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題【題模6】：一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系--------------------------------------------------------專題訓(xùn)練----------------------------------------------------------【題模1】：定義法解決函數(shù)零點(diǎn)問題【講透例題】1、已知函數(shù)的圖象是不間斷的，并有如下的對(duì)應(yīng)值表：123456787–35–5–4–8那么函數(shù)在區(qū)間（1，6）上的零點(diǎn)至少有（）個(gè)A．5B．4C．3D．22、設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)3、函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．4、已知函數(shù)（1）若是的極值點(diǎn)且的圖像過原點(diǎn)，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2【相像題練習(xí)】1、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0B．1C．2D．3x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋2123452、依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N)，則k的值為________.3、若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.（-∞，a）和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和（c,+∞）內(nèi)D.（-∞，a）和（c,+∞）內(nèi)4、若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)旁邊的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)=-2.1f(1.5)=0.62f(1.25)=-0.94f(1.375)=-0.26f(1.4375)=0.163f(1.40625)=-0.054那么方程的一個(gè)近似根（精確到0．1）為（）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．55、已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，假如函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn)，求的取值范圍。6、已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像與直線平行，且在處取得微小值，設(shè)；（1）若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求的值；（2）k如何取值時(shí)函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)?！绢}模2】：數(shù)形結(jié)合法解決函數(shù)零點(diǎn)問題【講透例題】1、下列方程在區(qū)間內(nèi)肯定沒有實(shí)根的是（）A、B、C、D、2、方程實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）多數(shù)多個(gè)3、若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_____.4、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x＜2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．5、已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0).(1)若y＝g(x)－m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根.【相像題練習(xí)】1、已知是偶函數(shù)，且其圖像與x軸有7個(gè)交點(diǎn)，則方程的全部實(shí)根之和為（）A、4B、2C、1D、02、已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)＝lnx＋x－2的零點(diǎn)為b，則g(a)，f(1)，f(b)的大小關(guān)系為________．3、若定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是() A．多于4個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【題模3】：導(dǎo)數(shù)法解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題題型一、零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)f(x)與x軸（或與g(x)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程根的個(gè)數(shù)問題【講透例題】1、方程exaxa0有唯一的實(shí)數(shù)解，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（用三種方法解）2、已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．⑴求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑵若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3、已知函數(shù)，（其中）（1）若，探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：函數(shù)有唯一的零點(diǎn).【相像題練習(xí)】1、設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，），曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求；（2）若對(duì)隨意，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．2、已知函數(shù)f（x）=ax+lnx+（Ⅰ）若a≥0或a≤﹣1時(shí)，探討f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)．題型二、切線的條數(shù)問題，即以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)【講透例題】1、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得微小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【相像題練習(xí)】1、已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）過可作的三條切線，求的取值范圍.題型三、已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)【講透例題】定義在R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．【相像題練習(xí)】1．若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2、若函數(shù)既有極大值又有微小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C．或 D．或3、函數(shù)在內(nèi)不存在極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________．【題模4】：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有關(guān)的零點(diǎn)分布【講透例題】1、求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程的兩根狀況如下：(1)兩個(gè)負(fù)根；(2)兩根都小于1；(3)兩根都大于1；(4)一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.【相像題練習(xí)】：1、若方程的兩個(gè)根的兩根狀況如下，求的取值范圍。(1)兩根都小于-1；(3)兩根都大于-1；(3)一個(gè)根大于-1，一個(gè)根小于-1【題模5】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題【講透例題】1、對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”：,設(shè)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A．(?2,1)B．[0,1]C．[?2,0)D．[?2,1)2、已知函數(shù)，則方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C． D．3、已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的全部可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【相像題練習(xí)】1、已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=A． B．C． D．12、已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．2 B．3C．4 D．53、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________.4、設(shè)是定義在上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，，則方程的解的個(gè)數(shù)是．5、已知函數(shù)，其中．若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是_______