排隊系統(tǒng)運行情況的分析-通信網(wǎng)-教學(xué)課件

排隊系統(tǒng)運行情況的分析

排隊系統(tǒng)運行情況的分析，就是在給定輸入與服務(wù)條件下，通過求解系統(tǒng)狀態(tài)為n(有n個顧客)的概率Pn，再進(jìn)行計算其主要的運行指標(biāo)：

①系統(tǒng)中顧客數(shù)(隊長)的期望值；②排隊等待的顧客數(shù)(排隊長)的期望值q；③顧客在系統(tǒng)中全部時間(逗留時間)的期望值④顧客排隊等待時間的期望值。M/M/1

排隊系統(tǒng)3.2.21．M/M/1排隊系統(tǒng)模型顧客源排隊系統(tǒng)排隊結(jié)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊規(guī)則服務(wù)規(guī)則接受服務(wù)后離去

M/M/1模型無限輸入過程服從參數(shù)為的Poisson過程單隊隊長無限先到先服務(wù)服務(wù)時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布

M/M/1排隊系統(tǒng)有以下幾個特點：

●顧客到達(dá)間隔時間T服從參數(shù)為

的負(fù)指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為

平均到達(dá)間隔時間為1/

。

●到達(dá)的顧客能全部進(jìn)入系統(tǒng)排隊，然后接受服務(wù)。

●一個服務(wù)員(m=1)。

●一個顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)為

的負(fù)指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為

平均服務(wù)時間為1/

。

●排隊強(qiáng)度為

=/

M/M/1等待制系統(tǒng)1.隊長為k的慨率:pk=(1-ρ)ρk

或pk=(1-λ/μ)(λ/μ)k隊長是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)(排隊等待的顧客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和)；排隊長是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)。隊長和排隊長一般都是隨機(jī)變量。2．等待時間和系統(tǒng)(逗留)時間從顧客到達(dá)時刻起到他開始接受服務(wù)止這段時間稱為等待時間。等待時間是個隨機(jī)變量。從顧客到達(dá)時刻起到他接受服務(wù)完成止這段時間稱為系統(tǒng)時間，也是隨機(jī)變量。3.

忙期和閑期

忙期是指從顧客到達(dá)空閑著的服務(wù)機(jī)構(gòu)起，到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次成為空閑止的這段時間，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)忙的時間。這是個隨機(jī)變量，是服務(wù)員最為關(guān)心的指標(biāo)，因為它關(guān)系到服務(wù)員的服務(wù)強(qiáng)度。

閑期,即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)保持空閑的時間。在排隊系統(tǒng)中，忙期和閑期總是交替出現(xiàn)的。M/M/1

排隊系統(tǒng)等待制系統(tǒng)3.2.22．M/M/1排隊系統(tǒng)的指標(biāo)

(1)平均隊長N

即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的所有顧客數(shù)的期望值

N=λ/(μ-λ)

或（3-35）

(2)平均系統(tǒng)時間S

即(在任意時刻)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時間的期望值

（3-36）

M/M/1

排隊系統(tǒng)等待制系統(tǒng)3.2.2

(3)平均等待時間

W

即(在任意時刻)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間的期望值

（3-37）

(4)系統(tǒng)效率

系統(tǒng)內(nèi)有顧客的概率

（3-38）

ρ——服務(wù)強(qiáng)度，即每個服務(wù)臺單位時間內(nèi)的平均服務(wù)時間，—般有ρ=λ／(mμ)，這是衡量排隊系統(tǒng)繁忙程度的重要尺度，當(dāng)ρ趨近于0時，表明對期望服務(wù)的數(shù)量來說，服務(wù)能力相對地說是很大的。這時，等待時間一定很短，服務(wù)臺有大量的空閑時間；如服務(wù)強(qiáng)度ρ趨近于1，那么服務(wù)臺空閑時間較少而顧客等待時間較多。一般都假定平均服務(wù)率μ大于平均到達(dá)率λ，即λ/μ<1,否則排隊的人數(shù)會越來越多。Pn=(1-ρ)ρnη=1-P0=ρ系統(tǒng)效率（設(shè)備使用率）3.2.3M/M/m/n排隊系統(tǒng)M/M/1/∞無限源系統(tǒng)M/M/l/1損失制系統(tǒng)

