北師版九年級數(shù)學(xué)下冊教案

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第一章

直角三角形的邊角關(guān)系

1銳角三角函數(shù)

第1課時銳角的正切

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?情景導(dǎo)入如圖是意大利著名的建筑一一比薩斜塔，是世界著名建筑奇觀，位于意大

利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上，是奇跡廣場四大建筑之一，也是意大利著名的標(biāo)志

之一.它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜，應(yīng)該如何來描述它的傾斜程度呢？

【教學(xué)與建議】教學(xué)：創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情景吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)求知欲.建議：啟發(fā)學(xué)

生大膽猜想，鼓勵各種新鮮的想法.

?歸納導(dǎo)入1.如圖，兩個斜坡4?和加；哪個更陡一些？你是如何判斷的？

Be[FG

解：/瀘更陡.、=，???/：尸更陡.

?.?A77C52<7I7tG=1,

（第1題圖）（第2題圖）

2.如圖，梯子/山沿墻如下滑到⑦處，OA=OD=\,0B=0C=3,梯子在/歷和。處哪

個更陡一些？如何用圖中數(shù)據(jù)判定？

HIOA4OC3

解:仍更陡.歷=§，萬=大

OAOChs

■:命麗?"8更陡

B

才/^//的對邊

A/4的鄰邊C

【歸納】如圖，在RtZVI回中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做//的正切，記作

tanA,g|Jtan力=_§篇麴Ian力的值越大，斜坡越陡.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：計算比較哪個斜坡陡一些從而導(dǎo)入課題,過渡自然.建議：猜想

一一計算一一歸納，放手讓學(xué)生自己解決.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例

*命題角度1根據(jù)定義求銳角的正切值

在直角三角形中，如果銳角確定，則其正切值等于這個角的對邊與鄰邊的比值.

【例1】在中，ZC=90°,AC=2,BC=3,則tanA=（B）

A2B3嶇嶇

321313

5

【例2】在RtZX/1歐中，NC=90°,力8=13,80=5,則tanA=返一?

*命題角度2利用正切函數(shù)求線段的長

N/1的對邊

根據(jù)正切的定義tanA=可以變形出兩個計算公式：對邊=鄰邊義正切，鄰邊

N力的鄰邊

對邊

正切.

3

【例3】在直角三角形中，有一銳角的正切值為“兩直角邊長的和為14,則斜邊長是(D)

3

A.15B.14C.=D.10

□

【例4】在。中，NC=90°,4B=#,tan力=乎

則8c的長是_也_

*命題角度3正切的應(yīng)用一一坡度坡角問題

坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也稱為坡比.

［例5］如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡月8的水平寬度為10m,斜面坡度為1:2,則斜

坡加，的長為(B)

C.12mm

(例5題圖)

【例6】某人從點(diǎn)力沿著坡面力〃前進(jìn)了6m到達(dá)點(diǎn)8的位置，此時他在垂直方向上上升

了2m,則坡面力〃的坡度為—乎

*命題角度4在平面直向坐標(biāo)系中求值

在平面直角坐標(biāo)系中，利用正切可以求點(diǎn)的坐標(biāo).關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造直角三角形.

3

【例7】如圖，點(diǎn)/1(2,力在第一象限，0力與x軸所夾的銳角為a,tan。則￡

的值是⑴)

A.1B.1.5

(例7題圖)(例8題圖)

【例8】如圖，H12,a)在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，/W_Lx軸于，，則lanZ

A

5

必歸的值為—含

JL乙

高效課堂教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系向過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

2.能夠用lan/l表示宜角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等,

能夠用正切進(jìn)行簡單的計算.

3.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，了解數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

▲重點(diǎn)

掌握正切的定義及基本應(yīng)用.

▲難點(diǎn)

利用正切的有關(guān)知識解決實(shí)際生活的問題.

