小學奧數(shù)解題方法講義全集

廣安岳池姚文國生智力的第一步。*例1(適于一年級程度)此題是九年義務教育六年制小學教科書數(shù)學第二冊，第11頁中的一道思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。20以內的加減法，基于他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正對角線上三個數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實質上，這是一種會想到，18-10-6=2,在橫中行右面的小方格中應填入2(圖1-2)。從豎右列7+2+□=18(圖1-2)會想到，18-7-2=9,在豎右列下面的小方格中應填入9(圖1-3)。圖1-2圖1-3從正方形對角線上的9+6+□=18(圖1-3)會想到，18-9-6=3,在大正方形左上角的小方格中應填入3(圖1-4)。從正方形對角線上的7+6+□=18(圖1-3)會想到，18-7-6=5,在大正方形左下角的小方格中應填入5(圖1-4)。圖1-4圖1-5從橫上行3+□+7=18(圖1-4)會想到，18-3-7=8,在橫上行中間的小方格中應填入8(圖1-5)。又從橫下行5+□+9=18(圖1-4)會想到，18-5-9=4,在橫下行中間的小方格中應填入4(圖1-5)。圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。例2看每一行的前三個數(shù)，想一想接下去應該填什么數(shù)。(適于二年級程 解：觀察6、16、26這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10,26比16大10,即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大10。觀察9、18、27這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9,27比18大9,即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大9。觀察80、73、66這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7,66比73小7,即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)小7。例3將1~9這九個數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號均成立。(適于三年級程度)的數(shù)小于周圍的四個數(shù)，看來在中心的方框中應填入最小的數(shù)1。再看它周圍的方框中的數(shù)都是一個比一個大，而且方框中的數(shù)是按順時針方向排列越來越小。所以，在左下角的那個方框中應填9,在它右鄰的方框中應填2,在2右面的方框中填3,在3上面的方框中填4,以后依次填5、6、7、8。圖1-7是填完數(shù)字的圖形。圖1-677>6>58149>23例4從一個長方形上剪去一個角后，它還剩下幾個角?(適于三年級程度)下三個角?！蔽覀冋J真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎么剪?都是什么情況?(1)從一個角的頂點向對角的頂點剪去一個角，剩下三個角(圖1-8)。(2)從一個角的頂點向對邊上任意一點剪去一個角，剩下四個角(圖1-9)。(3)從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角，圖1-9剩下五個角(圖1-10)。大一半，這個數(shù)是多少?(適于三年級程度)解：首先要確定這個三位數(shù)一定是用阿拉伯數(shù)字表示的，不然就沒法考慮了。在阿拉伯數(shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個三位數(shù)在正看、倒看時，表示的數(shù)值不同，顯然這個三位數(shù)不能是000,也不能是111和888,只可能是666或999。999,999-666=333,333正好是666的一半。所以這個數(shù)是666,也可以是999。*例61966、1976、1986、1996、2006這五個數(shù)的總和是多少?(適于三年級程度)解：這道題可以有多種解法，把五個數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計算起來容易出錯。如果仔細觀察這五個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)是1966,第二個數(shù)比它大10,第三個數(shù)比它大20,第四個數(shù)比它大30,第五個數(shù)比它大40。因此，這道題可以這五個數(shù)還有另一個特點：中間的數(shù)是1986,第一個數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20,最后一個數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20,1966和2006這兩個數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計算：例7你能從400÷25=(400×4)÷(25×4)=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出(1)600÷25(2)900÷25(3)1400÷25(4)1800÷25(5)7250÷25的得數(shù)嗎?(適于四年級程度)400÷25=(400×4)÷(25×4)=4不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4,目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個相同的數(shù)(零除外),商不變”。進行這種變化的好處就是當除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以*例8把1～1000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數(shù)，這六個數(shù)的和是87。如果用同樣的方法(橫著三個數(shù)，豎著兩個數(shù))框出的六個數(shù)的和是837,這六個數(shù)都是多少?(適于五年級程度)解：(1)觀察框內的六個數(shù)可知：第二個數(shù)比第一個數(shù)大1,第三個數(shù)比第一個數(shù)大2,第四個數(shù)比第一個數(shù)大7,第五個數(shù)比第一個數(shù)大8,第六個數(shù)圖1-11求出第一個數(shù)是10,往下的各數(shù)也就不難求了。一定分別比第一個數(shù)大1、2、7、8、9,所以，這六個數(shù)中的第一個數(shù)是：的11和18,分別是上橫行與下橫行三個數(shù)的中間數(shù)。所以上橫行與下橫行兩個中間數(shù)的和是：因為上、下兩個數(shù)之差是7,所以假定上面的數(shù)是x,則下面的數(shù)是x+7。因為上一橫行中間的數(shù)是136,所以，第一個數(shù)是：136-1=135第三個數(shù)是：135+2=137因為下一橫行中間的數(shù)是143,所以，第四個數(shù)是：143-1=142第六個數(shù)是：142+2=144*例9有一個長方體木塊，鋸去一個頂點后還有幾個頂點?(適于五年級程解：(1)鋸去一個頂點(圖1-12),因為正方體原來有8個頂點，鋸去一個頂點后，增加了三個頂點，所以，即鋸去一個頂點后還有10個頂點。(2)如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，則剩下的頂點是8-1+2=9(個)(圖1-13)。(3)如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1+1=8(個)(圖1-14)。圖1-14圖1-15(4)如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-1=7(個)(圖1-15)。例10將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體(圖1-16),求這個物體的表面積S。(適于六年級程度)本題的物體由三個圓柱組成。如果分別求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側面積。