自動控制原理 課件 第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析法

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析法5.1頻率特性的基本概念

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

5.4頻率穩(wěn)定判據(jù)5.5穩(wěn)定裕度5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.7控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性本章要點：(1)頻率特性及其幾何表示。(2)典型環(huán)節(jié)的頻率特性。(3)系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線和開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制及頻率域穩(wěn)定判據(jù)。(4)穩(wěn)定裕度的定義及求解。(5)利用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能及閉環(huán)頻域特性。(1)理解頻率特性的基本概念，學會頻率特性的幾種幾何表示方法。(2)掌握最小相位和非最小相位典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線、對數(shù)頻率特性曲線的特點。(3)掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制概略開環(huán)幅相特性曲線和開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線及對數(shù)相頻特性曲線的方法，學會應用頻率域穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。(4)掌握由具有最小相位性質的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。(5)理解幅值裕度和相角裕度的概念，并會求解。(6)理解系統(tǒng)開環(huán)頻域指標和時域指標的關系（特別是典型二階系統(tǒng)），理解三頻段法分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的方法。(7)理解系統(tǒng)閉環(huán)頻域指標與開環(huán)頻域指標、時域指標的關系。學習目標：(1)典型環(huán)節(jié)的頻率特性。(2)系統(tǒng)概略開環(huán)幅相特性曲線和開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線的繪制。(3)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其應用。(4)幅值裕度和相角裕度的求解。(5)利用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的三頻段法。本章重點：第5章控制系統(tǒng)的頻域分析法

頻域分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性來分析和設計控制系統(tǒng)的一種圖解方法，其具有以下特點。（1）控制系統(tǒng)或元部件的頻率特性可以由分析法和實驗法確定，且具有明確的物理意義。（2）頻率特性可以用多種形式的幾何方法表示，因此可以運用圖解法對控制系統(tǒng)進行研究，從而避免了求解微分方程時的一些繁瑣計算。（3）頻域分析法是通過開環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，且能較方便地分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，從而進一步提出改善系統(tǒng)性能的方法。（4）控制系統(tǒng)的頻域設計可以兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制兩方面的要求。（5）頻域分析法既適用于線性定常系統(tǒng)，在一定條件下，也能推廣應用于某些非線性控制系統(tǒng)（如含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）。因此，頻域分析法在工程實際中得到了廣泛的應用。5.1頻率特性的基本概念

控制系統(tǒng)的頻率特性，指系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號作用下，其穩(wěn)態(tài)響應隨輸入信號頻率變化（

從

變到

）而變化的特性，它是控制系統(tǒng)的頻率域數(shù)學模型。5.1.1控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應設

階穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為假設

個極點

都是單極點。當輸入為正弦信號

時，有則所以系統(tǒng)的輸出響應為由于系統(tǒng)穩(wěn)定，所以當

時，上式右端第一項趨于

。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為其中則有根據(jù)歐拉公式得表明:穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應，是與輸入同頻率的正弦信號，其與輸入信號的幅值之比是

的值

，相位之差是

的相角

，它們都是輸入信號頻率

的函數(shù)。1.頻率特性的定義上述頻率特性的定義是通過穩(wěn)定系統(tǒng)推導出來的，實際上也適用于不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可以通過實驗的方法確定，即將不同頻率的正弦信號加到系統(tǒng)的輸入端，在輸出端測量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，根據(jù)幅值比和相位差就可獲得系統(tǒng)的頻率特性。而不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性是不能用實驗方法確定的。5.1.2頻率特性

線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)響應與輸入信號的幅值之比定義為系統(tǒng)的幅頻特性，相位之差定義為系統(tǒng)的相頻特性，分別用

和

表示。即指數(shù)形式表達式定義為系統(tǒng)的頻率特性。2.頻率特性與傳遞函數(shù)的關系同微分方程和傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也只取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，表征了系統(tǒng)本身的特性和運動規(guī)律，是描述線性控制系統(tǒng)的數(shù)學模型之一。將系統(tǒng)傳遞函數(shù)

中的復變量

用

代替，就得到系統(tǒng)的頻率特性

，即

和

可以看作輸出和輸入的傅里葉變換。也就是說，穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的傅里葉變換之比，這正是頻率特性的物理意義。教材P51-P52例5-11.幅頻特性曲線和相頻特性曲線5.1.3頻率特性的幾何表示法

在以頻率

為橫軸、幅頻特性

為縱軸的直角坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為幅頻特性曲線。在以頻率

為橫軸、相頻特性

為縱軸的直角坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為相頻特性曲線。教材P51-P52例5-22.幅相頻率特性曲線教材P51-P52例5-3在以

的實部為橫軸（實軸）、虛部為縱軸（虛軸）的復平面（簡稱

平面）上，將頻率

作為參變量，繪制出幅頻特性

和相頻特性

之間的關系曲線，即為幅相頻率特性曲線，又稱奈奎斯特（Nyquist）曲線或極坐標圖。頻率特性

為

平面上的向量，向量的長度為幅頻特性

，向量與實軸正方向的夾角等于相頻特性

，且逆時針方向為正。當

從

到

變化時，向量的端點在

平面上畫出的曲線就是幅相頻率特性曲線。通常用箭頭表明

增大時幅相特性曲線的變化方向，并把

標在箭頭旁邊。3.對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)頻率特性曲線也稱伯德（Bode）圖，包括對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。（1）對數(shù)幅頻特性曲線在以頻率

為橫軸、幅頻特性

的對數(shù)值

為縱軸的坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為對數(shù)幅頻特性曲線。其中，縱坐標單位是分貝（

