《機(jī)械設(shè)計基礎(chǔ)》課件1第2章

項目二機(jī)械設(shè)計材料力學(xué)知識準(zhǔn)備2.1材料力學(xué)的基本概念2.2軸向拉伸與壓縮2.3剪切與擠壓2.4圓軸的扭轉(zhuǎn)2.5直梁的彎曲2.6組合變形的強(qiáng)度計算2.7壓桿穩(wěn)定簡介

2.1材料力學(xué)的基本概念

2.1.1變形固體的基本假設(shè)

各種機(jī)器設(shè)備和工程結(jié)構(gòu)，都是由若干個構(gòu)件組成的。在生產(chǎn)實踐中，必須使組成機(jī)器或結(jié)構(gòu)的構(gòu)件能夠安全可靠地工作，才能保證機(jī)器或結(jié)構(gòu)的安全可靠性。構(gòu)件的安全可靠性通常是用構(gòu)件承受載荷的能力(簡稱承載能力)來衡量的。把研究構(gòu)件承載能力的科學(xué)也稱為材料力學(xué)。構(gòu)件的承載能力包括以下三方面的要求：

(1)強(qiáng)度。構(gòu)件在載荷作用下會產(chǎn)生變形，構(gòu)件產(chǎn)生顯著的塑性變形或斷裂將導(dǎo)致構(gòu)件失效。例如，聯(lián)接用的螺栓，產(chǎn)生顯著的塑性變形后，就喪失了正常的聯(lián)接功能。所以，把構(gòu)件抵抗破壞的能力稱為構(gòu)件的強(qiáng)度。

(2)剛度。構(gòu)件在正常工作時也不能產(chǎn)生過大的變形。產(chǎn)生了過大變形，就會影響構(gòu)件的正常工作。例如，傳動軸發(fā)生較大變形時，軸承、齒輪會加劇磨損，降低壽命，影響齒輪的嚙合，使機(jī)器不能正常運轉(zhuǎn)。所以，把構(gòu)件抵抗變形的能力稱為構(gòu)件的剛度。

(3)穩(wěn)定性。對于受壓的細(xì)長桿件，當(dāng)壓力超過某一數(shù)值時，壓桿原有的直線平衡狀態(tài)就不能維持。因此，把壓桿能夠維持原有直線平衡狀態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性。

要保證構(gòu)件在載荷作用下安全可靠地工作，就必須使構(gòu)件具有足夠的承載能力。滿足承載能力可通過多用材料或選用優(yōu)質(zhì)材料來實現(xiàn)。但是，多用材料或選用優(yōu)質(zhì)材料會造成浪費或增加生產(chǎn)成本，不符合經(jīng)濟(jì)和節(jié)約的原則。顯然，構(gòu)件的安全可靠性與經(jīng)濟(jì)性是一對主要矛盾。研究構(gòu)件承載能力的目的：就是在保證構(gòu)件既安全又經(jīng)濟(jì)的前提下，為構(gòu)件選擇合適的材料、確定合理的截面形狀和尺寸，提供必要的理論基礎(chǔ)和實用的計算方法。

在靜力學(xué)分析中，我們忽略了載荷作用下物體形狀尺寸的改變，將物體抽象為剛體。在工程實際中，這種不變形的構(gòu)件(剛體)是不存在的，任何構(gòu)件在載荷作用下，其形狀和尺寸都會發(fā)生改變，稱為變形。研究構(gòu)件的承載能力時，構(gòu)件所發(fā)生的變形不能忽略，即使構(gòu)件產(chǎn)生的變形很微小，也不能忽略。因此可把構(gòu)件抽象為變形體，也稱為變形固體。在工程實際中，各種構(gòu)件所用材料的物質(zhì)結(jié)構(gòu)及性能是非常復(fù)雜的。為了便于理論分析，常常略去次要性質(zhì)，保留其主要屬性，對變形固體作以下的基本假設(shè)。

(1)均勻連續(xù)性假設(shè)：假定變形體內(nèi)部毫無空隙地充滿物質(zhì)，且各點處的力學(xué)性能都是相同的。

固體材料都是由微觀粒子組成的，材料內(nèi)部存在著不同程度的孔隙，而且各粒子的性能也不盡相同；同時材料內(nèi)部不可避免的存在缺陷(雜質(zhì)和氣孔)。但由于我們是從宏觀的角度研究構(gòu)件的強(qiáng)度等問題，材料內(nèi)部的孔隙與構(gòu)件的尺寸相比極其微小，且所有粒子的排列又是錯綜復(fù)雜的。所以，整個變形體的力學(xué)性能從宏觀上看是這些粒子性能的統(tǒng)計平均值，呈均勻性。

(2)各向同性假設(shè)：假定變形體材料內(nèi)部各個方向的力學(xué)性能是相同的。

工程中使用的大部分材料，具有各向同性的性能，如多數(shù)金屬材料。但木材等一些纖維性材料各個方向上的性能顯示了各向異性，在此假設(shè)上得出的結(jié)論只能近似地應(yīng)用在這類各向異性的材料上。

(3)彈性小變形。在載荷作用下，構(gòu)件會產(chǎn)生變形。當(dāng)載荷不超過某一限度時，卸載后變形就完全恢復(fù)。這種

卸載后能夠恢復(fù)的變形稱為彈性變形。載荷超過某一限度時，卸載后僅能恢復(fù)部分變形，另一部分不能恢復(fù)的變形稱為塑性變形。以后幾個項目我們將主要研究微小的彈性變形問題，稱為彈性小變形。由于這種彈性小變形與構(gòu)件的原始尺寸相比較是微不足道的，因此，在確定構(gòu)件內(nèi)力和計算變形時均略去不計，而按構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行分析計算。2.1.2內(nèi)力、截面法和應(yīng)力

1．內(nèi)力的概念

材料力學(xué)的研究對象是構(gòu)件。因此，對于所研究的對象來說，其他構(gòu)件和物體作用于其上的力均為外力，包括載荷與約束力。構(gòu)件在受到外力的作用下，會發(fā)生變形，其內(nèi)部相連各部分的相對位置會發(fā)生變化，從而其內(nèi)部會產(chǎn)生“附加內(nèi)力”。構(gòu)件由于外力的作用發(fā)生宏觀變形而在其內(nèi)部相連各部分之間產(chǎn)生的“附加內(nèi)力”稱為內(nèi)力。構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性，與內(nèi)力的大小及其在構(gòu)件內(nèi)的分布情況密切相關(guān)。

2．截面法

為了分析構(gòu)件在某個截面上的內(nèi)力，將構(gòu)件假想地沿該截面截開以顯示其內(nèi)力，并由平衡條件建立內(nèi)力與外力之間的平衡關(guān)系以確定內(nèi)力大小的方法，稱為截面法。它是分析內(nèi)力的基本方法。其步驟為：①假想沿著某一截面將構(gòu)件切開分成兩部分，任取其中的一部分作為研究對象；②用作用于該截面上的內(nèi)力代替另一部分對被研究部分的作用；③對所研究的部分建立靜力平衡方程，從而確定截面上內(nèi)力的大小和方向。

3．應(yīng)力

如上所述，利用截面法可以求得桿件截面上分布內(nèi)力的合力(或主矢與主矩)。把內(nèi)力在截面上的分布密集度稱為應(yīng)力，即單位面積上的內(nèi)力，應(yīng)力的方向由內(nèi)力的方向決定。為了分析問題的方便，通常將應(yīng)力沿截面的法向與切向分解為兩個分量。沿截面法向的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，用σ表示；沿截面切向的應(yīng)力分量稱為切應(yīng)力，用τ表示。

在國際單位制中，力與面積的基本單位分別用N與m2表示時，應(yīng)力的單位為Pa(帕)，1Pa=1N/m2。應(yīng)力的常用單位為kPa、MPa、GPa，其關(guān)系為

1kPa=103Pa

1MPa=106Pa=1N/mm21GPa=109Pa2.1.3桿件變形的基本形式

工程實際中的構(gòu)件種類繁多，根據(jù)其幾何形狀，可以簡化分類為桿、板、殼、塊等。桿件的幾何特征是：其縱向(長度方向)尺寸遠(yuǎn)大于橫向(垂直于長度方向)尺寸。垂直于桿長的截面稱為橫截面，各橫截面形心的連線稱為軸線。軸線是直線的桿為直桿；各截面大小、形狀相同的桿為等截面桿。我們將主要研究是等截面直桿(簡稱等直桿)的變形及承載能力。等直桿在載荷作用下，其基本變形的形式有圖2－1(a)所示的軸向拉伸和壓縮變形；圖(b)所示的剪切變形；圖(c)所示的扭轉(zhuǎn)變形；圖(d)所示的彎曲變形。

除以上基本變形外，工程中還有一些復(fù)雜的變形形式，每一種復(fù)雜變形都是由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的，稱為組合變形。我們將分章對桿件的基本變形和組合變形進(jìn)行分析研究。圖2－1構(gòu)件基本變形形式

