2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章拔高點(diǎn)突破01定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問(wèn)題、蝴蝶問(wèn)題、坎迪定理(五大題型)(學(xué)生版+解析)

拔高點(diǎn)突破01定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問(wèn)題、蝴蝶問(wèn)題、坎迪定理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：定比點(diǎn)差法 2題型二：齊次化 4題型三：極點(diǎn)極線問(wèn)題 5題型四：蝴蝶問(wèn)題 7題型五：坎迪定理 1003過(guò)關(guān)測(cè)試 13

1、定比點(diǎn)差法是一種在解析幾何有應(yīng)用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點(diǎn)弦問(wèn)題，通過(guò)設(shè)定線段上的定比分點(diǎn)，利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系與差異，通過(guò)代點(diǎn)、擴(kuò)乘、作差等步驟，解決相應(yīng)的圓錐曲線問(wèn)題。定比點(diǎn)差法的核心思想是“設(shè)而不求”，即設(shè)定未知數(shù)但不直接求解，而是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算消去未知數(shù)，得到所需的結(jié)果。這種方法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。2、齊次化是一種數(shù)學(xué)處理方法，它通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次形式（即各項(xiàng)次數(shù)相等）來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問(wèn)題，如過(guò)某定點(diǎn)的兩條直線的斜率關(guān)系。通過(guò)齊次化聯(lián)立，可以將復(fù)雜的二次曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問(wèn)題。3、極點(diǎn)極線是數(shù)學(xué)中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據(jù)關(guān)鍵地位。極點(diǎn)通常指圓錐曲線上的特殊點(diǎn)，其切線方程與曲線方程相同；對(duì)于不在曲線上的點(diǎn)，其關(guān)于曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點(diǎn)緊密相關(guān)的一條直線，對(duì)于曲線上的極點(diǎn)，其極線即為該點(diǎn)處的切線；對(duì)于曲線外的點(diǎn)，其極線則是通過(guò)該點(diǎn)作曲線的兩條切線所得的切點(diǎn)弦.4、坎迪定理是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內(nèi)的一段弦上任意一點(diǎn)與圓上任意兩點(diǎn)相連并延長(zhǎng)交圓于另外兩點(diǎn)，連接這兩延長(zhǎng)交點(diǎn)與弦上另外兩點(diǎn)相交，所得線段長(zhǎng)度的倒數(shù)之差為常數(shù)。題型一：定比點(diǎn)差法【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，證明：點(diǎn)Q總在定直線上．【典例1-2】已知橢圓，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方），若有，求橢圓的離心率．【變式1-1】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)若，且當(dāng)軸時(shí)，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實(shí)數(shù)的值．【變式1-2】已知橢圓（）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，求【變式1-3】已知，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【變式1-4】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的值．題型二：齊次化【典例2-1】已知橢圓的中心為，長(zhǎng)軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.【典例2-2】如圖，過(guò)橢圓上的定點(diǎn)Px0,y0作傾斜角互補(bǔ)的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線【變式2-1】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2-2】已知橢圓C：.過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn)；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn).題型三：極點(diǎn)極線問(wèn)題【典例3-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上頂點(diǎn)，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓方程，平面上有一點(diǎn).定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線;②若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，割線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn).證明:三點(diǎn)共線.【典例3-2】閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點(diǎn)和直線：是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理：①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是從點(diǎn)向曲線所引兩條切線的切點(diǎn)所在的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過(guò)點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：已知橢圓：.(1)點(diǎn)是直線：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是否存在定點(diǎn)恒在直線上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最大值.【變式3-1】閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過(guò)點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型四：蝴蝶問(wèn)題【典例4-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求證：為定值．【典例4-2】（2024·高三·江蘇泰州·期末）如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點(diǎn)D在第一象限.CB的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)E，直線AE與橢圓?y軸分別交于點(diǎn)F?G，直線CG交橢圓于點(diǎn)H，DA的延長(zhǎng)線交FH于點(diǎn)M.（1）設(shè)直線AE?CG的斜率分別為?，求證：為定值；（2）求直線FH的斜率k的最小值；（3）證明：動(dòng)點(diǎn)M在一個(gè)定曲線上運(yùn)動(dòng).【變式4-1】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，直線與橢圓相切．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線過(guò)，與橢圓交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證為定值．【變式4-2】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．

