《材料力學(xué) 第2版》課件 第10章 能量法

第10章

能量法1第10章能量法§10.1

概述§10.2

桿件變形能的計算§10.7虛功原理§10.3

單位載荷法

莫爾積分§10.4計算莫爾積分的圖乘法§10.5

卡氏定理§10.6

互等定理2一.問題的提出FBCFA10.1概述

3BDqmAmF10.1概述

4任意結(jié)構(gòu)任意截面任意方向的位移任意載荷基本方法—平衡、幾何、物理能量法10.1概述

5二.能量法的依據(jù)UFW略其他能量損失,

由能量守恒而且也可導(dǎo)出適用于非線彈性和塑性問題的計算方法.本教材以線彈性材料為主.U=W（功能原理）能量法10.1概述

610.2桿件變形能計算一.桿件基本變形的變形能U=W線彈性FF7基本變形能量計算FFMeMeMM廣義表達式10.2桿件變形能計算8注意：當內(nèi)力或剛度發(fā)生變化時要用積分或分段計算UF10.2桿件變形能計算9二.U的特點3.U的大小與加載的次序無關(guān)僅取決于載荷或位移的最終值U不能用疊加法計算2.U>0恒為正4.10.2桿件變形能計算10A三.變形能的普遍表達式—克拉貝依隆原理線彈性范圍內(nèi)...F3F1F2F10.2桿件變形能計算11其內(nèi)力對微段可看作外力四.組合變形桿件變形能的計算取組合變形桿件的微段dx有FN(x)Mx(x)M(x)設(shè)材料在線彈性范圍內(nèi)dU=dWdxFN(x)Mx(x)M(x)10.2桿件變形能計算12dxFN(x)Mx(x)M(x)在小變形下FN(x)與d

,d

Mx(x)與d(

l),d

M(x)與d(

l),d

正交而10.2桿件變形能計算13必須強調(diào)只適用于線彈性結(jié)構(gòu)對非線性材料U=W=曲線下的面積未作特殊說明,均假定材料在線彈性范圍內(nèi)FF10.2桿件變形能計算14例1已知d,F,E,G求fc=?解:BCF2aaA10.2桿件變形能計算15BCFAx1x210.2桿件變形能計算16任意結(jié)構(gòu)任意截面任意方向的位移任意載荷U=W（功能原理）10.2桿件變形能計算17AFMeA'10.3單位載荷法?莫爾積分

以平面剛架為例，求任意截面任意方向的位移

（A點沿a-a方向）aa

設(shè)剛架在F、Me作用下任意截面x的彎矩為M(x)，變形能18設(shè)單位力1作用下任意截面x的彎矩為,變形能欲求

，在A沿a-a加一單位力1，①AFMeaa1②AFMeA'aa

10.3單位載荷法?莫爾積分19U的大小與加載的次序無關(guān)故采用不同的加載次序計算變形能一.先加單位力1，在此變形基礎(chǔ)上再加F、Me，此時變形能為變形能增加了10.3單位載荷法?莫爾積分①AFMeaa1②AFMeA'aa

20結(jié)構(gòu)的總變形能為AFMe①aa1②AFMeA'aa

注意，此時單位力1在

上作功1?

，10.3單位載荷法?莫爾積分21二.結(jié)構(gòu)在F，Me及單位力1共同作用下，結(jié)構(gòu)任意截面x的彎矩為結(jié)構(gòu)的總變形能為兩種方法計算的變形能相等，即10.3單位載荷法?莫爾積分22

為線位移或角位移；M(x)為載荷引起的彎矩；M(x)為單位載荷引起的彎矩；稱為單位載荷法也稱莫爾積分求某處線位移，就在該處加單位力1↓；求相對線位移，就加一對單位力1；求相對角位移，就加一對單位力偶1；求某處角位移，就在該處加單位力偶1；整理得10.3單位載荷法?莫爾積分23對拉壓桿，單位載荷法可寫成：對受扭桿件，莫爾積分可寫成：對組合變形桿件，莫爾積分可寫成：10.3單位載荷法?莫爾積分24注意3.GIP僅對圓軸而言,對非圓IP對應(yīng)It；4.對小曲率的曲桿,直桿公式仍可用；1.載荷引起的內(nèi)力FN,M,Mx，單位力引起的內(nèi)力FN