三、教學(xué)活動

?活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（課件）

你知道圖中建筑物的名字嗎？是的，它就是意大利著名的建筑一一比薩斜塔，是世界著

名建筑奇觀，位于意大利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上，是奇跡廣場四大建筑之一，

也是意大利著名的標(biāo)志之一.它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜，應(yīng)該如何用數(shù)學(xué)方法

來描述它的傾斜程度呢？

?活動2實(shí)踐探究交流新知

【探究1】

在圖中，梯子力〃和仔、哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？

梯子比梯子/獷更陡.

方法一：從圖中很容易發(fā)現(xiàn)//步6>/￡7刃，所以梯子/由比梯子哥'陡.

方法二：因?yàn)榱?口，所以只要比較8C,外的長度即可判斷哪個梯子陡.因?yàn)榍涣?

所以梯子月8比梯子旗陡.（比較梯子的底部到墻角的距離來判斷）

結(jié)論：豎直高度相等時，水平寬度越短，梯子越陡.

【探究2】正切的定義

如圖，若小明因身高原因不能順利測量梯子頂端到墻腳的距離進(jìn)而無法刻畫梯子

的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么錦囊妙計？

/CC

小明想通過測量AG及月G,算出它們的比，來皆明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為，通

過測量AG及1C,算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？

（l）Rt△45G和有什么關(guān)系？

⑵竿和

~AG有什么關(guān)系？

/IC1

⑶如果改變氏在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？

結(jié)論：由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得繆=令，即爺=窄?

歷Q八S/IC]/IC2

BCBG

如果改變屋在梯子上的位置，總可以得到1“△/!戾CsRi△/史G,仍能得到,因

AGAG

絲

此，無論人在梯子的什么為置（除點(diǎn)力外）,~AG~AQ總成立.

【歸納】如圖，在RI△力/勿中，如果銳角4確定，那么的對邊與鄰邊的比便隨之確

/力的對邊

定，這個比叫做N力的正切，記作tan4即tan

A—N加勺鄰邊.

B

/力的對邊

.力的鄰邊’

注意：

1.tan力是一個完整的符號，它表示/力的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“N”.

2.tan力沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中/力的對邊與鄰邊的比.

3.tan月不表示“tai”乘“月”.

4.初中階段，正切是在直角三角形中定義的，是一個銳角.

【探究3】坡度的定義

如圖表示甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？

13m

8m

甲

(Dtan。和tan。的值分別是多少?

⑵你能比較tan。和tan￡的大小嗎？

(3)根據(jù)lan1的值越大，梯子越陡，你能判斷哪一個自動扶梯比較陡嗎？

(2)tana>tan￡；

(3)Vtana>tan萬，，甲扶梯更陡.

【歸納】坡面與水平面的夾角稱為坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比(即坡角的正切)

稱為坡度(或坡比).坡度越大，坡面就越陡.

?活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】在△/必。中，Z6^=90°,BC=6cm,/1B=1Ocm,求tan力和tan8的值.

【方法指導(dǎo)】先求出4。，利用正切定義"J求出.

34

解：由勾股定理，得4。=8,則tan月=亍，tan/?=-

【例2】如圖，某人從山腳下的點(diǎn)力走了130m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)8已知點(diǎn)8到山腳的垂

直距離為50m,求山的坡度.

【方法指導(dǎo)】先求出4C,求出tan1即為山的坡度.

解：由勾股定理，得化=120m,

5

則tanA=—

5

答：山的坡度為0.

14

?活動4隨堂練習(xí)

課本巴隨堂練習(xí).

答案：

1.tanC=二.

4

2.山的坡度為0.286.

?活動5課堂小結(jié)與作業(yè)

/力的對邊

【歸納】(DianA=

/川I勺鄰邊.

(2)tan力的值越大,梯子越陡.

（3）坡面與水平面的夾角稱為坡角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度（或坂比）.

【作業(yè)】課本巴習(xí)題1.1中的「、丁2、”

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思I

在解決實(shí)際問題中引發(fā)認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)已有知識不能直接解決問題，需建立新的模型，

通過探究、歸納得出正切的定義，再運(yùn)用這一定義進(jìn)行計算加以鞏固，整個流程符合學(xué)生的

認(rèn)知規(guī)律，是一個從己有知識發(fā)展出新知識的過程.