(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．【變式4-3】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)且______，從下列條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：注：如果選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)計(jì)分．條件①：橢圓C的離心率，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3．條件②：橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長(zhǎng)交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，證明：直線DE過(guò)定點(diǎn)．題型五：坎迪定理【典例5-1】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證：在定直線上.【典例5-2】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，點(diǎn)C在橢圓E上且異于兩點(diǎn)，分別為直線上的點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)求的值；(3)設(shè)直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．(1)求直線的斜率；(2)設(shè)，直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，（均異于橢圓頂點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【變式5-2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線、與橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡；（2）設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）．【變式5-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．【變式5-4】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探求點(diǎn)N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式5-5】（2024·上海楊浦·一模）設(shè)分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，分別在直線和上，求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn).1．已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線交橢圓于，（點(diǎn)位于軸上方）兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交橢圓于，（，異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值.2．（2024·全國(guó)·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)Px0,y0（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；(3)若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限內(nèi)，射線，與橢圓的交點(diǎn)分別為，.（1）若，，求橢圓的方程；（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.5．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.6．已知橢圓C：，，為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)A，直線橢圓交于點(diǎn)B，設(shè)，，求證：為定值．7．（2024·河北滄州·一模）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，在線段上取點(diǎn)，使，求證：點(diǎn)在定直線上.8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的離心率為．為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的一條直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，直線的斜率之積，求實(shí)數(shù)的值．9．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)點(diǎn)A，B，C，D在上，A，B是關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)位于第三象限，直線AC與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且B，H，D三點(diǎn)共線，證明：直線CD與直線AC的斜率之比為定值．10．如圖，橢圓的長(zhǎng)軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)直線交橢圓于兩點(diǎn)；直線交橢圓于兩點(diǎn)，．求證：；(3)對(duì)于（2）中的中的在，，，，設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求證：（證明過(guò)程不考慮或垂直于軸的情形）11．（2024·湖南·一模）已知過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn).（1）若原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).設(shè)的斜率為，則是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.拔高點(diǎn)突破01定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問(wèn)題、蝴蝶問(wèn)題、坎迪定理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：定比點(diǎn)差法 2題型二：齊次化 7題型三：極點(diǎn)極線問(wèn)題 11題型四：蝴蝶問(wèn)題 16題型五：坎迪定理 2403過(guò)關(guān)測(cè)試 32

1、定比點(diǎn)差法是一種在解析幾何有應(yīng)用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點(diǎn)弦問(wèn)題，通過(guò)設(shè)定線段上的定比分點(diǎn)，利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系與差異，通過(guò)代點(diǎn)、擴(kuò)乘、作差等步驟，解決相應(yīng)的圓錐曲線問(wèn)題。定比點(diǎn)差法的核心思想是“設(shè)而不求”，即設(shè)定未知數(shù)但不直接求解，而是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算消去未知數(shù)，得到所需的結(jié)果。這種方法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。2、齊次化是一種數(shù)學(xué)處理方法，它通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次形式（即各項(xiàng)次數(shù)相等）來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問(wèn)題，如過(guò)某定點(diǎn)的兩條直線的斜率關(guān)系。通過(guò)齊次化聯(lián)立，可以將復(fù)雜的二次曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問(wèn)題。