,M,Mx在每一段中必須具有同一坐標原點；2.相同段內(nèi),相同面的相同種類的內(nèi)力才能相乘，以彎曲梁為例，只有同一平面內(nèi)的M(x)和M(x)才能相乘；5.莫爾積分只適用于線性結(jié)構(gòu)。10.3單位載荷法?莫爾積分25例2.已知q，EI為常數(shù),C為中點,解：1.求fC求:fC,

AqlABCxl/2ABCx110.3單位載荷法?莫爾積分26ABCx2.求

A110.3單位載荷法?莫爾積分2728Dlll

EB2qlqAC

llql2Glll

EB1AC

GDll

已知梁的EI，求fG10.3單位載荷法?莫爾積分10.4計算莫爾積分的圖形互乘法一.積分計算的簡化在數(shù)學(xué)中:

若函數(shù)F(x).f(x)中只要有一個是線性函數(shù),可把積分運算化成代數(shù)運算。

而在莫爾積分中,若剛度為常數(shù)(在一段內(nèi)),則只需計算積分

或29

而為單位力產(chǎn)生的內(nèi)力,其方程(圖形)總是線性的,故莫爾積分式總可簡化為代數(shù)運算。二.圖形互乘法(維力沙金法)以最復(fù)雜的彎矩圖為例:10.4計算莫爾積分的圖形互乘法30dxc.xclAABByxox10.4計算莫爾積分的圖形互乘法

31若需要分段,則:載荷引起內(nèi)力圖的面積。對等直桿軸的拉壓：對桁架（多桿）：M(x)圖的形心c對應(yīng)的縱坐標。M

(x)Bdxc.xclAAByxox

10.4計算莫爾積分的圖形互乘法32對圓軸扭轉(zhuǎn):對圓截面桿的組合變形:注意才能互乘。

相同種類的內(nèi)力圖在相應(yīng)段內(nèi)才能互乘，對于兩向彎曲梁，只有同一平面內(nèi)的M

(x)M(x)，10.4計算莫爾積分的圖形互乘法33三.幾點說明

同側(cè)互乘為正,異側(cè)互乘為負。有正負2.分段原則有折點不等3.位移是載荷的線性函數(shù),可采取疊加法計算。4.若均為線性,可互換,即:10.4計算莫爾積分的圖形互乘法34特殊圖形的面積和形心位置:直角三角形矩形10.4計算莫爾積分的圖形互乘法35頂點二次拋物線頂點二次拋物線10.4計算莫爾積分的圖形互乘法36lhl/2c1l/4c1lh3l/8c2c2l/310.4計算莫爾積分的圖形互乘法37在C點加單位力1,例3.用圖乘法求fC,

AEI=C解:作M圖作圖。1.求fCc1c2

210.4計算莫爾積分的圖形互乘法l/2l/2qABC1ABC38在A點加單位力偶,作圖12.求

A10.4計算莫爾積分的圖形互乘法l/2l/2qABCABC1

c39作M圖。解:例4.如圖，EI=C，求

A1MM/2M/2MC1MC1C2MC2在A點加單位力偶，作圖。10.4計算莫爾積分的圖形互乘法Ml/2l/2ABCl/2l/2ABC140例5.如圖，EI=C，求

A解:應(yīng)用疊加法,作M圖aABCaa10.4計算莫爾積分的圖形互乘法ABCABC41為求

A,在A點加單位力偶1,作圖。10.4計算莫爾積分的圖形互乘法aABCaaABC142例6.已知:

EI=C求:fD.M1M210.4計算莫爾積分的圖形互乘法DaABCaaDABCDABC解:應(yīng)用疊加法,作M圖433.求fDc3

3Mc3c2

2Mc210.4計算莫爾積分的圖形互乘法DaABCaaMc1

1Mc1在D點加單位力1,作圖。MDABC14445FaM例7已知EI，求fcFaaaABCD1aaaABCDa/2M10.4計算莫爾積分的圖形互乘法例8.兩段梁的抗彎剛度均為EI，求fDBa/2a/2aACDqqaqa/2qqa/2qa/2DqaB解：作M、圖10.4計算莫爾積分的圖形互乘法1/21/21/2D1B46由圖乘法：Mc1c1

1Mc2c2

2Mc3c3

310.4計算莫爾積分的圖形互乘法Ba/2a/2aACDqqa47例9.已知剛架(不計FN，F(xiàn)Q影響),解:作彎矩圖M在A點加單位力,求

Ay

B1.求

Ay

10.4計算莫爾積分的圖形互乘法BAClFEI1aEI2作圖aaFaFaMBAC1482.求

B在B點加單位力偶,作圖1BAC110.4計算莫爾積分的圖形互乘法BAClFEI1aEI24950討論:考慮軸力時,給出具體數(shù)據(jù)可知,在同一桿上有M,FQ,FN時,軸力引起的彎曲變形是非常小的,故一般情況下(不特別指出時)均略去不計。10.4計算莫爾積分的圖形互乘法例10.計算相對轉(zhuǎn)角解:求約束力，作M圖.M2M3aABC2aaCB10.4計算莫爾積分的圖形互乘法ABM1CBCB51()M3212M10.4計算莫爾積分的圖形互乘法M1M252

10.5卡氏定理一.卡氏第二定理設(shè)彈性體無剛體位移設(shè)F1F2Fi53根據(jù)U的特性:先加再加略高階微量有卡氏第二定理

10.5卡氏定理54Fi廣義力

i廣義位移卡氏定理只適用于線彈性結(jié)構(gòu)變形能U對任意載荷Fi的偏導(dǎo)數(shù),等于Fi作用點沿Fi方向的位移

i卡氏第二定理

10.5卡氏定理55二.線彈性體各類變形下的卡氏定理的應(yīng)用1.橫力彎曲卡氏定理的實質(zhì)是莫爾積分即單位力法

10.5卡氏定理562.小曲率曲桿3.桁架

10.5卡氏定理574.圓軸受扭5.圓桿組合變形

10.5卡氏定理58三.注意問題1.若要求位移處無載荷作用,要加虛力,求偏導(dǎo)后令其為零.例11求fA=?FA

10.5卡氏定理xAxlq059令FA=0則

10.5卡氏定理FAxAxlq0602.若結(jié)構(gòu)作用有相同的力,而要求的是某一個力作用上沿其力方向的位移時要先把力編號,求解后還原.例12

EI為常量,求fCBC段

10.5卡氏定理FFaaCABFBx1FCCAB61CA段

10.5卡氏定理FBFCx2CAB62

10.6互等定理一.影響系數(shù)

影響系數(shù)(柔度系數(shù))F112F2121

1點加1121

2點加163線彈性結(jié)構(gòu)F112F212

10.6互等定理64二.互等定理第一力系第二力系U的大小與加載的次序無關(guān)故采用不同的加載次序計算結(jié)構(gòu)變形能

10.6互等定理F112F21265方法二：先加F2后加F1;顯然有

10.6互等定理方法一：先加F1

后加F2;F112F212第一力系第二力系功的互等定理66若F1=F2

則位移互等定理

10.6互等定理67三.

幾點說明1.互等定理僅適用于線彈性結(jié)構(gòu)2.以剛架為例推出,不失一般性3.對多個力作用,組合變形,靜定或靜不定結(jié)構(gòu)均適用

10.6互等定理若

F=

M

F

12=M

21，則

12

=

21

數(shù)值上

68例13

已知:M1=6kN·m,y21=0.45mm,

12=0.015rad求:F2=