甘肅省張掖市某重點(diǎn)校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中檢測(cè)理試題含解析

2024—2024學(xué)年度高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中檢測(cè)試卷理科本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．共4頁(yè)，總分150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式得集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】，所以．故選：C．2.在中，，則（）A. B.25 C. D.16【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量的數(shù)量積及其幾何意義，即可得解．【詳解】解：．故選：C．3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)，以及的單調(diào)性即可推斷的范圍，進(jìn)而可以比較大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即；函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即；函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即；因此，故選：C.4.已知，則（）A. B. C.-3 D.3【答案】B【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式以及同角的商數(shù)關(guān)系求出，進(jìn)而利用兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，明顯，所以，即，而，故選：B.5.若實(shí)數(shù)數(shù)列1，b，81成等比數(shù)列，則圓錐曲線x2＋＝1的離心率是（）A.或 B.或 C. D.或10【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列求出，分別求出橢圓和雙曲線對(duì)應(yīng)的離心率即可.【詳解】因?yàn)?，b，81成等比數(shù)列，所以，解得：.當(dāng)b=9時(shí)，橢圓的離心率；當(dāng)時(shí)，雙曲線離心率.故選：A6.已知的三內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，滿意下列條件的有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】只有已知兩邊及一邊的對(duì)角時(shí)才可能有兩解，還需通過(guò)正弦定理、三角形的性質(zhì)推斷．【詳解】A是已知兩邊及夾角，只有一解，B是已知兩邊及一邊的對(duì)角，由正弦定理得，由于，因此，可能為銳角也可能為鈍角，所以或，兩解．C中已知兩邊及一邊的對(duì)角，同理由正弦定理得，無(wú)解．D已知三邊，依據(jù)的取值要么無(wú)解，要么只有一解，不行能有兩解．故選：B．7.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理可以得到判定A錯(cuò)誤的例子；利用面面垂直的性質(zhì)定理可舉出B錯(cuò)誤的例子；利用線面平行的判定定理可以舉出C錯(cuò)誤的例子；利用線面垂直的性質(zhì)定理可知D正確.【詳解】若，，則n可能在α內(nèi)，只要過(guò)m作平面β與α相交，交線即可作為直線n,故A錯(cuò)誤；若，，則m可能在α內(nèi)，只要m在α內(nèi)垂直于兩平面α，β的交線即有m⊥β，故B錯(cuò)誤；若，，則α，β可能相交，只要m不在α，β內(nèi)，且平行于α，β的交線即可，故C錯(cuò)誤；若，，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，故D正確；故選：D.8.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在上是增函數(shù)，若，則不等式的解集為（）A.{x|x>2} B. C.{或x>2} D.{或x>2}【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式等價(jià)為，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】依題意，不等式，又在上是增函數(shù)，所以，即或，解得或.故選：C.9.水車在古代是進(jìn)行澆灌引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的獨(dú)創(chuàng)，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，以水車的中心為原點(diǎn)，過(guò)水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，一個(gè)水斗從點(diǎn)動(dòng)身，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿意，當(dāng)時(shí)，（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算，可得的值，將當(dāng)時(shí)，代入結(jié)合可得的值，即可得的解析式，由可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意得：，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，可得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，即點(diǎn)，所以，故選：A.10.如圖，在四邊形中，，，，現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使得平面平面，此時(shí)點(diǎn)，，，在同一個(gè)球面上，則該球的體積是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩平面的形態(tài)找尋外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半徑，從而可得出球的體積【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以棱錐外接球的球心在直線上，因?yàn)?，，，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以外接球的半徑為，外接球的體積為，故選：A11.拋物線的準(zhǔn)線方程為，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.7 B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)拋物線定義，要使最小等價(jià)于最小，即三點(diǎn)共線，再由圓上點(diǎn)到定直線距離最小，可知只需圓心到距離減去半徑為最小，即可求最小值.【詳解】由題意可知：拋物線方程為，曲線：，圖象如下：過(guò)作準(zhǔn)線于，則由拋物線定義知：，∴，則要使最小，只需三點(diǎn)共線且最小即可.∴只要到直線距離最短，即到距離減去半徑，故最小值為7.故選：A12.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)在集合中，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【詳解】，且數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，，數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)在集合中，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，等比數(shù)列中肯定有正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)相鄰，則，所以等比數(shù)列各項(xiàng)的肯定值遞增或遞減.按肯定值的依次排列上述數(shù)值得，相鄰兩項(xiàng)相除，則可得是數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)，或（舍去）故選:A.第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.半正多面體亦稱為“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，如圖所示．這是一個(gè)將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”花崗巖石凳，已知此石凳的棱長(zhǎng)為，則此石凳的體積是________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，該石凳是由棱長(zhǎng)為cm的正方體沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的，故由正方體的體積減去個(gè)三棱錐的體積，即可求解.【詳解】解：由圖可知：該石凳是由棱長(zhǎng)為cm的正方體沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的，該石凳的體積為：.故答案為：.14.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則滿意的最小正整數(shù)n的值為______．