第2課時銳角的正弦、余弦

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?置疑導(dǎo)入

1.什么是銳角的正壇？

2.當(dāng)直角三角形的銳角確定時.，正切值與什么有關(guān)？與直角三角形的大小有沒有關(guān)系？

3.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎？

4.梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎？如果有，是怎樣的關(guān)系？

【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過提問正切的有關(guān)知識，導(dǎo)入新課，問題層層遞進(jìn)，為本節(jié)課

的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.建議：留給學(xué)生充足的思考時間，讓學(xué)生積極動腦.

?類比導(dǎo)入如圖，研究梯子擺放的傾斜程度有兩種方法:一是用梯子的傾斜角來刻畫，

傾斜角越大，梯子越陡；二是用傾斜角的對邊與鄰邊之比（即傾斜角的正切）來刻畫，正切值

越大，梯子越陡.那么還有沒有其他方法來刻畫梯子的傾斜程度呢？模擬試驗(yàn)，探究梯子擺

放的傾斜程度是否還與梯頂或梯腳到墻角的距離與梯長比有關(guān).

3.5m

F

1.3m

①②

【教學(xué)與建議】教學(xué)：動手操作及量一最活動最易激發(fā)學(xué)生的想象、思維和發(fā)現(xiàn)，類比

求正切值導(dǎo)入求其他函數(shù)值，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.建議：在學(xué)生操作時丁教師要引導(dǎo)學(xué)

生進(jìn)行思考、分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例

*命題角度1三角函數(shù)的定義

將正弦、余弦、正切與點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形等知識結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，計算相應(yīng)的線

段長，從而得到所求的三角函數(shù)值.

【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（6,8）,那么sin。的值是（。）

（例1題圖）（例2題圖）

2.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格圖中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△1比的頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，則N刈。的余弦值是—斐

*命題角度2梯子傾斜速度與銳角三角函數(shù)關(guān)系

正弦、正切值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡.

【例3】如圖，梯子與地面所成的銳角為/胡￡關(guān)于/砌C的三角函數(shù)值與梯子傾斜程

度的關(guān)系，下列敘述正確的有(B)

①tanN8/1C的值越大，梯子越陡；

②tanN8/1C的值越小，梯子越陡：

③sinNE1C的值越大，梯子越陡；

④cos上的C的值越小，梯子越緩.

A.1個B.2個C.3個I).4個

【例4】如圖，攔水城的橫斷面為梯形/厲切，BC//AD,斜坡/步的坡度為1：3,壩頂寬

BC=3m,壩高為4m,斜坡口的長為5m.

⑴試比較斜坡四和⑦哪個更陡；

(2)求壩底月〃的長.

AF.FD

解：⑴過點(diǎn)。作紡1月〃于點(diǎn)'則”=4m.

在叨中.根據(jù)勾股定理.得FD=弋E-7=鄧一=3(0.

4

tanD=~

J

Vtan力=1，/.tanZ?tanA,

J

???斜坡⑦更陡；

⑵過點(diǎn)8作8口L4?于點(diǎn)￡,則比'=4m,EF=BC=3m.

*人工BE1

在RS/18E中，*/tanA=—=~,

AE3

?"夕=3砂=3X4=12(m),

，力〃=力￡'+"斗印=12+3+3=18(m).

即壩底力，的長為18m.

*命題角度3互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系

在△48。中，若N4+N8=90。，則sinJ=cosB,tanA?tanB=1.

i?

【例5】在RtZU歐中，Z6^90°,若sin/!=—,則cos8的值是(B)

￡

【例6】在Rt△力歐中，Z6^90°,若tan力=乎，MtanB=_^3_.

o

杓命題角度4同角的正弦余弦之間的關(guān)系

對同一銳角a,都有sin%+cos?。=1.

3

【例7】在Rt△月比?中，NC=90°,若sin/1==，則cos力的值為(D)

□

834

B.-C.-D.

13□5

高效課堂教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解正弦、余弦的意義.

