21.2 解一元二次方程（知識(shí)梳理+典型例題）

21.2解一元二次方程21.2解一元二次方程?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接【題型1】直接開平方法 4【題型2】配方法 6【題型3】公式法 9【題型4】因式分解法 12【題型5】用合適的方法解一元二次方程 14【題型6】根與系數(shù)的關(guān)系 19知識(shí)點(diǎn)1：直接開平方法直接開平方法：利用平方根的定義通過直接開平方將一元二次方程“降次”為一元一次方程進(jìn)行求解．解形如的方程：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．知識(shí)點(diǎn)2：配方法1．概念：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．用配方法解一元二次方程“ax2＋bx+c=0（a≠0）”的一般步驟是：（1）將方程化為一般形式ax2＋bx+c=0；（2）移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊ax2＋bx=﹣c；（3）化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)a；（4）配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為的形式；（5）如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果n≤0，則原方程無解．3．一般地，如果將一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成的形式，那么就有：（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，．（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：．（3）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．知識(shí)點(diǎn)3：公式法1．解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式（）．當(dāng)時(shí)，方程（）的實(shí)數(shù)根可以寫成的形式．這個(gè)式子叫做一元二次方程（）的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．2．解題步驟：（1）化：把一元二次方程化為一般形式．（2）定：確定a，b，c的值．（3）算：計(jì)算判別式的值．（4）求：在的前提下，將a，b，c的值代入求根公式求解．（若，則方程無實(shí)數(shù)根）知識(shí)點(diǎn)4：因式分解法1．因式分解的方法：（1）提公因式法；（2）公式法：包含平方差公式和完全平方公式；（3）十字相乘法．2．可化為的方程，用因式分解法求解．3．切記不能在方程兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根．知識(shí)點(diǎn)5：根的判別式求出判別式的值，判斷根的情況：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．1．使用配方法時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)決定了完全平方式是兩數(shù)差的平方還是兩數(shù)和的平方．++2．由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．3．使用判別式之前，先把方程化成一般形式，以便正確找出a，b，c的值（注意符號(hào)）．注意：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不能說成方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．【題型1】直接開平方法例1例1（2023秋?太和縣期末）方程的解是A．， B．， C．， D．，【分析】開方得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：開方得：，解得：，，故選：．?點(diǎn)撥?1．直接開平方法：形如的方程，可直接開平方求解．（1）等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)常數(shù)．（2）降次的實(shí)質(zhì)是有一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．（3）記憶口訣：左平方，右非負(fù)，系數(shù)化為1，開平方取正負(fù)．2．方法是根據(jù)平方根的意義開平方．3．形如的一元二次方程若有解，則兩個(gè)解互為相反數(shù)．【變式1】（2024春?長(zhǎng)樂區(qū)期末）一元二次方程根的情況是A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【變式2】（2024春?順義區(qū)期末）方程的解是A． B． C．， D．，【變式3】（2024春?西湖區(qū)期中）若一元二次方程的兩根分別是與，則這兩根分別是A．1，4 B．1， C．2， D．3，01．【答案】【分析】利用直接開平方法即可解決問題．【解答】解：因?yàn)?，且沒有平方根，所以一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：．2．【答案】【分析】首先移項(xiàng)，把移到方程右邊，再兩邊直接開平方即可．【解答】解：，移項(xiàng)得：，兩邊直接開平方得：，，．故選：．3．【答案】【分析】方程的兩根互為相反數(shù)，據(jù)此可得，求得的值，繼而可得答案．【解答】解：由題意知，方程的兩根互為相反數(shù)，，解得，，，故選：．【題型2】配方法例2例2（2024春?懷寧縣期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：方程，整理得：，配方得：，即．故選：．?點(diǎn)撥?1．先看一元二次方程，是否適合用配方法．2．使用配方法時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)決定了完全平方式是兩數(shù)差的平方還是兩數(shù)和的平方．++【變式4】（2024春?甘井子區(qū)期末）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是A． B． C． D．【變式5】（2024春?順義區(qū)期末）一元二次方程配方后可變形為A． B． C． D．【變式6】（2023秋?大足區(qū)期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化為A． B． C． D．4．【答案】【分析】利用解一元二次方程配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，，，，故選：．5．【答案】【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．【解答】解：，，，，故選：．6．【答案】【分析】把常數(shù)項(xiàng)3移項(xiàng)后，在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可．【解答】解：，，．故選：．【題型3】公式法例3例3（2024春?渦陽縣期末）解方程：．【答案】，．【分析】先化為一般式，再運(yùn)用代入數(shù)值，進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，即可作答．