浙江詩誠聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

Page20浙江省精誠聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知點A（1，-1），B（1，2），則直線AB的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩點的橫坐標相等，得出傾斜角.【詳解】由題意可知，兩點橫坐標相等，則直線AB的傾斜角為.故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第（）象限.A.一 B.二 C.三 D.四【答案】A【解析】【分析】化簡后依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知.【詳解】，故選：A.3.已知集合，集合，則“”是“”成立的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合運算結(jié)合，結(jié)合充分不必要條件概念求解即可.【詳解】解：因為，集合，所以當時，，故成立，反之，當時，不肯定成立，例如，所以“”是“”成立充分不必要條件故選：B4.如圖是一個機器人手臂的示意圖.該手臂分為三段，分別可用向量代表.若用向量代表整條手臂，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意得，進而依次探討即可得答案.【詳解】解：依據(jù)題意得，所以，所以由于各向量間的夾角未知，故，均不肯定成立，故C選項正確，A，B，D選項錯誤；所以C5.若實數(shù)x，y滿意條件，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由表示原點到平面區(qū)域中點的距離，結(jié)合圖象得出最值.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，表示原點到平面區(qū)域中點的距離，因為，所以的最小值就是原點到直線的距離，即，故的最小值為.故選：D6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.π B.π C.π D.π【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三視圖還原幾何體的結(jié)構(gòu)，由此計算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由半個圓柱，挖掉半個圓錐所得，如圖，所以幾何體的體積為.故選：C.7.依據(jù)2024年某地統(tǒng)計資料，該地車主購買甲種保險的概率為0.4，購買乙種保險的概率為0.3，由于兩種保險作用類似，因而沒有人同時購買，設(shè)各車主購買保險相互獨立，則估計該地100位車主中甲?乙兩種保險都不購買的車主平均有（）人A.40 B.30 C.20 D.10【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得該地車主中，甲?乙兩種保險都不購買概率為，進而依據(jù)概率估計求解即可.【詳解】解：依據(jù)題意得，該地車主中，甲?乙兩種保險都不購買的概率為，所以該地100位車主中甲?乙兩種保險都不購買的車主平均有人.故選：B8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用解除法，先推斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性即可【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，所以解除A，當時，由，得，令，則，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，所以在上為增函數(shù)，所以解除BD，故選：C9.已知數(shù)列滿意，對隨意中存在一項是另外兩項之和，且，記數(shù)列的則前項和為，則的最小值為（）A.1361 B.1481 C.1681 D.2024【答案】A【解析】【分析】由題意可知，要使得有最小值，則要盡可能的小，依據(jù)題意，利用列舉法可知數(shù)列從第九項起，是以3為周期的數(shù)列，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為對隨意中存在一項是另外兩項之和，所以，或，或又，所以，要使得有最小值，則要盡可能的??；則依據(jù)對隨意中存在一項是另外兩項之和，且要盡可能的小，利用列舉法可知數(shù)列為：，可知數(shù)列從第九項起，是以3為周期的數(shù)列，又，所以的最小值為.故選：A.10.已知函數(shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，若，，成等比數(shù)列，則平面上點（s，t）的軌跡是（）A.線段（不包含端點） B.橢圓一部分C.雙曲線一部分 D.線段（不包含端點）和雙曲線一部分【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程進行求解推斷即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以有，且有成立，即成立，由，化簡得：，或，當時，即，因為，所以平面上點（s，t）的軌跡是線段（不包含端點）；當時，即，因為，所以，而，所以不成立，故選：A二?