2.能夠用sin4cos力表示直角三角形中直角邊與斜邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

▲重點(diǎn)

根據(jù)百角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算.

▲難點(diǎn)

了解互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系并用它來解決實(shí)際問題.

三、教學(xué)活動

?活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)

上節(jié)課，我們研究了“陡”這個字，明確了梯子擺放的“陡”與“緩”是與梯頂、梯腳

到墻角的距離比有關(guān)的.如圖，研究梯子接放的傾斜程度有兩種方法：一足用梯子的傾斜角

來刻畫，傾斜角越大，梯子越陡；二是用傾斜角的對邊與鄰邊之比(即傾斜角的正切)來刻畫，

正切值越大，梯子越陡.那么還有沒有其他方法來刻畫梯子的傾斜程度呢？卜面請同學(xué)們模

擬試驗(yàn)，

圖①圖②

?活動2實(shí)踐探究交流新知

【探究1】

如圖，請思考：

(DRtZ\/15G和口△/房仁的關(guān)系是什么？

(2)爺?shù)年P(guān)系是什么？

篝的關(guān)系是什么？

(3)如果改變外在斜邊上的位置，則

思考：從上面的問題可以看出：當(dāng)直角三角形的一個銳角的大小已確定時，它的對邊與

斜邊的比值________,根據(jù)是.它的鄰邊與斜邊的比值呢？

解:(D相似;

B\CiBiCz

⑵ABxAB＞，

(3)相等.

思考：相等相似三角形對應(yīng)邊成比例鄰邊與斜邊的比值也相等.

N力的對邊

【歸納】/力的對邊與斜邊的比叫做N4的正弦,記作sin兒BPsinA=

斜邊

/力的鄰邊

的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作cos力，即cosA=

斜邊

B

斜邊

/力的對邊

乙1的鄰邊'

注意：

1.sinA,cos力中常省去角的符號“N”；

2.sinA,cos力沒有單位，它們都表示一個比值;

3.sinA,cos力是一個完整的符號，不表示“sin”或“cos”乘aAn；

4.在初中階段，sinA,cos/I中，N/l是一個銳角；

5.0<sinA<1,0<cos4Vl(N力是銳角).

【探究2】梯子的傾斜程度與sin月和cos力的關(guān)系

問題：我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tan1有關(guān)系：tan力的值越大，梯子越陡.由

此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sin/1,cos/1有關(guān)系呢？如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系？

伊

A4

解：如圖，AB=A限

??人qBC

在RtZ\/18C中，sin/!=—,

*人」&C

在。中，sin

A\B\

/?c

因?yàn)镵力，即sin/KsinN8MC,而梯子48比梯子/出陡，所以梯子的傾斜程度與

ADA\D\

sin力有關(guān)系.sin1的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.

因?yàn)閏osA=專,cos仁春，且力6=4笈，所以5>1，

即cos心cosNaAC

所以梯子的傾斜程度與cos4也有關(guān)系.cos力的值越小，梯子越陡.

【歸納】正弦越大，角越大，梯子越陡；余弦越小，角越大，梯子越陡.

?活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】如圖，在RI△力比中，ZZ?=90°,AC=2()0,sin4=0.6,求他的長.

【方法指導(dǎo)】利用sin/1=;^即可求出.

解：在RI△力應(yīng)'中，VsinA=-即訴=0.6,

/IOf/UU

.*.^=200X0.6=120.

【例2】在RtZ\/14。中，Z6^90°,AC=3,BC=4.

⑴求sinAWcos6的值;

(2)求sin8和cos4的值;

⑶由(D(2)你有什么發(fā)現(xiàn)？你能證明自己的發(fā)現(xiàn)嗎？

44

解：(l)sinA--,cosB—~\

bo

33

(2)sinB=W，cos/=：；

oo

(3)若N4+NA=90°,則sinJ=cosB,sin4cosA.證明略.

?活動4隨堂練習(xí)

1.在RtZVl砥中，若各邊的長度同時都縮小2倍，則銳角力的正弦值(C)

A.縮小2倍B.縮小1倍

C.保持不變D.不能確定

2.已知NH,N4為銳角.