2.2軸向拉伸與壓縮

2.2.1軸向拉伸與壓縮的概念

1．工程實例

軸向拉伸與壓縮變形是桿件基本變形中最簡單常見的一種變形。例如圖2－2(a)所示的支架中，桿AB、桿BC鉸接于B點，在B鉸處懸吊重G的物體。由靜力分析可知：桿AB是二力桿件，受到拉伸；桿BC也是二力桿件，受到壓縮。圖2－2拉壓桿的工程實例

2．力學(xué)模型

若將實際拉伸與壓縮的桿件AB、BC簡化，用桿的輪廓線代替實際的桿件，桿件兩端的外力(集中力或合外力)沿桿件軸線作用，就得到圖2－3(a)所示的力學(xué)模型；或者用桿件的軸線代替桿件，桿件兩端的外力沿桿件軸線作用，就得到圖2－3(b)所示的力學(xué)模型。圖2－3拉壓桿的力學(xué)模型2.2.2軸向拉伸與壓縮時橫截面上的內(nèi)力

1．內(nèi)力的概念

桿件以外物體對桿件的作用力稱為桿件的外力。拉(壓)桿在外力(主動力和約束反力)的作用下將產(chǎn)生變形，內(nèi)部材料微粒之間的相對位置發(fā)生了改變，其相互作用力也發(fā)生了改變。這種由外力引起桿件內(nèi)部的相互作用力，簡稱為內(nèi)力。

桿件橫截面內(nèi)力隨外力的增加而增大，但內(nèi)力增大是有限度的，若超過某一限度，桿件就會被破壞。所以，內(nèi)力的大小和分布形式與桿件的承載能力密切相關(guān)。為了保證桿件在外力作用下安全可靠地工作，必須弄清楚桿件的內(nèi)力，因而對各種基本變形的研究都是從內(nèi)力分析開始的。圖2－4截面法求軸力

2．拉(壓)桿的內(nèi)力——軸力

圖2－4(a)所示為一受拉桿件的力學(xué)模型。為了確定其橫截面m—m的內(nèi)力，可以假想地用截面m—m把桿件截開，分為左、右二段，取其中任意一段作為研究對象。桿件在外力作用下處于平衡，則左、右兩段也必然處于平衡。左段上有力F和截面內(nèi)力作用(圖2－4(b)所示)，由二力平衡條件，該內(nèi)力必與外力F共線，且沿桿件的軸線方向，用符號FN表示，稱為軸力。由平衡方程可求出軸力的大小：

∑Fx=0

FN-F=0

FN=F

同理，右段上也有外力F和左段對應(yīng)截面的作用力FN′(如圖2－4(c)所示)，滿足平衡方程。因FN′與FN是一對作用與反作用力，必等值、反向和共線。因此無論研究截面左段求出的軸力FN，還是研究截面右段求出的內(nèi)力FN′，都表示m—m截面的內(nèi)力。拉桿的軸力FN的方向離開截面(指向截面的外法線)，規(guī)定為正；壓桿的軸力指向截面，規(guī)定為負(fù)。

以上求內(nèi)力的方法稱為截面法，其步驟概括如下：

(1)截——沿欲求內(nèi)力的截面，假想地用一個截面把桿件分為兩段；

(2)取——取出任一段(左段或右段)為研究對象；

(3)代——將另一段對該段截面的作用力用內(nèi)力代替；(4)平——列平衡方程式求出該截面內(nèi)力的大小。

截面法是求內(nèi)力最基本的方法。值得注意的是，應(yīng)用截面法求內(nèi)力時，截面不能選在外力作用點處的截面上。為什么？留給讀者思考。

從截面法求軸力可以得出：兩外力作用點之間各個截面的軸力都相等。

3．軸力圖

為了能夠形象直觀地表示出各橫截面軸力的大小，我們用平行于桿軸線的x坐標(biāo)表示橫截面位置，稱為截面坐標(biāo)x，用垂直于x軸的坐標(biāo)FN表示橫截面軸力的大小，按選定的

比例，把軸力表示在x-FN坐標(biāo)系中，描出的軸力隨截面坐標(biāo)x的變化曲線稱為軸力圖(圖2－4(d)所示)。

例2－1圖2－5(a)所示等截面直桿，受軸向作用力F1=15kN，F(xiàn)2=10kN。試畫出桿的軸力圖。圖2－5例2－1圖解(1)外力分析。先解除約束，畫桿件的受力圖(圖2－5(b))。A端的約束反力FR由平衡方程

∑Fx=0

FR-F1＋F2=0

得FR=F1-F2=(15-10)kN=5kN

(2)內(nèi)力分析。外力FR、F1、F2將桿件分為AB段和BC段。在AB段，用1—1截面將桿件截分為兩段，取左段為研究對象，右段對截面的作用力用FN1來代替。假定該軸力FN1為正，由平衡方程

∑Fx=0

FN1＋FR=0

得

FN1=-FR

AB段截面的軸力都等于FN1，求出了1—1截面的軸力，也就求出了AB段之間各個截面的軸力;同理，BC段之間各個截面的軸力都等于FN2。畫出軸力圖如圖2－5(e)所示。

由上例可以總結(jié)出求截面軸力的簡便方法：桿件任意截面的軸力FN(x)，等于截面一側(cè)左段(或右段)桿件上軸向外力的代數(shù)和。左段向左(或右段向右)的外力產(chǎn)生正值軸力，

反之產(chǎn)生負(fù)值軸力。例2－2已知桿件作用軸向力如圖2－6所示，F(xiàn)1=8kN，

F2=20kN，F(xiàn)3=8kN，F(xiàn)4=4kN，用簡便方法求軸力，并畫軸力圖。

解(1)AC段內(nèi)各個截面軸力相同，任一橫截面軸力FN1等于截面左段桿長上外力的代數(shù)和，即

FN1=F1=8kN

(2)同理，CD、DB段內(nèi)橫截面的軸力分別為：

FN2=F1-F2=(8-20)kN=-12kN

FN3=F1-F2+F3=(8-20+8)kN=-4kN

(3)建立x-FN坐標(biāo)，畫出軸力圖如圖2－6(b)所示。圖2－6例2－2圖2.2.3軸向拉伸與壓縮時橫截面上的應(yīng)力

1．應(yīng)力的概念

用外力拉伸一根變截面桿件，內(nèi)力隨外力的增加而增大，為什么桿件最終總是從較細(xì)的一段被拉斷？這是因為，較細(xì)一段橫截面單位面積上的內(nèi)力分布較粗一段的內(nèi)力分布的密度大。因此，判斷桿件是否破壞的依據(jù)不是內(nèi)力的大小，而是內(nèi)力在截面上分布的密集程度。所以把內(nèi)力在截面上的集度稱為應(yīng)力，其中垂直于截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，平行于截面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力。

應(yīng)力的單位是帕斯卡，簡稱帕，記做Pa，即1平方米的面積上作用1牛頓的力為1帕，1N/m2=1Pa。由于應(yīng)力帕的單位比較小，工程實際中常用千帕(kPa)、兆帕(MPa)、吉帕(GPa)為單位。其中1kPa=103Pa，1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。為運算簡便，可采用N、mm、MPa的工程單位換算，則1MPa=106N/m2=1N/mm2。

2．拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力

如圖2－7所示，在一等截面直桿的表面上，刻劃出橫向線ab、cd。作用外力F使桿件拉伸，觀察ab、cd線的變化，ab、cd線平行向外移動并與軸線保持垂直。由于桿件內(nèi)部材料的變化無法觀察，假設(shè)在變形的過程中，橫截面始終保持為平面，此即為平面假設(shè)。在平面假設(shè)的基礎(chǔ)上，設(shè)想夾在ab、cd截面之間無數(shù)條縱向纖維隨ab、cd截面平行地向外移動，產(chǎn)生了相同的伸長量。根據(jù)材料的均勻連續(xù)性假設(shè)可推知，橫截面上各點處縱向纖維的變形相同，受力也相同，即軸力在截面上是均勻分布的，且方向垂直于橫截面，如圖2－7(b)所示，即橫截面存在有正應(yīng)力，用符號σ表示。其應(yīng)力的分布公式為

式中FN表示橫截面軸力，A表示橫截面面積。(2－1)圖2－7橫截面上的應(yīng)力2.2.4軸向拉伸與壓縮的強(qiáng)度計算

為了保證拉(壓)桿在外力作用下能夠安全可靠地工作，必須使桿件橫截面的應(yīng)力不超過其材料的許用應(yīng)力。當(dāng)桿件各截面的應(yīng)力不相等時，只要桿件的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，就保證了桿件具有足夠的強(qiáng)度。對于等截面直桿，由于各橫截面面積相同，最大工作應(yīng)力必產(chǎn)生在軸力最大的截面上。為了使構(gòu)件不失效，保證構(gòu)件安全工作的準(zhǔn)則，必須使最大工作應(yīng)力不超過材料的允許應(yīng)力值，這一條件稱為強(qiáng)度設(shè)計準(zhǔn)則。對等截面直桿即為(2－2)式中［σ］稱為許用應(yīng)力。應(yīng)用強(qiáng)度準(zhǔn)則式(2－2)所進(jìn)行的運算稱為強(qiáng)度計算。強(qiáng)度計算可以解決以下三類問題。