3、極點(diǎn)極線是數(shù)學(xué)中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據(jù)關(guān)鍵地位。極點(diǎn)通常指圓錐曲線上的特殊點(diǎn)，其切線方程與曲線方程相同；對(duì)于不在曲線上的點(diǎn)，其關(guān)于曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點(diǎn)緊密相關(guān)的一條直線，對(duì)于曲線上的極點(diǎn)，其極線即為該點(diǎn)處的切線；對(duì)于曲線外的點(diǎn)，其極線則是通過(guò)該點(diǎn)作曲線的兩條切線所得的切點(diǎn)弦.4、坎迪定理是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內(nèi)的一段弦上任意一點(diǎn)與圓上任意兩點(diǎn)相連并延長(zhǎng)交圓于另外兩點(diǎn)，連接這兩延長(zhǎng)交點(diǎn)與弦上另外兩點(diǎn)相交，所得線段長(zhǎng)度的倒數(shù)之差為常數(shù)。題型一：定比點(diǎn)差法【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，證明：點(diǎn)Q總在定直線上．【解析】(Ⅰ)由題意可知解得，，故橢圓的方程為．證明(Ⅱ)由已知可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)點(diǎn)Q，A，B的坐標(biāo)分別為，，，由題意知，不妨設(shè)A在P，Q之間，設(shè)，，又點(diǎn)Q在P，B之間，故，，，由可得解得，，點(diǎn)A在拋物線上，，即，，由可得解得，，點(diǎn)B在拋物線上，，即，，．由可得，，，點(diǎn)Q總在定直線上【典例1-2】已知橢圓，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方），若有，求橢圓的離心率．【解析】因?yàn)?，設(shè)、，①②得：，，，則，得，∵，∴，將A代入橢圓方程整理得：，所以或（舍）故．【變式1-1】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)若，且當(dāng)軸時(shí)，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）由題設(shè)，且雙曲線的漸近線為，當(dāng)軸時(shí)，，又，△MON的面積為，所以，故，而，可得，所以雙曲線的方程為.（2）對(duì)于橢圓有，而，則，不妨假設(shè)，則且l為，所以，又，，令，則，故，所以，而在橢圓上，則，整理得，綜上，可得.【變式1-2】已知橢圓（）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，求【解析】由，可設(shè)橢圓為（），設(shè)，，，由，所以，．又由（1）-（3）得，又．又．【變式1-3】已知，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【解析】設(shè)，，，由，所以．由由（1）-（3）得：，又，又，從而．【變式1-4】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的值．【解析】設(shè)，，，，由，得①滿足滿足②由③由（1）-（3）得：，又，同理可得．題型二：齊次化【典例2-1】已知橢圓的中心為，長(zhǎng)軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.【解析】因?yàn)?，所以由勾股定理可?所以.設(shè)的面積為，到的距離為，則，因此.所以要證明為常數(shù)，只需證明為定值.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立齊次化，并整理可得，方程的兩根為與，由韋達(dá)定理得.因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.由點(diǎn)到直線的距離公式，得，所以為定值.【典例2-2】如圖，過(guò)橢圓上的定點(diǎn)Px0,y0作傾斜角互補(bǔ)的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線【解析】由題意可得直線不過(guò)點(diǎn)，且直線的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)?，所以橢圓方程可化為，聯(lián)立，齊次化并整理可得，由韋達(dá)定理得，又因?yàn)?，所以，所以，故直線的斜率為定值.【變式2-1】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】將坐標(biāo)系左移2個(gè)單位長(zhǎng)度（即橢圓右移），則橢圓方程變?yōu)?，?設(shè)直線為直線，平移后為直線，聯(lián)立齊次化得，整理可得，兩邊同除以，得，則，解得.把代入直線中，得，當(dāng)時(shí)，，所以過(guò)定點(diǎn)，則直線過(guò)定點(diǎn).【變式2-2】已知橢圓C：.過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn)；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)直線EF方程為，即，從而.又橢圓過(guò)點(diǎn)，可得整理可得所以即則顯然這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程.對(duì)于問(wèn)題（1），由韋達(dá)定理得所以，故，則所以直線EF恒過(guò)定點(diǎn).（2）對(duì)于問(wèn)題（2），由韋達(dá)定理得所以，則，所以直線EF恒過(guò)定點(diǎn).題型三：極點(diǎn)極線問(wèn)題【典例3-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上頂點(diǎn)，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓方程，平面上有一點(diǎn).定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線;②若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，割線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn).證明:三點(diǎn)共線.【解析】（1）由已知，，則所以直線，即，該直線與圓與相切，則，所以解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①由(1)得橢圓的方程是.因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)極線方程為，所以處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線，當(dāng)時(shí)，極線方程為，即，由，得，所以，所以處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線，綜上所述，橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線;②設(shè)點(diǎn)，由①可知，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，因?yàn)槎歼^(guò)點(diǎn)，所以有，則割線的方程為，同理可得過(guò)點(diǎn)的兩條切線的切點(diǎn)弦的方程為，即，又因?yàn)楦罹€過(guò)點(diǎn)，代入割線方程得，即，所以三點(diǎn)共線，都在直線上．【典例3-2】閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點(diǎn)和直線：是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理：①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是從點(diǎn)向曲線所引兩條切線的切點(diǎn)所在的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過(guò)點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：已知橢圓：.(1)點(diǎn)是直線：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是否存在定點(diǎn)恒在直線上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最大值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，得，由消去并整理得，顯然，即此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，于是直線與橢圓相離，即點(diǎn)在橢圓外，又，都與橢圓相切，因此點(diǎn)和直線是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，顯然定點(diǎn)的坐標(biāo)與的取值無(wú)關(guān)，即有，解得，所以存在定點(diǎn)恒在直線上，當(dāng)時(shí)，是線段的中點(diǎn)有在橢圓內(nèi)，設(shè)，直線的斜率為，則，兩式相減并整理得，即，所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.（2）由（1）知直線的方程為，由題意知，由消去并整理得：，而，則，設(shè)，，則，，所以，