=10.5π=32.97(平方米)答略。*例11如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°,鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。(適于六年級程度)圖1-18解：遇到這樣的題目，不但要注意計算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側面。圖1-18表面積中的一個長方形和一個扇形就容易被漏掉，因而在解題時要仔細。求表面積的方法1:=1259.4(平方厘米)求表面積的方法2:=1259.4(平方厘米)鑄件的體積：=2826(立方厘米)解應用題時，按照自己認為可能的想法，通過嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。一般來說，在嘗試時可以提出假設、猜想，無論是假設或猜想，都要目的明確，盡可能恰當、合理，都要知道在假設、猜想和嘗試過程中得到的結果是什么,從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。例1把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅列三個數(shù)相加都等于14。(適于一年級程度)解：七八歲的兒童，觀察、總結、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習，一般都感到困難?？上葐l(fā)他們認識解此題的關鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個數(shù)之和等于14來確定，剩下的兩個數(shù)自然應填入左右兩格了。中間一格應填什么數(shù)呢?先看一個日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁的地方翻，……這樣反復試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁。這就是在用“嘗試法”解決問題。本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個數(shù)相加都得14”的要求來逐個嘗試。如果中間的格中填3,則豎列下面的一格應填多少呢?因為14-5-3=6,所以豎列下面的一格中應填6(圖2-2)。下面就要把剩下的4、7,分別填入橫行左右的兩個格中(圖2-3)。把橫行格中的4、3、7三個數(shù)加起來，得14,合乎題目要求。如果中間一格填4、或填6、7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖2-3或圖2-4。例2把1、2、3……11各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。(教科書第四冊第57頁的思考題，適于二年級程度)解：圖2-5中有11個格，正好每一格填寫一個數(shù)。圖2-6中寫有A、B、C的三個格中的三個數(shù)，既要參加橫向的運算，又要參加縱向的運算，就是說這三個數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個數(shù)是解此題的關鍵。圖2-6圖2-7因為1～11之中中間的三個數(shù)是5、6、7,所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開始嘗試(圖2-7)。以6為中心嘗試，看6上、下兩個格中應填什么數(shù)。因為18-6=12,所以6上、下兩格中數(shù)字的和應是12?？紤]6已是1～11之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應是1~11之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個數(shù)相加都等于18,所以在6上面的格中填11,在6下面的格中填1(圖2-8)。圖2-8看圖2-8。6上面的數(shù)是11,11左鄰的數(shù)是5,18-11-5=2,所以5左鄰的再看圖2-8。6下面的數(shù)是1,1右鄰的數(shù)是7,18-1-7=10,所以7右鄰的數(shù)是10(圖2-9)?，F(xiàn)在1～11之中只剩下3、4、8、9這四個數(shù)，圖2-9中也只剩下四個空格。在5的上、下，在7的上、下都應填什么數(shù)呢?圖2-9圖2-10因為18-5=13,所以5上、下兩格中數(shù)字的和應是13,3、4、8、9這四個數(shù)中，只有4+9=13,所以在5的上、下兩格中應填9與4(圖2-10)?？磮D2-10。因為6左鄰的數(shù)是4,18-4-6=8,所以6右鄰的數(shù)是8。因為18-7-8=3,并且1-11的數(shù)中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格中應填上3。圖2-10是填完數(shù)字的圖形。*例3在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎?(適于三年級程度)解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4在下面的15個8之間的任何位置上，添上+、一、×、÷符號，使得下面的算式成立。(適于三年級程度)888888888888888=1986解：先找一個接近1986的數(shù)，如：8888÷8+888=1999。1999比1986大13。往下要用剩下的7個8經過怎樣的運算得出一個等于13的算式呢?88÷8=11,11與13接近，只差2。往下就要看用剩下的4個8經過怎樣的運算等于2。8÷8+8÷8=2。例5三個連續(xù)自然數(shù)的積是120,求這三個數(shù)。(適于四年級程度)解：假設這三個數(shù)是2、3、4,則：24<120,這三個數(shù)不是2、3、4;假設這三個數(shù)是3、4、5,則：60<120,這三個數(shù)不是3、4、5;假設這三個數(shù)是4、5、6,則：4、5、6的積正好是120,這三個數(shù)是4、5、6。例6在下面式子里的適當位置上加上括號，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35。(適于四年級程度)(1)7×7=49,再減2就是47。這里的第一個數(shù)7是原算式中的7,要減去7的算式。經過加括號，(9+12)÷3=7,因此：(2)7×11=77,再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個數(shù)，要減去的2是等號前面的數(shù)。下面要看9+12÷3能不能改寫成得11的算式。經嘗試75,這里的7、9、12就是原式中的前三個數(shù)，所以只要把3-2用小括號括起來，使7×9+12之和除以1,問題就可解決。由此得到：因為(3-2)的差是1,所以根據(jù)“兩個數(shù)的和除以一個數(shù)，可以先把兩個在上面的這個算式中，本應在7×9的后面寫上“÷(3-2)”,因為任何數(shù)除以1等于這個數(shù)本身，為了適應題目的要求，不在7×9的后寫出“÷(3-2)”。(3)25-2=23,這個算式中，只有2是原算式等號前的數(shù)，只要把7×9+12÷3改寫成得25的算式，問題就可解決。又因為7×9+12=75,75÷3=25,所以只要把7×9+12用小括號括起來，就得到題中所求了。(4)7×5=35,7是原算式中的第一個數(shù)，原算式中的9+12÷3-2能否改寫成得5的算式呢?因為7-2=5,要是9+12÷3能改寫成得7的算式就好了。經改寫為(9+12)÷3=7,因此問題得到解決。題中要求的算式是：解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計算，一共剪的天112÷14=8(天)因為王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：12×5+20×(8-5)=120(只)120>112,李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：12×6+20×(8-6)=112(只)所以按李平剪6天計算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。根據(jù)“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”,是否能夠認為總頁數(shù)就是80×5=400(頁)呢?