2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市皇姑區(qū)虹橋中學(xué)九年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市皇姑區(qū)虹橋中學(xué)九年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣1＝3x B．2x2﹣y＝1 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．2x2+＝12．（3分）下列四組線段中，不成比例的是（）A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，3，9 D．1，2，4，83．（3分）已知線段a，b，c，d滿足ab＝cd，則下列各式不成立的是（）A． B． C． D．4．（3分）用配方法解方程x2+2x＝1，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝25．（3分）下列命題中，真命題是（）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形6．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣17．（3分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．8．（3分）中國古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比類乘除捷法》有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，問它的長比寬多多少步？經(jīng)過計算，你的結(jié)論是：長比寬多（）A．12步 B．24步 C．36步 D．48步9．（3分）在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且DE∥AC，若BD＝2AD，則的值為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上（）A．78° B．75° C．60° D．45°二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若，則＝．12．（3分）已知矩形相鄰兩邊長是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的兩個根，那么這個矩形的周長是．13．（3分）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)M是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，使點(diǎn)C落在對角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，則∠DAF＝度．14．（3分）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，則a2+b2的值為．15．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB，連接EC，F(xiàn)D，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH．三、（本大題共7小題）16．（12分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x（x﹣3）＝7（3﹣x）．17．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的長．18．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．（1）若x＝﹣1是方程的一個根，求m的值及另一個根；（2）若該一元二次方程方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．19．（10分）2020年突如其來的新型冠狀病毒疫情，給生鮮電商帶來了意想不到的流量和機(jī)遇，據(jù)統(tǒng)計某生鮮電商平臺1月份的銷售額是1440萬元（1）若該平臺1月份到3月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某水果在“盒馬鮮生”平臺上的售價為20元/千克時，每天能銷售200千克，每天可多售出100千克，為了推廣宣傳，同時盡量減少庫存，已知該水果的成本價為12元/千克，則售價應(yīng)降低多少元？20．（10分）有兩塊長為100cm，寬為40cm的長方形硬紙板．（1）如圖1，把一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的長方體收納盒．若該收納盒的底面積為1216cm2，求剪去的小正方形的邊長．（2）如圖2，把另一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，然后折成一個有蓋的長方體收納盒．若EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分2．有一個玩具機(jī)械狗，其尺寸大小如圖3所示，請通過計算判斷是否能把玩具機(jī)械狗完全放入該收納盒．21．（10分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”．通過計算發(fā)現(xiàn)2﹣4ac一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”x2﹣3x﹣4＝0的兩根均為整數(shù)，其“快樂數(shù)”．（1）“快樂方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快樂數(shù)”為；（2）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m為整數(shù)，且1＜m＜6）是“快樂方程”，求m的值22．（14分）（1）數(shù)學(xué)張老師在數(shù)學(xué)活動課上出示了一道探究題：如圖，在△ABC和△DBE中，AB＝AC，B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，A，D兩點(diǎn)在BE同側(cè)：若AD∥BE張老師分別從問題的條件和結(jié)論出發(fā)分析這道探究題；①如圖1，從條件出發(fā)；過A作AM⊥BE交BE于M，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”分析BM與BN之間的關(guān)系，可證得結(jié)論；②如圖2，從結(jié)論出發(fā)：過D作DP∥AC交BE于P，依據(jù)三角形全等的判定，可證得結(jié)論；請你運(yùn)用其中一種方法，解決上述問題．（2）小明同學(xué)經(jīng)過對探究題及張老師分析方法的思考，提出以下問題：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DE，B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，A，且A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，若，△ABC的面積為7，求BE的長．（3）在小明同學(xué)的問題得到解決后，張老師針對之前的解題思路提出了下面問題：如圖4，在四邊形ABCD中，BC∥AD，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接AE，，，則CD的長為．