填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）11.1911年5月，歐內(nèi)斯特·盧瑟福在《哲學(xué)》雜志上發(fā)表論文在這篇文章中，他描述了用粒子轟擊0.00004cm厚的金箔時拍攝到的運動狀況.在進行這個試驗之前，盧瑟福希望粒子能夠通過金箔，就像子彈穿過雪一樣，事實上，有微小一部分粒子從金箔上反彈.如圖顯示了盧瑟福試驗中偏轉(zhuǎn)的粒子遵循雙曲線一支的路徑.則該雙曲線的離心率為___________，假如粒子的路徑經(jīng)過（10，5），則該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由漸近線傾斜角求出，再由可得離心率；待定系數(shù)法可得a.【詳解】由圖知，雙曲線的漸近線的傾斜角為，所以，所以；由上知雙曲線為等軸雙曲線，故設(shè)雙曲線方程為，則，得.故答案為：；.12.已知圓，則圓與圓的位置關(guān)系是___________；若點P在直線l：上運動，點Q在圓與圓的圓周上運動，則|PQ|的最小值為___________.【答案】①.外切；②.【解析】【分析】依據(jù)題意得，進而得兩圓的位置關(guān)系；再結(jié)合直線與直線平行，得的最小值為兩圓中，隨意一個圓的圓心到直線與半徑的差，進而求解得答案.【詳解】解：依據(jù)題意，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，即圓與圓的位置關(guān)系為外切.因為，，所以直線與直線平行，由于所以的最小值為兩圓中，隨意一個圓的圓心到直線與半徑的差.因為圓的圓心為到直線的距離為所以的最小值為故答案為：外切；13.已知二項式的綻開式中，第4項的系數(shù)為-32，則n=___________，常數(shù)項為___________.【答案】①.4；

②.24.【解析】【分析】依據(jù)二項式綻開式的通項公式寫出第4項，即可求出n，進而可求出常數(shù)項.【詳解】由二項式綻開式通項公式，得二項式的通項公式為，所以，則，得，即，所以的常數(shù)項為.故答案為：4；2414.在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，且；則角B=___________；a的取值范圍為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由題意可得，進而可得，利用正弦定理化簡可得，即可求出角B；依據(jù)誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合角C的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由，所以，由正弦定理，得，有，又，故；，因為，所以，則，所以，即.故答案為：；15.空間四邊形ABCD中，，AD與BC成角，則異面直線AB與CD所成角的大小為___________.【答案】【解析】【分析】由空間向量的運算得出，進而由余弦定理得出，最終由向量法得出異面直線AB與CD所成角的大小.【詳解】，不妨設(shè)，則設(shè)異面直線AB與CD所成角為，則，.故答案為：16.為慶祝建黨100周年，某高校選派3位男同學(xué)?3位女同學(xué)參與“建黨100周年黨史宣講”系列報告會，在支配節(jié)目依次的時候，要求男同學(xué)先講，3位女同學(xué)不能連著講，則不同的支配依次共有___________種.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，分3位女同學(xué)全部不連著講和3位女同學(xué)有2位連著講兩種狀況探討求解即可.【詳解】解：因為3位女同學(xué)不能連著講，故3位女同學(xué)的支配狀況分為兩種，第一種為3位女同學(xué)全部不連著講，由于男同學(xué)先講，故有種狀況；其次種為3位女同學(xué)有2位連著講，由于男同學(xué)先講，則先從3位男同學(xué)中選一個作為第一個宣講著，再從3位女同學(xué)中選2位同學(xué)連著講，之后再支配剩下的2位男同學(xué)，最終將2位連著講的女同學(xué)和另一位女同學(xué)插空支配到三個空位上即可，即為種，綜上，共有種不同的支配依次.故答案：17.如圖，已知菱形，，沿直線將翻折成，分別為的中點，與平面所成角的正弦值為，為線段上一點（含端點），則與平面所成角的正弦值的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，進而得，再依據(jù)底面為等邊三角形，平分，進而得，點為的中心，故三棱錐是棱長為的正四面體，再建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】解：設(shè)頂點在平面內(nèi)的射影為點，因為與平面所成角的正弦值為，，所以，因為，所以，又因為，所以，如圖1，在平面中，為等邊三角形，≌，所以平分，即，所以在中，，解得，（舍），所以點為的中心，故三棱錐是棱長為的正四面體，故如圖2，以中點為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標則，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，因為，設(shè)與平面所成角為，所以，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，與平面所成角的正弦值最大，最大值為故答案為：三?解答題（本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，若函數(shù)在區(qū)間[0，]上恰好有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由協(xié)助角公式化簡解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令，由函數(shù)與只有兩個交點，結(jié)合圖象得出a的取值范圍.【小問1詳解】由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】，，令函數(shù)在區(qū)間[0，]上恰好有兩個零點函數(shù)與只有兩個交點由圖象可知，19.如圖，四邊形ABCD中，,，，沿對角線AC將△ACD翻折成△，使得.（1）證明：；（2）若為等邊三角形，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明過程見解析；（2）【解析】【分析】（1）作出協(xié)助線，證明線面垂直，進而證明出，由三線合一得出結(jié)論；（2）作協(xié)助線，找到為二面角的平面角，再運用勾股定理及余弦定理求出邊長，最終用余弦定理求出二面角的余弦值.【小問1詳解】取中點F，連接EF，BF，因為，所以EF是的中位線，故∥，因為，所以，又因為，，所以平面BEF，因為平面BEF，所以，由三線合一得：【小問2詳解】因為為等邊三角性，所以，由第一問可知：，從而，由三線合一得：，取AB的中點H，過點H作HG⊥AB交AC于點G，連接，從而，故為二面角的平面角，由勾股定理得：，從而，，由可得：，由勾股定理得：，因為，在中，由余弦定理得：，故，又，在中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值為.20.已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列{}的前n項和為，且.（1）求數(shù)列和數(shù)列{}的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，依據(jù)題意和等差、等比數(shù)列的通項公式列出方程組，解之即可得出d和q，進而得出結(jié)果；(2)由(1)可得，利用數(shù)列的裂項相消法求得數(shù)列的前n項和，即可證明.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由，解得，所以；【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以，即，.21.已知拋物線.焦點為F，過的直線l與拋物線C交于A?B兩點，AB中點為M.（1）若，求直線l的方程；（2）過A?B分別作拋物線C的切線，交點記為H.（i）求點H的軌跡方程；（ii）直線FH與直線l交于點Q，以MF為直徑的圓與直線l的另一個交點為N，推斷是否為定值.若是，求出定值并賜予證明，若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）（i）（或）；（ii）是定值，，理由見解析.【解析】【分析】(1)依據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，進而與拋物線聯(lián)立方程得結(jié)合弦長公式與韋達定理得，，，再依據(jù)得，進而得答案；（2）（i）依據(jù)題意，過點的切線的方程為過點的切線的方程為，進而聯(lián)立方程求解即可得點的軌跡方程為（或）；（ii）結(jié)合（i）知，故，再依據(jù)得點到直線的距離等于，故，進而得【小問1詳解】解：因為拋物線的方程為，所以，設(shè)過點的直線的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，則，，所以，所以，因為為的中點，所以，故因為，所以，整理得，所以，故直線的方程為【小問2詳解】解：（i）設(shè)交點，過點的切線斜率為，所以切線方程為，整理得，即，同理，過點的切線的方程為，聯(lián)立方程，消去得，因為，所以，當且僅當時等號成立，此時，直線的方程為，斜率為，另一方面，由于直線于拋物線有兩個交點，故，所以當時，直線與拋物線相切，不滿意題意.所以，所以點的軌跡方程為（或）.（ii）直線與直線的交點為，則聯(lián)立方程得，所以，由于，則直線的方程為所以點到直線的距離等于，即，所以.22.已知函數(shù).（1）若在單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若不等式在上恒成立，推斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，并說明理由.【答案】（1）（2）1個，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得在區(qū)間恒成立，進而依據(jù)獨立參數(shù)法求解即可；（2）令，進而得是函數(shù)的極值點，故，，易知是函數(shù)的一個零點，進而分和兩種狀況探討函數(shù)的零點求解即可.【小問1詳解】解：因為，所以，因為在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間恒成立，當時