江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

Page12江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．2．記的內(nèi)角為A，B，C，則“A＝B”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．已知等比數(shù)列的公比q＞0，且，，則（）A．8 B．12 C．16 D．204．如圖，該圖象是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)的大致圖象，則該函數(shù)是（）A． B． C． D．5．若的綻開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為21，則a＝（）A．－3 B．－2 C．－1 D．16．設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是0.5，則（）附：隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，，．A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.34137．如圖是一個(gè)近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的長(zhǎng)為l（l＜r）．為了便利觀光，欲在A，B兩點(diǎn)之間修建一條筆直的走廊AB．若當(dāng)時(shí)，，則的值約為（）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知等差數(shù)列的公差d＜0，且．的前n項(xiàng)和記為，若是的最大值，則k的可能值為（）A．5 B．6 C．10 D．1110．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，則（）A．B的最小值為 B．C． D．的取值范圍為11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，若，對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都成立，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱 D．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱12．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，以8個(gè)頂點(diǎn)中的隨意3個(gè)頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形叫做K－三角形，12條棱中的隨意2條叫做棱對(duì)，則（）A．一個(gè)K－三角形在它是直角三角形的條件下，它又是等腰直角三角形的概率為B．一個(gè)K－三角形在它是等腰三角形的條件下，它又是等邊三角形的概率為C．一組棱對(duì)中兩條棱所在直線在相互平行的條件下，它們的距離為的概率為D．一組棱對(duì)中兩條棱所在直線在相互垂直的條件下，它們異面的概率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____．14．已知正方體中，過(guò)點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為H，則直線AH與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____．15．在中，，，BC邊上的中線長(zhǎng)為，則的面積為_(kāi)_____．16．將數(shù)列與的全部項(xiàng)放在一起，按從小到大的依次排列得到數(shù)列，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列的公差為2，前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（本小題滿分12分）已知兩個(gè)變量y與x線性相關(guān)，某探討小組為得到其詳細(xì)的線性關(guān)系進(jìn)行了10次試驗(yàn)，得到10個(gè)樣本點(diǎn)探討小組去掉了明顯偏差較大的2個(gè)樣本點(diǎn)，剩余的8個(gè)樣本點(diǎn)滿意，，依據(jù)這8個(gè)樣本點(diǎn)求得的線性回來(lái)方程為（其中）．后為穩(wěn)妥起見(jiàn)，探討小組又增加了2次試驗(yàn)，得到2個(gè)偏差較小的樣本點(diǎn)，，依據(jù)這10個(gè)樣本點(diǎn)重新求得線性回來(lái)方程為（其中，）．（1）求的值；（2）證明回來(lái)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并指出與3的大小關(guān)系．參考公式：線性回來(lái)方程，其中，．19．（本小題滿分12分）記函數(shù)的最小正周期為T(mén)．若，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將得到的圖象．上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．20．（本小題滿分12分）甲、乙兩地教化部門(mén)到某師范高校實(shí)施“優(yōu)才聘請(qǐng)安排”，即通過(guò)對(duì)畢業(yè)生進(jìn)行筆試，面試，模擬課堂考核這3項(xiàng)程序后干脆簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)考核組獨(dú)立依次考核，當(dāng)3項(xiàng)程序均通過(guò)后即可簽約．去年，該校數(shù)學(xué)系130名畢業(yè)生參與甲地教化部門(mén)“優(yōu)才聘請(qǐng)安排”的詳細(xì)狀況如下表（不存在通過(guò)3項(xiàng)程序考核放棄簽約的狀況）．性別人數(shù)參與考核但未能簽約的人數(shù)參與考核并能簽約的人數(shù)男生4515女生6010今年，該校數(shù)學(xué)系畢業(yè)生小明打算參與兩地的“優(yōu)才聘請(qǐng)安排”，假定他參與各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計(jì)：小明通過(guò)甲地的每項(xiàng)程序的概率均為，通過(guò)乙地的各項(xiàng)程序的概率依次為，，m，其中0＜m＜1．（1）推斷是否有90%的把握認(rèn)為這130名畢業(yè)生去年參與甲地教化部門(mén)“優(yōu)才聘請(qǐng)安排”能否簽約與性別有關(guān)；（2）若小明能與甲、乙兩地簽約分別記為事務(wù)A，B，他通過(guò)甲、乙兩地的程序的項(xiàng)數(shù)分別記為X，Y．當(dāng)E（X）＞E（Y）時(shí)，證明：P（A）＞P（B）．