(1)若/月=NH則sinA=sinB；

(2)若sin/l=sinB,則N/!=N/Z

3.課本P?隨堂練習(xí).

?活動5課堂小結(jié)與作.'也

【歸納】(l)sin4的值越大,梯子越陡；cos/的值越小,梯子越陡；

(2)方法規(guī)律：

角相等，則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等，則這兩個銳角相等.

【作業(yè)】課本R習(xí)題1.2中的「、L.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思＞

通過類比正切的概念得出正弦、余弦的概念，同時導(dǎo)中三角函數(shù)的概念；結(jié)合勾股定理、

三角形內(nèi)角和定理等知識，讓學(xué)生理解三角函數(shù)的意義，找出正切、正弦和余弦之間的關(guān)系,

并能進(jìn)行簡單的計算.少數(shù)學(xué)生對■用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切還比較模糊.

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

教師備課素材示例

?置疑導(dǎo)入如圖，為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①含30°和60。

兩個銳角的三角尺；②皮尺.你能利用上述測量工具測出這棵大樹的高度嗎？

(用多媒體演示上面的問題，并讓學(xué)生交流各自的想法)

【教學(xué)與建議】教學(xué)：以生活中的實(shí)例入手，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.建議：在學(xué)生

操作時，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、分析.

?復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.銳角0的三角函數(shù)有哪幾種？如何表示？

答：將銳角力的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為/力的三角函數(shù).

N力的對邊的鄰邊,N/1的對邊

sinA=cosA=

斜邊斜邊加的鄰邊

2.在中，NC=90°,若tan力=J,則sinA=,cosA=.

【教學(xué)與建議】教學(xué)：復(fù)習(xí)內(nèi)容層層遞進(jìn)，為新課的學(xué)K奠定基礎(chǔ).建議「學(xué)生回

答后，教師及時糾正問題.

?懸念激趣網(wǎng)絡(luò)購物從一個新生事物變成了越來越多的人選擇的購物方式.本課老師

也準(zhǔn)備了幾件物美價廉的寶貝(如圖)，投放進(jìn)幾家商鋪進(jìn)行出售，你們有沒有信心搶到呢？

很好，我們先看看商鋪里面有些什么寶貝吧，看誰能搶到它們！(利用多媒體投影)

商鋪:

積極性.建議：讓學(xué)生獨(dú)立思考，解決問題.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例

*命題角度1利用特殊角的三角函數(shù)值求線段長度

構(gòu)造直角三角形，把特殊角放在直角三角形中，借助特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算.

【例1】如圖，在△月比t中./C為鈍角./4=30°,tan8=1."=2鎘,則助等干

(A)

fi

A.3+^3B.2+2/

9

C.5D.~

乙

【例2】如圖，力〃是△力8。的中線，tan8=4,cos0=乎，AC=y[2.

O乙

⑴求究的長;

⑵求sinN4T的值.

解：(1)過點(diǎn)/I作力均L回于點(diǎn)￡

VcosC=乎，/.Z6=45°.

在RtA4"中，CE=AC^cosC=l,：.AE=CE=\.

4人q1ME1

在Rl△川陽中，tanB=~,即俞.=三，

3Bk3

???儲=3月￡=3,:.BC=BE+CE=3+\=k

(2)VAD是△/回的中線，:.CD=』BC=2.：.DE=CD-CE=\.

YAEIBC,DE=AE,；?/力ZT=45°.AsinAADC=^.

*命題角度2由特殊三角函數(shù)值求角度

由特殊三角函數(shù)值求得對應(yīng)的特殊角度，再展開相關(guān)計算.

【例3】在△他:中，若sin+yjcosi?-1=0,則/C的度數(shù)是(D)

A.30°B.45°C.60°D.90°

【例4】已知乙4是△彼的內(nèi)角，且sin牛=噂，則lanJ=_乎一

乙乙乙J

*命題角度3利用特殊角的三角函數(shù)值計算

在考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算時，熟知零指數(shù)寤的運(yùn)算法則、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值,

再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計算即可.