M/M/m/m

損失制系統(tǒng)

M/M/m/∞

等待系統(tǒng)1.呼損系統(tǒng)(M/M/m/m)

1）呼損清除平均隊長：

mE(ω)=∑kPk=a(1-pm)

k=0當(dāng)k=m時，表示線束全忙，即交換系統(tǒng)的m條話路全部被占用，此時p(k)為系統(tǒng)全忙的概率。系統(tǒng)效率：

η=a(1-pm)/m3.2.4電話交換網(wǎng)分析愛爾蘭呼損公式呼損：話務(wù)量的概念話務(wù)量又稱為話務(wù)量強(qiáng)度或電話負(fù)載強(qiáng)度，直接影響話務(wù)量大小的有:呼叫強(qiáng)度，即單位時間（如一小時）里發(fā)生的呼叫數(shù)；每個呼叫占用設(shè)備的時長。故話務(wù)量由三要素構(gòu)成：時間范圍，呼叫強(qiáng)度，呼叫占用時長。1.話務(wù)量的定義

流入話務(wù)量是單位時間內(nèi)發(fā)生的平均呼叫數(shù)乘以呼叫的平均占用時長.反映了一個交換系統(tǒng)的總話務(wù)量。完成話務(wù)量直觀地表達(dá)了設(shè)備的繁忙程度，即同時工作的設(shè)備數(shù)目越大，說明話務(wù)量越大。A’=

流入話務(wù)量流入話務(wù)量強(qiáng)度等于在一個平均占用時長內(nèi)，負(fù)載源（用戶或上級機(jī)鍵，也稱為話源）發(fā)生呼叫數(shù)的平均值A(chǔ)=λ·SA--流入話務(wù)量λ—單位時間內(nèi)發(fā)生的平均呼叫數(shù)S—呼叫的平均占用時長愛爾蘭，或用“E”（Erl）表示。（λ和S必須使用同樣的時間單位）完成話務(wù)量一組設(shè)備的完成話務(wù)量強(qiáng)度等于這組設(shè)備中平均同時占用的機(jī)鍵數(shù)，也就是同時處于工作狀態(tài)的機(jī)鍵數(shù)目的平均值。A’—完成話務(wù)量Pi—有I個機(jī)鍵同時占用的概率話務(wù)量的兩個重要性質(zhì)重要性質(zhì)完成話務(wù)量計算公式單位1一組設(shè)備的完成話務(wù)量強(qiáng)度在數(shù)量上等于單位時間內(nèi)這組設(shè)備中各機(jī)鍵占用時間的總和（t）。A’=t=

T—觀察總時長τj--第j個呼叫的占用時長m—共發(fā)生m次呼叫

“愛爾蘭”“E”或“Erl.”2一組設(shè)備的完成話務(wù)量強(qiáng)度在數(shù)值上等于這組設(shè)備中，一個平均占用時長內(nèi)發(fā)生的平均占用次數(shù)。A’=λ0·Sλ0=單位時間內(nèi)發(fā)生的平均占用數(shù)S=平均占用時長（1）

用戶線話務(wù)a、用戶線話務(wù)量根據(jù)我國用戶負(fù)荷分布差異較大，用戶線話務(wù)量A1分為以下三檔（包括發(fā)話和受話話務(wù)量）：高----0.18~0.20Erl/每用戶中----0.16~0.18Erl/每用戶低----0.12~0.16Erl/每用戶b、用戶線忙時試呼數(shù)（BACH/每用戶）見表1。（2）

