2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1章第03講等式與不等式的性質(zhì)(五大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用 2題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式 2題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍 2題型四：不等式的綜合問題 3題型五：糖水不等式 302重難創(chuàng)新練 403真題實(shí)戰(zhàn)練 6題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（多選題）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（多選題）下列不等式中，推理正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（多選題）已知，下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式5．設(shè)，，則、的大小關(guān)系是.6．若，，則與的大小關(guān)系為.（用“”連接）7．若，則、、、中最小的是.8．，則的大小關(guān)系為．題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍9．（多選題）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．a(chǎn)b的取值范圍為 D．的取值范圍為10．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．（多選題）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B． C． D．題型四：不等式的綜合問題13．（2024·河北石家莊·二模）若實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍是.14．（2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為．15．（多選題）已知a，b＞0且2a＋b＝1，則的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10題型五：糖水不等式16．糖水不等式：成立的實(shí)數(shù)是有條件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是（只需填滿足題意的一個(gè)值即可）．17．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并加以證明；(2)已知，小明同學(xué)判斷添加克糖前后的兩杯糖水中的含糖濃度值之差的絕對(duì)值肯定小于，判斷是否正確，并說明理由.（）18．（多選題）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少許的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，則（

）A．若，則 B．若，則C． D．當(dāng)時(shí)，．19．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A． B．C． D．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若滿足，則（

）A． B．C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）命題“”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則下列選項(xiàng)中是“”的一個(gè)充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．6．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B．C． D．9．（多選題）（2024·廣西·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．10．（多選題）（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為1211．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，則12．（多選題）（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．當(dāng)最小時(shí)，13．若，，，則的取值范圍為14．購(gòu)買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價(jià)格的升降，甲策略是每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定，則種購(gòu)物策略比較經(jīng)濟(jì).15．（2024·湖北·三模）若實(shí)數(shù)x，y，z，t滿足則的最小值為.16．表示三個(gè)數(shù)中的最大值，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，則的最小值是．1．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷精編版））若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（山東卷））已知實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是A．B．C．D．3．（2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷精編版））若，，則A． B． C． D．4．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（浙江卷））有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是A． B． C． D．5．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（四川卷））若則一定有A． B． C． D．6．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷精編版））能夠說明“設(shè)是任意實(shí)數(shù),若,則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為.7．（2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學(xué)）已知且，則的取值范圍是（答案用區(qū)間表示）8．（2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是_________第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用 2題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式 3題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍 4題型四：不等式的綜合問題 5題型五：糖水不等式 702重難創(chuàng)新練 903真題實(shí)戰(zhàn)練 16題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于ABD，取，滿足，顯然，，，ABD錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，C正確.故選：C2．（多選題）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，取，滿足，取，有，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，而，因此，B正確；對(duì)于C，取，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，因此，D正確.故選：BD3．（多選題）下列不等式中，推理正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【解析】對(duì)于A中，例如，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若，可得，則，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，可得，可得，即，所以C正確；對(duì)于D中，，由不等式的性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：CD.4．（多選題）已知，下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】時(shí)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，移項(xiàng)得，故A選項(xiàng)正確；由基本不等式，時(shí)，，因?yàn)椋忍?hào)不成立，所以，故B選項(xiàng)正確；若，，則，故C選項(xiàng)正確；若，則，不一定成立，如，，滿足且，不成立，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC．題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式5．設(shè)，，則、的大小關(guān)系是.【答案】/【解析】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為：6．若，，則與的大小關(guān)系為.（用“”連接）【答案】【解析】，因?yàn)?，，則，，所以.故答案為：.7．若，則、、、中最小的是.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，所以，即故答案為?．，則的大小關(guān)系為．【答案】≥【解析】因?yàn)?，則由所以故答案為：題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍9．（多選題）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．a(chǎn)b的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】AC【解析】因?yàn)椋?，所以，，，所以，的取值范圍為，的取值范圍為，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，，，所以，ab的取值范圍為，的取值范圍為故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，則，又，所以.故選：C11．已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，得，即，，所以，即，故選：D12．（多選題）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題意，實(shí)數(shù)，滿足，，令，即，可得，解得，所以，則，，所以.故選：BC.題型四：不等式的綜合問題13．（2024·河北石家莊·二模）若實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，故，由得，解得，?故答案為：14．（2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為．【答案】2【解析】若，則，此時(shí)，因?yàn)椋院椭兄辽儆幸粋€(gè)小于等于2，所以，又當(dāng)，時(shí)，，所以的最大值為2．若，則，此時(shí)，因?yàn)?，所以和中至少有一個(gè)小于2，所以．綜上，的最大值為2．故答案為：2.15．（多選題）已知a，b＞0且2a＋b＝1，則的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABD【解析】由題可知：所以所以原式原式，由a，b＞0，所以又故故選：ABD題型五：糖水不等式16．糖水不等式：成立的實(shí)數(shù)是有條件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是（只需填滿足題意的一個(gè)值即可）．【答案】0（答案不唯一）【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以?使糖水不等式不成立的的值可以是0.故答案為：0(答案不唯一)17．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并加以證明；(2)已知，小明同學(xué)判斷添加克糖前后的兩杯糖水中的含糖濃度值之差的絕對(duì)值肯定小于，判斷是否正確，并說明理由.（）【解析】（1）不等式：已知，，則.證明：，因?yàn)?，則，所以，即.（2）答：小明同學(xué)判斷正確，理由如下：兩杯糖水的含糖濃度值之差的絕對(duì)值，不妨設(shè)（），記（），化簡(jiǎn)得，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值小于，綜上：添加克糖前后的兩杯糖水的含糖濃度值之差的絕對(duì)值肯定小于.18．（多選題）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少許的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，則（

）A．若，則 B．若，則C． D．當(dāng)時(shí)，．【答案】ABC【解析】由，則，若，若，則，故；若，則，故；由題設(shè)，結(jié)合不等式性質(zhì)顯然有；故選：ABC19．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，加入克糖（）后糖水變甜了，即糖水的濃度增加了，加糖之前，糖水的濃度為：；加糖之后，糖水的濃度為：；所以.故選：A.1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，所以，所以錯(cuò)誤；令，此時(shí)與無意義，所以錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以正確；令，則，所以錯(cuò)誤.故選：.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得，所以，即，A，B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，D正確.故選：D.3．（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于AC，當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：A.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）命題“”是“，且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C故選：C.5．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則下列選項(xiàng)中是“”的一個(gè)充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．6．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知為正數(shù)，且，所以，化簡(jiǎn)得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故A正確.故選：A.7．若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B故選：B8．已知，則（

）A． B．C． D．9．（多選題）（2024·廣西·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．所以不成立，故，即，D正確.故選：AD10．（多選題）（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為1211．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，則所以，得，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，由，得．由，得．因?yàn)椋?，所以，D正確．故選：ABD．12．（多選題）（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．當(dāng)最小時(shí)，即，可得.故答案為：.14．購(gòu)買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價(jià)格的升降，甲策略是每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定，則種購(gòu)物策略比較經(jīng)濟(jì).15．（2024·湖北·三模）若實(shí)數(shù)x，y，z，t滿足則的最小值為.16．表示三個(gè)數(shù)中的最大值，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，則的最小值是．1．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷精編版））若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，且，所以設(shè)，則，所以