【例5】計算：

(l)Ay(l-4cos30°sin600)24-(-2)-1-(^/2023-2024)°；

解：原式=1-4義平X書一.1

1

=2一廠

1

=-?

2,

,sin245°4-tan60°?cos30°

(2x)--------------------------

^2cos450+tan450

=2

=1.

高效課堂教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索30°,45°,60°角的』角函數(shù)值的京程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理，進(jìn)一步

體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠進(jìn)行30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計算.

3.能夠根據(jù)30°,45°,60。角的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

二、教學(xué)重難點(diǎn)》

▲重點(diǎn)

能夠進(jìn)行含30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計算.

▲難點(diǎn)

在具體情境中構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值解決實(shí)際問題.

三、教學(xué)活動!

?活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（課件）

在直角三角形中（利用一副三角尺進(jìn)行演示），如果有一個銳角是30°（如圖①），那么另

一個銳角是多少度？三條邊之間有什么關(guān)系？如果有一個銳角是45。呢（如圖②）？由此你

能發(fā)現(xiàn)這％特殊銳角的三角函數(shù)值嗎？

圖①圖②

?活動2實(shí)踐探究交流新知

【探究】特殊角的三角函數(shù)值

1.如圖，在Rt△力眩中，zr=90°,ZA=30°,那么a,b,。三者之間有怎樣的關(guān)系？

2.sin30°等于多少？你是怎樣得到的？與同伴交流.

3.cos300等于多少？tan300呢？

4.sin60°,cos60°,tan60°呢？

5.45°角的三角函數(shù)值分別是多少呢？

6.填寫表格:

sintan

三角函數(shù)值a

acosa

30°

45°

60°

【歸納】sin30c=J,sin45°=半，sin60°=坐;

乙乙乙

cos30°=~T-,cos45°=-T-,cos60°=~；

乙乙乙

r

tan300=弓-，tan450=1,tan60°二木.

J

?活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】計算:

（1）sin300+cos45°；

（2）sin260°4-COS260C—tan450.

【方法指導(dǎo)】熟記（特殊角）三角函數(shù)的值，計算時一般不取近似值.

解：（l）sin30°+CGS45°=[+乎；

（2）sin^O04-COS260':—tan450=（乎尸+（；）?—1=：+；—1=0.

【例2】一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為

60°,且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結(jié)果

精確到0.01m)

【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形構(gòu)造直角三角形，找出圖中的特殊角，最后

根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求出正確結(jié)論.

解：如圖，根據(jù)題意可知，ZJ/29=1x60°=30°,01)=2.5m,

：.()C=ODcos30°=2.5X乎和2.165(m).

,??力C=2.5-2.165=0.34(m).

所以，最高位置與最低位置的高度差約為0.34m.

?活動4隨堂練習(xí)

1.課本汽隨堂練習(xí).

1yR

2.在△月比中，/4N4都是銳角，且sinA=~,cos/，=與，則△力應(yīng)、的形狀是(B)

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

福

3.在△48c中，/。=90°,/8=2/月，則tanA=_

o

?活動5課堂小結(jié)與作業(yè)

【歸納】探索特殊角的三角函數(shù)值.

【作業(yè)】課本％習(xí)題1.3中的小丁2、丁3、.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思＞

本節(jié)課通過小組合作交流形式，讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學(xué)

生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣，并在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗(yàn)，對學(xué)生鍛煉克服困難的意志，建

立自信心很有幫助，以后教學(xué)中要繼續(xù)發(fā)揚(yáng).

R三角函數(shù)的計算:

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?類比導(dǎo)入如圖，當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)〃到達(dá)點(diǎn)〃時，它走過了200m.已知纜

車行駛的路線與水平面的夾角為=45°,那么纜車垂直下降的距離是100^/2m_,當(dāng)

纜車的吊箱從點(diǎn)6到達(dá)點(diǎn)4,它走了200m,N8=16°,你能求出纜車垂直下降的晅離嗎？

【教學(xué)與建議】教學(xué)：用貼近學(xué)生生活的問題情境導(dǎo)入課題，由特殊角45。到求

sin16°的值，由此引出一般銳角的三角函數(shù)值的計算問題.建議：在學(xué)生操作時.，教師要

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、分析.

