廣東省揭陽市2023-2024學年高三上學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試卷

廣東省揭陽市2023-2024學年高三上學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合M={x|1<x2<9}A．{x|?3<x<?1} C．{x|?3<x<3} D．{x2．在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標為(1，?1)，則A．?1?3i B．1?i C．1?3i D．?1+i3．設a=lg4，b=loA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a4．從2019年初，某生產(chǎn)新能源汽車零件的企業(yè)不斷引進技術，此后每年的零件銷售額均比上一年增加15%，已知該企業(yè)從2019年到2023年底的零件總銷售額為202萬元，則該企業(yè)2019年的銷售額約為（參考數(shù)據(jù)：1.15A．30萬元 B．35.2萬元 C．40.4萬元 D．42.3萬元5．已知角α的終邊經(jīng)過點(?3，23A．533 B．?533 6．數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)了九點圓，即在任意的三角形中，三邊的中點、三條高的垂足、三條高的交點（垂心）與三角形頂點連線的中點，這九個點共圓，因此九點圓也稱作歐拉圓．已知在△ABC中，A(?2，0)，B(4，4)，A．1103 B．1303 C．11027．已知兩圓錐的底面積分別為π4，4π，其側(cè)面展開圖中圓心角之和為2πA．72 B．92 C．48．函數(shù)f(A．－2 B．－1 C．1 D．2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第x(x=1，x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強的線性相關關系，其經(jīng)驗回歸方程為y=20x+10A．樣本相關系數(shù)在(0，B．當x=2時，殘差為－2C．點(3，D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預測值為13010．已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f'(x)的定義域均為R，若A．f(2)=0 B．f(2?x)+f(x?2)=0C．f(x+2)為奇函數(shù) D．f'11．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，A．f(B．f(x)的圖象關于直線x=5πC．f(x)在區(qū)間[π，D．將f(x)的圖象向右平移4π912．已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F(12，0)，經(jīng)過點M(2，1)的直線l與C交于A，B兩點，且拋物線C在A，B兩點處的切線交于點P，A．點P在直線x?y+1=0上 B．E是PD的中點C．|FA|?|FB|=|FP|2 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量a=(?7，6)，b=(514．在二項式(x+a2x)6的展開式中，若常數(shù)項恰是所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和的5倍，則實數(shù)15．若雙曲線的同一支上存在兩點A，B，使得△OAB（O為原點）為等邊三角形，則稱雙曲線為“優(yōu)美雙曲線”，已知雙曲線C是“優(yōu)美雙曲線”，則C的離心率的取值范圍是．16．如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1⊥BD1，且二面角B四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an?（1）求數(shù)列{a（2）設數(shù)列{1an?1}的前n18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PAC為等邊三角形，BC=2AB=2，∠ABC=60°，AB⊥PC，點E滿足PC=3（1）證明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直線DE與平面PAB所成角的正弦值．19．為增強學生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學參加限時投籃活動，記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成[6，10)，[10，14)，[14，（1）估計全班同學的平均進球個數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在[10，14)，[14，（?。┯涍@3人中進球個數(shù)在[14，18)的人數(shù)為X，求（ⅱ）已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率．20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知2Sb（1）求tanA（2）若sinB=53sinC，D為BC21．已知橢圓C：x2（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C的左、右頂點分別為A，B，直線l經(jīng)過點(1，0)，且與橢圓C交于M，N兩點（均異于A，B兩點），直線AM，BN的傾斜角分別記為α，β，試問α?β是否存在最大值？若存在，求當α?β取最大值時，直線22．已知函數(shù)f(x)（1）當k=1e時，證明：（2）若對任意x∈(0，+∞)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】M={x|1<x2<9}={x|-3<x<-1或1<x<3}2．【答案】A【解析】【解答】根據(jù)題意，復數(shù)z=1-i，則zi?2i=1-ii-2i=3．【答案】C【解析】【解答】a=lg4∈0,1，b=log30.9<04．【答案】A【解析】【解答】設{an}是公比q=1.15的等比數(shù)列，根據(jù)題意，S5=a11-1.155．【答案】A【解析】【解答】根據(jù)角終邊經(jīng)過點(?3，23)，所以tanα=-236．【答案】D【解析】【解答】因為A(-2，0)，B(4，4)，C(2，2)，所以AB的中點坐標為D(1，2)，AC的中點坐標為E(0，1)，BC的中點坐標為F(3，3)，所以△ABC的九點圓是△DEF的外接圓，因為|DE|=2，DF=3-12+3-22=5，EF=32+3-12=7．【答案】B【解析】【解答】設A圓錐(底面積較小)的底面半徑為r1，母線長為l1，B圓錐(底面積較大)的底面半徑為r2，母線長為l2，

