量子力學(xué)期末試題及答案

量子力學(xué)期末試題及答案第第頁量子力學(xué)期末試題及答案一、（20分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài)其中，為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫出時(shí)的波函數(shù)。解已知?dú)湓拥谋菊髦禐?，?）將時(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式（2）利用歸一化條件（3）于是，歸一化后的波函數(shù)為（4）能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為（5）能量平均值為（6）自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為（7）自旋分量的平均值為（8）時(shí)的波函數(shù)（9）二.（20分）質(zhì)量為的粒子在如下一維勢阱中運(yùn)動(dòng)若已知該粒子在此勢阱中有一個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度。解對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為（1）其中，（2）利用波函數(shù)再處的連接條件知，，。在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件（3）得到（4）于是有（5）此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于（6）故（7）最后得到勢阱的寬度（8）三、（20分）證明如下關(guān)系式（1）任意角動(dòng)量算符滿足。證明對(duì)分量有同理可知，對(duì)與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。投影算符是一個(gè)厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。證明在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為而投影算符的共軛算符的矩陣元為顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明四、（20分）在與表象中，在軌道角動(dòng)量量子數(shù)的子空間中，分別計(jì)算算符、與的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解在與表象下，當(dāng)軌道角動(dòng)量量子數(shù)時(shí)，，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對(duì)角矩陣，且其對(duì)角元為相應(yīng)的本征值，于是有（1）相應(yīng)的本征解為（2）對(duì)于算符、而言，需要用到升降算符，即（3）而（4）當(dāng)時(shí)，顯然，算符、的對(duì)角元皆為零，并且，（5）只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零，即（6）于是得到算符、的矩陣形式如下（7）滿足的本征方程為（8）相應(yīng)的久期方程為（9）將其化為（10）得到三個(gè)本征值分別為（11）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為（12）滿足的本征方程為（13）相應(yīng)的久期方程為（14）將其化為（15）得到三個(gè)本征值分別為（16）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為（17）五、（20分）由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微擾項(xiàng)（分別為兩個(gè)線諧振子的坐標(biāo)）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。提示：線諧振子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為式中，。解體系的哈密頓算符為（1）其中（2）已知的解為（3）其中（4）將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫出來（5）對(duì)于基態(tài)而言，，，體系無簡并。利用公式（6）可知（7）顯然，求和號(hào)中不為零的矩陣元只有（8）于是得到基態(tài)能量的二級(jí)修正為（9）第二激發(fā)態(tài)為三度簡并，能量一級(jí)修正滿足的久期方程為（10）其中（11）將上式代入（10）式得到（12）整理之，滿足（13）于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正為（14）1.微觀粒子具有波粒二象性。2．德布羅意關(guān)系是粒子能量E、動(dòng)量P與頻率、波長之間的關(guān)系，其表達(dá)式為：E=,p=。3．根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，的物理意義為：粒子在x—dx范圍內(nèi)的幾率。4．量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表示。 5．坐標(biāo)的分量算符和動(dòng)量的分量算符的對(duì)易關(guān)系為：。6．量子力學(xué)關(guān)于測量的假設(shè)認(rèn)為：當(dāng)體系處于波函數(shù)(x)所描寫的狀態(tài)時(shí)，測量某力學(xué)量F所得的數(shù)值，必定是算符的本征值。7．定態(tài)波函數(shù)的形式為：。8．一個(gè)力學(xué)量為守恒量的條件是：不顯含時(shí)間，且與哈密頓算符對(duì)易。9．根據(jù)全同性原理，全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的交換對(duì)稱性，費(fèi)米子體系的波函數(shù)是_反對(duì)稱的_____________,玻色子體系的波函數(shù)是_對(duì)稱的________。10．每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值為：。二、證明題：（每題10分，共20分）得分評(píng)卷人1、（10分）利用坐標(biāo)和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，證明軌道角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系：證明：2、（10分）由Schr?dinger方程證明幾率守恒：其中幾率密度幾率流密度證明：考慮Schr?dinger方程及其共軛式：在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：三、計(jì)算題：（共40分）得分評(píng)卷人1、（10分）設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量E、角動(dòng)量平方L2、角動(dòng)量Z分量LZ的可能值及這些可能值出現(xiàn)的幾率。解：在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值，幾率為1角動(dòng)量平方有確定值為，幾率為1角動(dòng)量Z分量的可能值為其相應(yīng)的幾率分別為，2、（10分）求角動(dòng)量z分量的本征值和本征函數(shù)。解：波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)φ轉(zhuǎn)過2π角回到原位時(shí)波函數(shù)值相等，即：求歸一化系數(shù)最后，得Lz的本征函數(shù)3、（2