(1)校核強(qiáng)度。已知作用外力F、橫截面積A和許用應(yīng)力［σ］，計算出最大工作應(yīng)力，檢驗是否滿足強(qiáng)度準(zhǔn)則，從而判斷構(gòu)件是否能夠安全可靠地工作。

(2)設(shè)計截面。已知作用外力F、許用應(yīng)力［σ］，由強(qiáng)度準(zhǔn)則計算出截面面積A，即A≥，然后根據(jù)工程要求的截面形狀，設(shè)計出桿件的截面尺寸。

(3)確定許可載荷。已知構(gòu)件的截面面積A、許用應(yīng)力［σ］，由強(qiáng)度準(zhǔn)則計算出構(gòu)件所能承受的最大內(nèi)力FNmax，即FNmax≤A·［σ］，再根據(jù)內(nèi)力與外力的關(guān)系，確定出桿件允許的最大載荷值［F］。

工程實際中，進(jìn)行構(gòu)件的強(qiáng)度計算時，根據(jù)有關(guān)設(shè)計規(guī)范，最大工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力的5%也是允許的。例2－3某銑床工作臺進(jìn)給油缸如圖2－8所示，缸內(nèi)工作油壓p=2MPa，油缸內(nèi)徑D=75mm，活塞桿直徑d=18mm，已知活塞桿材料的［σ］=50MPa，試校核活塞桿的強(qiáng)度。

解(1)求活塞桿的軸力：

(2)按強(qiáng)度準(zhǔn)則校核：

活塞桿的強(qiáng)度足夠。圖2－8例2－3圖例2－4三角吊環(huán)由斜桿AB、AC與橫桿BC組成，如圖2－9所示，α=30°，斜鋼桿的［σ］=120MPa，吊環(huán)最大吊重G=150kN。試按強(qiáng)度條件設(shè)計斜桿AB、AC的截面直徑d。

解(1)對于吊環(huán)整體，由二力平衡可知，F(xiàn)T=G。在A點臨近處用截面法截開桿AB、AC，并設(shè)桿AB、AC的軸力分別為FN1、FN2，畫出A點的受力圖，列平衡方程式求斜桿AB、AC的軸力為：

∑Fx=0

-FN1sinα+FN2sinα=0

FN1=FN2

G-FN1cosα-FN2cosα=0

(2)由強(qiáng)度準(zhǔn)則可知A≥FNmax/［σ］，即取斜桿AB、AC的截面直徑d=30mm。圖2－9例2－4圖

例2－5

圖2－10所示的支架，在B點處受載荷G作用，桿AB、BC分別是木桿和鋼桿，木桿AB的橫截面積A1=100×102mm2，許用應(yīng)力［σ1］=7MPa;鋼桿BC的橫截面積A2=600mm2，許用應(yīng)力［σ2］=160MPa。求支架的

許可載荷［G］。

解(1)在B點臨近處用截面法截斷桿AB、BC，畫B點的受力圖，求兩桿的軸力FN1、FN2。FN1-FN2cos30°=0圖2－10例2－5圖

(2)應(yīng)用強(qiáng)度準(zhǔn)則，分別確定木桿、鋼桿的許可載荷G1、G2。

對于木桿FN2sin30°-G=0FN2=2G

對于鋼桿

比較G1、G2，得該支架的許可載荷［G］=40.4kN。2.2.5軸向拉伸與壓縮的變形

1.變形與線應(yīng)變

如圖2－11所示，等截面直桿的原長為l，橫向尺寸為b，在軸向外力作用下，縱向伸長到l1，橫向縮短到b1。把拉(壓)桿的縱向伸長(或縮短)量稱為絕對變形，用Δl表示;橫向伸長(或縮短)量用Δb表示。

軸向變形

Δl=l1-l

橫向變形

Δb=b1-b

拉伸時，Δl為正，Δb為負(fù);壓縮時，Δl為負(fù)，Δb為正。圖2－11軸向拉伸或壓縮時直桿的變形絕對變形與桿件的原長有關(guān)，不能準(zhǔn)確反映桿件的變形程度，消除掉桿長的影響，得到單位長度的變形量稱為相對變形，用ε、ε′表示，即

ε和ε′都是無量綱的量，又稱為線應(yīng)變，其中ε稱為縱向應(yīng)變，ε′稱為橫向應(yīng)變。

實驗表明，在材料的彈性范圍內(nèi)，其橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值為一常數(shù)，記做μ，稱為橫向變形系數(shù)(泊松比)，即或ε′=-με

(2－3)

幾種常用工程材料的μ值見表2－1。表2－1幾種常用工程材料的E、μ值

2.胡克定律

實驗表明，對等截面、等內(nèi)力的拉(壓)桿，當(dāng)應(yīng)力不超過某一極限值時，桿的縱向變形Δl與軸力FN成正比，與桿長l成正比，與橫截面面積A成反比。這一比例關(guān)系稱為胡

克定律。引入比例常數(shù)E，即

式中比例常數(shù)E稱為材料的拉(壓)彈性模量，其單位是GPa。各種材料的彈性模量E是由實驗測定的。幾種常用材料的E值見表2－1。(2－4)由式(2－4)可知，軸力、桿長、截面面積相同的等直桿，E值越大，Δl就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(壓)變形的能力，是衡量材料的剛度指標(biāo)。拉(壓)桿的橫截面積A和材料彈性模量E的乘積與桿件的變形成反比，EA值越大，Δl就越小，拉(壓)桿抵抗變形的能力就越強(qiáng)。所以，EA值是拉(壓)桿抵抗變形能力的量度，稱為桿件的抗拉(壓)剛度。

對式(2－4)兩邊同除以l，并用σ代替FN/A，虎克定律可化簡成另一種表達(dá)式，即

σ=Eε

(2－5)

式(2－5)表明：當(dāng)應(yīng)力不超過某一極限值時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。

3.拉(壓)桿的變形計算

應(yīng)用式(2－4)、式(2－5)時，要注意它們的適用條件：應(yīng)力不超過某一極限值，這一極限值是指材料的比例極限。各種材料的比例極限可由實驗測定。對于式(2－4)，在桿長l內(nèi)，F(xiàn)N、E、A均為常量，否則應(yīng)分段計算。

例2－6圖2－12(a)所示階梯形鋼桿，已知AB段和BC段橫截面面積A1=200mm2，A2=500mm2，鋼材的彈性模量E=200GPa，作用軸向力F1=10kN，F(xiàn)2=30kN，l=100mm。試求：(1)各段橫截面上的應(yīng)力，(2)桿件的總變形。解(1)求桿件各段軸力并畫軸力圖。

AB段

FN1=F1=10kN

BC段

FN2=F1-F2=(10-30)kN=-20kN

軸力圖如圖2－12(b)所示。圖2－12例2－6圖

(2)求各段桿截面的應(yīng)力。

AB段

BC段

(3)計算桿的總變形。由于各段桿長內(nèi)的軸力不相同，需分段計算，總變形等于各段變形的代數(shù)和。例2－7圖2－13所示的螺栓接頭，螺栓內(nèi)徑d=10.1mm，擰緊后測得長度為l=80mm內(nèi)的伸長量Δl=0.4mm，E=200GPa。試求螺栓擰緊后橫截面的正應(yīng)力及螺栓對鋼板的預(yù)緊力。

解(1)螺栓的線應(yīng)變?yōu)?/p>

(2)由虎克定律式(2－5)求螺栓截面的應(yīng)力為

σ=Eε=(200×109×5×10-4)Pa=100×106Pa=100MPa

(3)由應(yīng)力公式(2－1)求得螺栓的預(yù)緊力為

故螺栓的預(yù)緊力為8.01kN。圖2－13例2－7圖2.2.6軸向拉伸與壓縮的力學(xué)性能分析

拉(壓)桿的應(yīng)力是隨外力的增加而增大的，在一定應(yīng)力作用下，桿件是否破壞與材料的性能有關(guān)。材料在外力作用下表現(xiàn)出來的性能，稱為材料的力學(xué)性能。材料的力學(xué)性能是通過試驗的方法測定的，它是進(jìn)行桿件強(qiáng)度、剛度計算和選擇材料的重要依據(jù)。

工程材料的種類很多，常用材料根據(jù)其性能可分為塑性材料和脆性材料兩大類。低碳鋼和鑄鐵是這兩類材料的典型代表，它們在拉伸和壓縮時表現(xiàn)出來的力學(xué)性能具有廣泛的代表性。因此本書主要介紹低碳鋼和鑄鐵在常溫(指室溫)、靜載(指加載速度緩慢平穩(wěn))下的力學(xué)性能。工程中通常把實驗用的材料按國標(biāo)中規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)(GB228—76)，先做成如圖2－14所示的標(biāo)準(zhǔn)試件，試件中間等直桿部分為試驗段，其長度l稱為標(biāo)距。標(biāo)距l(xiāng)與直徑d之比有l(wèi)=5d和l=10d兩種規(guī)格。而對矩形截面試件，標(biāo)距l(xiāng)與截面面積A之比有l(wèi)=11.3和l=5.65兩種規(guī)格。把標(biāo)準(zhǔn)試件測定的性能作為材料的力學(xué)性能。圖2－14拉壓標(biāo)準(zhǔn)試樣試驗時，將試件兩端裝卡在試驗機(jī)工作臺的上、下夾頭里，然后對其緩慢加載，直到把試件拉斷為止。在試件變形過程中，從試驗機(jī)的測力刻度盤上可以讀出一系列拉力F值，同時在變形標(biāo)尺上讀出與每一F值相對應(yīng)的變形Δl值。若以拉力F為縱坐標(biāo)，變形Δl為橫坐標(biāo)，記錄下每一時刻的力F和變形Δl值，描出力與變形的關(guān)系曲線，則該曲線稱做F—Δl曲線。若消除試件橫截面面積和標(biāo)距對作用力及變形的影響，則F—Δl曲線就變成了應(yīng)力與應(yīng)變的曲線，或稱

做σ—ε曲線。圖2－15(a)和2－15(b)分別是低碳鋼Q235拉伸時的F—Δl曲線圖和σ—ε曲線。圖2－15Q235拉伸曲線

1.低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能

以Q235鋼的σ—ε曲線為例，我們來討論低碳鋼在拉伸時的力學(xué)性能。其σ—ε曲線可以分為四個階級，有兩個重要的強(qiáng)度指標(biāo)：屈服點和抗拉強(qiáng)度。

1)彈性階段——比例極限σP

從圖上可以看出，曲線oa段是直線，這說明試件的應(yīng)力與應(yīng)變在此段成正比關(guān)系，材料符合胡克定律，即σ=Eε。直線oa的斜率tanα=E是材料的彈性模量，直線部分最高點a所對應(yīng)的應(yīng)力值記做σP，稱為材料的比例極限。Q235鋼的σP≈200MPa。

2)屈服階段——屈服點σs

曲線超過a′點后，出現(xiàn)了一段鋸齒形曲線，說明這一階段應(yīng)力變化不大，而應(yīng)變急劇地增加，材料好像失去了抵抗變形的能力。把這種應(yīng)力變化不大而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱做屈服，bc段稱為屈服階段。屈服階段曲線最低點所對應(yīng)的應(yīng)力σs稱為材料的屈服點。若試件表面是經(jīng)過拋光處理的，這時可以看到試件表面出現(xiàn)了與軸線大約成45°角的條紋線，稱為滑移線(圖2－16(a))。一般認(rèn)為，這是材料內(nèi)部晶格沿最大切應(yīng)力方向相互錯動滑移的結(jié)果，這種錯動滑移是造成塑性變形的根本原因。圖2－16滑移線與頸縮在屈服階段卸載，將出現(xiàn)不能消失的塑性變形。工程上一般不允許構(gòu)件發(fā)生塑性變形，并把塑性變形作為塑性材料失效的標(biāo)志，所以屈服點σs是衡量材料強(qiáng)度的一個重要指標(biāo)。Q235鋼的σs≈235MPa。

3)強(qiáng)化階段——抗拉強(qiáng)度σb

經(jīng)過屈服階段后，曲線從c點開始逐漸上升，說明要使應(yīng)變增加，必須增加應(yīng)力。材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱做強(qiáng)化，cd段稱為強(qiáng)化階段。曲線最高點所對應(yīng)的應(yīng)力值，記做σb，稱為材料的抗拉強(qiáng)度(強(qiáng)度極限)。它是衡量材料強(qiáng)度的又一個重要指標(biāo)。Q235鋼的σb≈400MPa。

4)縮頸斷裂階段

曲線到達(dá)d點后，即應(yīng)力達(dá)到其抗拉強(qiáng)度后，在試件比較薄弱的某一局部(材質(zhì)不均勻或有缺陷處)，變形顯著增加，有效橫截面急劇削弱減小，出現(xiàn)了縮頸現(xiàn)象(圖2－16(b))，試件很快被拉斷，所以de段稱為縮頸斷裂階段。

5)塑性指標(biāo)

(1)斷后伸長率：式中：l1為試件拉斷后的標(biāo)距，l是原標(biāo)距。一般把δ≥5%的材料稱為塑性材料，把δ<5%的材料稱為脆性材料。

(2)斷面收縮率：

式中：A1為試件斷口處橫截面面積，A為原橫截面面積。試件拉斷后，彈性變形消失，只剩下塑性變形。顯然δ、Ψ值越大，其塑性越好。因此，斷后伸長率和斷面收縮率是衡量

材料塑性的主要指標(biāo)。Q235鋼的δ=25%～27%，Ψ=60%，是典型的塑性材料;而鑄鐵、混凝土、石料等沒有明顯的塑性變形，是脆性材料。

6)冷作硬化

在曲線上的強(qiáng)化階段某一點f停止加載，并緩慢地卸去載荷，σ—ε曲線將沿著與oa近似平行的直線fg退回到應(yīng)變軸上g點，gh是消失了的彈性變形，og是殘留下來的塑性變形。若卸載后再重新加載，σ—ε曲線將基本沿著gf上升到f點，再沿fde線直至拉斷。把這種將材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段后卸載，重新加載使材料的比例極限提高而塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。工程中通常利用冷作硬化工藝來增強(qiáng)材料的承載能力，如冷拔鋼筋等。

2.低碳鋼壓縮時的力學(xué)性能

圖2－17所示實線是低碳鋼壓縮時的σ—ε曲線，與拉伸時的σ—ε曲線(虛線)相比較，在直線部分和屈服階段兩曲線大致重合，其彈性模量E、比例極限σP和屈服點σs與

拉伸時基本相同，因此認(rèn)為低碳鋼的抗拉性能與抗壓性能是相同的。

在曲線進(jìn)入強(qiáng)化階段以后，試件會越壓越扁，先是壓成鼓形，最后變成餅狀，故得不到壓縮時的抗壓強(qiáng)度。圖2－17低碳鋼壓縮曲線

3.其它塑性材料拉伸時的力學(xué)性能

圖2－18是幾種塑性材料拉伸時的σ—ε曲線圖，與低碳鋼的σ—ε曲線相比較，這些曲線沒有明顯的屈服階段。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，常用其產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力值作為名義屈服點，稱為材料的屈服強(qiáng)度，用σ0.2表示。圖2－18塑性材料拉伸曲線

2.3剪切與擠壓

2.3.1剪切與擠壓的概念

工程上常用的螺栓、鉚釘、銷釘、鍵等稱為聯(lián)接件。如圖2－19所示的聯(lián)軸鍵和圖2－20所示的鉚釘接頭中的鉚釘。當(dāng)結(jié)構(gòu)工作時，此類聯(lián)接件的兩側(cè)面上作用大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近的一對外力，兩力作用線之間的截面發(fā)生了相對錯動，這種變形稱為剪切變形，產(chǎn)生相對錯動的截面稱為剪切面。圖2－19聯(lián)軸鍵圖2－20鉚釘聯(lián)接由此得出剪切的受力與變形特點是：沿構(gòu)件兩側(cè)作用大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近的兩外力，夾在兩外力作用線之間的剪切面發(fā)生了相對錯動。

聯(lián)接件發(fā)生剪切變形的同時，聯(lián)接件與被聯(lián)接件的接觸面相互作用而壓緊，這種現(xiàn)象稱為擠壓。擠壓力過大時，在接觸面的局部范圍內(nèi)將發(fā)生塑性變形，甚至被壓潰。這種因擠壓力過大，聯(lián)接件接觸面的局部范圍內(nèi)發(fā)生塑性變形或壓潰的現(xiàn)象稱為擠壓破壞。擠壓和壓縮是兩個完全不同的概念，擠壓變形發(fā)生在兩構(gòu)件相互接觸的表面，而壓縮則發(fā)生在一個構(gòu)件上。2.3.2剪切的實用計算

1．剪切的實用計算

為了對聯(lián)接件進(jìn)行剪切強(qiáng)度計算，需先求出剪切面上的內(nèi)力?，F(xiàn)以圖2－20(a)所示的鉚釘接頭中鉚釘為例進(jìn)行分析。用截面法假想地將鉚釘沿其剪切面m—m截開(圖2－20(b)，取任一部分為研究對象(圖2－20(c)，由平衡方程求得

FQ=F

這個平行于截面的內(nèi)力稱為剪力，用FQ表示。其平行于截面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用符號τ表示。剪力在剪切面上的分布比較復(fù)雜，工程上通常采用實用計算，即假定剪切面上

的切應(yīng)力是均勻分布的，于是有

式中A為剪切面面積。為了保證聯(lián)接件安全可靠地工作，要求切應(yīng)力τ不得超過聯(lián)接件的許用切應(yīng)力［τ］，則相應(yīng)的剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則為

式中［τ］=τb/nτ，τb為抗剪強(qiáng)度，是由實際聯(lián)接構(gòu)件或模擬受剪構(gòu)件在類似條件下進(jìn)行剪斷實驗，先測得剪斷時的剪力FQ，然后用假定計算得到的切應(yīng)力τb，即為抗剪強(qiáng)度。nτ為與剪切變形相對應(yīng)的安全系數(shù)。(2－6)(2－7)剪切實用計算中的許用切應(yīng)力［τ］與拉伸時的許用正應(yīng)力［σ］有關(guān)，在一般工程規(guī)范中，對塑性性能較好的鋼材有

［τ］=(0.75~0.8)［σ］

應(yīng)用式(2－7)同樣可以解決聯(lián)接件剪切強(qiáng)度計算的三類問題。但在計算中要注意考慮所有的剪切面，以及每個剪切面上的剪力和切應(yīng)力。

2．剪切胡克定律

如圖2－21(a)所示，在桿件受剪部分中的某一點K處，取一微小的正六面體，將它放大，剪切變形時，剪切面發(fā)生相對錯動，使正六面體abcdefgh變?yōu)槠叫辛骟wab′cd′ef′gh′。

線段bb′為相距dx的兩截面相對錯動滑移量，稱為絕對剪切變形。相距一個單位長度的兩截面相對滑移量稱為相對剪切變形，亦稱為切應(yīng)變，用γ表示。因剪切變形時γ值很

小，所以bb′/dx=tanγ。切應(yīng)變γ是直角的微小改變量，用弧度(rad)度量。圖2－21剪切胡克定律示意圖實驗表明：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限τP

時，剪切面上的切應(yīng)力τ與該點處的切應(yīng)變γ成正比(圖2－21(d)所示)，即

τ=Gγ

(2－8)

式中G稱為材料的切變模量。常用碳鋼的G≈80GPa，鑄鐵的G≈45GPa。其它材料的G值可從有關(guān)設(shè)計手冊中查得。2.3.3擠壓的實用計算

聯(lián)軸鍵與鍵槽相互接觸并產(chǎn)生擠壓的側(cè)面稱為擠壓面，把擠壓面上的作用力稱為擠壓力，用Fjy表示。擠壓面上由擠壓力引起的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力，用σjy表示。擠壓應(yīng)力在擠壓面上的分布也是比較復(fù)雜的。所以工程計算中常采用實用計算，即假定擠壓力在擠壓面上是均勻分布的。為保證聯(lián)接件不致因擠壓而失效，擠壓的強(qiáng)度設(shè)計準(zhǔn)則為(2－9)式中Ajy為擠壓計算面積。在擠壓強(qiáng)度計算中，Ajy要根據(jù)接觸面的具體情況而定。若接觸面為平面，則擠壓面積為有效接觸面面積。如圖2－22(a)所示的聯(lián)軸鍵，擠壓面為Ajy=lh/2；若接觸面是圓柱形曲面，如鉚釘、銷釘、螺栓等圓柱形聯(lián)接件，如圖2－22(b)、(c)所示，擠壓計算面積按半圓柱側(cè)面的正投影面積計算，亦即Ajy=dt。由于擠壓應(yīng)力并不是均勻分布的，而最大擠壓應(yīng)力發(fā)生于半圓柱形側(cè)面的中間部分，所以，采用半圓柱形側(cè)面的正投影面積作為擠壓計算面積，所得的應(yīng)力與接觸面的實際最大擠壓應(yīng)力大致相近。圖2－22擠壓許用擠壓應(yīng)力［σjy］的確定與剪切許用切應(yīng)力的確定方法相類似，由實驗結(jié)果通過實用計算確定。設(shè)計時可查閱有關(guān)設(shè)計規(guī)范，一般塑性材料的許用擠壓應(yīng)力［σjy］與許

用正應(yīng)力［σ］之間存在如下關(guān)系：

［σjy］=(1.7~2.0)［σ］

不難看出，許用擠壓應(yīng)力遠(yuǎn)大于許用正應(yīng)力。但須注意，如果聯(lián)接件和被聯(lián)接件的材料不同，應(yīng)以許用應(yīng)力較低者進(jìn)行擠壓強(qiáng)度計算。這樣，才能保證結(jié)構(gòu)安全可靠地工作。例2－8如圖2－23(a)所示，某齒輪用平鍵與軸聯(lián)接(圖中未畫出齒輪)，已知軸的直徑d=56mm，鍵的尺寸為l×b×h=80mm×16mm×10mm，軸傳遞的扭轉(zhuǎn)力矩M=1kN·m，鍵的許用切應(yīng)力［τ］=60MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=100MPa。試校核鍵的聯(lián)接強(qiáng)度。圖2－23例2－8圖解以鍵和軸為研究對象，其受力如圖2－23(b)所示，鍵所受的力由平衡方程得

從圖2－23(b)可以看出，鍵的破壞可能是沿m—m截面被剪斷或與鍵槽之間發(fā)生擠壓塑性變形。用截面法可求得剪力和擠壓力為

FQ＝Fjy＝F＝35.71kN

校核鍵的強(qiáng)度。鍵的剪切面積A=bl，擠壓面積Ajy=hl/2，得切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力分別為

所以鍵的剪切和擠壓強(qiáng)度均滿足。

由計算可以看出，鍵的剪切強(qiáng)度有較大的儲備，而擠壓強(qiáng)度的儲備較少。因此，工程上通常對鍵只作擠壓強(qiáng)度校核。例2－9如圖2－24(a)所示，拖拉機(jī)掛鉤用插銷聯(lián)接，已知掛鉤厚度δ=10mm，掛鉤的許用切應(yīng)力［τ］=100MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=200MPa，拉力F=56kN。試設(shè)計插銷的直徑。

解(1)分析破壞形式。從圖2－24(b)可以看出，插銷承受剪切和擠壓，它的破壞可能是被剪斷和與孔壁間的擠壓破壞。圖2－24例2－9圖

(2)求剪力和擠壓力。插銷有兩個剪切面，用截面法由平衡方程可得

(3)按剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計螺栓直徑d為

(4)按擠壓強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計螺栓直徑d為

若要插銷同時滿足剪切和擠壓強(qiáng)度的要求，則其最小直徑選擇d=18.9mm。按此最小直徑，再從有關(guān)設(shè)計手冊中查取插銷的公稱直徑d=20mm。

2.4圓軸的扭轉(zhuǎn)

2.4.1扭轉(zhuǎn)的概念

扭轉(zhuǎn)變形是桿件的基本變形形式之一。通常把發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱為軸，本節(jié)只討論圓軸的扭轉(zhuǎn)問題。

在工程實際中，我們經(jīng)常會看到一些發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿件，例如開鎖的鑰匙，汽車方向盤操縱桿，圖2－25(a)所示機(jī)械中的傳動軸，圖2－25(b)所示水輪發(fā)電機(jī)的主軸等。將圖2－25中機(jī)械傳動軸的AB段和水輪發(fā)電機(jī)主軸的受力進(jìn)行簡化，可以得到圖2－26所示的力學(xué)模型。圖2－25受扭轉(zhuǎn)的軸圖2－26扭轉(zhuǎn)力學(xué)模型由圖可以看出，扭轉(zhuǎn)變形的受力特點是：在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)，作用了一對大小相等，轉(zhuǎn)向相反，作用平面平行的外力偶矩；其變形特點是：縱向線ab傾斜了一個微小的角度γ，A、B兩端橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動了一個角度φ，稱為扭轉(zhuǎn)角。2.4.2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力

研究圓軸扭轉(zhuǎn)問題的方法與研究軸向拉(壓)桿一樣，首先要計算作用于軸上的外力偶矩，再分析圓軸橫截面的內(nèi)力，然后計算軸的應(yīng)力和變形，最后進(jìn)行軸的強(qiáng)度及剛度計算。

1．外力偶矩的計算

在工程實際中，作用于軸上的外力偶矩一般并不是直接給出的，而是根據(jù)所給定軸的轉(zhuǎn)速n和軸傳遞的功率P，通過下列公式確定：(2－10)式中：M為外力偶矩，單位是N·m；P為功率，單位是kW；n為轉(zhuǎn)速，單位是r/min。

