2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解題技巧方法第四章第2節(jié)幾何法分析向量模的最值問題教師版

幾何法分析向量模的最值問題學(xué)問與方法向量兼具代數(shù)、幾何雙重特征，在諸多平面對(duì)量的最值問題（數(shù)量積最值、模最值）中，分析已知條件并畫出圖形，找尋最值是一種重要的解題方法，本節(jié)主要針對(duì)用幾何法分析向量模的最值問題.典型例題【例1】設(shè)平面對(duì)量a和b滿意，a與b的夾角為60°，若，則的最大值為______.【解析】解法1：，，如圖，將向量c和起點(diǎn)都放在點(diǎn)O，則向量c的終點(diǎn)C應(yīng)在以A為圓心，2為半徑的圓上，由圖可知，的最大值為.解法2：，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，而，所以問題可以看成求圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，明顯.【答案】【例2】已知a是單位向量，向量b滿意，則的取值范圍為_______.【解析】解法1：如圖，將向量a和b的起點(diǎn)均放在點(diǎn)O，的終點(diǎn)落在以為直徑的圓上，所以的取值范圍為.解法2：設(shè)，設(shè)，則，所以，整理得：，而，所以問題可以看成求圓上動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍，明顯原點(diǎn)在該圓上，故的取值范圍為.【答案】【例3】設(shè)，點(diǎn)C在線段上，且，則的最小值為_______.【解析】解法1：且，，設(shè)D為中點(diǎn)，如圖，由圖可知當(dāng)時(shí)，取得最小值.解法2：且，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.【答案】強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★）已知a和b是單位向量，且，若向量c滿意，則的取值范圍為________.【解析】解法1：設(shè)，，，則，，而，所以問題可以看成求圓：上動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離的取值范圍，因?yàn)椋?，故的取值范圍?解法2：由題意，，如圖，設(shè)，，以T為圓心，1為半徑畫圓，則當(dāng)點(diǎn)C在圓T上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，由圖可知的取值范圍為.【答案】2.（★★★）已知，，要使最小，則實(shí)數(shù)x的值為________.【解析】解法1：，所以當(dāng)時(shí)，最小.解法2：，設(shè)，，，則點(diǎn)C在直線上，且，如圖，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，也就最小，由題干所給數(shù)據(jù)易得為正三角形，所以當(dāng)C為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，.【答案】3.（2011·大綱卷·★★★★）設(shè)向量a、b、c滿意，，，則的最大值為（）A.2 B. C. D.1【解析】，，設(shè)，，，則，可能的情形有兩種，若為圖1，A、B、C三點(diǎn)均在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，其中C在優(yōu)弧上，滿意，明顯此時(shí)恒有，若為圖2，則的外接圓為圓D，向量c的終點(diǎn)C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，滿意，易求得，當(dāng)最大時(shí)，恰為圓D的直徑，由正弦定理，，即此時(shí)，綜上所述，的最大值為2.【答案】A4.（★★★）設(shè)a和b是相互垂直的兩個(gè)單位向量，且，則的最大值為________.【解析】解法1：設(shè)，，，則，，，所以，可設(shè)，則，即的最大值為.解法2：如圖，設(shè)，，，則當(dāng)向量c的終點(diǎn)C在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總能滿意，故的最大值為.【答案】5.（★★★）平面對(duì)量a和b滿意，，，且a與的夾角為120°，則的取值范圍為________.【解析】如圖，設(shè)，，當(dāng)A點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿意a與的夾角為120°，所以，由正弦定理，，由圖可知.【答案】6.（★★★）設(shè)a、b、c是平面對(duì)量，，且，若，則的最小值為________.【解析】解法1：因?yàn)?，且，所以，故，從而，如圖，設(shè)，，，，，則即為，所以點(diǎn)B可在以為直徑的圓F上運(yùn)動(dòng)，從而問題轉(zhuǎn)化為求圓F上的動(dòng)點(diǎn)B與定點(diǎn)A的最