不能。因為5天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天讀80頁，讀了490×4=360(頁)因為17×17=289,18×18=324,19×19=361,324在321～360之間，所以只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。答：每天應該讀18頁。*例9一個數(shù)是5個2,3個3,2個5,1個7的連乘積。這個數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾?(適于六年級程度)以上兩位數(shù)分解后，它的質因數(shù)只能是2、3、5、7,并且在它的質因數(shù)分解中2的個數(shù)不超過5,3的個數(shù)不超過3,5的個數(shù)不超過2,7的個數(shù)不超過經嘗試，99不符合要求，因為它有質因數(shù)11;98的分解式中有兩個7,也*例10從一個油罐里要稱出6千克油來，但現(xiàn)在只有兩個桶，一個能容4千克，另一個能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油?(適于六年級程度)已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設法倒出9千克油中的3千克，為達到這一目的，我們應使小桶中正好有1千克怎樣才能使小桶里裝1千克油呢?(1)把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。(2)把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。(3)把小桶中的4千克油倒回油罐。圖3-1(4)把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。(5)把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時油罐外，只有大桶里有1千克油。(6)把大桶中的1千克油倒入小桶。(7)往大桶倒?jié)M油。(8)從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。(9)大桶里剩下6千克油。解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例1一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是6的鉛字?(適于三年級程度)解：把個位是6和十位是6的數(shù)一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共10個。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共10個。10+10=20(個)答：在排頁碼時要用20個數(shù)字是6的鉛字。*例2從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經過B市到C市有幾種走法?(適于三年級程度)解：作圖3-1,然后把每一種走法一一列舉出來。答：從A市經過B市到C市共有6種走法。*例39O13O7=100一次),并在長方形中填上適當?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數(shù)是幾?(適于四年級程度)如果在兩個圓圈內填上“÷”號，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分數(shù)；如果在兩個圓圈內僅填“+”、“-”號，等式右端得出的數(shù)也小于100,所以在兩個圓圈內不能同時填“÷”號，也不能同時填“+”、“-”號。易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110,未湊出100。如果在兩個圈中分別填入“+”和“×”號，就會湊出100了。上面已經用過四個運算符號中的兩個，只剩下“÷”號和“-”號了。如果在第一個圓圈內填上“÷”號，14÷2得到整數(shù)，所以：即長方形中的數(shù)是2。*例4印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁?(適于四年級程度)解：(1)數(shù)碼一共有10個：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個。(2)頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因為99-9=90,所以，頁碼是2×90=180(個)(3)還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701(個)而剩下的1701個數(shù)碼除以3時，商不足600,即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個數(shù)碼可以排多少頁。(5)這本書的頁數(shù)：1701÷3=567(頁)9+90+567=666(頁)*例5用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大?(適于四年級程度)表3-11234長寬535×5=175(平方厘米)30×10=300(平方厘米)25×15=375(平方厘米)答：當長方形的長是25厘米，寬是15厘米時，長方形的面積最大。例6如圖3-2,有三張卡片，每一張上寫有一個數(shù)字1、2、3,從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請將其中的質數(shù)都寫出來。(適于五年級程度)解：任意抽一張，可得到三個一位數(shù)：1、2、3,其中2和3是質數(shù)；任意抽兩張排列，一共可得到六個不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32,其中13、23和31是質數(shù)；三張卡片可排列成六個不同的三位數(shù)，但每個三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6,即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質數(shù)。綜上所說，所能得到的質數(shù)是2、3、13、23、31,共五個。*例7在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個糧站。一號糧站存有10噸糧食，2號糧站存有20噸糧食，3號糧站存有30噸糧食，4號糧站是空的，5號糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個糧站里，如果每噸1千米的運費是0.5元，那么糧食集中到第幾號糧站所用的運費最少(圖3-3)?(適于五年級程度)解：看圖3-3,可以斷定糧食不能集中在1號和2號糧站。下面將運到3號、4號、5號糧站時所用的運費一一列舉，并比較。(1)如果運到3號糧站，所用運費是：0.5×10×(10+10)+0.5×20×10=600(元)(2)如果運到4號糧站，所用運費是：0.5×10×(10+10+10)+0.5×20×(10+1=700(元)(3)如果運到5號糧站，所用費用是：0.5×10×(10+10+10+10)+0.5×20×(10=800(元)*例8小明有10個1分硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法?用算式表達出來。(適于五年級程度)解：(1)只拿出一種硬幣的方法：①全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1(角)②全拿2分的：2+2+2+2+2=1(角)③全拿5分的：5+5=1(角)(2)只拿兩種硬幣的方法：①拿8枚1分的，1枚2分的：②拿6枚1分的，2枚2分的：③拿4枚1分的，3枚2分的：④拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1(角)⑤拿5枚1分的，1枚5分的：①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了表3-2甲乙丙丁強甲乙丁√OO強√√OO甲已經賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格中都畫上圈。與丙、丁賽，共賽2盤。