廣東省深圳市南山區(qū)2023-2024學年高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題

廣東省深圳市南山區(qū)2023-2024學年高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合A={0，1，A．{0，4} C．{1，2，2．已知z?i=1+2i（i為虛數(shù)單位），則z?zA．2 B．5 C．4 D．53．若函數(shù)f(x)=ln(x2+2mx)在區(qū)間(1A．[?12，+∞) B．(?124．已知a，b為單位向量，且|a+2bA．π6 B．π3 C．2π35．龍洗作為我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故得其名.龍洗的盆體可近似看作一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高10cm，盆口直徑20cm，盆底直徑10cmA．916cm3 B．1833cm3 C．6．已知直線kx?y+k+2=0與圓x2+y2=9A．2 B．23 C．4 7．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在區(qū)間(0，2)A．(π4，π2] B．(8．已知實數(shù)m，n滿足(m+1A．-1 B．1 C．-2 D．2二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列命題中，為真命題的有（）A．?x>0，x+1C．?x>0，x1+10．已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為x1，xA．甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B．甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C．甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D．甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差11．已知直線經(jīng)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F(32，0)，且與CA．p=32 B．|AF|=6 C．|BD|=3|BF| D．F為12．已知數(shù)列{an}的首項不為零，前n項和為SA．{aB．t≤1C．當t=1時，{aD．若{an}三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若雙曲線x23?k+y2k?1=114．已知sin（α+π4）=23，則sin2α=15．著名數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如60=2×2×3×5.已知315=a1×a2×?×an，且a1，a2，a316．已知菱形ABCD的邊長為2，且∠BAD=60°，將△ABD沿直線BD翻折為△A'BD，記A'C的中點為M四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為（1）求sinB的值；（2）若b=4，且B>π2，求18．已知數(shù)列{an}的前n（1）求{a（2）設bn=2n?1，求數(shù)列{anb19．如圖，在三棱臺ABC?A1B1C1中，平面A1（1）證明：A1（2）求直線A1C120．已知定義在(0，+∞)上的函數(shù)（1）若f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當m=0時，證明：f(x)>x21．已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規(guī)則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進行下一輪試驗.（1）若規(guī)定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行的試驗輪數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）若規(guī)定試驗者乙至多可進行n(n∈N*)輪試驗（若第n輪不成功，也停止試驗），記乙在第k(k∈N*，k≤n)22．已知動點E到直線x=4的距離與它到定點(2，0)的距離之比為2，記點E的軌跡為曲線（1）求C的方程；（2）記C與y軸的上?下半軸的交點依次為A1，A2，若P為C上異于A1，A2的一點，且直線PA1，PA（i）求直線PA（ii）證明：直線QN恒過定點.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：解不等式x2-4x+3≥0?x-1x-3≥0，解得x≥3或x≤1故A∩B={0，1，2，故答案為：B.【分析】解不等式求得集合B，再利用集合的交集運算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】因為z?i=1+2i，所以z=1+2i所以z=2+i，所以z?故答案為：D.【分析】利用復數(shù)的除法運算可求得z，再根據(jù)共軛復數(shù)定義以及復數(shù)的乘法運算求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：令g(x)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)所以?m≤1且g(1)≥0，即m≥?1且1+2m≥0，解得m≥?1故答案為：A.【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性列式計算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：設a與b的夾角為θ∈[0，π]，易知|a|=|b|=1解得6a?b=?3|b|故答案為：C.【分析】根據(jù)|a+2b|=|a?b5．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知，S盆底=25π，S盆口則V圓臺故答案為：B.【分析】根據(jù)題意，結合圓臺的體積的計算公式求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：直線變形為k(x+1)+2?y=0，故直線過定點D(?1，易知圓x2+y則當OD⊥AB時，|AB|取得最小值，ABmin故答案為：C.【分析】先求出直線恒過定點D，當OD⊥AB時，|AB|最小，根據(jù)垂徑定理求出最小值即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得：函數(shù)f(x)的最小正周期T=因為f(2)=f(4)，所以函數(shù)f(x)關于直線x=3對稱，所以3ω+φ=π又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)則?3ω+π2+nπ≥即?π+(n?2k)π≤ω≤(n?2k)π又0<ω≤π2，則n?2k=1，解得0<ω≤π3，故實數(shù)故答案為：D.【分析】由題意可知函數(shù)f(x)關于直線x=3對稱，再結合函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：因為實數(shù)m，n滿足所以(m+1)3令f(x)=x3+x，易知函數(shù)f(x)定義域在R的單調(diào)遞增函數(shù)，

且滿足f(?x)=則f(m+1)=1，f(n?1)=?1，所以m+1=?(n?1)，即m=?n，顯然m≠0，所以nm故答案為：A.【分析】根據(jù)題意可得：(m+1)3+m+1=1，且(n?1)3+n?1=?1，構造函數(shù)f(x)=x9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、因為x>0，所以x+1x≥2B、因為?x<0時，x+1x=?(?x+所以命題?x<0，x+1C、?x>0，x1+x2D、當x=?1時，x1+x2故答案為：AD.【分析】根據(jù)基本不等式急死俺即可判斷AC；當x<0時，將不等式化為x+1x=?(?x+10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、當x5為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不相等，故A錯誤；

B、兩組數(shù)據(jù)的總和相等，則兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；

C、假如甲數(shù)據(jù)為5，1，1，1，0時，乙組數(shù)據(jù)為4，1，1，1，1，甲的極差大于乙的極差，故C正確；

D、甲數(shù)據(jù)為1，1，1，1，1，則乙數(shù)據(jù)為0，1，1，1，2，則甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差，故D錯誤.

故答案為：BC.

11．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因為拋物線的焦點為F(32，0)，所以B、如下圖所示：由題意可知直線的斜率不可能為0，設直線AB的方程為x=my+32，A(x1，y1聯(lián)立x=my+32y2=6x，消去x由韋達定理可得y1+y不妨設m>0，由圖可知y1|AB|=x1+所以y1+y2=2所以|AF|=xC、由B選項可知，y2直線AB的方程為x=33y+32，聯(lián)立x=所以|BF|=x|BD|=1+(3D、因為|DF|=1+(33)故答案為：BD.【分析】根據(jù)拋物線的焦點坐標即可求出p的值，從而判斷A；設直線AB的方程為x=my+32，聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，設m>0，根據(jù)|AB|=8結合韋達定理，求出m的值，求出點A的縱坐標，求出|AF|，即可判斷B；求出點B的縱坐標，求出|BD|、|BF|，即可判斷C；計算出|AF|、12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若{an}為常數(shù)列，則?n∈所以?n∈N*由a1≠0，所以n=(a1所以{aB、當n=1時，2S1=所以1?t=a1?2C、因為2Sn=an所以4an+1=a當t=1時，由①得an+12?2所以an+1=an+2D、當{an}為等比數(shù)列時，an≠0，設{由①得(anq)2（i）當q=1時，②顯然不成立；（ii）當q=?1時，由②得t=1；（iii）當q≠±1時，由②得an=4q?2tq+2tq2?1，因為q，t是常數(shù)，所以故若{an}為等比數(shù)列，則{an故答案為：ABD.【分析】假設{an}為常數(shù)列，推出矛盾，即可判斷A；通過當n=1時進行驗證即可判斷B；通過對條件進行變形得到an+12+(2t?4)an+1=an2+2tan①，當t=1時，化簡得a13．【答案】(3【解析】【解答】解：因為雙曲線x23?k+所以k?1>03?k<0，解得k>3，故實數(shù)k的取值范圍為(3故答案為：(3，【分析】根據(jù)題意結合雙曲線的標準方程的特征，列不等式組求解即可.14．【答案】?【解析】【解答】解：∵sin（α+π4）=22∴兩邊平方得，=29∴2sinαcosα=﹣5故sin2α=?故答案為：﹣5【分析】首先利用兩角和與差公式將已知條件展開，然后兩邊平方和sin2α+cos2α=1，得出2sinαcosα的值，從而由二倍角公式得出答案．15．【答案】5【解析】【解答】解：由315=3×3×5×7，可得a1則從a1，a2，有a1則十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的有35，故aiaj的十位數(shù)字ai與個位數(shù)字故答案為：56【分析】求出a1，a，a3，16．【答案】6π【解析】【解答】解：設三棱錐M?BCD的外接球的半徑為R，根據(jù)題意可知A'當△A'CD可得∠A'DC=90°又因為點M為A'C的中點，所以又BC=CD=BD=2，由勾股定理可知棱MB，所以三棱錐M?BCD的外接球半徑為R=(可得該外接球的表面積S=4πR故答案為：6π.【分析】依題意求得當△A'CD的面積最大時∠A'DC=90°，易知17．【答案】（1）解：因為A+B+C=π，sin(B+π所以(3解得sinB=2（2）解：（方法一）∵B>π2，由（1）可知在△ABC中，由正弦定理，得c=bsinC∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴sinA=2∴△ABC的面積S=1（方法二）∵B>π2，由（1）可知在△ABC中，由正弦定理，得c=bsinC在△ABC中，由余弦定理，得cosC=a∴1解得a=23∵B>π∴b>a，∴△ABC的面積S=1【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和結合題意得關于角B的方程，求解即可；（2）方法一：根據(jù)（1）的結論利用同角三角函數(shù)基本關系求出cosB，再利用正弦定理得到c，根據(jù)sinA=sin(B+C)方法二：根據(jù)（1）的結論利用同角三角函數(shù)基本關系求出cosB，利用正弦定理得到c=3，使用余弦定理得到a=2318．【答案】（1）解：當n=1時，a1∵S兩式相減，得an+1∴{a∴an=2?（2）解：∵T∴2T將上述兩式相減，得?T∴T又22∴T【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列中an與S（2）由（1）的結論，再根據(jù)錯位相減法求和即可.19．【答案】（1）證明：過點C1作AC的垂線，垂足為H，連接BH，如圖所示

