河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末文試題含解析

Page16河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（文）試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．共150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】依據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，，但的符號不確定，所以充分性不成立；反之當(dāng)時(shí)，也不肯定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.3.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知設(shè)拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程，故選：D，4.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.250 B.210 C.160 D.90【答案】B【解析】【分析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為能求出結(jié)果．【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得．故選：B．5.命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的肯定值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：隨意實(shí)數(shù)，它的肯定值是正數(shù)，為假命題B.：隨意實(shí)數(shù)，它的肯定值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的肯定值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的肯定值是負(fù)數(shù)，為真命題【答案】A【解析】【分析】依據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題推斷，再利用特別值推斷命題的真假；【詳解】解：因?yàn)槊}p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的肯定值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“隨意實(shí)數(shù)，它的肯定值是正數(shù)”，因?yàn)?，所以為假命題；故選：A6.在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再依據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最終利用面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，所以；故選：C7.在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡記為C，則曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，則由題意可得，代入圓方程中化簡可得曲線C的方程，從而可求出離心率【詳解】設(shè)，，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以，則所以離心率為，故選：B8.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為、，其中，.假如這時(shí)氣球的高度，則河流的寬度BC為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，，，然后在和求出，從而可求出值【詳解】如圖，由題意得，，，在中，，在中，，所以，故選：D9.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①，；②；③．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可推斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故③錯(cuò)誤；故選：C10.已知雙曲線，過點(diǎn)作直線l，若l與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】先確定雙曲線的右頂點(diǎn)，再分垂直軸、與軸不垂直兩種狀況探討，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分、兩種狀況探討，即可得解．【詳解】解：依據(jù)雙曲線方程可知右頂點(diǎn)為，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)狀況為：①當(dāng)垂直軸時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)的直線方程為，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為聯(lián)立方程可得當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)根，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，整理可得即故選：D11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案．【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B．12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖可得：為定值，利用依據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得．【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以．依據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.【答案】x-y-2=0【解析】【詳解】解：因?yàn)榍€在點(diǎn)（1,－1）處的切線方程是由點(diǎn)斜式可知為x-y-2=014.已知實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結(jié)合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為因?yàn)楸硎驹c(diǎn)與可行域中點(diǎn)之間的距離，所以的最小值為.故答案為：15.直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為______．【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)，兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，利用在直角三角形中，求得，從而得出直線的斜率．【詳解】解：如圖，當(dāng)在第一象限時(shí)，設(shè)，兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，由拋物線的定義可知：設(shè)，則，，，在直角三角形中，，所以，則直線的斜率；當(dāng)在第四象限時(shí)，同理可得，直線的斜率，綜上可得直線l的斜率為；故答案為：．16.如圖三角形數(shù)陣：123456789101112131415……依據(jù)自上而下，自左而右的依次，2024位于第i行的第j列，則______．【答案】69【解析】【分析】由圖可知，第行有個(gè)數(shù)，求出第行的最終一個(gè)數(shù)，從而可分析計(jì)算出，即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，第行有個(gè)數(shù)，第行最終一個(gè)數(shù)為，因?yàn)?，所以第行的最終一個(gè)數(shù)為2016，所以2024位第行，即，又，所以2024位第行第5列，即，所以.故答案為：69.三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B，A，C成等差數(shù)列.（1）求A的大??；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合內(nèi)角和定理得出A的大小；（2）先由余弦定理，結(jié)合，，得到的關(guān)系式，再由的面積為，得到的關(guān)系式，兩式聯(lián)立可求出，進(jìn)而可確定結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)锽，A，C成等差數(shù)列，所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，，由余弦定理可得：；又的面積為，所以，所以，所以所以周長為.18.已知，使；不等式對一切恒成立.假如為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】若為真命題，利用分別參數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得；若為真命題，利用分別參數(shù)法并結(jié)合基本不等式可得，再依據(jù)為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種狀況，求解范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對一切恒成立,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當(dāng)為真命題，為假命題時(shí)，，所以；當(dāng)為假命題，為真命題時(shí)，，所以；綜上所述，.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明；【小問1詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；20.已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點(diǎn)P．（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，依據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，則，代入韋達(dá)定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)的軌跡方程為．【小問2詳解】解：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即面積的最小值為；21.已知，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，明顯成立，當(dāng)時(shí)只需，參變分別得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當(dāng)時(shí)明顯成立，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到