答：小強賽了2盤。*例10商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式?(適于五年級程度)解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3箱重5千克2千克1千克所取的箱數(shù)1201112210430174025503360417答：不開箱有7種發(fā)貨方式。*例11運輸隊有30輛汽車，按1～30的編號順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開走的全部是單號車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時汽車全部開走?最后開走的是第幾號車?(適于五年級程度)解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4汽車編號第一次開走后剩下的2、4、6、8、10、12、14、16、18第二次開走后剩下的第三次開走后剩下的第四次開走后剩下的意，第四次8號、24號車開走。到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16答：到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。*例12在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等? (適于五年級程度)解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32(袋);第二次運走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24(袋);第三次運走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16(袋);第四次運走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8(袋);第五次運走后，兩倉剩下的大(90-50)÷(12-4)=5(次)答：運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。*例13有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)來各組有多少個小朋友?(適于五年級程度)24÷2=12(人),第三組應是(24+12)=36(人),第二組人數(shù)仍為24人；在36÷2=18(人),第二組應為(24+18)=42(人),第一組人數(shù)仍是12人；在42÷2=21(人),第一組人數(shù)應為12+21=33(人),第三組應為18人。這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。表3-6答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、18人圖4-1個問題，然后將這個解出的問題作為一個新的已知條再解出一個問題……一直到解出應用題所求解的未知數(shù)量。少，數(shù)量關系比較簡單的應用題。例1甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠，4天完成任務。甲隊每天挖40米，乙隊每天挖多少米?(適于三年級程度)解：根據(jù)“甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠”和“4天完成任務”這兩個已知條件，可以求出甲乙兩隊每天共挖水渠多少米(圖4-1)。300÷4=75(米)根據(jù)“甲、乙兩隊每天共挖水渠75米”和“甲隊每天挖40米”這兩個條件，可以求出乙隊每天挖多少米(圖4-1)。75-40=35(米)綜合算式：=35(米)答：乙隊每天挖35米。多少米例2兩個工人排一本39500字的書稿。甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，兩人合排5小時后，還有多少字沒有排?(適于四年級程度)解：根據(jù)甲每小時排3500字，乙每小時排少字(圖4-2)。3500+3000=6500(字)根據(jù)兩個人每小時排6500字，兩人合排5小時，可求出兩人5小時已排多少字(圖4-2)。6500×5=32500(字)根據(jù)書稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒有排(圖439500-32500=7000(字)綜合算式：=7000(字)貨車每小時行40千米，5小時后客車和貨車相遇。求甲、乙兩地之間的路(適于四年級程度)可求出兩車一小時共行多少千米(圖4-3)。多小千米小時圖4-360+40=100(千米)地間的路程是多少千米(圖4-3)。100×5=500(千米)綜合算式：=500(千米)例4一個服裝廠計劃做660套衣服，已經做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，問平均每天要做多少套?(適于四年級程度)少套(圖4-4)。每天做75套每天做75套X已做5天剩下多少套÷3天做完圖4-475×5=375(套)根據(jù)"計劃做660套"和“已經做了375套”這兩個條件，可以求出還剩下多少套(圖4-4)。660-375=285(套)再根據(jù)“剩下285套”和“剩下的要3天做完”,便可求出平均每天要做多少套(圖4-4)。285÷3=95(套)=95(套)例5某裝配車間，甲班有20人，平均每人每天可做72個零件；乙班有24兩班每天生產的零件可以裝多少臺機器?(適于四年級程度)解：根據(jù)“甲班有20人，平均每人每天可做72個零件”這兩個條件可求出甲班一天生產多少個零件(圖4-5)。72×20=1440(個)根據(jù)“乙班有24人，平均每天每人可做68個零件”這兩個條件可求出乙班一天生產多少個零件(圖4-5)。68×24=1632(個)根據(jù)甲、乙兩個班每天分別生產1440個、1632個零件，可以求出甲、乙兩個班一天共生產多少個零件(圖4-5)。1440+1632=3072(個)3072÷12=256(臺)綜合算式：=256(臺)例6一個服裝廠計劃加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務?(適于四解：根據(jù)每天加工100套，加工20天，可求出已經加工多少套(圖4-6)。100×20=2000(套)根據(jù)計劃加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套(圖4-6)。每天加工100套每天加工100套已加工20天多加工20套圖4-62480-2000=480(套)少套(圖4-6)。100+20=120(套)根據(jù)還要加工480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天(圖4480÷120=4(天)答略。剛開始學習以綜合法解應用題時，一定要畫思路圖，當對綜合法的解題方法已經很熟悉時，就可以不再畫思路圖，而直接解答應用題了。例7有三桶油，第一桶重50千克，第二桶比第一桶重,第三桶比第二桶輕問第三桶重多少千克?(適于六年級程度)解：此題先后出現(xiàn)了兩個標準量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。從"第一桶重50千克，第二桶比第一桶",可先求出第二桶的重根據(jù)"第三桶比第二桶輕綜合算式：=49.5(千克)答略。*例8在甲、乙、丙三塊地種高粱。乙塊地比甲塊地多產高粱丙克?(適于六年級程度)解：此題先后出現(xiàn)兩個標準量：“甲塊地產高粱的重量”和“乙塊地產高粱的重量"。將題中已知條件的順序變更一下：丙塊地產高粱450千克，丙塊地比乙根據(jù)“丙塊地產高粱450千克，丙塊地比乙塊地少產高,這兩個條件，可求出乙塊地產高粱是：(這里乙塊地的產量是標準量1)根據(jù)“乙塊地的產量"和“乙塊地比甲塊地多產高(這里甲塊地的產量是標準量1)=546(千克)答略。用分析法解應用題時，如果解題所需要的兩個條件，(或其中的一個條件)是未知的，就要分別求解找出這兩個(或一個)條件，一直到所需要的條件都是已知的為止。例1玩具廠計劃每天生產200件玩具，已經生產了6天，共生產1260件。問平均每天超過計劃多少件?(適于三年級程度)解：這道題是求平均每天超過計劃多少件。要求平必須具備兩個條件(圖5-1):①實際每天生產多少件；②計劃每天生產多少件。共生產1260件÷生產了6天圖5-1需要求出來。