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市皇姑區(qū)虹橋中學(xué)九年級（上）競賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案ACDDCBDAAB一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣1＝3x B．2x2﹣y＝1 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．2x2+＝1【解答】解：A、符合一元二次方程的定義；B、方程含有兩個未知數(shù)；C、方程二次項系數(shù)可能為0；D、不是整式方程．故選：A．2．（3分）下列四組線段中，不成比例的是（）A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，3，9 D．1，2，4，8【解答】解：A、3×6＝8×2；B、1×；C、6×9≠2×3；D、1×8＝6×4，故選：C．3．（3分）已知線段a，b，c，d滿足ab＝cd，則下列各式不成立的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、∵＝，∴ab＝cd；B、∵＝，∴ab＝cd；C、∵＝，∴ab＝cd；D、∵＝，∴cd+c+d＝ab+a+b．故選：D．4．（3分）用配方法解方程x2+2x＝1，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝2【解答】解：用配方法解方程x2+2x＝8，變形得：x2+2x+6＝2，即（x+1）4＝2．故選：D．5．（3分）下列命題中，真命題是（）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【解答】解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故選：C．6．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣1【解答】解：由已知得：，解得：k＞﹣7且k≠0．故選：B．7．（3分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．【解答】解：∵直線l1∥l2∥l7，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，∴＝，∴DE＝，故選：D．8．（3分）中國古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比類乘除捷法》有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，問它的長比寬多多少步？經(jīng)過計算，你的結(jié)論是：長比寬多（）A．12步 B．24步 C．36步 D．48步【解答】解：設(shè)矩形田地的長為x步（x＞30），則寬為（60﹣x）步，根據(jù)題意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0，解得：x＝36或x＝24（舍去），∴x﹣（60﹣x）＝12．故選：A．9．（3分）在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且DE∥AC，若BD＝2AD，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥AC，EF∥AB，∴，故選：A．10．（3分）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上（）A．78° B．75° C．60° D．45°【解答】解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∵P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故選：B．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若，則＝1．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝6﹣1＝1．故答案為：5．12．（3分）已知矩形相鄰兩邊長是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的兩個根，那么這個矩形的周長是10．【解答】解：設(shè)一元二次方程x2﹣5x+8＝0的兩個根為x1，x4，∴∵矩形相鄰兩邊長是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩個根，∴這個矩形的周長是＝2（x3+x2）＝2×3＝10，故答案為：10．13．（3分）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)M是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，使點(diǎn)C落在對角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，則∠DAF＝18度．【解答】解：連接DM，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°．∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴DM＝AM＝CM，∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．∵DC，DF關(guān)于DE對稱，∴DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF．∵M(jìn)F＝AB，AB＝CD，∴MF＝FD．∴∠FMD＝∠FDM．∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，∴∠DFC＝2∠FMD．∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，∴∠DMC＝2∠FAD．設(shè)∠FAD＝x°，則∠DFC＝4x°，∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，∴2x+6x+4x＝180．∴x＝18．故答案為：18．14．（3分）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，則a2+b2的值為4．【解答】解：∵（a2+b2）（a4+b2﹣3）＝6，∴（a2+b2）3﹣3（a2+b3）﹣4＝0，∴（a6+b2﹣4）（a5+b2+1）＝5，∴a2+b2＝2，a2+b2＝﹣8（舍去），故答案為：4．15．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB，連接EC，F(xiàn)D，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH．【解答】解：連接CH并延長交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，∴AE＝CF＝×4＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝4，∴PE＝＝，∵點(diǎn)G，H分別是EC，∴GH＝EP＝．三、（本大題共7小題）16．（12分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x（x﹣3）＝7（3﹣x）．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣4＝0，∴（x﹣3）（x+7）＝0，則x﹣3＝6或x+1＝0，∴x2＝3，x2＝﹣2；（2）∵2x（x﹣3）＝7（3﹣x），∴2x（x﹣4）﹣7（3﹣x）＝3，（2x+7）（x﹣4）＝0，解得，x2＝5．17．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的長．