依題意πr12=π4，r1=12，πr8．【答案】D【解析】【解答】由f(x)=0得，lnx?2x=1-x，令gx=lnx?2x，y=1-x，因為y=ln1-2xgx+g2-x=lnx?2x+ln-x2-x=ln1=0，所以函數(shù)9．【答案】A,D【解析】【解答】A、由題意可知x，y具有較強的正相關關系，故樣本相關系數(shù)在(0，1]內(nèi)，A正確；

B、根據(jù)題意得x=1+2+3+4+55=3，y=21+10a+15a+90+1095=44+5a，故44+5a=20×3+10，解得a=5.2，故當x=2時，y^=20×2+10=50，殘差為10a-50=2，B錯誤；

C、點(3，15a)即點(3，78)，當x=3時，10．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、令g(x)=f(2-x)，由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得g(0)=f(2)=0，A正確；

B、因為g（-x）=-g（x），所以f(2+x)=-f(2-x)，即f(2+x)+f(2-x)=0，B錯誤；

C、由f(2+x)+f(2-x)=0可得f(4-x)+f(x)=0，即f(4-x)=-f(x)，所以f(-x)=-f(x)，即f(x+2)為奇函數(shù)，C正確；

D、因為f(x+2)=-f(2-x)，所以f'(x+2)=-f'(2-x)·(2-x)'=f'(2-x)，即f'(x+2)為偶函數(shù)，D正確；

故答案為：ACD．

【分析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)判斷選項A，B，C，結(jié)合復合函數(shù)的求導公式判斷選項D.11．【答案】B,C【解析】【解答】由圖象得，A=1，則f(x)=sin(ωx+φ)，由f(0)=sinφ=32，因為0<φ<π，

所以φ=π3或φ=2π3，又函數(shù)f(x)圖象過點(π9，0)，由五點畫圖法知：ω×π9+φ=π，

若φ=π3，所以ω×π9+π3=π，解得：ω=6；若φ=2π3，所以ω×π9+2π3=π，解得：ω=3；

由圖可知，14T>π9，則14·【解析】【解答】A、因為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F(12，0)，所以P2=12，解得p=1，

故拋物線C的方程為y2=2x，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1-x2y1-y2=m，

則直線AB的方程為x-2=m(y-1)，聯(lián)立x-2=my-1y2=2x，得y2-2my+2m-4=0，

所以y1+y2=2my1y2=2m-4，且?=4m2-42m-4=4m-12+3>0，

因此x1+x2=m(y1+y2-2)+4=2m2-2m+4，故點D的坐標為(m2-m+2，m)，

設切線PA的方程為x-x1=a(y-y1)，聯(lián)立x-x1=ay-y1y2=2x，可得y2-2ay+2ay1-2x1=0，

由Δ=4a2-4(2ay1-2x1)=0，可得a2-2ay1+2x1=0，因為y12=2x13．【答案】13【解析】【解答】根據(jù)題意，a→+b→=-2,3，|a→+14．【答案】4【解析】【解答】二項展開式中二項式系數(shù)和為26，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和應為所有項二項式系數(shù)和的一半，