平面A1ACC1⊥平面ABCC1H?平面∴C1H⊥∵AB?平面ABC，∴AB⊥C不妨設AC∵4AB=3在直角三角形AC1H∵∠CAB=60∵AB⊥C∴AB⊥平面BC∵BC1?∴AB⊥BC在三棱臺ABC?A1B∴A（2）解：以H為原點，HC，HC1分別為y軸，由（1）得AC過點B作AC的垂線，垂足為D，連接BD，因為AB=3所以BD=32，所以B(3∴AB設平面ABC1的法向量所以n→?AB→=因為A1C1所以取A1C1設直線A1C1與平面ABC1所以直線A1C1與平面AB【解析】【分析】（1）過點C1作AC的垂線，垂足為H（2）以H為原點，建立空間直角坐標，求出相應點的坐標以及平面ABC1的法向量，利用空間向量求直線A120．【答案】（1）解：f'∵f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴當x>0時，f'(x)≥0恒成立，即令g(x)=(1?x)ex，則∴g(x)在(0，∴g(x)<g(0)=1，∴m≥1，即實數(shù)m的取值范圍為[1，（2）證明：只需證明：當x>0時，ex即證當x>0時，ex令h(x)=ex?(令φ(x)=ex?x?1∴當x≥0時，φ'∴φ(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴當x≥0時，φ(x)≥φ(0)=0，即當x≥0時，h'∴h(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴當x>0時，h(x)>h(0)=0，即當x>0時，ex∴當x>0時，ex∴當x>0時，ex即當x>0時，f(x)>x【解析】【分析】（1）先求導，因為f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增函，所以f'(x)≥0恒成立，參變分離后構造函數(shù)（2）原不等式變形后即證ex>x22+x+1在(0，21．【答案】（1）解：由題意得，X的可能取值為1，在第一輪中，試驗者每次抽到白球的概率為13∴P(X=1)=(依題意，在第二輪中，盒中有一個白球，兩個紅球