點(diǎn)到直線的距離為：，因此面積，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，即在單調(diào)遞增，則的最大值為，由對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，的最大值也為，所以面積的最大值為.【變式3-1】閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過(guò)點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，聯(lián)立，得，，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點(diǎn)Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點(diǎn)Q和直線MN是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)和極線.對(duì)于橢圓，與點(diǎn)Q(,)對(duì)應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因?yàn)槎c(diǎn)T的坐標(biāo)與的取值無(wú)關(guān)，所以，解得，所以存在定點(diǎn)T(2,1)恒在直線MN上.當(dāng)時(shí)，T是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當(dāng)時(shí)，直線MN的方程為，即.題型四：蝴蝶問(wèn)題【典例4-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求證：為定值．【解析】（1）由題意，得解得∴，故的方程為．（2）由（1）知，∴直線AB的方程為，由即，設(shè)，，則，，∴．設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d，則．∴．（3）設(shè)AB直線方程，設(shè)，，，，由由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，由于A，C滿足橢圓方程，故得兩式作差得③，將①②代入③可得，和①進(jìn)行聯(lián)立，即，解得：由同理可得，∴，故．【典例4-2】（2024·高三·江蘇泰州·期末）如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點(diǎn)D在第一象限.CB的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)E，直線AE與橢圓?y軸分別交于點(diǎn)F?G，直線CG交橢圓于點(diǎn)H，DA的延長(zhǎng)線交FH于點(diǎn)M.（1）設(shè)直線AE?CG的斜率分別為?，求證：為定值；（2）求直線FH的斜率k的最小值；（3）證明：動(dòng)點(diǎn)M在一個(gè)定曲線上運(yùn)動(dòng).【解析】（1）由對(duì)稱性，設(shè)，，，則，得，故，，則，（2）由，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，所以，可得，又，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，所以可得：，所以，由圖知，所以即,當(dāng)且僅當(dāng)即取等.所以直線FH的斜率k的最小值為.（3）易知，令可得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，即M在曲線上.【變式4-1】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，直線與橢圓相切．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線過(guò)，與橢圓交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證為定值．【解析】（1）與橢圓相切，，將代入橢圓方程得：，，則，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）得：，，則直線，設(shè)，，，，則直線的方程為：，由得：，，則，，；同理可得：；，，即為定值.【變式4-2】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．

(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．【解析】（1）拋物線C的方程為（2）解法一：設(shè)，直線，聯(lián)立直線，得，，聯(lián)立直線，得，，∴，同理可得，由斜率公式可得，，∴．解法二：三點(diǎn)共線設(shè)，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，由M、D、A三點(diǎn)共線，得，由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過(guò)定點(diǎn)（4，0）．【變式4-3】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)且______，從下列條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：注：如果選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)計(jì)分．條件①：橢圓C的離心率，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3．條件②：橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長(zhǎng)交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，證明：直線DE過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）若選①，則，解得，故橢圓C的方程為；若選②，易知圓圓心，半徑為4，過(guò)點(diǎn)，和橢圓外切，切點(diǎn)必為，故，圓圓心，半徑為，過(guò)點(diǎn)，和橢圓外切，切點(diǎn)必為，故，故橢圓C的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，又，則，即（★），又因?yàn)辄c(diǎn)均在橢圓上，則，可變形為，代入中，整理可得，結(jié)合（★）式得（?），★?式聯(lián)立解得，同理可得，所以直線的方程為，即，又，所以直線DE的方程為，故直線DE過(guò)定點(diǎn).題型五：坎迪定理【典例5-1】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證：在定直線上.【解析】（1），由題意，，所以橢圓的方程.（2）設(shè)，，，過(guò)的動(dòng)直線：，代入橢圓的方程得：，得：，，，分別由，，及，，三點(diǎn)共線，得：，，兩式相除得：，得：，即在直線上.【典例5-2】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，點(diǎn)C在橢圓E上且異于兩點(diǎn)，分別為直線上的點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)求的值；(3)設(shè)直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，所以，則橢圓方程為；（2）易知，設(shè)，則，所以，又C在橢圓上，即，故；（3）由上知，則，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理知，，①若直線斜率不存在，即，即，解之得，過(guò)定點(diǎn)；②若直線斜率存在，則，整理得，過(guò)定點(diǎn)綜上所述恒過(guò)定點(diǎn).【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．(1)求直線的斜率；(2)設(shè)，直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，（均異于橢圓頂點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）解法一：設(shè)直線AB的方程為，將代入，得，由，得，設(shè)，，，則，所以，，即，故直線OM的斜率為．解法二：設(shè)，，，則，，兩式作差，得，所以．因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以，得，故直線OM的斜率為．（2）由題意知直線CD的斜率存在，設(shè)直線CD的方程為，，，則，直線PC的方程為，與聯(lián)立，并結(jié)合化簡(jiǎn)可得，則，，，故，同理，故，所以，故直線CD的方程為，直線CD過(guò)定點(diǎn)．【變式5-2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線、與橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡；（2）設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，，，由，得，化簡(jiǎn)得，故所求點(diǎn)的軌跡為直線．（2）將，分別代入橢圓方程，以及，，得，，直線方程為，即，直線方程為，即，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，直線的方程為，即，分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，，解得、，若，且,得，此時(shí)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)；若，則，直線的斜率，直線的斜率，所以,所以直線過(guò)點(diǎn)，因此直線必過(guò)軸上一定點(diǎn).【變式5-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．【解析】證明：連結(jié)BD，設(shè)，，直線CD的方程為：，代入橢圓方程，整理得，，∴，，又，∴（定值）．【變式5-4】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探求點(diǎn)N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題設(shè)，，，且所以，橢圓方程為；（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，因?yàn)?，設(shè)，所以，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則，即，而，∴，∴x=4，即直線與直線的交點(diǎn)在直線x=4上.【變式5-5】（2024·上海楊浦·一模）設(shè)分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，分別在直線和上，求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn).【解析】（1），，，，解得即橢圓的方程為.（2）橢圓的方程為，由題意，設(shè)另一焦點(diǎn)為，設(shè)，由線段的中點(diǎn)在y軸上，得軸，所以，代入橢圓方程得，即；（3）證明：由題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得：由韋達(dá)定理得即；同理；當(dāng)，即即時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線：化簡(jiǎn)得，恒過(guò)點(diǎn)；綜上所述，直線恒過(guò)點(diǎn).1．已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線交橢圓于，（點(diǎn)位于軸上方）兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交橢圓于，（，異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值.【解析】（1）由題意可得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法1：韋達(dá)定理設(shè)點(diǎn)Ax1,y1當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為（且），所以由，且，得到，即，解得或（舍）此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立消去并整理得.則，，，所以，即.所以，，整理得，即，所以或.若，則直線的方程為，所以直線過(guò)點(diǎn)，不合題意；若，則直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).又因?yàn)椋渣c(diǎn)在橢圓內(nèi).則點(diǎn)到直線的距離為.所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.解法2：齊次式法易求得，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，橢圓的方程為，即，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立并齊次化，得整理得，即，方程的兩根為，，由韋達(dá)定理得，從而，與對(duì)照，則解得故直線過(guò)定點(diǎn)，、JKK;顯然，點(diǎn)到直線距離的最大值為.2．（2024·全國(guó)·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)Px0,y0（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過(guò)P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達(dá)定理有，此時(shí)要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來(lái)我們回到原題，①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點(diǎn)，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點(diǎn)；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過(guò)點(diǎn).3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；(3)若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以或．由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，所以橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，即點(diǎn)處的極線方程為，即（2）因?yàn)樵跈E圓上，所以，由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)極線方程為，所以處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線．當(dāng)時(shí)，極線方程為．聯(lián)立，得．．綜上所述，橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；（3）設(shè)點(diǎn)，，，由（2）可知，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)N的切線方程為．因?yàn)椋歼^(guò)點(diǎn)，所以有，則割線的方程為；同理可得過(guò)點(diǎn)的兩條切線的切點(diǎn)弦的方程為．又因?yàn)楦罹€過(guò)點(diǎn)，代入割線方程得．所以，，三點(diǎn)共線，都在直線上．4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限內(nèi)，射線，與橢圓的交點(diǎn)分別為，.（1）若，，求橢圓的方程；（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.【解析】（1）由，根