即25，(x+a2x)6展開式通項為Tr+1=C6rx6-ra2xr=15．【答案】(【解析】【解答】設雙曲線的焦點在x軸上，原題轉(zhuǎn)化為C的同一支上存在A、B兩點，使∠AOB=60°，

而漸近線方程為y=±bax，可得ba>tan30°=33，即為b>33a，b2>13a2，16．【答案】8?【解析】【解答】連接A1C1，交B1D1于E，設F是BD1的中點，連接EF，C1F，

∵A1B=BC1，E是A1C1的中點，∴A1C1⊥BE，∵A1C1⊥B1D1，BE∩B1D1=E，∴A1C1⊥平面BB1D1，

∵BD1，EF?平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，A1C1⊥EF，∵E，F(xiàn)分別是B1D1，BD1的中點，

∴EF//BB1，∵BB1⊥BD1，∴EF⊥BD1，∵A1C1∩EF=E，∴BD1⊥平面EFC1，∵C1F?平面EFC1，

∴BD1⊥平面EFC1，∵C1F?平面EFC1，∴BD1⊥C1F，∴∠EFC1是二面角B1-BD1-C1的平面角，∴tan∠EFC1=C1EEF=22EF=2，EF=2，∴BB1=4，∵B1D1=42，

∴BD1=422-42=4=BB1，∴△BB1D1是等腰三角形，∴BE⊥B1D1，∵A1C1∩B1D1=E，∴BE⊥平面A1B1C1D1，且BE=12B1D1=22，∵D1Q=22，

∴點Q軌跡是以D1為球心，半徑為22的球面在四棱柱ABCD-A1B1C1D1內(nèi)的部分，

17．【答案】（1）解：設等差數(shù)列{a因為a2=9，所以an?n（2）證明：因為1a所以S=【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設等差數(shù)列{an?n218．【答案】（1）證明：在△ABC中，由余弦定理得AC所以AB2+A又AB⊥PC，AC?平面PAC，PC?平面PAC，AC∩PC=C，

所以AB⊥平面PAC．又AB?平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：解：過點A在平面PAC內(nèi)作垂直于AC的直線AZ，由（1）可得AZ⊥平面ABCD，以點A為原點，AB，AC，AZ所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B所以AB=(1，0PC=(0，32，?3設平面PAB的一個法向量為m=(x，y，取y=?3，則x=0，z=1，所以m設直線DE與平面PAB所成角為θ，則sinθ=故直線DE與平面PAB所成角的正弦值為217【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理證明即可；

(2)以點A為原點，AB，AC，AZ所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線DE的方向向量與平面PAB的法向量，由線面角公式求解即可.19．【答案】（1）解：該班同學的平均進球個數(shù)x=8×0（2）解：由題意可知進球個數(shù)在[10，14)，[14，18)，[22，26]內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，頻率比為0.所以抽取的8人中，進球個數(shù)在[10，14)，[14，18)，[22，26]內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．（?。┯深}意可知，x=0，1，2，3，所以P(X=0)P(X=2)所以X的分布列為X0123P1331所以E(（ⅱ）記事件A=“抽取的3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間”，事件B=“抽取的這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間”，則P(A)=C即這3個人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率為4【解析】【分析】(1)每一組的中點值乘以對應的頻率即可得到平均值；

(2)由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學期望，即可得到(i)的答案；又利用條件概率即可得到(ii)的答案.20．【答案】（1）解：由題意得Sb2=sinA所以Sb2=由正弦定理得Sb2=所以12bcsinA=bc（2）解：由已知及正弦定理得b=5由（1）得sinA=2cosA，所以si又D為BC的中點，所以AD=所以∣AD∣=12(所以c2+2×53c在△ABC中，由余弦定理得a2=【解析】【分析】(1)由正弦定理、三角恒等變換知識，三角形的面積公式化簡即可求得；

(2)由正弦定理結(jié)合條件計算可得cosA的值，再由平面向量的線性運算和數(shù)量積運算計算可得b的值，再由余弦定理計算即可求得a的值.21．【答案