【答案】23【解析】【分析】先求得，，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得滿意的最小正整數(shù)n的值【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以?shù)列的公差，，所以，又等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為二次函數(shù)開口向上，過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)故要使，則．故答案為：2315.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，連接，，分別交雙曲線的漸近線于點(diǎn)E，F(xiàn).若四邊形OFBE為平行四邊形，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，由題可得，則，因?yàn)樗倪呅蜲FBE為平行四邊形，所以，，因?yàn)闈u近線OF的方程為，所以，所以離心率.故答案為：.16.已知是定義在R上的奇函數(shù)，滿意，有下列說(shuō)法：①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③在區(qū)間上至少有5個(gè)零點(diǎn)；④若上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中全部正確說(shuō)法的序號(hào)為_______．【答案】②③④【解析】【分析】求得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推斷①②；求得在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)推斷③；求得在區(qū)間上的單調(diào)性推斷④【詳解】因?yàn)?，所以，故函?shù)是周期為3的周期函數(shù)，又是定義在R上的奇函數(shù)，則，所以，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①錯(cuò)誤，②正確；由題意可知，，因?yàn)?，令，可得，即，所以，從而，故函?shù)在區(qū)間上至少有5個(gè)零點(diǎn)，故③正確；因?yàn)?，，且函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞增，故④正確．故答案為：②③④三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及最小值；（2）若，求的值．【答案】（1）最小正周期；最小值；（2）．【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)得，從而可求得其最小正周期；（2）由可得，而，再利用余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)可得答案【詳解】解（1）∴函數(shù)的最小正周期，當(dāng)即，時(shí)，函數(shù)的最小值是．（2）由（1）知，∴，所以．18.設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線l：x-y-1=0交C于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)等于8.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求出的值，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出，進(jìn)而依據(jù)代入數(shù)值即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，令，則，所以，即，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)等于8，即，則，所以，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）聯(lián)立，消去得，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理，則，.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常效．（1）證明：；（2）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)依據(jù)由，得，兩式相減后可得,進(jìn)一步分析可得結(jié)論；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,依據(jù)題意有d=a3-a2=a2-a1,從而解出λ與d的值;再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an，利用錯(cuò)位相減法求得，可分析證明<1.【詳解】（1）由，得，兩式相減得：，由于，所以，所以，即證.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由；a1=1,得，又,得.由d=a3-a2=a2-a1,得，解得；所以，解得d=2，所以.令，則，所以①×得：兩式相減，得：，所以20.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．（1）求證：EF⊥平面BCF；（2）點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大？并求此時(shí)銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）M與F重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，余弦值為【解析】【分析】（1）在梯形ABCD中，由分析知，AC⊥BC，因?yàn)镃F⊥平面ABCD，所以AC⊥CF，進(jìn)一步得AC⊥平面BCF，又因?yàn)锳C∥EF，因此EF⊥平面BCF.（2）因?yàn)镃F⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面FCB的法向量，然后結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法求解平面和平面FCB所成的銳二面角的最大值.【小問(wèn)1詳解】證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD為等腰梯形，因?yàn)椋瑒t，所以又因?yàn)?，則，∴AC⊥BC，因?yàn)镃F⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF∵，∴AC⊥平面BCF，因?yàn)樗倪呅蜛CFE為矩形，則AC∥EF，因此，EF⊥平面BCF【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镃F⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在Rt△ABC中，，．則A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，設(shè)點(diǎn)M(t，0，1)，其中設(shè)平面MAB的法向量為，由，取，可得，．易知平面FCB的一個(gè)法向量為，所以，當(dāng)，即M與F重合時(shí)，取最小值，此時(shí)平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，此時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值為21.已知函數(shù)，．（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求證在上恒成立．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，用分別參數(shù)法再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．（2）求出在時(shí)的最大值，由最大值小于1證得結(jié)論成立，留意令，由單調(diào)性得有唯一零點(diǎn)，然后得出是最大值，再由的性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1）因?yàn)?，，?duì)，恒成立，所以，設(shè)故，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以；（2）由題意知，要證上，，令，則，明顯在上單調(diào)減，，所以，所以，，單調(diào)增，，，單調(diào)減，所以，得證．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式成立，已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的不等式恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值得參數(shù)范圍，證明不等式也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，由最值滿意不等關(guān)系得出結(jié)論．22.已知橢圓C：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)F2，作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（A，B不為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)A，B分別作直線x=4垂線，垂足依次為E，F(xiàn)，且直線AF，BE相交于點(diǎn)G．①證明：G為定點(diǎn)；②求△ABG面積的最大值．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②．【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而得答案；（2）①當(dāng)直線斜率