?情景導(dǎo)入如圖，蹺蹺板18的一端8碰到地面時，力6與地面的夾角為15°,且總=

仍=2m.你能求出此時另一端力離地面的高度嗎？

要求另一端力離地面的高度.實(shí)際上就是求百角二角形的百角功，所以只要求出sin4

的值即可，但是15°不是特殊角要怎么辦呢？

【教學(xué)與建議】教學(xué)：在直角三角形中解決問題，學(xué)生直接得到另一端力離地面高度為

AB-sin15°,讓學(xué)生想到需要求一般角的三角函數(shù)值.建議：直接展示圖形、題目，讓學(xué)

生獨(dú)立思考，提出解決方案.

二、命題熱點(diǎn)分析與示例，

*命題角度1利用一般角的之角函數(shù)解決仰角、俯角問題

利用三角函數(shù)值計算仰角、俯角問題時，根據(jù)仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函

數(shù)求解.

【例1】趙強(qiáng)同學(xué)在距某電視塔塔底水平距離600nl處，看塔頂?shù)难鼋菫?0°（不考慮身

高因素），則此塔高鄉(xiāng)勺為2高m.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20°^0.3420,sin70°

^0.9397,tan20°^0.3640,tan70°^2.7475）

【解析】畫出示意圖，如圖.在RtZk/1砥中，/國=600m,ZBAC=20°.

Be

V-=tan20°，：.BC=ABtan200*600X0.3640^218(m).

AB

【例2】如圖，海面上一艘船由西向東航行，在力處測得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C

的仰角為31。，再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)8處，測得燈塔的最高點(diǎn)。的仰角

C

A/?/）

為45。，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算這庫燈塔的高度（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin31°

心0.52,cos31°"0.86,tan31°*0.60)

解：在Rt△加9中，/儂=45°,

:'BD=CD.在RSADC中,N4=31°,48=20,

CDCD

,tan31u即n再涌0-66X^45m.

答；這座燈塔的高度切約為45m.

*命題角度2利用一股角的三角函數(shù)值表示線段長

當(dāng)題目中沒有給出一般角的三角函數(shù)值時，先構(gòu)建直角三角形，再用一般角的三角函數(shù)

來表示線段長.

【例3】如圖，在地面上的點(diǎn)火處測得樹頂8的仰角為a,AC=2,則樹高頗為（用含

a的代數(shù)式表示）（B）

2

A.2sinaB.2tanaD.

tana

B

（例3題圖）

【例4】某簡易房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，則坡屋頂上弦桿力8的長為（B）

9955

A.1":mB.7mC.~~:mD.-

5sina5cosa9sina9cosa

*命題角度3構(gòu)造圖形計算一般角的三角函數(shù)值

當(dāng)求一般角（如15°,22.5°,67.5°等角）的三角函數(shù)值時，可以通過構(gòu)造直角三角形,

把?般角轉(zhuǎn)化成特殊角，最后利用邊的數(shù)量關(guān)系求出?般角的三角函數(shù)值.

DC

【例5】小明在學(xué)習(xí),銳角三角函數(shù)”時發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片4％9沿過點(diǎn)8的

直線折疊，使點(diǎn)力落在比邊上的點(diǎn)￡處，還原后，再沿過點(diǎn)￡的直線折疊，使點(diǎn)力落在比

邊上的點(diǎn)尸處，這樣就可以求出67.5。角的正切值是而+1.

高效課堂教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷用計算器求已知銳角的三角］數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠運(yùn)用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實(shí)際問題，提高用現(xiàn)代工具解決實(shí)際問

題的能力.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

▲重點(diǎn)

1.用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值；

2.能夠用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實(shí)際問題.

▲難點(diǎn)

能夠用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實(shí)際問題.