），為線性分度，即

每增加或減小10倍，

變化

；橫坐標單位是弧度/秒（

），以

對數(shù)分度，即

取常用對數(shù)后是線性分度，但為了便于觀察仍標注為頻率

，因此橫坐標對于

而言不是線性分度。對數(shù)分度（2）對數(shù)相頻特性曲線在以頻率

為橫軸、相頻特性

為縱軸的坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為對數(shù)相頻特性曲線。其中，縱坐標單位是度（

），為線性分度；橫坐標與對數(shù)幅頻特性曲線的橫坐標相同。教材P51-P52例5-4綜上所述，對數(shù)頻率特性曲線具有如下特點：（1）對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的縱坐標，分別以對數(shù)幅頻分貝數(shù)和相頻度數(shù)線性分度，是均勻的；橫坐標以頻率對數(shù)分度，但標注的是頻率的實際值，是不均勻的。由此構成的坐標系稱為半對數(shù)坐標系。（2）橫軸上，對應于頻率每增大或減小十倍的范圍，稱為十倍頻程（

），橫軸上所有十倍頻程的長度是相等的。（3）橫坐標采用

的對數(shù)分度擴大了頻帶寬度，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。（4）對數(shù)幅頻特性采用

將幅值的乘除運算化為加減運算，簡化了曲線的繪制過程。（5）為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引入斜率的概念。半對數(shù)坐標系中的直線斜率為

4.對數(shù)幅相頻率特性曲線在以相頻特性

為橫軸、對數(shù)幅頻特性

為縱軸的直角坐標平面上，將

作為參變量，繪制出

與

的關系曲線，即為對數(shù)幅相頻率特性曲線，也稱尼柯爾斯（Nichols）圖。其中，縱坐標單位是分貝（

），橫坐標單位是度（

），均為線性分度。5.1.4MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下?？刂葡到y(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應可以用MATLAB提供的lsim()函數(shù)實現(xiàn)。例5-5已知某控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1.控制系統(tǒng)在正弦信號作用下穩(wěn)態(tài)響應的MATLAB實現(xiàn)當輸入信號

，求系統(tǒng)的輸出響應。clc;clearnum=[2,1];den=[1,3,2];G=tf(num,den);t=0:0.1:20;r=sin(t);y=lsim(G,r,t);plot(t,r,t,y);grid;xlabel('t');gtext('r(t)');gtext('c(t)');運行結果如圖所示。可見，正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應，是與輸入同頻率的正弦信號，僅是幅值與相位不同。系統(tǒng)的頻率特性可以用MATLAB提供的freqs()函數(shù)來分析。該函數(shù)可以求出系統(tǒng)頻率特性的數(shù)值解，也可以繪出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線，其調用格式如下。G=freqs(num,den,w)%w是形如w1:p:w2的頻率范圍，向量G返回向量w所定義的頻率點上的頻率特性的樣值。[G,w]=freq(b,a)%向量G返回默認頻率范圍內200個頻率點上的頻率特性的樣值，200個頻率點記錄在w中。[G,w]=freq(b,a,n)%向量G返回默認頻率范圍內n個頻率點上的頻率特性的樣值，n個頻率點記錄在w中。freq(b,a)%該調用格式不返回頻率特性的樣值，直接繪出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。2.系統(tǒng)頻率特性的MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。clc;clearw=[0:0.01:10];num=[2,1];den=[1,3,2];G=freqs(num,den,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(G));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('A(\omega)');gridon;例5-6試畫出例5-5系統(tǒng)的幅頻特性

和相頻特性

曲線。subplot(2,1,2);plot(w,angle(G));xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('\phi(\omega)');gridon;運行結果如圖所示。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

典型環(huán)節(jié)可分為最小相位環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)兩大類。2.2節(jié)中介紹的典型環(huán)節(jié)中，除延遲環(huán)節(jié)外，其余都是最小相位典型環(huán)節(jié)。非最小相位典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)五種。除比例環(huán)節(jié)外，其它四種和相對應的最小相位典型環(huán)節(jié)的不同在于開環(huán)零點或極點位于

右半平面。5.2.1比例環(huán)節(jié)（1）幅相頻率特性1.最小相位比例環(huán)節(jié)頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-1中①所示，其為

平面正實軸上的一個點。（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)頻率特性曲線如圖5-2-2中①所示，其對數(shù)幅頻特性是一條高度為

的水平線，對數(shù)相頻特性是與橫軸重合的一條直線。（1）幅相頻率特性2.非最小相位比例環(huán)節(jié)頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-1中②所示，其為

平面負實軸上的一個點。（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)頻率特性曲線如圖5-2-2中②所示，其對數(shù)幅頻特性與最小相位比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相同，對數(shù)相頻特性是過

的一條水平線。5.2.2積分環(huán)節(jié)（1）幅相頻率特性頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-3中①所示，其為

平面上與負虛軸重合的一條直線。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)頻率特性曲線如圖5-2-4中①所示，其對數(shù)幅頻特性是斜率為

且過點

的一條直線，對數(shù)相頻特性是通過

的一條水平線。5.2.3

微分環(huán)節(jié)（1）幅相頻率特性頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-3中②所示，其為

平面上與正虛軸重合的一條直線。微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)頻率特性曲線如圖5-2-4中②所示，其對數(shù)幅頻特性是斜率為

且過點

的一條直線，對數(shù)相頻特性是通過

的一條水平線?？梢?，微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線關于

線對稱，對數(shù)相頻特性曲線關于

線對稱。此結論同樣適用于其他傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)。5.2.4慣性環(huán)節(jié)（1）幅相頻率特性1.最小相位慣性環(huán)節(jié)頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-5中①所示，其為

平面第四象限內，以

為圓心、

為半徑的半圓。（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-2-6上圖中曲線①的虛線所示。在控制工程中，為了簡化對數(shù)幅頻特性曲線的作圖，常用對數(shù)幅頻漸進特性曲線近似表示。對數(shù)幅頻漸進特性曲線的繪制方法如下：當