【解答】解：，化為一般式，，，，△，則．即，．?點(diǎn)撥?使用判別式之前，先把方程化成一般形式，以便正確找出a，b，c的值（注意符號(hào)）．注意：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不能說成方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．【變式7】（2024春?蚌山區(qū)月考）若一元二次方程的根為，則該一元二次方程為A． B． C． D．【變式8】（2024?海陵區(qū)一模）一元二次方程的解是．【變式9】（2024春?利辛縣期末）解方程：．7．【答案】【分析】根據(jù)解一元二次方程公式法，即可解答．【解答】解：若一元二次方程的根為，則該一元二次方程為，故選：．8．【分析】，，，△，然后代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：，，，△，，所以，．故答案為，．9．【答案】．【分析】用公式法對(duì)所給一元二次方程進(jìn)行求解即可．【解答】解：，，則△，所以，所以．【題型4】因式分解法例4例4（2024春?鯉城區(qū)校級(jí)期末）解一元二次方程：．【答案】．【分析】利用十字相乘法把方程左邊分解因式，從而把一元二次方程化成兩個(gè)一元一次方程，解方程求出方程的解即可．【解答】解：，，，，解得：．?點(diǎn)撥?利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法．基本原理：左邊為整式的乘積的形式，右邊等于0，則讓左邊的整式分別等于0即可求解．即：，則0或0．因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）整理：移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；（2）分解：將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次多項(xiàng)式的乘積；（3）轉(zhuǎn)化：令每個(gè)因式分別為零；（4）求解：兩個(gè)因式分別為零的解就都是原方程的解．【變式10】（2024春?招遠(yuǎn)市期末）一元二次方程的根是A． B．0 C．或5 D．1或5【變式11】（2024?貴州）一元二次方程的解是A．， B．， C．， D．，【變式12】（2024?奇臺(tái)縣校級(jí)模擬）方程的解是A．， B．， C．， D．，10．【答案】【分析】先移項(xiàng)，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得．【解答】解：，，，或，解得，，故選：．11．【答案】【分析】直接提取公因式，進(jìn)而分解因式解方程即可．【解答】解：，，則或，解得：，．故選：．12．【答案】【分析】用因式分解法求解即可．【解答】解：，，或，，．故選：．【題型5】用合適的方法解一元二次方程例5例5（2023秋?平原縣期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（1），，，即，，，；（2），，，，即，或，，．?點(diǎn)撥?1．方程沒有一次項(xiàng)時(shí)用直接開平方法較為簡(jiǎn)單．二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，用配方法較為簡(jiǎn)單．當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)，且較小時(shí)，首選公式法．一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積的形式時(shí)，用因式分解法較為簡(jiǎn)單．2．配方法要先配方，再降次；通過配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先將方程一邊化為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0．配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程時(shí)比較簡(jiǎn)便．總之，解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次．【變式13】（2024?雁塔區(qū)校級(jí)開學(xué)）解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【變式14】（2023秋?伊犁州期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）；（2）．【變式15】（2023秋?沂水縣期末）解方程（1）；（2）．13．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【分析】（1）利用解一元二次方程直接開平方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用解一元二次方程配方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）利用解一元二次方程公式法進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（4）利用解一元二次方程因式分解法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）；，，或，，；（2），，，，或，，；（3），△，，，；（4），，，，，或，，．14．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1），，則，即，解得，，即，；（2），，則或，解得，．15．【答案】（1），．（2），．【分析】（1）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（4）分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1），，，，或，，．（2），，或，，．【題型6】根與系數(shù)的關(guān)系例6例6（2024春?蒙城縣期末）若方程的兩根為，，則的值為A．2 B． C． D．【分析】由方程的兩根為、，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得，，又由，代入求解即可求得答案．【解答】解：方程的兩根為、，，，．故選：．?點(diǎn)撥?1．若關(guān)于的一元二次方程．有兩個(gè)根分別為，則．根與系數(shù)的關(guān)系又叫韋達(dá)定理．注意：（1）運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是．（2）在一元二次方程中，注意隱含條件．2．已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時(shí)，先把所求代數(shù)式變形為含有的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解．例如：，注意．常見的公式變形：（1）（2）（3）（4）【變式16】（2024?河?xùn)|區(qū)模擬）設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為，，則的值為A． B．1 C． D．2【變式17】（2024春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【變式18】（2024?雁塔區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知關(guān)于的方程．（1）求證：無