來話局間中繼電路的話務(wù)a、局間中繼話務(wù)量A2A2=0.6~0.7Erlb、來話中繼電路忙時試呼次數(shù)。流入的話務(wù)量=完成話務(wù)量+損失的話務(wù)量損失的話務(wù)量=呼損率x流入的話務(wù)量系統(tǒng)效率=完成話務(wù)量/設(shè)備數(shù)

=流入的話務(wù)量（1-呼損率）/設(shè)備數(shù)完成話務(wù)量的含義（1）

有一組由100條中繼組成的電路群，在它上面通過的話務(wù)量（完成話務(wù)量）為70Erl.（2）

按定義A’=70Erl，即100條電路中，同時處于工作狀態(tài)的電路平均有70條，空閑著平均有30條。（3）

按性質(zhì)1A’=70Erl，說明在一小時內(nèi)，100條電路的總占用時間（即各電路占用時間之和），平均為70小時。（4）

按性質(zhì)2A’=70Erl，在平均占用時長內(nèi)，平均有70次占用發(fā)生。（5）

每線話務(wù)量a=A’/100=70/100=0.7Erl.即一小時內(nèi)，每條電路平均有0.7小時工作，0.3小時空閑。例假設(shè)在100條線的中繼線群上，平均每小時發(fā)生2100次占用，平均占用時長為1/30小時。求這群中繼線上的完成話務(wù)量強(qiáng)度；并根據(jù)完成話務(wù)量強(qiáng)度的性質(zhì)說明其意義。解：根據(jù)題意λc

=2100呼叫/小時

S=1/30小時/呼叫

Ac=λcS=2100×1/30=70e

根據(jù)完成話務(wù)量強(qiáng)度性質(zhì)1，70e可理解為在平均占用時長1/30小時內(nèi)，平均有70次占用發(fā)生；根據(jù)性質(zhì)2，單條中繼線的占用概率(利用率)為0.7；根據(jù)性質(zhì)3，70e意味著在100條中繼線中，同時處于工作狀態(tài)的平均有70條，空閑著的平均有30條。完成話務(wù)量強(qiáng)度舉例系統(tǒng)過負(fù)荷特性

B

圖過負(fù)荷是指系統(tǒng)加入的業(yè)務(wù)量A,超過給定服務(wù)質(zhì)量所能承擔(dān)的業(yè)務(wù)量A過負(fù)荷用過載業(yè)務(wù)量與標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)承擔(dān)的業(yè)務(wù)量的比值來表示，即

=(A

A)/A=A/A

En(A)=B,En(A)=B

由圖可見，在同樣標(biāo)準(zhǔn)的服務(wù)質(zhì)量和同樣的過負(fù)荷率下，大系統(tǒng)的質(zhì)量劣化嚴(yán)重；說明效率與可靠性是矛盾的服務(wù)臺利用率與服務(wù)臺數(shù)量的關(guān)系

n

圖當(dāng)給定n

和B

后，系統(tǒng)所能承擔(dān)的業(yè)務(wù)量

可以通過愛爾蘭公式求出，從而可計算出服務(wù)臺利用率

；若保持B

不變，不斷增加服務(wù)臺數(shù)n，

也會發(fā)生變化，就可以得到

n

圖如下；通過觀察，有幾點結(jié)論：1、B不變時，

隨

n增加；說明大電路群效率高2、n不變時，

隨

B增加；說明效率與質(zhì)量是矛盾的；(高效路由)3、

具有邊際遞減規(guī)律4、

越大，系統(tǒng)抗過負(fù)荷能力越差求所需服務(wù)臺的方法1、查圖2、迭代計算無法由En(

)給出n

的逆函數(shù)，因此采用逐次試算的方法注意，En(

)有較簡單的遞推公式3、工程上經(jīng)常采用查表的方法愛爾蘭表最左邊一列為服務(wù)臺數(shù)n，最上面一行為服務(wù)質(zhì)量的不同等級，即B愛爾蘭表中元素的值為，表示服務(wù)臺數(shù)為n，服務(wù)質(zhì)量為B時，系統(tǒng)最大所能承擔(dān)的業(yè)務(wù)量；工程上經(jīng)常用A表示，A是流入話務(wù)量愛爾蘭損失表n=3,B=0.01,查表得

