河南省洛平縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測文科試題含解析

河南省洛平縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測文科試題留意事項:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)真數(shù)大于零可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即，又，.故選：B.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)的虛部為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運算可求得，由虛部定義可得結(jié)果.【詳解】，的虛部為.故選：A3.已知實數(shù)滿意，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出不等式組表示的區(qū)域，表示兩點、連線的斜率，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】不等式組表示的區(qū)域如下：表示兩點、連線的斜率，由圖可得，當(dāng)時取得最小值，由可得，此時取得最大值，所以的取值范圍為，故選：C4.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（）．A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和垂直關(guān)系可得，解方程即可.【詳解】令，則，在點處的切線與垂直，，解得：.故選：A.5.在中，是的中點，是的中點，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量基本定理以及向量的線性運算即可求解．【詳解】∵∴．故選：D．6.已知函數(shù)，當(dāng)時，的最大值為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角關(guān)系和二倍角的正弦公式化簡整理得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性運算求值.【詳解】，∵在的單調(diào)遞增，∴在上的最大值為.故選：C.7.過拋物線的焦點且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓的方程是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得，結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得圓心坐標(biāo)，利用拋物線焦點弦長公式可求得半徑，由此可得圓的方程.【詳解】由拋物線方程知：，則，由得：，設(shè)，，則，，中點為，即，又所求圓的半徑，以為直徑的圓的方程為：.故選：C.8.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的周期為8，再利用函數(shù)的周期性和奇偶性求值.【詳解】由題得所以.所以函數(shù)的周期為8.所以.故選：C9.已知菱形ABCD的邊長為2，，E是AD的中點，沿BE將折起至的位置，使，則下列結(jié)論中錯誤的是（）．A.平面平面PDE B.平面平面PBCC.平面平面BCDE D.平面平面BCDE【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面、面面垂直的推斷定理分析推斷.【詳解】如圖1，在菱形ABCD中，連接BD，則為等邊三角形，且E是AD的中點，∴，如圖2，在四棱錐中，，，平面，∴平面，平面，則平面平面PDE，A正確；∵，即，∴，，平面，∴平面，又∵，則平面，平面，則平面平面PBC，B正確；∵，，平面，∴平面，平面，則平面平面BCDE，C正確；∵平面，平面，則平面內(nèi)不存在與平面垂直的直線，∴平面不與平面垂直，D錯誤；故選：D.10.已知數(shù)列的通項公式為，若該數(shù)列的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡通項公式，利用裂項相消法即可求解.【詳解】因為數(shù)列的通項公式為，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，故選：B.【點睛】本題考查的核心是裂項求和，運用裂項法求和時，要留意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不行漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．11.把函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將得到的曲線上全部點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在上恰有3個零點，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)圖象變換求得，再以為整體結(jié)合正弦函數(shù)分析運算.【詳解】把函數(shù)圖象向左平移個單位，得到，再將得到的曲線上全部點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到，∵，，則，令則，，若函數(shù)的圖象在上恰有3個交點，則.故正數(shù)的取值范圍是.故選：B.12.已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法探討單調(diào)性，并利用單調(diào)性可比較，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，結(jié)合圖象與冪函數(shù)的性質(zhì)可比較，即可求解【詳解】令，則，由，解得，由，解得，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；因為，所以，即，所以，所以，又遞增，所以，即；，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖：由圖象可知在中恒有，又，所以，又在上單調(diào)遞增，且所以，即；綜上可知：，故選：A二、填空題:本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的漸近線方程________．【答案】【解析】【分析】先確定雙曲線的焦點所在坐標(biāo)軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最終確定雙曲線的漸近線方程．【詳解】∵雙曲線的a=2，b=1，焦點在x軸上而雙曲線的漸近線方程為y=±∴雙曲線的漸近線方程為y=±故答案為y=±【點睛】本題考察了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何意義，特殊是雙曲線的漸近線方程，解題時要留意先定位，再定量的解題思想14.已知函數(shù)則_____.【答案】##【解析】【分析】由定義域與解析式逐步代值可得答案.【詳解】由題，則故答案為:15.三棱錐的外接球的表面積為是該球的直徑，，則三棱錐的體積為_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，作圖，證明為三棱錐的高，利用勾股定理求出的值，以及求出，進(jìn)而利用體積公式，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，由已知得，解得，則，又由，所以，取中點，為所在外接圓的圓心，故平面，又因，所以，平面，得到，在中，由，，得到，所以，，所以，故答案為：16.已知橢圓的離心率為，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上且在以為直徑的圓上．線段與軸交于點，，則橢圓的長軸長為_____．【答案】【解析】【分析】由已知條件可得，，進(jìn)而可得，可得，求出的值，再由離心率求出，即可得到答案．【詳解】由題意得，點在以為直徑的圓上，則，因為，，所以，所以，所以，可得，又，所以，所以橢圓的長軸長為．故答案為：．三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求A；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】由正弦定理邊化角再依據(jù)角度范圍得角得大小；依據(jù)銳角三角形得角得范圍，然后將轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的正弦型三角函數(shù)，依據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)從而可得取值范圍.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得：，又因為銳角中，，所以，則，即，故；【小問2詳解】解：由（1）得，，所以，又因為銳角中得：，所以，所以，因為，所以，所以，即的取值范圍為.18.已知等比數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若構(gòu)成等差數(shù)列的前3項，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由、兩式相減得，可得公比，再求出首項，即可寫出通項公式；（2）由等差中項性質(zhì)列式求出m，即可求出數(shù)列、通項公式，最終用錯位相減法即可求和【小問1詳解】依題意：，當(dāng)時，，兩式相減得：，（）．∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴．當(dāng)時，，即，解得．∴．【小問2詳解】由（1）知，，，依題意可得：，，則等差數(shù)列前3項分別為8，12，16，公差，∴．．．…①①得：．…②②①得：．∴．19.如圖，四面體中，是的中點.（1）當(dāng)在線段上移動時，推斷與是否垂直，并說明理由；（2）若，當(dāng)是線段的中點時，求到平面的距離.【答案】（1），理由見解析（2）【解析】【分析】（1）可推斷，依據(jù)線面垂直來證明異面直線垂直即可；（2）利用三棱錐體積轉(zhuǎn)換法求解到平面的距離.【小問1詳解】解：，理由如下：連接，，∵，，，∴．∴，又是的中點∴．∵，∴，且，平面．∴平面，又平面．∴．【小問2詳解】解：由，，可得，∵是的中點，∴．由（1）知，且，∴，．可得．又，，平面∴平面．當(dāng)是線段中點時到平面的距離與到平面的距離相等．因為是線段中點，所以到平面的距離為，由題可知，設(shè)到平面的距離為h，，由，即∴．即到平面的距離為．20.已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）若，證明:.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類探討確定的正負(fù)得單調(diào)區(qū)間；（2）計算，構(gòu)造函數(shù)，，求出，對再一次求導(dǎo)（需引入新函數(shù)），確定的單調(diào)性后得其正負(fù)，從而確定的單調(diào)性，得證結(jié)論成立．【小問1詳解】，若，，即，此時在R上單調(diào)遞減．若，解得，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】∵，設(shè)，，設(shè)，∴在上單調(diào)遞增，，．∴，在上單調(diào)遞增．∴．∴．21.已知橢圓的右焦點為F，離心率為，上頂點為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，與y軸交于點M，若，，推斷是否為定值？并說明理由．【答案】（1）（2）為定值，理由見詳解【解析】【分析】（1）依據(jù)題意列式求解；（2）由題意知可知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為，則，由已知向量等式可得，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明為定值.【小問1詳解】由題意可得，解得，故橢圓C的方程.【小問2詳解】為定值，理由如下：由（1）可得，由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，則，聯(lián)立方程，消去y得，則，，∵，，則，可得，（定值）.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算實力，屬中檔題.定值問題在改變中所表現(xiàn)出來的不變的量，用改變的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，解決這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，依據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等找尋不受參數(shù)影響的量.(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）求直線與曲線的一般方程，并說明是什么曲線？（2）設(shè)M，N是直線與曲線的公共點，點的坐標(biāo)為，求的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）消去參數(shù)即可得到直線與曲線的一般方程即可說明曲線.（2）將直線參數(shù)方程代入圓的一般方程即可得到與，依據(jù)參數(shù)的幾何意義探討求得的值.【小問1詳解】由題意可得：直線l的參數(shù)方程為消去參數(shù)得：.曲線的參數(shù)方程為.消去參數(shù)得：曲線表示以原點為圓心，以為半徑的圓.【小問2詳解】由（1）知：將直線的參數(shù)方程代入得：可知，，故與異號.不妨設(shè),易知，故==同理，易知，故==綜上：[選修1-5:不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）求