參考公式與臨界值表：，n＝a＋b＋c＋d．0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.63521．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐A－BCD中，已知平面平面BCD，，，BD＝2，E為BC的中點(diǎn)．（1）若，求直線BD與AE所成角的余弦值；（2）已知點(diǎn)F在線段AC上，且，求二面角F－DE－C的大小．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，．（1）若在x＝0處的切線與在x＝1處的切線相同，求實(shí)數(shù)a的值；（2）令，直線y＝m與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，證明：．常州市教化學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.【答案】B【解析】，，，，選B．2．【答案】C【解析】中，A＝B是的充要條件，選C．3．【答案】A【解析】等比數(shù)列中，，∴，，∴，又q＞0，∴q＝2，，選A．4．【答案】D【解析】，解除B，，解除AC，選D．5．【答案】C【解析】綻開(kāi)式第r＋1項(xiàng)，的系數(shù)，∴a＝－1，選C．6．【答案】B【解析】時(shí)，∴，，，∴，選B．7．【答案】D【解析】令，則，則，，，∴，選D．8．【答案】C【解析】法一：x＝0.2，，，，令，，，，0＜x＜1時(shí)，，，，，，，∴a＜b，令，，，∴在，，∴a＞c，∴c＜a＜b，選C．法二：秒殺，運(yùn)用到（，），∴c＜a＜b，選C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】AB【解析】，∴，∴，d＜0，∴是的最大值，選AB．10．【答案】BC【解析】a，b，c成等比數(shù)列，，，∴，，A錯(cuò)．，B對(duì)．，C對(duì)．令，則，∴b＝aq，，∴，∴，D錯(cuò)．11．【答案】ABC【解析】為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于x＝2對(duì)稱，是周期為8的周期函數(shù)，A對(duì)．，，即，即，即為偶函數(shù)，B對(duì)．，∴，即，∴關(guān)于對(duì)稱，C對(duì)，選ABC．與關(guān)于x＝2對(duì)稱，與不關(guān)于x＝2對(duì)稱，D錯(cuò)．12．【答案】BCD【解析】方法一：正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形所得的三角形是等腰直角三角形只能在各個(gè)面上，在每一個(gè)面上能組成等腰直角三角形的有四個(gè)，4×6＝24，即24個(gè)等腰直角三角形．，明顯直角三角形不行能有72個(gè)，則A錯(cuò)．對(duì)于B，等邊三角形有：，，，，，，，共8個(gè)，∴等腰三角形共有32個(gè)，，B對(duì)．對(duì)于C，相互平行的棱共有個(gè)結(jié)果，距離為的有3×2＝6個(gè)結(jié)果，，C對(duì)．對(duì)于D中一組棱對(duì)中相互垂直的共有個(gè)結(jié)果，共面的有4×4＋4×2＝24個(gè)結(jié)果，，D對(duì)．方法二：對(duì)于A，直角三角形共有，為等腰直角三角形的概率，A錯(cuò)．對(duì)于B，等腰三角形共有，為等邊三角形的有8個(gè)，故又是等邊三角形的概率，B正確．對(duì)于C，相互平行的棱有對(duì)，距離為的有6對(duì)，，C正確．對(duì)于D，相互垂直的棱有12×4＝48對(duì)，相互異面的有12×2＝24對(duì)，故，D正確．選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】【解析】，．14．【答案】【解析】∵平面，∴與平面所成角與AH與平面所成角相等，∵平面，∴為與平面所成角，．15．【答案】【解析】，∴，則AC＝4，設(shè)BC中點(diǎn)為D，，，，則，．16．【答案】2024【解析】3×684＝2052，，，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列算到3×（684－10）＝2024（第674項(xiàng)）時(shí)，包含恰好的前10項(xiàng)，∴．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【解析】（1）等差數(shù)列的公差為2，前n項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，化為，解得．所以．（2），．18．【解析】（1）這8個(gè)樣本點(diǎn)橫坐標(biāo)平均數(shù)，縱坐標(biāo)平均數(shù)，則．（2）樣本點(diǎn)，分別記為，，則這10個(gè)樣本點(diǎn)橫坐標(biāo)平均數(shù)，縱坐標(biāo)平均數(shù)．依據(jù)線性回來(lái)方程系數(shù)公式得，，故y＝nx＋m過(guò)點(diǎn)．．19．【解析】（1），所以．因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期T滿意，所以，解得，所以．（2）由（1）得，，所以．因?yàn)?，所以，，，在上的值域?yàn)椋?0．【解析】（1）因?yàn)?，且，所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為去年該校130名數(shù)學(xué)系畢業(yè)生參與甲地教化部門(mén)“優(yōu)才聘請(qǐng)安排”能否簽約與性別有關(guān)．（2）因?yàn)樾∶鲄⑴c各程序的結(jié)果相互不影響，所以，則．Y的可能取值為0，1，2，3．，，，．隨機(jī)變量Y的分布列：Y0123P．因?yàn)镋（X）＞E（Y），所以，即，所以，所以P（A）＞P（B）．21．【解析】（1）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OC，因?yàn)?，O為BD中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面BCD＝BD，平面BCD，所以平面ABD，又因?yàn)槠矫鍭BD，所以，因?yàn)?，，，OC，平面OAC，所以平面OAC，又因?yàn)槠矫鍻AC，所以．中，，O為BD中點(diǎn)，BD＝2，所以O(shè)C＝2．中，，O為BD中點(diǎn)，BD＝2，，所以O(shè)A＝1．以O(shè)B，OC，OA為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系O－xyz，則，，，，所以，所以，，所以直線BD與AE所成角的余弦值為．（2）設(shè)OA＝a，則，，，，，則，，設(shè)平面FDE法向量為，則，所以，取x＝2，y＝－3，z＝0，得到平面FDE的一個(gè)法向量，