在確定外力偶矩的轉(zhuǎn)向時應(yīng)注意，軸上的主動輪的輸入功率所產(chǎn)生的力偶矩為主動力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相同；而從動輪的輸出功率所產(chǎn)生的力偶矩為阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相反。

2．圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力——扭矩

圓軸在外力偶矩的作用下，其橫截面上將有內(nèi)力產(chǎn)生，應(yīng)用截面法可以求出橫截面的內(nèi)力。以圖2－27所示圓軸扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型為例，應(yīng)用截面法，假想地用一截面m—m將軸截分為兩段，取其左段為研究對象。由于軸原來處于平衡狀態(tài)，因而其左段也必然是平衡的，m—m截面上必有一個內(nèi)力偶矩與左端面上的外力偶矩平衡(圖2－27(b))。列力偶平衡方程可得

T-M=0

T=M

T為m—m截面的內(nèi)力偶矩，稱為扭矩。

同理，也可以取截面右段為研究對象，此時求得的扭矩與取左段為研究對象所求得的扭矩大小相等，轉(zhuǎn)向相反(圖2－27(c))。圖2－27圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力為了使所取截面左段或右段求得的同一截面上的扭矩相一致，通常用右手法則規(guī)定扭矩的正負(fù)：以右手手心握軸，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向離開截面，扭矩為正；反之為負(fù)(圖2－27(d))。2.4.3扭矩及扭矩圖的畫法

從上述截面法求橫截面扭矩可知，當(dāng)圓軸兩端作用一對外力偶矩使軸平衡時，圓軸各個橫截面上的扭矩都是相同的。若軸上作用三個或三個以上的外力偶矩使軸平衡，則軸上各段橫截面的扭矩將是不相同的。例如圖2－28(a)所示的傳動軸，輸入一個不變轉(zhuǎn)矩M1，設(shè)軸輸出的力偶矩分別為M2=M1/3，M3=2M1/3。外力偶矩M1、M2、M3將軸分為AB、BC兩段，應(yīng)用截面法可求出各段橫截面的扭矩。圖2－28傳動軸在AB段用Ⅰ—Ⅰ截面將軸分為兩段，取左段為研究對象(圖2－28(b))，由力偶平衡可得

T1=M1

求出了Ⅰ—Ⅰ截面的扭矩，也就求出了AB段軸上任意截面的扭矩。同理，在BC段用Ⅱ－Ⅱ截面將軸分為兩段，取左段為研究對象(圖2－28(c))，由力偶平衡方程T1+M2-M1=0，可得BC段軸上各截面的扭矩為通過上例可總結(jié)出求扭矩的簡便法則：軸上任一橫截面的扭矩等于該截面一側(cè)(左側(cè)或右側(cè))軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和。左側(cè)軸段上箭頭向上(或右側(cè)軸段上箭頭向下)外力偶矩產(chǎn)生正值扭矩，反之為負(fù)。

為了能夠形象直觀地表示出軸上各橫截面扭矩的大小，用平行于桿軸線的x坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于x軸的坐標(biāo)T表示橫截面扭矩的大小，把各截面扭矩表示在x-T坐標(biāo)系中，描畫出截面扭矩隨著截面位置變化的曲線，稱為扭矩圖(圖2－28(d))。例2－10傳動軸如圖2－29(a)所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=30kW，PC=20kW，軸的轉(zhuǎn)速為n=300r/min。

(1)畫出軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩Tmax。

(2)若將輪A置于齒輪B和C中間，則兩種布置形式哪一種較為合理？

解(1)計算外力偶矩。由公式(2－10)可得：圖2－29例2－10圖

(2)求各段軸的扭矩。

AB段：由求扭矩的簡便法則，得1—1截面扭矩等于該截面左側(cè)軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和。左側(cè)軸段上作用MA，且箭頭向下，產(chǎn)生負(fù)值扭矩，即得

T1=-MA=-1592N·m

BC段：扭矩T2等于該截面左側(cè)軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和，即

T2=-M1+MB=(-1592+955)N·m=-637N·m

(3)畫扭矩圖。根據(jù)各段軸上的扭矩，按比例作扭矩圖(圖2－29(b))?？梢姡畲笈ぞ匕l(fā)生在AB段，其值為

|T|max=1592N·m

(4)若將輪A置于齒輪B和C中間，軸的扭矩圖如圖2－29(c)所示，最大扭矩Tmax=955N·m。

可見，傳動輪系上各輪的布置不同，軸的最大扭矩就不同。顯然，從力學(xué)角度考慮后者的布置較合理。2.4.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力

為了求得圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力，必須了解應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律。為此，先從觀察和分析變形現(xiàn)象入手。取圖2－30(a)所示圓軸，在其表面畫出一組平行于軸線的縱向線和橫截線(圓周線)，表面就形成許多小矩形。在軸上作用外力偶M(作用面垂直于軸線)，可以觀察到圓軸扭轉(zhuǎn)變形(圖2－30(b))的如下現(xiàn)象：

(1)各縱向線傾斜了同一個微小角度γ，原來軸表面上的小矩形歪斜成平行四邊形。

(2)圓周線均繞軸線旋轉(zhuǎn)了一微小的角度，而圓周線的形狀、大小及間距均無變化。圖2－30扭轉(zhuǎn)實驗根據(jù)觀察到的這些現(xiàn)象，推想出圓周線反映了橫截面的變形，則可以作出如下平面假設(shè)：圓軸在扭轉(zhuǎn)變形時，各橫截面仍為垂直于軸線的平面，且形狀和大小均不變。由此可以得出：

(1)由于相鄰截面相對地轉(zhuǎn)過了一個角度，即橫截面間發(fā)生旋轉(zhuǎn)式的相對錯動，發(fā)生了剪切變形，故截面上有切應(yīng)力存在。又因半徑長度不變，故切應(yīng)力方向必與半徑垂直。(2)由于相鄰截面的間距不變，所以橫截面上無正應(yīng)力。為了求得切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律，我們從軸中截取出一微段dx來研究(圖2－31(a))。圖2－31應(yīng)力在橫截面上的分布設(shè)相距為dx的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為dφ。在剪切的彈性范圍內(nèi)，距軸線愈遠(yuǎn)的點，相對錯動的位移愈大，說明該點的切應(yīng)變愈大，該點的切應(yīng)力也就愈大。

根據(jù)變形的幾何關(guān)系可得，橫截面上距圓心為ρ的一點b1相對于b的錯動位移為

b1b1′=ρdφ

該點的切應(yīng)變?yōu)?a)根據(jù)物理關(guān)系，即在剪切的彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，從而得出橫截面上距軸線為ρ一點的切應(yīng)力為

此式表明，橫截面上的切應(yīng)力與該點距圓心的半徑ρ成正比，即切應(yīng)力呈線性分布，切應(yīng)力的方向與半徑垂直(圖2－31(b))。

根據(jù)靜力學(xué)關(guān)系，如圖2－31(c)所示，在距圓心為ρ處取一微面積dA，其上作用的微內(nèi)力為τρdA，整個截面上各點處所有微內(nèi)力對圓心之矩的總和，等于該截面上的內(nèi)力扭矩T，即(b)

將(b)式代入(c)式，得

式中

(c)(d)

IP稱為橫截面對圓心的極慣性矩，其大小與截面形狀、尺寸有關(guān)，單位是米4(m4)或毫米4(mm4)。由(d)可得

把式(2－11)代入式(b)，即得橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式為(2－11)(2－12)最大切應(yīng)力發(fā)生在截面邊緣處，即ρ=R時，其值為

式中，稱為抗扭截面系數(shù)。

必須指出，式(2－13)只適用于圓截面軸，而且橫截面上τmax不超過材料的剪切比例極限。(2－13)2.4.5極慣性矩和抗扭截面系數(shù)

1.圓截面

如圖2－32所示，設(shè)截面直徑為D，若取微面積為一圓環(huán)，即dA=2πρdρ，則其極慣性矩為

抗扭截面系數(shù)為(2－14)(2－15)圖2－32圓環(huán)截面

2.空心圓截面

設(shè)外徑為D，內(nèi)徑為d，并取內(nèi)外徑之比d/D=α。同理可得其極慣性矩為

抗扭截面系數(shù)為(2－17)(2－16)2.4.6圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形

圓軸扭轉(zhuǎn)變形的大小是用兩橫截面繞軸線的相對扭轉(zhuǎn)角φ來度量的。由式(2－11)可知，相距為dx的兩相鄰截面間的扭轉(zhuǎn)角為。將此微分式進(jìn)行積分，即得相距為l的兩個橫截面之間的扭轉(zhuǎn)角為。對于軸長為l，扭矩為常量的等截面圓軸，兩端截面間的相對扭轉(zhuǎn)角為(2－18)式中GIP稱為截面的抗扭剛度。它反映了圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。當(dāng)T和l一定時，GIP愈大，則扭轉(zhuǎn)角φ愈小，說明圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力愈強(qiáng)。