=0.455已知n

和

如何求B，線性內(nèi)插法；例：n=3，

=2.5，由表可知B

落在0.2~0.3之間，若假設(shè)在這區(qū)間所承擔(dān)的業(yè)務(wù)量與B

成線性關(guān)系，則有線性內(nèi)插公式B2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281例：一部交換機(jī)有1000個用戶終端，每個用戶忙時話務(wù)量為0.1Erl，該交換機(jī)能提供123條話路同時接受123個呼叫，求該交換機(jī)的呼損。解：Y=0.1ErlX1000=100Erlm=123

查表可得：E(m,Y)=E(123,100)=0.3Erl注：實際應(yīng)用中，只要已知m、Y、E三個量中的任意兩個，通過查愛爾蘭呼損表，即可查得第三個。例

M/M/n損失制無限源系統(tǒng)，已知n=3，

=5人/小時，平均服務(wù)時長30分鐘/人，試求：(1)系統(tǒng)中沒有顧客的概率；(2)只有一個服務(wù)臺被占用的概率；(3)系統(tǒng)的損失率解：由題意可知

=60/30=2人/小時，所以

=

/

=2.5Erl(1)p0=(1+2.5+2.52/2+2.53/3!)1=0.108(2)p1=

p0=2.50.108=0.27(3)B=E3(2.5)=p0

3/3!=0.1082.604=0.28例

兩市話局間的忙時平均呼叫次數(shù)為240，每次通話平均時長為5分鐘，規(guī)定兩局間中繼線的服務(wù)等級為B

0.01,問：(1)應(yīng)配備多少條中繼線？(2)中繼線群的利用率為多少？解：中繼線群上的流入話務(wù)量為

=2405/60=20Erl，查愛爾蘭表可知：n=30，

B=0.01時可承擔(dān)A=20.337，

B=0.005時可承擔(dān)A=19.034，因此，E30(20)=0.005+0.005(2019.034)/(20.33719.034)=0.008707

中繼線群利用率

=

(1B)/n=20(1-0.008707)/30=0.660862例：某自動交換臺有4條外線，打外線的呼叫為泊松流，強(qiáng)度為2次/分鐘，通話時長服從負(fù)指數(shù)分布，平均通話時長為2分鐘，當(dāng)4條外線全忙時，用戶呼叫接遇忙音，假設(shè)用戶遇忙音后立即停止呼叫，問：

1用戶撥外線遇忙的概率為多大？

2損失的話務(wù)量為多大？

3外線的利用率為多少？

3.5分組交換系統(tǒng)分析

M/M/1/N無限源系統(tǒng)

參數(shù)λ，μ

1.時間t內(nèi)到達(dá)的用戶數(shù)服從泊松分布；2.到達(dá)時間間隔的平均值1/λ，服從指數(shù)分布；3.數(shù)據(jù)平均長度：L=1/μ(比特/分組）；4.數(shù)據(jù)傳輸速率：C(bit/s);5.數(shù)據(jù)分組平均傳送時間L/C=1/(μC)(秒）；6.分組平均傳送時間服從指數(shù)分布：

P（服務(wù)時間>t)=e-t,t>0;7.系統(tǒng)最多允許（存儲）N個分組。信息的平均長度為：1/μ`,輸出鏈路的容量為C，所以信息平均服務(wù)時間（傳輸時間）為：一個分組信息的平均等待時間為：平均等待時間Tw平均服務(wù)時間Ts=1/μ=節(jié)點時延T=等待時間+服務(wù)時間等待時間服務(wù)時間(傳輸時間)Ts=L/ci

ci為鏈路i的容量或速率L=1/μ’是分組信息的平均長度（bit/