要求實際每天生產多少件，必須具備兩個條件(圖5-1):①一共生產了多少件；②已經生產了多少天。這兩個條件都是已知的：①一共生產了1260件；②已經生產了6天。此題分步列式計算就是：(1)實際每天生產多少件?1260÷6=210(件)(2)平均每天超過計劃多少件?210-200=10(件)綜合算式：=771(個)=10(件)例2四月上旬，甲車間制造了257個機器零件，乙車間制造的機器零件是甲車間的2倍。四月上旬兩個車間共制造多少個機器零件?(適于三年級程度)解：要求兩個車間共制造多少個機器零件，必須具備兩個條件(圖5-2):①甲車間制造多少個零件；②乙車間制造多少個零件。已知甲車間制造257個零這兩個條件(圖5-2)是：①甲車間制造多少個零件；②乙車間制造的零件是甲車間的幾倍。這兩個條件都是已知的：①甲車間制造257個，乙車間制造的零件數(shù)是甲車間的2倍。此題分步列式計算就是：(1)乙車間制造零件多少個?257×2=514(個)(2)兩個車間共制造零件多少個?257+514=771(個)綜合算式：例3某車間要生產180個機器零件，已經工作了3天，平均每天生產20個。剩下的如果每天生產30個，還需要幾天才能完成?(適于四年級程度)解：要求還需要幾天才能完成，必須具備兩個條件(圖5-3):①還剩下多少個零件；②每天生產多少個零件。在這兩個條件中，每天生產30個零件是已剩下多少個圖5-3要算出還剩下多少個零件，必須具備的兩個條件(圖5-3)是：①要生產多少個零件；②已經生產了多少個零件。要生產180個零件是已知條件，已經生產多少個零件未知。的兩個條件。要算出已生產多少個零件，必須知道的兩個條件(圖5-3)是：①每天生產多少個零件；②生產了幾天。這兩個條件題中都已經給出：每天生產20個零件，生產了3天。(1)已經生產了多少個零件?20×3=60(個)(2)剩下多少個零件?180-60=120(個)(3)還要幾天才能完成?120÷30=4(天)綜合算式：=4(天)例4王明買了24本筆記本和6支鉛筆，共花了9.60元錢。已知每支鉛筆0.08元，每本筆記本多少錢?(適于五年級程度)解：要算出每本筆記本多少錢，必須具備兩個條件(圖5-4):①買筆記本的錢數(shù)未知。鉛筆共用多少錢；②買鉛筆用多少錢。已知筆用去多少錢未知。要算出買鉛筆用多少錢，必須知道的兩個條件(圖5-4)是：①買多少支鉛圖5-4分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計算就是：0.08×6=0.48(元)9.60-0.48=9.12(元)9.12÷24=0.38(元)=0.38(元)答：每本筆記本0.38元。運51袋。每次甲車比乙車多運多少袋?(適于五年級程度)解：求每次甲車比乙車多運多少袋，必須具備兩個條件(圖5-5):①甲車每次運多少袋；②乙車每次運多少袋。甲車每次運51袋已知，乙車每次運多少甲車每次運51袋-乙車每次運多少袋一共有2520袋化肥÷兩車共運30次圖5-5先找出解答“乙車每次運多少袋”所需要的兩個條件。要算出乙車每次運多少袋，必須具備兩個條件(圖5-5):①兩車一次共運多少袋；②甲車一次運多少袋。甲車一次運51袋已知；兩車一次共運多少袋是未知條件。然后把"兩車一次共運多少袋"作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出兩車一次共運多少袋，必須具備兩個條件(圖5-5):①一共有多少袋化肥；②兩車共運多少次。這兩個條件都是已知的：共有2520袋化肥，兩車共運30次。分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計算就是：①兩車一次共運多少袋?2520÷30=84(袋)②乙車每次運多少袋?84-51=33(袋)③每次甲車比乙車多運多少袋?51-33=18(袋)綜合算式：=18(袋)答略。*例6把627.5千克梨裝在紙箱中，先裝7箱，每箱裝梨20千克，其余的梨每箱裝37.5千克。這些梨共裝多少箱?(適于五年級程度)解：要算出共裝多少箱，必須具備兩個條件(圖5-6):①先裝多少箱。②后裝多少箱。先裝7箱已知，后裝多少箱未知。先把“后裝多少箱”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出后裝多少箱，必須具備兩個條件(圖5-6):①后來一共要裝多少千先裝7箱后裝多少箱需要的兩個條件。要求后來一共要裝多少千克，必須具備兩個條件(圖5-6):個條件。這兩個條件(圖5-6)是：①先裝的每箱裝梨多少千克；②裝了多少箱。這兩個條件都是已知的：先裝的每箱裝梨20千克，裝了7箱。此題分步列式計算就是：20×7=140(千克)627.5-140=487.5(千克)487.5÷37.5=13(箱)7+13=20(箱)綜合算式：=7+(627.5-140)÷37.5=7+487.5÷37.5=20(箱)*例7某發(fā)電廠五月份用煤3200噸，比四月份節(jié)約重,六月份又比五月切節(jié)約了15%。問六月份比四月份少用煤多少噸?(適于六年級程度)解：此題中出現(xiàn)兩個標準量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都與五月要算出六月份比四月份少用煤多少噸，必須知道六月份、四月份各用煤多少月份比五月份節(jié)約多少。這兩個條件都是已知的3200×(1-15%)=2720(噸)知道了六月份、四月份用煤的噸數(shù)，就可以求出六月份比四月份少用煤多少3600-2720=880(噸)=880(噸)答略。第六講分析-綜合法綜合法和分析法是解應用題時常用的兩種基本方法。在解比較復雜的應用題時，由于單純用綜合法或分析法時，思維會出現(xiàn)障礙，所以要把綜合法和分析法結合起來使用。我們把分析法和綜合法結合起來解應用題的方法叫做分析-綜合法。*例1運輸隊要把600噸化肥運到外地，計劃每天運22噸。運了15天以后，剩下的化肥要在10天內運完。這樣每天要比原計劃多運多少噸?(適于五年級程度)解：解此題要運用分析法和綜合法去思考。先用綜合法思考。根據(jù)“原計劃每天運22噸”和"運了15天"這兩個條件，可以求出已經運出的噸數(shù)(圖6-1)。根據(jù)要“運600噸”和已經運出的噸數(shù)，可以求出剩下化肥的噸數(shù)(圖6-1)。接下去要用哪兩個數(shù)量求出什么數(shù)量呢?不好思考了。所以用綜合法分析到這兒，接著要用分析法思考了。要求“每天比原計劃多運多少噸”,必須知道“后來每天運多少噸”和“原計劃每天運多少噸”?！霸媱澝刻爝\22噸”是已知條件，“后來每天運多少噸”不知道，這是此題的中間問題(圖6-2)。圖6-2運完”。這兩個條件中，第二個條件是已知的，“要在10天內運完”,“剩下此題分步列式解答時，要從圖6-1的上面往下看，接著從圖6-2的下面往上(1)已經運多少噸?22×15=330(噸)(2)剩下多少噸?600-330=270(噸)(3)后來每天運多少噸?270÷10=27噸)(4)每天比原計劃多運多少噸?27-22=5(噸)綜合算式：=5(噸)*例2某鞋廠原計劃30天做皮鞋13500雙，實際上每天比原計劃多做50雙。問這個鞋廠提前幾天完成原計劃的任務?(適于五年級程度)解：解答此題一般要運用分析法和綜合法去思考。先用分析法思考。要算出提前幾天完成計劃，必須知道“原計劃天數(shù)”和“實際做鞋數(shù)”(圖6-3)?！霸媱澨鞌?shù)”是30圖8-3要知道“實際做鞋天數(shù)”必須知道“皮鞋總數(shù)”和“實際每天做的皮鞋數(shù)”(圖6-3)。到此可以往下思考，要算出實際每天做的皮鞋數(shù)，必須具備哪兩個條件?但由“原計劃30天做皮鞋13500雙”,可求出“原計劃每天做的皮鞋數(shù)”(圖原計劃做鞋13500雙÷計劃做30天原計劃做鞋13500雙÷計劃做30天圖6-4由“原計劃每天做的皮鞋數(shù)"和“實際每天比原計劃多做50雙”,可用加法算出“實際每天做的皮鞋數(shù)”(圖6-4)。從圖6-4的上面往下面推想，然后從圖6-3的后面(下面)往前推想。(1)看圖6-4的思路圖。通過把原計劃做的13500雙除以計劃做的30天，13500÷30=450(雙)(2)在計劃每天做的450雙皮鞋上，加上實際每天多做的50雙，得到實際每天做的皮鞋數(shù)。450+50=500(雙)(3)接著看圖6-3的思路圖。從思路圖的下面往上推想，皮鞋總數(shù)除以實際每天做的皮鞋數(shù)500雙，得到實際制做的天數(shù)。13500÷500=27(天)(4)接著往上看，從原計劃做的30天，減去實際做的天數(shù)27天，就得到提前完成計劃的天數(shù)。30-27=3(天)把上面分步計算的算式綜合為一個算式是：=3(天)*例3甲、乙兩隊同時開鑿一條2160米長的隧道，甲隊從一端起，每天開鑿20米，乙隊從另一端起，每天比甲隊多開鑿5米。兩隊在離中點多遠的地方會合?