對于階梯軸或各段扭矩不相等的軸，應(yīng)分段計算各段的扭轉(zhuǎn)角并求代數(shù)和，即可求得全軸的扭轉(zhuǎn)角。例2－11圖2－33(a)所示的傳動軸，已知M1=640N·m，M2=840N·m，M3=200N·m，軸材料的切變模量G=80GPa。試求截面C相對于截面A的扭轉(zhuǎn)角。

解(1)分段計算各段截面的扭矩并畫出扭矩圖(如圖2－33(b)所示)。

AB段

T1=-M1=-640N·m

BC段

T2=-M1+M2=(-640+840)N·m=200N·m圖2－33例2－11圖

(2)計算扭轉(zhuǎn)角。由于A、C兩截面間的扭矩T和極慣性矩IP不是常量，故應(yīng)分段計算出AB段和BC段的相對扭轉(zhuǎn)角進(jìn)行疊加。

故得

φAC=φAB+φBC=(-0.013+0.004)rad=-0.009rad

2.4.7圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算

與拉伸(壓縮)時的強(qiáng)度計算一樣，圓軸扭轉(zhuǎn)時必須使最大工作切應(yīng)力τmax不超過材料的許用切應(yīng)力［τ］，故等直圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則為

對于階梯軸，由于各段軸上截面的WP不同，最大切應(yīng)力不一定發(fā)生在最大扭矩所在的截面上，因此需綜合考慮WP和T兩個量來確定。(2－19)例2－12某汽車的傳動軸AB是由45號無縫鋼管制成的，軸的外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，傳遞的最大力偶矩M=1.5kN·m，材料的［τ］=60MPa。試：

(1)校核軸的強(qiáng)度。

(2)若改用相同材料的實心軸，并要求它和原軸強(qiáng)度相同，試設(shè)計其直徑。

(3)比較實心軸和空心軸的重量。

解(1)校核強(qiáng)度。傳動軸AB各截面的扭矩為

T=M=1.5kN·m抗扭截面系數(shù)為

最大切應(yīng)力為

所以，軸強(qiáng)度足夠。

(2)設(shè)計實心軸直徑D1。

由于實心軸和原傳動軸的扭矩相同，當(dāng)要求它們的強(qiáng)度相同時，實際上它們的抗扭截面模量相等即可，于是得

(3)重量比較。

設(shè)實心軸重量為G1，空心軸重量為G，由于兩軸材料、長度相同，那么重量比即為截面積之比：

計算結(jié)果表明，在等強(qiáng)度條件下，空心軸比實心軸節(jié)省材料。因此，空心圓截面是圓軸扭轉(zhuǎn)時的合理截面形狀。2.4.8圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計算

式(2－18)兩邊同除以軸長l，就得到單位軸長的相對扭轉(zhuǎn)角。對于等截面圓軸，其最大單位軸長的扭轉(zhuǎn)角必在扭矩最大的軸段上產(chǎn)生。

對于軸類構(gòu)件，除了要滿足強(qiáng)度要求外，還要求軸不要產(chǎn)生過大的變形，即要求軸的最大單位軸長的扭轉(zhuǎn)角不超過其許用扭轉(zhuǎn)角，從而得到圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度準(zhǔn)則為式中，θmax的單位是弧度/米(rad/m)，而工程上常用許用扭轉(zhuǎn)角的單位是度/米(°/m)。因此，將最大θmax的單位(rad/m)換算成［θ］的單位(°/m)，則剛度準(zhǔn)則即為

單位軸長的許用扭轉(zhuǎn)角［θ］的取值，可查閱有關(guān)設(shè)計手冊。

應(yīng)用圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度準(zhǔn)則，可以解決剛度計算的三類問題，即校核剛度、設(shè)計截面和確定許可載荷。(2－20)例2－13圖2－34(a)所示傳動軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪C輸入外力矩MC=955N·m，從動輪A、B、D的輸出外力矩分別為MA=159.2N·m，MB=318.3N·m，MD=477.5N·m，已知材料的切變模量G=80GPa，許用切應(yīng)力［τ］=40MPa，許用扭轉(zhuǎn)角［θ］=1°/m。試按軸的強(qiáng)度和剛度準(zhǔn)則設(shè)計軸的直徑。解(1)計算軸各段的扭矩，畫扭矩圖。

AB段T1=-MA=-159.2N·m

BC段T2=-MA-MB=(-159.2-318.3)N·m=-477.5N·m

CD段T3=-MA-MB+MC

=(-159.2-318.3+955)N·m=477.5N·m

所畫扭矩圖如圖2－34(b)所示。由圖可知最大扭矩發(fā)生在BC段和CD段，即

Tmax=477.5N·m圖2－34例2－13圖

(2)按強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計軸徑。

由式和得

(3)按剛度準(zhǔn)則設(shè)計軸徑。

由式和得為使軸既滿足強(qiáng)度準(zhǔn)則又滿足剛度準(zhǔn)則，可選取較大的值，即取d=44mm。

2.5直梁的彎曲

2.5.1平面彎曲的概念

1．工程實例與受力特點

彎曲變形是桿件比較常見的一種變形形式。例如，圖2－35(a)所示的火車輪軸，圖2－36(a)所示的橋式起重機(jī)大梁等，在外力作用下其軸線發(fā)生了彎曲。這種形式的變形稱為彎曲變形。工程中把以發(fā)生彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。一些桿件在載荷作用下不僅發(fā)生彎曲變形，還發(fā)生扭轉(zhuǎn)等變形，當(dāng)討論其彎曲變形時，仍然把這些桿件看做是梁。圖2－35火車輪軸圖2－36橋式起重機(jī)大梁工程實際中，我們常見到的直梁，其橫截面大多有一根縱向?qū)ΨQ軸，如圖2－37所示。梁的無數(shù)個橫截面的縱向?qū)ΨQ軸構(gòu)成了梁的縱向?qū)ΨQ平面(圖2－38所示)。

若梁上的所有外力(包括力偶)作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線將在其縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎成一條平面曲線。梁的這種彎曲稱為平面彎曲，它是最常見最基本的彎曲變形。本章主要討論直梁的平面彎曲變形。

從以上工程實例可以得出，直梁平面彎曲的受力與變形特點是：外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線彎成一條平面曲線。圖2－37梁常見的截面形狀圖2－38平面彎曲的特征

2．梁的力學(xué)模型

為了便于分析和計算直梁平面彎曲時的強(qiáng)度和剛度，對于梁需建立力學(xué)模型。梁的力學(xué)模型包括了梁的簡化、載荷的簡化和支座的簡化。

(1)梁的簡化。由前述平面彎曲的概念可知，載荷作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線將彎成一條平面曲線。因此，無論梁的外形尺寸如何復(fù)雜，用梁的軸線來代替梁可以使問題得到簡化。如圖2－35(a)和圖2－36(a)所示的火車輪軸和起重機(jī)大梁，分別用梁的軸線AB代替梁進(jìn)行簡化(圖2－35(b)和圖2－36(b))。

(2)載荷的簡化。作用于梁上的外力，包括載荷和支座的約束反力，可以簡化為以下三種力的模型。

①集中力。當(dāng)力的作用范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于梁的長度時，可簡化為作用于一點的集中力。例如火車車廂對輪軸的作用力及起重機(jī)吊重對大梁的作用等，都可簡化為集中力(如圖2－35和圖2－36所示)。

②集中力偶。若分布在很短一段梁上的力能夠形成力偶，則可以不考慮分布長度的影響，簡化為一集中力偶。如圖2－39(a)所示帶有圓柱斜齒輪的傳動軸，F(xiàn)a為齒輪嚙合力中的軸向分力，把Fa向軸線簡化后得到的力偶，可視為集中力偶。

(3)均布載荷。將載荷連續(xù)均勻分布在梁的全長或部分長度上，其分布長度與梁長比較不是一個很小的數(shù)值時，用q表示，q稱為均布載荷的載荷集度。如圖2－39(b)所示為薄板軋機(jī)的示意圖。為保證軋制薄板的厚度均勻，軋輥尺寸一般比較粗壯，其彎曲變形就很小，這樣就可以認(rèn)為在l0長度內(nèi)的軋制力是均勻分布的。若載荷分布連續(xù)但不均勻，則稱為分布載荷，用q(x)表示，q(x)稱為分布載荷的載荷集度。

(4)支座的簡化。按支座對梁的不同約束特性，靜定梁的約束支座可按靜力學(xué)中對約束簡化的力學(xué)模型，分別簡化為固定鉸支座、活動鉸支座、固定端支座。圖2－39載荷的簡化

3.靜定梁的基本力學(xué)模型

通過對梁、載荷和支座進(jìn)行簡化，我們就可以得到梁的力學(xué)模型。根據(jù)梁所受不同的支座約束，梁平面彎曲時的基本力學(xué)模型可分為以下三種形式。