三、教學(xué)活動|

?活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（課件）

提出問題，引入新課：

如圖，當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)夕時，它走過了200nl.已知纜車行駛的路線

與水平面的夾角為/。=16°,那么纜車垂直上升的距離是多少？（結(jié)果精確到0.01IT.）

問題：

(1)在口△/!a'中，sin。如何表示？

⑵你知道sin16°是多少嗎？

⑶我們可以借助科學(xué)計算器求銳角的三角函數(shù)值，怎樣用科學(xué)計算器求三角函數(shù)值呢？

?活動2實(shí)踐探究交流新知

【探究1】用科學(xué)計算器求一般銳角的三角函數(shù)值

用科學(xué)計算器求三角函數(shù)值，要用到扇西"|和向鍵.

例如,求sin16°,tan85°和sin72°38'25"的按鍵順序如下表所示.

按鍵順序顯示結(jié)果

sin160=

sin16°

S■■0.2756373558

tan85°=

tan850

*叵1⑶w11.4300523

工)?匐封

sin72°38'25”=0.954450

sin72°38'25"

312

也強(qiáng))■

回學(xué)們可用自己的計算器按上述按鍵順序計算sin16。,tan85°,sin72°38'25",

看顯示的結(jié)果是否和表中顯示的結(jié)果相同.

［探究2］

(1)如圖，為了方便行人推自行車過某天橋，市政府在10m高的天橋兩端修建了40m

長的斜道.這條斜道的傾斜角是多少？

如圖，在.RtA/1比中,sin［那么/力是多少度呢？要解決這個問題，我們可

/I*

以借助科學(xué)計算器.請與同伴交流你是怎么做的.

(2)已知三角函數(shù)值求知度，要用到|sin||cos|匾］鍵的第二功能飛行'cos-1,

tan和回面鍵.例如，己知sin4cos反tanC,求N/tZB,的度數(shù)的按鍵順序

如下表所示.

按鍵順序顯示結(jié)果

A

sinA=0.9816sirf'O.9816=78.99184039

eitiinn

?行川?回

cos8=0.8607cos-10.8607=30.60473007

lelo!■!

?2J回回直

tanC=56.78Un-，56.78=88.99102049

團(tuán)度jm

?活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例

【例1】如圖，工件上有一V形槽，測得它的上口寬20mm,深19.2mm,求V形角(N4㈤

的大小.(結(jié)果精確到1°)

【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意，可知/E=20mmr77?_L/區(qū)傳=%6Z?=19.2mm,要求乙九區(qū)

只需求出/力切(或N即可.

解：tanZJ6Z)=7^=7^T^0.5208,

ciJiy.z

???/力辦27.5°,

???N/8=24dK27.5°=55°.

【例2】如圖，在某海島上的觀察所力發(fā)現(xiàn)海上某船只〃，并測得其俯角。=16°,已

知觀察所A的標(biāo)高(當(dāng)水位為0m時的高度)為43.74m,當(dāng)時水位為+2.63m,求觀娶所A

到船只8的水平距離.(精確到1m)

C

【方法指導(dǎo)】根據(jù)題目條件可求N8及力C的長，在Rt△4/中，利用N6的正切值即可

求出利的長.

解：在京△/1歐中，根據(jù)題意，得NQ16°,AC=43.74-2.63=41.ll(m).

答：觀察所力到船只8的水平距離成約為143m.

?活動4隨堂練習(xí)

課本PM隨堂練習(xí)

?活動5課堂小結(jié)與作業(yè)

【作業(yè)】課本％習(xí)題1.4中的「、心、L.

四、作業(yè)布置與教學(xué)反思

本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)很多貼近學(xué)生生活實(shí)際的問題情境，提出引發(fā)學(xué)生思考的問題，讓學(xué)生

經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出銳角三角函數(shù)模型的過程，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識及分析問題、解

決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力及轉(zhuǎn)化思維能力.

4解直角三角形

教師備課素材示例

一、新課導(dǎo)入建議與示例

?情景導(dǎo)入要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角。

一般要滿足50°WaW7