(適于五年級程度)解：看圖6-5。要求兩隊在離中點多遠的地方會合，需要知道隧道的中點及會合點離一端的距離(分析法)。每天20米每天比甲隊多5米每天20米每天比甲隊多5米隧道全長2160米，中點到一端的距離可以通過2160÷2求得(綜合法)。要求出會合點(在甲隊的一側)距離甲隊開鑿點的距離，實際就是求甲隊開鑿的米數(shù)。要求甲隊開鑿的米數(shù)，就要知道甲隊(或乙隊)每天開鑿的米數(shù)(已知)和開鑿的天數(shù)(分析法)。甲隊每天開鑿20米已知，開鑿的天數(shù)不知道。(分析法)。已知甲隊每天開鑿20米，乙隊每天比甲隊多開鑿5米，這樣可以求出乙隊每天開鑿多少米，從而求出甲、乙兩隊一天共開鑿多少米(綜合法)。(1)乙隊每天開鑿多少米?20+5=25(米)(2)甲乙兩隊一天共開鑿多少米?20+25=45(米)(3)甲乙兩隊共同開鑿這個隧道用多少天?2160÷45=48(天)(4)甲隊開鑿了多少米?(會合點與甲隊開鑿點的距離)20×48=960(米)(5)甲隊到中點的距離是多少米?2160÷2=1080(米)(6)會合點與中點間的距離是多少米?1080-960=120(米)綜合算式：圖6-6=120(米)*例4某中隊三個小隊的少先隊員采集樹種。第一小隊8名隊員共采集11.6千克，第二小隊6名隊員比第一小隊少采集2.8千克，第三小隊10名克?(適于五年級程度)量有直接聯(lián)系的數(shù)量關系，找到解題所需要的數(shù)量后，再用綜合法分析。種多少千克”和“全體隊員的人數(shù)”(圖6-6)。要求“三個小隊共采集多少千克”,必須知道一、二、三這三個小隊各采集多少千克；要求“全體隊員人數(shù)”必須知道各小隊的人數(shù)(圖6-6)。三個小隊的人數(shù)都已經知道，第一小隊采集11.6千克也已知，只是第二、往下可用綜合法得出二、三小隊各采集多少千克(圖6-6)。平均每名隊員采集多少千克平均每名隊員采集多少千克E個小隊共有多少人÷E第-第二的倍小隊少第二多少千克第三小隊10人小隊千克第二比第-小隊少第三十X由“第一小隊共采集11.6千克”和“第二小隊比第一小隊少采集2.8千克”,可求出第二小隊采集多少千克；由“第二小隊采集的重量"和“第三小隊采集的重量是第二小隊的倍",可求出第三小隊采集多少千克。往下可由三個小隊各采集多少千克之和，求出三個小隊共采集多少千克；也可以由各小隊的人數(shù)之和求出“全體隊員的人數(shù)”。到此本題就可以解出來了。本題分步列式解答的方法是：(1)第二小隊采集多少千克?11.6-2.8=8.8(千克)(2)第三小隊采集多少千克?(3)三個小隊共采集多少千克?11.6+8.8+13.2=33.6(千克)(4)三個小隊有多少隊員?8+6+10=24(人)(5)平均每人采集多少千克?33.6÷24=1.4(千克)=1.4(千克)答略。*例5甲、乙兩城之間的路程是210千米，慢車以每小時40千米的速度由甲城開往乙城，行車15分鐘后，快車由乙城開往甲城，經過2小時兩車相遇。這時快車開到甲城還需要多少小時?(適于六年級程度)解：運用分析法和綜合法，分析此題的思路是：先用分析法來思考。要求出“快車開到甲城還需要多少小時”,必須知道兩個條件(圖6-7):①相遇地點到甲城的距離；②快車每小時行多少千米。這兩個條件題目中都沒給出，應把它們分別作為中間問題。相遇地點到甲城路程÷快車每小時行多少千米接著思考，要求相遇地點到甲城的路程必須具備哪兩個條件?要求快車每小時行多少千米必須具備哪兩個條件?……如果思路不“卡殼”,就一直思考下去，直到解答出所求問題。如果思路“卡殼”了，就改用綜合法思考。另畫一個思路圖(圖6-8)。慢車15分鐘行的路程+慢車2小時行的路程慢車15分鐘行的路程+慢車2小時行的路程兩城間的路程210千米-慢車已行的路程快車已行的路程÷經過2小時相遇圖6-8中慢車已行的路程，就是快車從相遇點到甲城的路程。這段路程是：快車已行的路程是：210-90=120(千米)快車每小時所行的路程是：120÷2=60(千米)到此，我們可以把慢車走過的路程除以快車的速度，得到快車開到甲城還需90÷60=1.5(小時)=1.5(小時)先求出單位數(shù)量(如單價、工效、單位面積的產量等),再以單位數(shù)量為標準，計算出所求數(shù)量的解題方法叫做歸一法。歸一法分為一次直進歸一法、一次逆反歸一法、二次直進歸一法、二次逆反用歸一法一般是解答整數(shù)、小數(shù)應用題，但也可以解答分數(shù)應用題。有些應用題用其它方法解答比較麻煩，不易懂，用歸一法解則簡單，容易懂。(一)一次直進歸一法通過一步運算求出單位數(shù)量之后，再求出若干個單位數(shù)量和的解題方法叫做一次直進歸一法。1.解整數(shù)、小數(shù)應用題例1某零件加工小組，5天加工零件1500個。照這樣計算，14天加工零件多少個?(適于三年級程度)解：(1)一天加工零件多少個?1500÷5=300(個)(2)14天加工零件多少個?300×14=4200(個)1500÷5×14=4200(個)答略。此類型題是適宜用一次直進歸一法解的基本題型，下面的題都在此類型題的基礎上有所擴展。例2用一臺大型抽水機澆地，5小時澆了15公頃。照這樣計算，再澆3小時，這臺抽水機比原來多澆多少公頃地?(適于三年級程度)解：(1)一小時澆地多少公頃?15÷5=3(公頃)(2)3小時澆地多少公頃?3×3=9(公頃)綜合算式：15÷5×3=9(公頃)答略。例3一輛汽車3小時行駛了123.6千米。照這樣的速度，再行駛4解：(1)一小時行駛多少千米?123.6÷3=41.2(千米)3+4=7(小時)(3)一共行駛多少千米?41.2×7=288.4(千米)綜合算式：=288.4(千米)答略。經行駛了4份，還剩下全路程的7-4=3(份)。還可知，行駛4份用的時間是8小時。(1)行駛1份用的時間是：8÷4=2(小時)(2)行駛剩下的3份用的時間是：2×3=6(小時)數(shù)量是單位"1"。把六月份的伐木數(shù)量平均分成6份，五月份的伐木數(shù)量(1)一份木材是多少立方米?240÷5=48(立方米)240+48=288(立方米)其余的是灰兔。已知黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只?(適于六年級程度)12份，白兔占5份，則灰兔占20-12-5=3(份)。(1)黑兔比白兔多21只，這21只所對應的份數(shù)是：12-5=7(份)(2)每一份的只數(shù)是：21÷7=3(只)(3)灰兔的只數(shù)是：3×3=9(只)程度)運進一些紅糖后，把兩種糖的總重量平均分成10份，紅糖占3份，白糖占7份。把上面的數(shù)量用表7-1表示。表7-1(1)白糖的重量是：630÷5×4=504(千克)504÷7×10=720(千克)(3)運來的紅糖是：720-630=90(千克)(二)一次逆轉歸一法例1一列火車6小時行駛390千米。照這樣的速度，要行駛1300千米的路程，需要多少小時?(適于三年級程度)解：(1)一小時行駛多少千米?390÷6=65(千米)(2)行駛1300千米需要多少小時?1300÷65=20(小時)綜合算式：=20(小時)例2某人騎自行車從甲地到乙地，2小時行了26千米，剩下的路程是52千米。按照這樣的速度，此人從甲地到乙地要行幾小時?(適于四年級程度)解：(1)一小時行多少千米?26÷2=13(千米)(2)行駛52千米用幾小時?52÷13=4(小時)(3)從甲地到乙地要行幾小時?2+4=6(小時)=6(小時)答略。例3學校買來135米塑料繩，先剪下9米做了5根跳繩。照這樣計算，剩下的塑料繩可以做多少根跳繩?(適于五年級程度)解：(1)一根跳繩有多少米?9÷5=1.8(米)(2)剩下的塑料繩有多少米?135-9=126(米)(3)剩下的繩子可以做多少根跳繩?126÷1.8=70(根)=70(根)答略。(三)二次直進歸一法進歸一法。*例14輛同樣的卡車7次運貨物224噸。照這樣計算，9輛同樣的卡車10次可以運貨物多少噸?(適于五年級程度)(1)4輛卡車一次運貨多少噸?224÷7=32(噸)32÷4=8(噸)(3)9輛卡車一次運貨多少噸?8×9=72(噸)表7-2(4)9輛卡車10次運貨多少噸?72×10=720(噸)綜合算式：=720(噸)答略。*例2某水庫上游有農田需抽水澆地，抽水站七月上旬用一臺柴油機從少還應準備多少千克柴油?(適于五年級程度)分成5份中的4份，所以5份中的1份是：200÷4=50(千克)表7-3(2)一臺柴油機一天用油多少千克?50÷10=5(千克)(3)4臺柴油機21天用油多少千克?5×4×21=420(千克)(4)還應準備柴油多少千克?420-200=220(千克)綜合算式：=220(千克)*例3冬天，有12頭牛3天吃干草720千克。牽走3頭牛后，有720千克干草要給剩下的牛吃4天，干草是不是夠用?