(1)簡支梁：梁的兩端分別為固定鉸支座和活動鉸支座(如圖2－36(b)所示)。

(2)外伸梁：梁的兩支座分別為固定鉸支座和活動鉸支座，但梁的一端(或兩端)伸出支座以外(圖如2－35(b)所示)。

(3)懸臂梁：梁的一端為固定端約束，另一端為自由端。如圖2－40所示車刀刀架，刀架限制了車刀的隨意移動和轉(zhuǎn)動，可簡化為固定端，車刀簡化為懸臂梁。

以上梁的支座反力均可通過靜力學(xué)平衡方程求得，因此稱為靜定梁。若梁的支座反力的個數(shù)多于獨立平衡方程的個數(shù)，則支座反力就不能完全由靜力學(xué)平衡方程式來確定。這樣的梁稱為靜不定梁。圖2－40車刀2.5.2梁彎曲時橫截面上的內(nèi)力

當(dāng)作用在梁上全部的外力(包括載荷和支座反力)確定后，應(yīng)用截面法可求出任一橫截面上的內(nèi)力。

1. 用截面法求剪力和彎矩

圖2－41(a)所示的懸臂梁AB，在其自由端作用一集中力F，由靜力學(xué)平衡方程可求出其固定端的約束反力FB=F，約束力偶矩MB=Fl。

把距梁左端A為x處的橫截面，稱為梁的x截面，x是梁的截面坐標(biāo)。為了求出任意x截面的內(nèi)力，假想地用截面m—m將梁截分為兩段，取左段梁為研究對象，如圖2－41(c)所示。由于整個梁在外力作用下是處于平衡的，所以梁的各段也必處于平衡。要使左段梁處于平衡，那么橫截面上必定有一個作用線與外力F平行的力FQ，和一個在梁縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶矩M。由平衡方程式得

這個作用線平行于截面的內(nèi)力，稱為剪力，用符號FQ表示。F-FQ=0FQ=F

(a)

式中的矩心C是x截面的形心。這個作用平面垂直于橫截面的力偶矩稱為彎矩，用符號M表示。

同理，取x截面右段梁為研究對象(如圖2－41(d)所示)，列平衡方程式得M-Fx=0M=Fx

(b)(c)(d)圖2－41截面法求內(nèi)力

2.剪力FQ、彎矩Ｍ的正負(fù)規(guī)定

從圖2－41(c)和圖2－41(d)可以看出，應(yīng)用截面法求任意ｘ截面的剪力和彎矩，無論取x截面左段梁還是取x截面右段梁，求得x截面的剪力和彎矩的數(shù)值是相等的，方向是相反的，反映了力的作用與反作用關(guān)系。

為了使所取截面左段梁和所取截面右段梁求得的剪力與彎矩，不僅數(shù)值相等，而且符號一致，規(guī)定剪力和彎矩的正負(fù)如下(圖2－42所示)：

(1)剪力的正負(fù)規(guī)定：某梁段上左側(cè)截面向上或右側(cè)截面向下的剪力為正，反之為負(fù)。

(2)彎矩的正負(fù)規(guī)定：某梁段上左側(cè)截面順時針轉(zhuǎn)向或右側(cè)截面逆時針轉(zhuǎn)向的彎矩為正，反之為負(fù)。

圖2－42剪力和彎矩正、負(fù)規(guī)定

3.任意截面上剪力和彎矩的計算

由上述截面法求任意x截面的剪力和彎矩的表達(dá)式(a)與(c)、(b)與(d)可以看出：任意x截面的剪力，等于x截面左段梁或右段梁上外力的代數(shù)和；左段梁上向上的外力或右段梁上向下的外力產(chǎn)生正值剪力，反之產(chǎn)生負(fù)值剪力。簡述為：Q(x)=x截面左(或右)段梁上外力的代數(shù)和，左上右下為正。任意x截面的彎矩，等于x截面左段梁或右段梁上外力對x截面形心力矩的代數(shù)和；左段梁上順時針轉(zhuǎn)向或右段梁上逆時針轉(zhuǎn)向的外力矩產(chǎn)生正值彎矩，反之產(chǎn)生負(fù)值彎矩。簡述為：M(x)=x截面左(或右)段梁上外力矩的代數(shù)和，左順右逆為正。例2－14外伸梁DB受力如圖2－43所示，已知均布載荷集度為q，集中力偶ＭC=3qa2。圖中2—2與3—3截面稱為A點的臨近截面，即Δ→0；同樣，4—4與5—5截面為C點處的臨近截面。試求梁指定截面的剪力和彎矩。圖2－43例2－14圖解(1)求梁的支反力，取整個梁為研究對象，畫受力圖，列平衡方程，得-FA×4a-MC+q×2a×5a=0FB+FA-q×2a=0

(2)求各指定截面的剪力和彎矩。

1—1截面：由1—1截面左段梁上外力的代數(shù)和求得該截面的剪力為

FQ1=-qa

由1—1截面左段梁上外力對截面形心力矩的代數(shù)和求得該截面的彎矩為

由1—1截面右段梁上外力的代數(shù)和求得該截面的剪力為由1—1截面右段梁上外力對截面形心力矩的代數(shù)和求得該截面的彎矩為

由此可見，無論用1—1截面一側(cè)左段梁還是右段梁求該截面的剪力和彎矩，其數(shù)值相同，符號相同，但外力代數(shù)和與外力矩代數(shù)和繁簡不同。因此，在求指定截面的剪力和彎矩時，選擇該截面一側(cè)作用外力較少的梁段求剪力和彎矩較簡便。

2—2截面：取2—2截面左段梁計算，得

FQ2=-q(2a-Δ)=-2qa

M2=-q×2a(a-Δ)=-2qa2

式中的Δ是一個無窮小量，計算時當(dāng)作零來處理。

3—3截面：取3—3截面左段梁計算，得

4—4截面：取4—4截面右段梁計算，得

5—5截面：取5—5截面右段梁計算，得由以上計算結(jié)果可以得出：

(1)集中力作用處的兩側(cè)臨近截面的彎矩相同，剪力不同，說明剪力在集中力作用處產(chǎn)生了突變，突變的幅值就等于集中力的大小。

(2)集中力偶作用處的兩側(cè)臨近截面的剪力相同，彎矩不同，說明彎矩在集中力偶作用處產(chǎn)生了突變，突變的幅值就等于集中力偶矩的大小。

(3)由于集中力的作用截面和集中力偶的作用截面上剪力和彎矩有突變，因此，應(yīng)用截面法求任一指定截面的剪力和彎矩時，截面不能取在集中力和集中力偶所在的截面上。2.5.3剪力圖和彎矩圖

1．用剪力、彎矩方程畫剪力、彎矩圖

由上例可知，一般情況下，梁截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置的變化而連續(xù)變化的。若取梁軸線為x軸，以坐標(biāo)x表示橫截面的位置，則剪力和彎矩可表示為截面坐標(biāo)x的單值連續(xù)函數(shù)，即

FQ=FQ(x)

M=M(x)

此兩式分別稱為剪力方程和彎矩方程。為了能夠直觀地表明梁上各截面上剪力和彎矩的大小及正負(fù)，通常把剪力方程和彎矩方程用圖像表示，稱為剪力圖和彎矩圖。

剪力圖和彎矩圖的基本做法是：先求出梁的支反力，沿軸線取截面坐標(biāo)x；再建立剪力和彎矩方程；然后應(yīng)用函數(shù)作圖法畫出FQ(x)、M(x)的函數(shù)圖像，即為剪力圖和彎矩圖。

例2－15臺鉆手柄桿AB用螺紋固定在轉(zhuǎn)盤上(圖2－44(a)所示)，其長度為l，自由端作用F力，試建立手柄桿AB的剪力、彎矩方程，并畫其剪力、彎矩圖。圖2－44例2－15圖解(1)建立手柄桿AB的力學(xué)模型，為如圖2－44(b)所示的懸臂梁，列平衡方程，求出支反力FA=F，MA=Fl。

(2)列剪力、彎矩方程。

以梁的左端A點為坐標(biāo)原點，選取任意x截面(圖2－44(b)所示)，用x截面左段梁上的外力求x截面的剪力、彎矩，即得到手柄桿AB的剪力、彎矩方程為

FQ(x)=FA=F

(0<x<l)

Ｍ(x)=FAx-MA=-F(l-x)

(0<x≤l)

(3)畫剪力、彎矩圖。

由剪力方程FQ(x)=F可知，梁各橫截面的剪力均等于F，且為正值。剪力圖為平行于x軸的水平線(圖2－44(c)所示)。由彎矩方程Ｍ(x)=-F(l-x)可知，截面彎矩是截面坐標(biāo)x的一次函數(shù)(直線)，確定直線兩點的坐標(biāo)，即A端截面的彎矩Ｍ(0)=-Fl，B端截面的彎矩Ｍ(l)=0，