時，

，即低頻漸近線是一條與

線重合的直線當

時，

，即高頻漸近線是過點

、斜率為

的一條直線可畫出對數(shù)幅頻漸進特性曲線如圖5-2-6上圖中曲線①的實線所示。:慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率。用對數(shù)幅頻漸進特性近似表示對數(shù)幅頻特性存在誤差，誤差曲線如圖5-2-7所示。轉折頻率

處誤差最大，約為

。通常可以根據(jù)誤差曲線對對數(shù)幅頻漸進特性曲線進行修正而獲得準確的對數(shù)幅頻特性曲線。對數(shù)相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)相頻特性曲線如圖5-2-6下圖中曲線①所示，該曲線關于點

中心對稱。（1）幅相頻率特性2.非最小相位慣性環(huán)節(jié)頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-5中②所示，其為

平面第一象限內，以

為圓心、

為半徑的半圓?？梢?，非最小相位與最小相位的慣性環(huán)節(jié)幅相特性曲線關于實軸對稱。此結論同樣適用于最小相位與非最小相位的一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)。（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為類似于最小相位慣性環(huán)節(jié)的分析方法，可畫出非最小相位慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-2-6上圖中的曲線①所示，對數(shù)相頻特性曲線如圖5-2-6下圖中的曲線②所示?？梢?，非最小相位與最小相位的慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線相同，對數(shù)相頻特性曲線關于

線對稱。此結論同樣適用于最小相位與非最小相位的一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)。。5.2.5一階微分環(huán)節(jié)（1）幅相頻率特性1.最小相位一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-5中③所示，其為

平面第一象限內，過點

且平行于虛軸的一條直線。。（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為由于最小相位的一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，根據(jù)前述結論，可畫出一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線如圖5-2-6中曲線②所示，其對數(shù)幅頻漸進特性曲線的低頻漸近線是一條與

線重合的直線，高頻漸近線是過點

、斜率為

的一條直線，轉折頻率為

；對數(shù)相頻特性曲線關于點

中心對稱。（1）幅相頻率特性2.2.非最小相位一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為幅頻特性和相頻特性為根據(jù)前面結論，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-5中④所示，其為

平面第四象限內，過點

且平行于虛軸的一條直線。（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為根據(jù)前面結論，可畫出對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-2-6上圖中的曲線②所示，對數(shù)相頻特性曲線如圖5-2-6下圖中的曲線①所示。5.2.6振蕩環(huán)節(jié)1.最小相位振蕩環(huán)節(jié)頻率特性為（1）幅相頻率特性幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，

從

變化，

從

變化。當

時，

，

，即曲線與虛軸的交點為

。為了分析

取值對曲線形狀的影響，先求

對

的一階導數(shù):當

時，令

求得：諧振頻率：諧振峰值在

時，

單調遞增，

時，

單調遞減，表明在

處，

具有極大值:當

時，在

的范圍內

，

表明

單調遞減?？僧嫵稣袷幁h(huán)節(jié)在不同阻尼比

時的幅相特性曲線如圖5-2-8所示。（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性為在控制工程中，常用對數(shù)幅頻漸進特性曲線近似表示對數(shù)幅頻特性。對數(shù)幅頻漸進特性曲線的繪制方法如下：可畫出對數(shù)幅頻漸進特性曲線如圖5-2-9中曲線①所示。當

時，

，即低頻漸近線與

線重合的直線當

時，

，即高頻漸

近線是過點

、斜率為

的一條直線:振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率。用對數(shù)幅頻漸進特性近似表示對數(shù)幅頻特性存在誤差，誤差曲線如圖5-2-10所示。根據(jù)誤差曲線通過對漸進特性曲線進行修正，得到對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-2-9所示。對數(shù)相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)相頻特性曲線如圖5-2-9所示，該簇曲線關于點

中心對稱。2.非最小相位振蕩環(huán)節(jié)頻率特性為（1）幅相頻率特性幅頻特性和相頻特性為根據(jù)非最小相位與最小相位的振蕩環(huán)節(jié)幅相特性曲線關于實軸對稱，即可畫出非最小相位振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性曲線。（2）對數(shù)頻率特性根據(jù)非最小相位與最小相位的振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線相同、對數(shù)相頻特性曲線關于

線對稱，即可畫出非最小相位振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線。5.2.7二階微分環(huán)節(jié)1.最小相位二階微分環(huán)節(jié)頻率特性為（1）幅相頻率特性幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，

從

變化，

從

變化。當

時，

，

即曲線與虛軸的交點為

。

當

時，在

處，

具有極小值

，在

時，

從1單調遞減為

，

時，

從

單調遞增為

。

當

時，在

的范圍內，

從1單調遞增為

可畫出二階微分環(huán)節(jié)在不同阻尼比

時的幅相特性曲線如圖5-2-11所示。（2）對數(shù)頻率特性根據(jù)最小相位的二階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，兩者的對數(shù)幅頻特性曲線關于

線對稱，對數(shù)相頻特性曲線關于

線對稱,可畫出二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線如圖5-2-12所示。①圖5-2-112.非最小相位二階微分環(huán)節(jié)頻率特性為（1）幅相頻率特性根據(jù)非最小相位與最小相位的二階微分環(huán)節(jié)幅相特性曲線關于實軸對稱，即可畫出非最小相位二階微分環(huán)節(jié)的幅相特性曲線。（2）對數(shù)頻率特性根據(jù)非最小相位與最小相位的二階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線相同、對數(shù)相頻特性曲線關于

線對稱，即可畫出非最小相位二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線。5.2.8延遲環(huán)節(jié)（1）幅相頻率特性頻率特性為幅頻特性和相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出幅相特性曲線如圖5-2-13所示，其為

平面上圓心在原點的單位圓。延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（2）對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性為當頻率

從

變化時，可畫出對數(shù)頻率特性曲線如圖5-2-14所示，其對數(shù)幅頻特性曲線與

線重合，對數(shù)相頻特性曲線是一條呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線。5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

常用的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線有開環(huán)幅相特性曲線和開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。5.3.1開環(huán)幅相特性曲線設典型環(huán)節(jié)的頻率特性為則系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性和開環(huán)相頻特性為即:系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性為組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性之積，開環(huán)相頻特性為各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之和。當頻率

從

變化時，便可繪制出系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。在控制工程中，只需要繪制概略的開環(huán)幅相特性曲線即可滿足需要。方法如下：（1）將開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)進行分解，并寫出開環(huán)頻率特性表達式。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可分解為開環(huán)頻率特性為（2）確定開環(huán)幅相特性曲線的起點和終點。最小相位系統(tǒng)的起點為起點:取決于比例環(huán)節(jié)和系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）（3）確定開環(huán)幅相特性曲線與實軸和虛軸的交點。最小相位系統(tǒng)的終點為終點:取決于開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項式中最小相位環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)的階次和與實軸的交點:令或則與實軸的交點坐標值為求出頻率——實軸穿越頻率與虛軸的交點:令或則與虛軸的交點坐標值為求出頻率——實軸穿越頻率（4）分析開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍（象限、單調性等）。解：例5-7設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下列各式，試分別繪制系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相特性曲線。（1）（2）（1）①系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為②由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

，起點為③與實軸的交點終點為解得

，即系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線除起點外與實軸無交點。與虛軸的交點解得

，即與虛軸的交點坐標值為④在

從

變化時，

的實部可正可負而虛部小于0，故開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍為第Ⅳ和第Ⅲ象限。綜上，可繪出系統(tǒng)概略開環(huán)幅相特性曲線如圖所示。（2）①系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為②由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

，起點為終點為③在

從

變化時，開環(huán)幅相特性曲線與實軸和虛軸均無交點。綜上，可繪出系統(tǒng)概略開環(huán)幅相特性曲線如圖所示。④在

從

變化時，若

，的實部和虛部都小于0，開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍在第Ⅲ象限；若

，

的實部大于0而虛部小于0，開環(huán)幅相特性曲線的變化范圍在第Ⅳ象限。5.3.2開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性和開環(huán)對數(shù)相頻特性為即:開環(huán)對數(shù)幅頻特性為組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性之和，開環(huán)對數(shù)相頻特性為各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性之和。據(jù)此，可先繪制各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線，然后將它們疊加即可方便地繪制出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。1.開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制實際上，系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線在控制系統(tǒng)的分析和設計中具有十分重要的作用方法如下：（1）將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時間常數(shù)形式表達式，確定其由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。（2）確定系統(tǒng)的開環(huán)增益

、積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）

、一階環(huán)節(jié)的轉折頻率

和二階環(huán)節(jié)的轉折頻率

，并將各轉折頻率從小到大標注在半對數(shù)坐標系的橫軸上。（3）繪制低頻段（小于最小轉折頻率

的頻率范圍）漸近特性曲線。當

時，一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線與

線重合，所以低頻段內的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線僅由

決定，即滿足方程這是一條斜率為

且過

或

點的直線。（4）繪制頻段的漸進特性曲線。當時，每遇到一個轉折頻率，根據(jù)該轉折頻率對應的典型環(huán)節(jié)的種類，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線的斜率做相應的改變。改變規(guī)律為：慣性環(huán)節(jié)斜率減小，一階微分環(huán)節(jié)斜率增大，振蕩環(huán)節(jié)斜率減小，二階微分環(huán)節(jié)斜率增大。（5）若需要得到較為準確的對數(shù)幅頻特性曲線，可以根據(jù)5.2節(jié)給出的典型環(huán)節(jié)的誤差曲線，在相應轉折頻率點處對分段折線進行修正。解：例5-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式表達式為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線。（2）系統(tǒng)的開環(huán)增益

，

，在半對數(shù)坐標系的橫軸上順序標出轉折頻率：

一階微分環(huán)節(jié)轉折頻率：

慣性環(huán)節(jié)轉折頻率：

振蕩環(huán)節(jié)轉折頻率：

即一條斜率為

且過

點的直線。（3）繪制

的漸進特性曲線。低頻段滿足方程綜上，可繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線如圖所示。（4）繪制

頻段的漸進特性曲線。①當

時，由于一階微分環(huán)節(jié)的作用，漸進線斜率增大

，即由

變化到

；②當

時，由于慣性環(huán)節(jié)的作用，漸進線斜率減小

，即由

變化到

；③當

時，由于振蕩環(huán)節(jié)的作用，漸進線斜率減小

，即由

變化到

；（5）若有必要，對開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線進行修正。系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線的繪制，一般有兩種方法。一種是分別繪出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，然后逐點疊加并連接成光滑曲線，便得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線；另一種是寫出開環(huán)對數(shù)相頻特性

的表達式，通過描點法繪出開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。解：例5-9試繪出例5-8系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性為

當

從

變化時，通過描點法可繪出開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線如圖所示。2.由開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)方法如下：（2）確定開環(huán)傳遞函數(shù)的結構形式。根據(jù)轉折頻率前后直線的斜率，確定該轉折頻率所對應的典型環(huán)節(jié)的類型，從而寫出包含待定參數(shù)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達式。（3）由給定條件確定傳遞函數(shù)中的待定參數(shù)。（1）確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）

和開環(huán)增益

。由低頻漸近線的斜率為

且過

或

點，可以確定

和

。例5-10已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：（1）確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（系統(tǒng)型別）

和開環(huán)增益

。因為開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線的低頻漸近線的斜率為

，故

；又因為低頻漸近線的延長線過

點，所以

，故

。（2）確定開環(huán)傳遞函數(shù)的結構形式。①

處，漸進線斜率由

變化到

，增大

，所以對應一階微分環(huán)節(jié)

②

處，漸進線斜率由

變化到

，減小

，所以對應慣性環(huán)節(jié)

因此，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)形式為（3）由給定條件確定傳遞函數(shù)中的待定參數(shù)。由解得由解得則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為5.3.3MATLAB實現(xiàn)求取并繪制系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線可以用MATLAB提供的nyquist()函數(shù)實現(xiàn)，其調用格式如下。nyquist(sys)%繪制系統(tǒng)在默認頻率范圍內的奈奎斯特圖，sys是由函數(shù)tf()、zpk()或ss()建立的系統(tǒng)模型。nyquist(sys,w)%繪制系統(tǒng)在向量w所定義的頻率范圍內的奈奎斯特圖。nyquist(sys1,sys2,...)%在同一個繪圖窗口中繪制多個系統(tǒng)的奈奎斯特圖。[re,im,w]=nyquist(sys)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，而是返回系統(tǒng)奈奎斯特圖相應的實部、虛部和頻率向量。[re,im]=nyquist(sys,w)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，而是返回系統(tǒng)奈奎斯特圖在向量所定義頻率范圍內的實部、虛部。1.系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線的MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。例5-11已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為clc;clear;k=10;T=[2,8];tao=5;forj=1:length(T)num=[k*tao,k];利用MATLAB繪制

、

、

時系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。den=[T(j),1,0];sys=tf(num,den);nyquist(sys);holdon;endgtext('T<tao');gtext('T>tao');運行結果如圖所示。解：MATLAB程序如下。例5-12利用MATLAB繪制例5-8系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。clc;clear;num=[20000,20000];den=conv([1,0],conv([1,5],[1,10,400]));sys=tf(num,den);nyquist(sys);axis([-6,8,-30,30]);運行結果如圖所示。求取并繪制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線可以用MATLAB提供的bode()函數(shù)實現(xiàn)，其調用格式如下。bode(sys)%繪制系統(tǒng)在默認頻率范圍內的伯德圖，sys是由函數(shù)tf()、zpk()或ss()建立的系統(tǒng)模型。bode(sys,w)%繪制系統(tǒng)在向量w所定義的頻率范圍內的伯德圖。bode(sys1,sys2,...)%在同一個繪圖窗口中繪制多個系統(tǒng)的伯德圖。[mag,phase,w]=bode(sys)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的伯德圖，而是返回系統(tǒng)伯德圖相應的幅值、相位和頻率向量，可用magdB=20*log10(mag)將幅值轉換為分貝值。[mag,phase]=bode(sys,w)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的伯德圖，而是返回系統(tǒng)伯德圖在向量w所定義頻率范圍內的幅值、相位和頻率向量，可用magdB=20*log10(mag)將幅值轉換為分貝值。bodeasym(sys)%繪制單個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線。2.系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。clc;clear;%K分別取10,100,1000k=[10,100,1000];fori=1:length(k)num=[10*k(i),k(i)];den=conv([1,0],conv([1,1],[0.01,0.1,1]));例5-13已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為利用MATLAB繪制

取不同值時系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線，并分析

的取值對曲線的影響。sys=tf(num,den);bode(sys);holdon;endgridon;gtext('k=10');gtext('k=100');gtext('k=1000');運行結果如圖所示?？梢?，隨著值增大，對數(shù)幅頻特性曲線向上平移，形狀不變；而對數(shù)相頻特性曲線不受影響。5.4頻率穩(wěn)定判據(jù)

頻率穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線來判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。常用的頻率穩(wěn)定判據(jù)有奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)兩種，其理論基礎是復變函數(shù)中的幅角原理。5.4.1幅角原理設

是一個復變函數(shù)，若其有m個零點

，n個極點

，則

可以表示成對于s平面上的任意一點s，根據(jù)映射關系，在

平面上可以確定對應的象

。若在s平面上任作一條不通過

任一零點和極點的閉合曲線

，當s從

曲線上某點A開始順時針沿

轉動一周回到點A，那么在

平面上對應的象

亦從

開始形成一條閉合曲線

回到

，如圖所示。（a）s平面（b）

平面

s平面和

平面的映射關系設s沿閉合曲線

順時針轉動時，

的幅角變化為

。則有當s沿閉合曲線

順時針轉動一周時，被

包圍的零點向量

和極點向量

的幅角變化均為

（逆時針轉動為正），即而不被

包圍的零點向量和極點向量的幅角變化均為0。若有

個零點和

個極點被

包圍，則有表明：在

平面上閉合曲線

逆時針繞原點

圈。幅角原理:設在s平面上閉合曲線不通過的任何零點和極點且包圍的個零點和個極點，則當s沿順時針轉動一周時，在平面上閉合曲線逆時針繞原點的圈數(shù)滿足

5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。幅角原理應用于控制系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，需要選取合適的輔助函數(shù)

。1.輔助函數(shù)

的選取設反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則閉環(huán)傳遞函數(shù)為令輔助函數(shù)

為可見：輔助函數(shù)

是閉環(huán)特征多項式與開環(huán)特征多項式之比。

具有如下特點：（1）

的零點和極點分別是系統(tǒng)的閉環(huán)極點和開環(huán)極點。因此，要使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，

的所有零點都必須位于左半s平面上。（2）若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式階次分別為

和

，通常

，則

的零點數(shù)和極點數(shù)相同，均為

個。（3）

與開環(huán)傳遞函數(shù)

之間只相差常數(shù)1，所以

平面上的坐標原點就是

平面上的

點。當s沿閉合曲線

順時針轉動一周時，在

平面上形成的閉合曲線

逆時針繞原點的圈數(shù)

就等于在

平面上形成的閉合曲線

逆時針繞點

的圈數(shù)。為了確定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，就要確定是否有閉環(huán)極點（即

的零點）在右半s平面上。根據(jù)幅角原理，可以在s平面上選取一條包圍整個右半s平面的閉合曲線

，將

的所有右零點（設有

個）和右極點（設有

個）包圍在內；同時，在

平面上繪制閉合曲線

并確定

逆時針繞點

的圈數(shù)

。則有若，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。分兩種情況討論。2.閉合曲線

的選取和閉合曲線

的繪制（1）

無虛軸上極點

如圖所示，閉合曲線

由三部分組成。對應的，

平面上閉合曲線

也由三部分組成。①正虛軸

，

從

變化。對應的，在

平面上是系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線

。③負虛軸

，

從

變化。對應的，在

平面上是系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線

關于實軸的鏡像。

實際系統(tǒng)分析中，只繪制

從

變化時系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線

，如此得到的曲線稱為半閉合曲線，仍用

表示。不難得到，若半閉合曲線

逆時針繞

點的圈數(shù)為

，則②半徑無窮大的右半圓

，

從

變化。對應的，在

平面上是原點（

時）或

點（

時），

為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。此點不影響

的確定，所以確定圈數(shù)

時不考慮。（2）

在虛軸上有極點以

含有積分環(huán)節(jié)為例進行說明。

如圖所示，閉合曲線在（1）的基礎上略作修改，即在原點附近取以原點為圓心、半徑為無窮小的右半圓

，

從

變化。同樣只繪制

從

變化時的半閉合曲線

，此時s取值需要先從

繞半徑無窮小的圓弧逆時針轉

到

，然后再沿虛軸到

。這樣需要補充

從

變化時小圓弧所對應的半閉合曲線部分。當s沿著無窮小圓弧從

逆時針轉動到

時，有

，對應

平面上的曲線為可見：當s沿著無窮小圓弧從

變化到

時，

角沿逆時針方向從

變化到

，對應

平面上的曲線從

開始沿半徑無窮大圓弧順時針轉過

角度到

，也可以說，

平面上的曲線從

開始沿半徑無窮大圓弧逆時針轉過

角度到

。上述分析表明，半閉合曲線

由開環(huán)幅相特性曲線和根據(jù)積分環(huán)節(jié)個數(shù)所補作的無窮大半徑的虛圓弧兩部分組成。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：3.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

若開環(huán)傳遞函數(shù)

在s右半平面有

個極點，閉環(huán)傳遞函數(shù)

在

s右半平面有

個極點，當頻率

從

變化時，半閉合曲線

不穿過

點且逆時針包圍

點的圈數(shù)為

，則有那么系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是

；否則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。其中，可通過半閉合曲線

穿越

點左側負實軸的次數(shù)來確定。

：正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）

：負穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），注意，若

由上向下起于或止于

點左側的負實軸，則為半次正穿越；若

由下向上起于或止于

點左側的負實軸，則為半次負穿越。當半閉合曲線

穿過

點時，表明閉環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有共軛復數(shù)極點，系統(tǒng)可能臨界穩(wěn)定，稱

為臨界點。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的步驟：

（1）由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定

和

；（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線；

（3）若

，補全半封閉曲線

。補線原則：從

點處開始逆時針作半徑無窮大、圓心角為

的圓??；例5-14已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖所示。（3）由于，所以無需補線。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可知，隨

增大，

點自上向下起于

點左側負實軸，所以為半次正穿越，即

，而

，所以因此該系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。例5-15已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。若系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，指出其在右半平面的極點數(shù)。解：（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖中實線所示。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（3）由于，所以需補全半封閉曲線：從點處開始逆時針作半徑無窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線所示。由圖可知，隨

增大，A點自下向上穿越

點左側負實軸，即

，而

，所以因此該系統(tǒng)是閉環(huán)不穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)在

右半平面有2個極點。該例題的分析表明，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開環(huán)增益

）無關，即無論系數(shù)如何變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，此系統(tǒng)為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。例5-16單位負反饋系統(tǒng)的結構圖如圖所示，其中

。試利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與系統(tǒng)開環(huán)總增益的關系，并確定臨界穩(wěn)定時的開環(huán)總增益。解：根據(jù)系統(tǒng)結構圖可寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖中實線所示。（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（3）由于，所以需補全半封閉曲線：從點處開始逆時針作半徑無窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線所示。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可知，隨

增大，

點自下向上穿越負實軸，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：該例題的分析表明，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開環(huán)增益

）有關，當系數(shù)改變時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生變化，此系統(tǒng)為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。當

即

時，

點穿越

點右側負實軸，所以

而

，因此

，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當

即

時，

點穿越

點左側負實軸，所以

而

，因此

，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個極點；當

即

時，

點穿過

點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。5.4.3對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由于系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線與開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線存在一定的對應關系，所以將奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)推廣運用，即可得到對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。1.開環(huán)幅相特性曲線與開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的對應關系系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線（Nyquist圖）和開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）有如下對應關系。（1）Nyquist圖的單位圓（

）對應Bode圖的0dB線（

），單位圓的外部（

）對應0dB線以上的部分（

），單位圓的內部（

）對應0dB線以下的部分（

）；（2）Nyquist圖的負實軸對應Bode圖的（3）Nyquist圖的

點對應Bode圖的

且

的點；

點的左側負實軸對應Bode圖的

且的區(qū)域；

點的右側負實軸對應Bode圖的

且的區(qū)域。（4）Nyquist圖的半封閉曲線

與Bode圖的對數(shù)幅頻特性曲線

和對數(shù)相頻特性曲線

的對應關系。①若在

虛軸上無極點，

是系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。對應地，

是開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線

，

是開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

。

②若

含有

個積分環(huán)節(jié)，

在系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線的基礎上，需從

點起逆時針作半徑無窮大、圓心角為

的虛圓弧。對應地，

仍是開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線

，而

在開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

的基礎上，需從

點處向上補作

的虛直線。（5）Nyquist圖和Bode圖的正負穿越次數(shù)的對應關系。

①正穿越一次：Nyquist圖的半閉合曲線

從上向下穿越

點左側負實軸一次，對應于Bode圖中，在

的范圍內，

曲線從下向上穿越

線一次。

②負穿越一次：Nyquist圖的半閉合曲線

從下向上穿越

點左側負實軸一次，對應于Bode圖中，在

的范圍內，

曲線從上向下穿越

線一次。

③正穿越半次：Nyquist圖的半閉合曲線

從上向下起于或止于

點左側負實軸一次，對應于Bode圖中，在

的范圍內，

曲線從下向上起于或止于

線。

④負穿越半次：Nyquist圖的半閉合曲線

從下向上起于或止于

點左側負實軸一次，對應于Bode圖中，在

的范圍內，

曲線從上向下起于或止于

線。2.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)設

時，滿足

：截止頻率對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

若系統(tǒng)有

個s右半平面的開環(huán)極點，

個s右半平面的閉環(huán)極點，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是：當頻率

從

變化時，

且在

的范圍內，

曲線穿越

線的次數(shù)滿足對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的步驟：

（1）由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定

和

；（4）依據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線

和開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

；

（3）若

，補畫相頻特性曲線

。補線原則：從

點處向上補作

的虛直線；例5-17已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試利用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：（1）由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（2）繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖中實線所示。（4）依據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（3）由于，所以需補畫相頻特性曲線：從點處向上補作的虛直線，如圖中虛線所示。因此該系統(tǒng)是閉環(huán)不穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個極點。

由圖可知，隨

增大，在

的范圍內，A點自上向下穿越

線，即

，而

，所以解：MATLAB程序如下：例5-18已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為clc;clearnum=[2,4];den=conv([1,1],[1,2,-3]);sys=tf(num,den);pzmap(sys);試繪制系統(tǒng)的Nyquist圖，并利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。5.4.4MATLAB實現(xiàn)1.利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的MATLAB實現(xiàn)title('open-loopzero-polediagram');figure(2)nyquist(sys);axis([-1.5,0.5,-0.2,0.2]);figure(3)pzmap(feedback(sys,1));title('close-loopzero-polediagram');運行結果如圖所示。（a）開環(huán)零極點圖（c）閉環(huán)零極點圖（b）Nyquist圖由圖（a）可以看出，開環(huán)系統(tǒng)s右半平面有一個極點，即；由圖（b）可以看出，隨增大，在點左側有半次正穿越，即，而，所以因此該系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。由圖（c）可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)所有極點均在s左半平面，即可以驗證系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[2,4];den=conv([1,1],[1,2,-3]);sys=tf(num,den);w=logspace(-3,3,500);bode(sys,w);gridon;figure(2)step(feedback(sys,1));例5-19試繪制例5-18系統(tǒng)的Bode圖，并利用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。2.利用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的MATLAB實現(xiàn)運行結果如圖所示。（a）Bode圖（b）閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應因此該系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。由圖（b）可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應呈衰減波形，即可以驗證系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。由例5-18可知，開環(huán)系統(tǒng)s右半平面有一個極點，即；由圖（a）可以看出，隨增大，在的范圍內，對數(shù)相頻曲線自下向上起于線，即，而，所以5.5穩(wěn)定裕度

在控制系統(tǒng)的分析和設計中，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，即相對穩(wěn)定性。頻域的相對穩(wěn)定性通常用穩(wěn)定裕度來衡量。穩(wěn)定裕度是系統(tǒng)接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的程度，包括相角裕度

和幅值裕度

。對于最小相位系統(tǒng)，在Nyquist圖中就是開環(huán)幅相特性曲線

接近臨界點

的程度，

曲線越接近臨界點

，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越差。5.5.1相角裕度1.相角裕度

的定義如圖示，設

為開環(huán)幅相特性曲線

與單位圓交點處的頻率（截止頻率），則系統(tǒng)在

處的幅值和相角為相角裕度

的定義：物理意義:閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性再滯后

度，則開環(huán)幅相特性曲線會穿過

點，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果開環(huán)相頻特性滯后角超過

度，系統(tǒng)就會變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。相角裕度是設計控制系統(tǒng)時的一個重要依據(jù)。2.相角裕度在Bode圖上的表示如圖示，

為對數(shù)幅頻特性曲線

與

線交點處的頻率，相角裕度

為

處相角

與

線的距離。5.5.2幅值裕度1.幅值裕度

的定義如圖示，設

為開環(huán)幅相特性曲線

與負實軸交點處的頻率（穿越頻率），則系統(tǒng)在

處的相角和幅值為幅值裕度

的定義：物理意義:閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性再增大

倍，則開環(huán)幅相特性曲線會穿過

點，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果開環(huán)幅頻特性增大超過

倍，系統(tǒng)就會變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。2.幅值裕度在Bode圖上的表示如圖示，

為對數(shù)相頻特性曲線

與

線（通常為

線）交點處的頻率，則相角裕度和幅值裕度通常作為控制系統(tǒng)分析和設計的開環(huán)頻域指標，如果只用兩者之一，都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，只有同時給出這兩個量才能確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。但對于最小相位系統(tǒng)，只要滿足

或

時，閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。解：例5-20已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為試分別確定系統(tǒng)開環(huán)增益

、25和100時的穩(wěn)定裕度。則解得①當

時由解得則

對于高階系統(tǒng)，一般難以準確計算截止頻率

。在工程上，可根據(jù)對數(shù)幅頻漸進特性曲線確定截止頻率

，即

滿足

，再由相頻特性確定相角裕度

。②當

和

時繪出

和

時的對數(shù)幅頻漸進特性和對數(shù)相頻特性曲線如圖示。由圖可得，當

時，當

時，例5-20分析表明，減小開環(huán)增益

，能夠增大系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，但會使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變大。為了使系統(tǒng)具有良好的過渡過程，工程上一般要求相角裕度

為

，幅值裕度

應大于

。而欲滿足相角裕度

為

這一要求，應使開環(huán)對數(shù)幅頻特性在截止頻率

附近的斜率大于

且具有一定的寬度，通常取

。5.5.3MATLAB實現(xiàn)MATLAB提供了用于計算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的函數(shù)margin()和allmargin()，其調用格式如下。margin(sys)%繪制系統(tǒng)在默認頻率范圍內的伯德圖，并顯示幅值裕度、相角裕度及相應的頻率。[Gm,Pm,wg,wp]=margin(sys)%該調用格式不繪制系統(tǒng)的伯德圖，而是返回系統(tǒng)的幅值裕度、相角裕度及相應的頻率，可用GmdB=20*log10(Gm)將幅值轉換為分貝值。[Gm,Pm,wg,wp]=margin(map,phase,w)%該調用格式首先由bode()函數(shù)得到幅值map、相位phase和頻率向量w，然后返回系統(tǒng)的幅值裕度、相角裕度及相應的頻率，而不繪制系統(tǒng)的伯德圖?？捎肎mdB=20*log10(Gm)將幅值轉換為分貝值。allmargin(sys)%返回單輸入單輸出系統(tǒng)的幅值裕度、相位裕度及相應頻率，時滯幅值裕度及臨界頻率，相應閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定等詳細信息。解：MATLAB程序如下。例5-21已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為clc;clearnum=[10];den=conv([0.5,1,0],[0.02,1]);sys=tf(num,den);margin(sys);gridon;[Gm,Pm,wg,wp]=margin(sys)GmdB=20*log10(Gm)s=allmargin(sys)利用MATLAB求系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。運行結果如圖所示。Gm=5.2000Pm=20.3681wg=10wp=4.2460GmdB=14.3201s=包含以下字段的struct:GainMargin:5.2000GMFrequency:10PhaseMargin:20.3681PMFrequency:4.2460DelayMargin:0.0837DMFrequency:4.2460Stable:15.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能

在系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的前提下，可以利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的準確性、快速性、抗高頻干擾能力等性能。鑒于開環(huán)對數(shù)頻率特性在控制工程中應用更廣泛，且對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性具有一一對應的關系，所以通常采用對數(shù)幅頻特性對系統(tǒng)的性能進行分析。實際系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線一般如圖示。5.6.1低頻段與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的關系

低頻段通常是指開環(huán)對數(shù)幅頻漸進曲線第一個轉折頻率之前的頻段，這一頻段的特性完全由積分環(huán)節(jié)和開環(huán)增益決定，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。低頻段的對數(shù)幅頻特性為即：低頻漸近線的斜率表示積分環(huán)節(jié)的個數(shù)

（系統(tǒng)型別），而高度決定系統(tǒng)的開環(huán)增益

（1）若低頻段斜率為

，則

，即系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。低頻段的高度為

，則位置誤差系數(shù)

；（2）若低頻段斜率為

，則

，即系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。作低頻漸近線延長線交

線于

，有

，得

，則速度誤差系數(shù)

；（3）若低頻段斜率為

，則

，即系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)。則加速度誤差系數(shù)

。

可見：低頻段的斜率越小，位置越高，則對應的積分環(huán)節(jié)數(shù)目越多，開環(huán)增益越大，那么在系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的前提下，穩(wěn)態(tài)誤差越小，穩(wěn)態(tài)精度越高。5.6.2中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能的關系

中頻段是指開環(huán)對數(shù)幅頻漸進特性曲線在截止頻率

附近的頻段，這一頻段的特性集中反映了系統(tǒng)的動態(tài)性能。系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于中頻段的形狀，而中頻段形狀又取決于開環(huán)截止頻率

、中頻段的斜率和中頻段的寬度三個參數(shù)。其中，中頻段的斜率和寬度反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性，開環(huán)截止頻率

的大小反映系統(tǒng)的快速性。1.二階系統(tǒng)

典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標截止頻率

和相角裕度

與時域指標超調量

和調節(jié)時間

之間有準確的解析關系。開環(huán)頻率特性為根據(jù)（1）

和

的關系求得則由第三章時域分析可知，二階系統(tǒng)的超調量為畫出

、

與

的關系曲線如圖示可見：相角裕度

和超調量

都僅由阻尼比決定，且

是

的增函數(shù)，

是

的減函數(shù)。阻尼比

越大，相角裕度

越大，超調量

越小，系統(tǒng)階躍響應的平穩(wěn)性就越好。工程上通常希望

。則（2）

、

和

的關系由第三章時域分析可知，二階系統(tǒng)的調節(jié)時間（

時）為畫出

與

的關系曲線如圖示?？梢姡寒?/p>

一定時，開環(huán)截止頻率

與調節(jié)時間

成反比，即

越大，調節(jié)時間

越短，系統(tǒng)響應速度越快，但系統(tǒng)抗高頻干擾的能力也會越差。要準確建立高階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標和時域指標之間的數(shù)學表達式是很困難的。工程實際中，常用以下兩個經(jīng)驗公式通過開環(huán)頻域指標估算時域指標：2.高階系統(tǒng)畫出

、

與

的關系曲線如圖示?？梢姡寒?/p>

一定時，超調量

和調節(jié)時間

都隨

的增大而減小。5.6.