(適于五年級程度)(1)1頭牛1天吃干草多少千克?720÷12÷3=20(千克)(2)牽走3頭牛后，剩下幾頭牛?12-3=9(頭)表7-4(3)9頭牛4天吃干草多少千克?20×9×4=720(千克)綜合算式：=720(千克)*例4用手工剪羊毛，第一天4人6小時剪羊毛120千克。第二天增加了同樣能干的3個人，還是工作6小時。問兩天一共剪羊毛多少千克?(適于五年級程度)(1)1人1小時剪羊毛多少千克?120÷4÷6=5(千克)(2)增加3個人后共有多少個人?4+3=7(人)表7-5(3)7個人6小時剪多少千克羊毛?5×7×6=210(千克)(4)兩天一共剪多少千克羊毛?120+210=330(千克)綜合算式：=330(千克)(四)二次逆轉歸一法*例13臺拖拉機8小時耕地4.8公頃。照這樣計算，9公頃地，用5臺拖拉機耕，需要多少小時?(適于五年級程度)(1)1臺拖拉機1小時耕地多少公頃?4.8÷3÷8=0.2(公頃)(2)5臺拖拉機耕9公頃土地用多少小時?9÷5÷0.2=9(小時)綜合算式：=9(小時)*例27名工人10小時生產機器零件420個。在缺席2名工人的情況下，要生產330個機器零件，要用多少小時?(適于五年級程度)(1)1名工人1小時生產多少個機器零件?表7-7420÷7÷10=6(個)(2)缺席2名工人，剩下多少名工人?7-2=5(名)(3)5名工人生產330個機器零件要用多少小時?330÷5÷6=11(小時)綜合算式：=11(小時)*例3有900立方米的土，需要25人12天挖完。如果增加5人，可以提前幾天挖完?(適于五年級程度)表7-8(1)原來1人1天挖土多少立方米?900÷12÷25=3(立方米)(2)增加5人后共有多少人?25+5=30(人)(3)30人多少天挖完?900÷30÷3=10(天)(4)可以提前幾天挖完?12-10=2(天)綜合算式：=2(天)答略。量的個數(shù)求未知數(shù)量的解題方法叫做歸總法。解答這類問題的基本方法是：總數(shù)量=單位數(shù)量×單位數(shù)量的個數(shù)；另一單位數(shù)量(或個數(shù))=總數(shù)量÷單位數(shù)量的個數(shù)(或單位數(shù)量)。例1李明從學校步行回家，每小時走4千米，5小時到家。如果他每小時走5千米，幾小時到家?(適于三年級程度)小時到家。因此，=4(小時)答：如果他每小時走5千米，4小時到家。例2王明看一本故事書，計劃每天看15頁，20天看完。如果要在12天看完，平均每天要看多少頁?(適于三年級程度)少頁，再求平均每天看多少頁。因此，=25(頁)解：原來時間的一半就是30天的一半。=12(臺)答：實際每天制造12臺。例4永豐化肥廠要生產一批化肥，計劃每天生產45噸，24天可以完成任務。天完成任務?(適于四年級程度)解：計劃生產的這批化肥是：45×24=1080(噸)改進生產技術后每天生產：45+15=60(噸)實際完成任務的天數(shù)是：1080÷60=18(天)綜合算式：=18(天)答：實際18天完成任務。例5有一批化肥，用每輛載重6噸的汽車4輛運送25次可以運完。如果改用每輛載重8噸的汽車5輛，幾次能夠運完這批化肥?(適于五年級程度)解：這批化肥的重量是：6×4×25=600(噸)5輛載重8噸的汽車一次運：8×5=40(噸)能夠運完的次數(shù)是：600÷40=15(次)綜合算式：=15(次)答：15次能夠運完。例6一項工程，20人每天工作8小時，30天可以完成?，F(xiàn)在改用40人，解：完成這項工程共用工時：8×20×30=4800(個)現(xiàn)在每天完成工時：10×40=400(個)可以完成的天數(shù)是：4800÷400=12(天)綜合算式：=12(天)答略。例7印一本書，原計劃印270頁，每頁排24行，每行排30個字。因為要節(jié)約用紙，現(xiàn)在改為每頁排30行，每行排36個字。這本書要印多少頁?(適于五年級程度)解：原計劃要印的總字數(shù)：30×24×270=194400(個)改排后每頁排字：36×30=1080(個)這本書要印的頁數(shù)是：194400÷1080=180(頁)綜合算式：=180(頁)答：這本書要印180頁。*例8服裝廠加工一批童裝，原計劃每天加工210套，7天完成。實際任務?(適于六年級程度)解：實際上每天加工童裝：這批童裝的總套數(shù)是：210×7=1470(套)實際需要天數(shù)是：1470÷294=5(天)綜合算式：=5(天)答略。例9工廠有一批煤，原計劃每天燒6噸，可以燒70天，技術革新后，每天節(jié)約1.8噸。照這樣計算，這批煤可以多燒多少天?(適于五年級程度)解：這批煤的總噸數(shù)是：6×70=420(噸)現(xiàn)在每天燒的噸數(shù)是：6-1.8=4.2(噸)現(xiàn)在能燒的天數(shù)是：420÷4.2=100(天)可多燒的天數(shù)是：100-70=30(天)綜合算式：=30(天)答略。例10挖一條水渠，原計劃每天挖土135立方米，20天挖完。實際上每天多挖了45立方米。這樣可以提前幾天完成任務?(適于五年級程度)解：挖土的總任務是：135×20=2700(立方米)實際上每天的挖土量是：135+45=180(立方米)實際上只需要的天數(shù)是：2700÷180=15(天)提前完成任務的天數(shù)是：20-15=5(天)綜合算式：=5(天)答略。*例11一堆煤，原計劃每天運75噸，20天可以運完。運了2天后，程度)解：這批煤總噸數(shù)是：75×20=1500(噸)運2天后，剩下的噸數(shù)是：1500-75×2=1350(噸)現(xiàn)在每天運的噸數(shù)是：還需要運的天數(shù)是：1350÷100=13.5(天)提前完成任務的天數(shù)是：20-2-13.5=4.5(天)綜合算式：=4.5(天)答略。把這種解題的思考方法稱為分解法。例1工廠運來一批煤，原計劃每天燒5噸，可以燒12天。現(xiàn)在改進燒煤技術后，每天比原計劃節(jié)約1噸?，F(xiàn)在這批煤可以燒幾天?(適于四年級程度)(60噸)(2)原計劃每天燒5噸，現(xiàn)在改進燒煤技術后，每天比原計劃節(jié)約1噸。現(xiàn)在每天燒煤多少噸?(4噸)(3)工廠運來一批煤重60噸，現(xiàn)在改進燒煤技術每天燒4噸，現(xiàn)在這批煤到解決。分步列式計算：(1)這批煤的重量是：5×12=60(噸)(2)現(xiàn)在每天燒煤的噸數(shù)是：5-1=4(噸)60÷4=15(天)綜合算式：=15(天)答略。例2勝利小學要挖一個長方形的沙坑，長4米、寬2米、深0.45米，按每人每小時挖土0.2方計算，應組織多少人才能用1小時完成任務?(適于五年級程度)兩道題來算，就不難了。要挖土方：所需人數(shù)：3.6÷0.2=18(人)綜合算式：=18(人)答：需要組織18人。*例3東山村播種1600畝小麥，原計劃用5臺播種機，每臺播種機每天播年級程度)解：把此題拆成四道基本應用題。20×5=100(畝)(2)每天播種100畝，播種1600畝要多少天?1600÷100=16(天)(3)每天每臺播種20畝，8臺播種機播種1600畝需要多少天?1600÷(20×8)=10(天)16-10=6(天)綜合算式：=6(天)*例4一輛汽車從甲城經過乙城到達丙城，共用了36小時。已知甲城到乙城的路程是640千米，汽車以每小時32千米的速度行駛。其余路程汽車以每小時27千米的速度行駛。求甲城到丙城的路程是多少千米?(適于五年級程度)(1)甲城到乙城的路程是640千米，這輛汽車以每小時32千米的速度行640÷32=20(小時)(2)從甲城經過乙城到達丙城行駛36小時，從甲城到乙城行駛20小時，36-20=16(小時)(3)從乙城到丙城以每小時27千米的速度行駛，用了16小時，所行的路27×16=432(千米)(4)甲城到乙城的路程是640千米，乙城到丙城的路程是432千米，甲城640+432=1072(千米)綜合算式：=1072(千米)*例516人3天平整土地67.2畝。如果每人每天工作效率提高25%,20人平整280畝土地需要多少天?(適于六年級程度)解：(1)16人3天平整土地67.2畝，每人每天平均平整土地多少畝?67.2÷16+3=1.4(畝)(2)每人每天平整土地1.4畝，工作效率提高25%后，每人每天平整土地多少畝?1.4×(1+25%)=1.75(畝)(3)工作效率提高后，每人每天平整土地1.75畝，20人每天平整土地多少畝?1.75×20=35(畝)(4)20人每天平整土地35畝，280畝土地需要平整多少天?280÷35=8(天)=8(天)*例6某車間加工1200個零件，用9天完成了這批零件白余下的限10天完成。每天必須比以前多加工多少個零件?(適于六年級程度)(1)某車間要加工1200個零件，已經加工了它,加工了多少個?(2)9天加工了450個零件，平均每天加工多少個?450÷9=50(個)(3)要加工1200個零件，已經加工了450個，還剩多少個?1200-450=750(個)(4)要在10天內加工剩下的750個零件，每天平均加工多少個?750÷10=75(個)(5)現(xiàn)在平均每天加工75個，以前平均每天加工50個，現(xiàn)在比以前平均每天多加工多少個?75-50=25(個)=25(個)答：現(xiàn)在比以前平均每天多加工25個。*例7快、中、慢三輛車從同一地點出發(fā)，沿著同一條公路追趕前面的一個騎車人。這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人。現(xiàn)在知道快車每小時行駛24千米，中車每小時行駛20千米。慢車每小時行駛多少千米?(適于六年級程度)解：已知慢車12分鐘追上騎車人，先求出三輛車出發(fā)時與騎車人的距離和騎車人的速度，便可按追及問題來解題。因此，這個問題分解成下面的六道比較簡單的應用題來解(圖9-1)。中車10分鐘行駛的路程中車6分鐘行駛的路程中車6分鐘行駛的路程B快車6分鐘行駛的路程慢車12分鐘行駛的路程(1)已知快車、中車每小時分別行駛24千米、20千米，它們6分鐘各行駛多少千米?快車行駛：(千米)(千米)(2)快車在距出發(fā)點2.4千米的B處追上了騎車人，中車已行駛到了距出發(fā)點2千米的A處，這時中車與騎車人相距多少千米?2.4-2=0.4(千米)(3)中車10分鐘追上騎車人，中車到A處已走了6分鐘，還需幾分鐘才能追上騎車人?10-6=4(分鐘)(4)中車與騎車人相距0.4千米，中車每小時行駛20千米，同時出發(fā)，中車4分鐘追上騎車人，騎車人每小時行多少千米?因為在追及問題中，速度差×時間=距離，設騎車人的速度是每小時行v千(5)快車與騎車人同時出發(fā)，快車與騎車人每小時分別行24千米、14千米，騎車人在前，快車在后，6分鐘快車追上騎車人，出發(fā)時快車與騎車人相距多少千米?(6)慢車與騎車人相距1千米，它們同時出發(fā)，向同一個方向行駛，騎車人每小時行14千米，慢車12分鐘追上騎車人，慢車每小時行駛多少千米?因為在追及問題中，速度差×時間=距離，設慢車每小時行v.千米，則得，=19(千米)(此題列綜合算式很復雜，這里不再列出。)答略。在日常生活和生產中，有些事物的數(shù)量是按照一定的規(guī)律，一組一組有秩序地出現(xiàn)的。只要能看出哪些數(shù)量是同一組的，并計算出總數(shù)量中包含有多少個這樣的同一組的數(shù)量，就便于計算出這一組數(shù)量中的每一種物品各是多少個，從而解答出應用題。這種解答應用題的方法叫做分組法。例1某汽車制造廠，計劃在本月裝配98輛汽車。當?shù)谝卉囬g每裝配5輛吉普車時，第二車間則裝配2輛大卡車。求本月該廠裝配吉普車、大卡車各多少輛?(適于五年級程度)解：因為當?shù)谝卉囬g每裝配5輛吉普車時，第二車間裝配2輛大卡車，所以在這同一時間內兩個車間一共裝配汽車：5+2=7(輛)把7輛汽車看作一組，看98輛汽車要分成多少組：98÷7=14(組)因為在一組中有5輛吉普車、2輛大卡車，所以本月裝配吉普車：5×14=70(輛)本月裝配大卡車：2×14=28(輛)答略。例280名小學生正好做了80朵小紅花，每名女學生做3朵小紅花，每3名男學生做1朵小紅花。求這80名小學生中有男、女生各多少名?(適于五年級程度)解：因為每名女學生做3朵小紅花，每3名男學生做1朵小紅花，所以每名3+1=4(朵)把4朵小紅花看作一組，看80朵小紅花中有多少組：80÷4=20(組)因為做每一組花時有1名女生、3名男生。所以女生人數(shù)是：1×20=20(名)男生人數(shù)是：3×20=60(名)答略。例3用1000個黑珠、白珠串成一串。珠子的排列順序是：一個白的還是白色的?(適于五年級程度)個白珠”與“一個黑珠”為一組。1000÷(1+3)=250(組)3×250=750(個)答略。例4院子里有一群雞和一群兔子，共有100條腿。已知兔子比雞多一只，求有多少只雞，多少只兔子?(適于五年級程度)100-4=96(條)組，每一組雞、兔共有腿：4+2=6(條)一共有多少組雞、兔，也就是有多少只雞；96÷6=16(組)一共有兔：16+1=17(只)答：有16只雞，17只兔。例5有一摞撲克牌共60張，都是按紅桃2張、梅花1張、方片3張的次序解：因為都是按紅桃2張、梅花1張、方片3張的次序摞起的，所以可把22+1+3=6(張)60張撲克可分為：60÷6=10(組)60張牌中有紅桃：2×10=20(張)有梅花：1×10=10(張)有方片：3×10=30(張)答略。*例6某工廠召開職工代表大會，把會議室的桌凳組合起來使用。3個人坐一條凳子，2個人用1張桌子，132名代表正好坐滿。求有桌子多少張，凳子多少條?(適于五年級程度)解：因為3個人坐一條凳子，2個人用一張桌子，所以2條凳子、3張桌子組合為一組比較適當，這一組的人數(shù)是(圖10-1):3+3=6(人)或2×3=6(人)132÷6=22(組)因為每一組中有3張桌子，所以22組共有桌子：3×22=66(張)因為每一組中有2條凳子，所以22組共有凳子：2×22=44(條)*例7蜘蛛、蝴蝶共有腿506條，蜘蛛的只數(shù)是蝴蝶只數(shù)的2倍。已知蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿。求蜘蛛、蝴蝶各有多少只?(適于五年級程度)解：一只蜘蛛有8條腿，2只蜘蛛有腿：8×2=16(條)把2只蜘蛛和1只蝴蝶作為一組，它們共有腿：16+6=22(條)506÷22=23(組)2×23=46(只)答略。*例8三年級的小朋友用90張紅、綠、黃三色的彩色紙做紙花。每2朵花用紅紙3張，每3朵花用綠紙2張，每6朵花用黃紙5張。最后，三色彩紙都用紅紙：一朵花用綠紙：一朵花用黃紙：一朵花共用紅、綠、黃三色紙：90張紙可做多少朵花：90÷3=30(朵)30朵花用紅紙：30朵花用綠紙：30朵花用黃紙：答：90張紙中有紅紙45張，綠紙20張，黃紙25張。方法，叫做份數(shù)法。(一)以份數(shù)法解和倍應用題例1某林廠有楊樹和槐樹共320棵，其中楊樹的棵數(shù)是槐樹棵數(shù)的3倍。求楊樹、槐樹各有多少棵?(適于四年級程度)解：把槐樹的棵數(shù)看作1份數(shù)，則楊樹的棵數(shù)就是3份數(shù)，320棵樹就是(3+1)份數(shù)。因此，得：320÷(3+1)=80(棵)…槐樹80×3=240(棵)…楊樹答略。例2甲、乙兩個煤場共存煤490噸，已知甲煤場存煤數(shù)量比乙煤場存煤數(shù)量的4倍少10噸。甲、乙兩個煤場各存煤多少噸?(適于四年級程度)煤數(shù)量的4倍少10噸。因此可將乙煤場的存煤數(shù)量看作1份數(shù)，甲煤場的存煤數(shù)量就相當于乙煤場存煤數(shù)量的4倍(份)數(shù)少10噸，兩個煤場所存的煤490噸就是(1+4)份數(shù)少10噸，(490+10)噸就正好是(1+4)份數(shù)。所以乙場存煤：=100(噸)甲場存煤：490-100=390(噸)答略。例3媽媽給了李平10.80元錢，正好可買4瓶啤酒，3瓶香檳酒。李平錯買成3瓶啤酒，4瓶香檳酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香檳酒各是多少錢?(適明每瓶啤酒比每瓶香檳酒貴0.60元。把每瓶香檳酒的價錢看作1份數(shù)，則4瓶啤酒、3瓶香檳酒的10.80元錢就是(4+3)份數(shù)多(0.60×4)元，(10.80-0.60×4)元就正好是(4+3)份數(shù)。每瓶香檳酒的價錢是：=1.2(元)每瓶啤酒的價錢是：1.2+0.60=1.80(元)答略。例1三灣村原有的水田比旱田多230畝，今年把35畝旱田改為水田，這樣今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍。該村原有旱田多少畝?(適于五年級程度)解：該村原有的水田比旱田多230畝(圖11-1),今年把35畝旱田改為水田，則今年水田比旱田多出230+35×2=300(畝)。根據(jù)今年水田的畝數(shù)正好是2份數(shù)(圖11-2)。今年旱田的畝數(shù)是：=150(畝)原來旱田的畝數(shù)是：150+35=185(畝)綜合算式：=185(畝)答略。王東和師生每小時各行多少千米?(適于五年級程度)解：根據(jù)“追及距離÷追及時間=速度差”,可求出王東騎自行車和師生步行的速度差是10.5÷1.5=7(千米/小時)。已知騎自行車的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份數(shù)，騎自行車的速度就是2.4份數(shù)，比步行速度多2.4-1=1.4(份)。以速度差除以份數(shù)差，便可求出1份數(shù)。=5(千米/小時)…………步行的速度5×2.4=12(千米/小時)………………騎自行車的速度