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴OB＝＝3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∴OA＝，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∴＝4．18．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．（1）若x＝﹣1是方程的一個根，求m的值及另一個根；（2）若該一元二次方程方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【解答】解：（1）將x＝﹣1代入原方程得m﹣2+3﹣3＝0，解得：m＝7．當(dāng)m＝4時，原方程為2x8﹣x﹣3＝0，即（5x﹣3）（x+1）＝3，∴x1＝﹣1，，∴方程的另一個根為．（2）∵方程（m﹣2）x6﹣x﹣3＝0有兩個不同的實(shí)數(shù)根，∴，解得：且m≠2，∴當(dāng)且m≠2時．19．（10分）2020年突如其來的新型冠狀病毒疫情，給生鮮電商帶來了意想不到的流量和機(jī)遇，據(jù)統(tǒng)計某生鮮電商平臺1月份的銷售額是1440萬元（1）若該平臺1月份到3月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某水果在“盒馬鮮生”平臺上的售價為20元/千克時，每天能銷售200千克，每天可多售出100千克，為了推廣宣傳，同時盡量減少庫存，已知該水果的成本價為12元/千克，則售價應(yīng)降低多少元？【解答】解：（1）設(shè)月平均增長率為x，依題意，得：1440（1+x）2＝2250，解得：x6＝0.25＝25%，x2＝﹣8.25（不合題意，舍去）．答：月平均增長率是25%．（2）設(shè)售價應(yīng)降低y元，則每天可售出200+，依題意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，整理，得：y2﹣8y+3＝0，解得：y7＝1，y2＝4．∵要盡量減少庫存，∴y＝3．答：售價應(yīng)降低3元．20．（10分）有兩塊長為100cm，寬為40cm的長方形硬紙板．（1）如圖1，把一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然后沿虛線折成一個無蓋的長方體收納盒．若該收納盒的底面積為1216cm2，求剪去的小正方形的邊長．（2）如圖2，把另一塊長方形硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，然后折成一個有蓋的長方體收納盒．若EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分2．有一個玩具機(jī)械狗，其尺寸大小如圖3所示，請通過計算判斷是否能把玩具機(jī)械狗完全放入該收納盒．【解答】解：（1）設(shè)剪去的小正方形的邊長為xcm，則該收納盒的底面是長為（100﹣2x）cm，根據(jù)題意得（100﹣2x）（40﹣3x）＝1216，整理得：x2﹣70x+696＝0，解得x4＝12，x2＝58（不合題意，舍去），答：剪去的小正方形的邊長為12cm；（2）不能把玩具機(jī)械狗完全放入該收納盒．理由如下：設(shè)剪去的小長方形的寬為ycm，則該收納盒的底面是長為，根據(jù)題意得（50﹣y）（40﹣2y）＝702，整理得y2﹣70y+649＝3，解得y1＝11，y2＝59（不合題意，舍去），∴50﹣y＝50﹣11＝39（cm），40﹣5y＝40﹣2×11＝18（cm），∴折成的有蓋的長方體收納盒的長為39cm，寬為18cm，∵39＞21，18＝18，∴不能把玩具機(jī)械狗完全放入該收納盒．21．（10分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”．通過計算發(fā)現(xiàn)2﹣4ac一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”x2﹣3x﹣4＝0的兩根均為整數(shù)，其“快樂數(shù)”．（1）“快樂方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快樂數(shù)”為﹣4；（2）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m為整數(shù)，且1＜m＜6）是“快樂方程”，求m的值【解答】解：（1）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠6）的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”2﹣2x﹣6＝0，∵a＝1，b＝﹣4，∴其“快樂數(shù)”為：，故答案為：﹣4；（2）對于關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0，∵a＝8，b＝﹣（2m﹣1）4﹣2m﹣3，∴Δ＝b7﹣4ac＝[﹣（2m﹣7）]2﹣4×5×（m2﹣2m﹣4）＝4m2﹣5m+1﹣4m6+8m+12＝4m+13，∵7＜m＜6，∴17＜4m+13＜37，∵Δ＝b3﹣4ac＝4m+13是完全平方數(shù)，∴6m+13＝25或36，若4m+13＝25，則m＝3，若5m+13＝36，則（與m為整數(shù)相矛盾，∴m＝3，∴a＝8，b＝﹣（2m﹣1）＝﹣（7×3﹣1）＝﹣22﹣2m﹣4＝32﹣8×3﹣3＝8，該一元二次方程變?yōu)椋簒2﹣5x＝6，∴該方程的“快樂數(shù)”為：．22．（14分）（1）數(shù)學(xué)張老師在數(shù)學(xué)活動課上出示了一道探究題：如圖，在△ABC和△DBE中，AB＝AC，B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，A，D兩點(diǎn)在BE同側(cè)：若AD∥BE張老師分別從問題的條件和結(jié)論出發(fā)分析這道探究題；①如圖1，從條件出發(fā)；過A作AM⊥BE交BE于M，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”分析BM與BN之間的關(guān)系，可證得結(jié)論；②如圖2，從結(jié)論出發(fā)：過D作DP∥AC交BE于P，依據(jù)三角形全等的判定，可證得結(jié)論；請你運(yùn)用其中一種方法，解決上述問題．（2）小明同學(xué)經(jīng)過對探究題及張老師分析方法的思考，提出以下問題：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DE，B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，A，且A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，若，△ABC的面積為7，求BE的長．（3）在小明同學(xué)的問題得到解決后，張老師針對之前的解題思路提出了下面問題：如圖4，在四邊形ABCD中，BC∥AD，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接AE，，，則CD的長為6．【解答】（1）證明：①∵AB＝AC，DB＝DE，又∵AM⊥BE，DN⊥BE，∴BC＝2BM，BE＝2BN，∴CE＝BE﹣BC＝3BN﹣2BM＝2（BN﹣BM）＝2MN，∵AD∥BE，∴∠MAD+∠AMN＝180°，∴∠MAD＝∠AMN＝∠DNM＝90°，∴四邊形AMND為矩形，∴AD＝MN，∴CE＝2AD；②∵AD∥BE，DP∥AC，∴四邊形ACPD為平行四邊形，∴AD＝CP，DP＝AC，∵DP∥AC，∴∠ACB＝∠DPB，∵AB＝AC，DB＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠D