南寧市賓陽縣2021年八年級下學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

6/26南寧市賓陽縣2021年八年級下學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．1．（3分）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A.＝|a|，所以不是最簡二次根式，故不符合題意；B.＝，所以不是最簡二次根式，故不符合題意；C.＝3，所以不是最簡二次根式，故不符合題意；D.是最簡二次根式，故符合題意．故選：D．2．（3分）一個長方形抽屜長3cm，寬4cm，貼抽屜底面放一根木棒，那么這根木棒最長（不計木棒粗細）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：這根木棒最長＝＝5（cm），故選：B．3．（3分）在平凡的工作崗位中造就偉大，用擔當和勇氣感動你我、感動中國．2021年2月17日晚，《感動中國2020年度人物頒獎盛典》在CCTV﹣1頻道播出，在網(wǎng)上觀看人數(shù)約為97800000人，數(shù)據(jù)97800000科學記數(shù)法表示為（）A．9.78×106 B．97.8×106 C．9.78×107 D．0.978×108【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：97800000＝9.78×107，故選：C．4．（3分）下列式子計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的加法、乘法、減法逐一計算即可．【解答】解：A．，此選項計算正確；B．與不是同類二次根式，不能合并，此選項計算錯誤；C．＝2，此選項計算錯誤；D．﹣＝2，此選項計算錯誤，故選：A．5．（3分）若一個三角形的三邊長分別是3，4，5，則該三角形的面積為（）A．6 B．7.5 C．10 D．12【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀，再利用三角形的面積公式即可求出其面積．【解答】解：因為32+42＝52，所以此三角形是直角三角形，所以此直角三角形的面積為：×3×4＝6．故選：A．6．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條說法不正確的是（）A．AD＝BC B．OB＝OD C．∠ABO＝∠DCO D．∠BAD＝∠BCD【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)B＝OD，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，故選：C．7．（3分）實數(shù)a在數(shù)軸對應點的位置如圖所示，則﹣|3﹣a|＝（）A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．2a﹣5【分析】根據(jù)數(shù)軸上a點的位置，判斷出（a﹣2）和（3﹣a）的符號，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行化簡．【解答】解：由圖知：1＜a＜2，所以a﹣2＜0，3﹣a＞0，原式＝|a﹣2|﹣|3﹣a|＝2﹣a﹣（3﹣a）＝2﹣a﹣3+a＝﹣1．故選：C．8．（3分）如圖，菱形ABCD的周長為8，∠ABC＝120°，則AC的長為（）A．2 B．2 C． D．1【分析】由菱形ABCD的周長為8，∠ABC＝120°，可求得AB的長，∠ABD的度數(shù)，且證得AC⊥BD，繼而利用特殊角的三角函數(shù)值，求得答案．【解答】解：因為菱形ABCD的周長為8，∠ABC＝120°，所以AB＝2，∠ABD＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，所以O(shè)A＝AB?sin60°＝2×＝，所以AC＝2OA＝2．故選：A．9．（3分）下列說法：①對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形；②鄰邊相等的平行四邊形是正方形；③對角線互相垂直平分的四邊形是矩形；④順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形；⑤有一個內(nèi)角是60°的平行四邊是菱形．其中正確的是（）A．④ B．①②⑤ C．③④ D．②④⑤【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定定理分別進行分析即可，對于錯誤的命題舉出反例即可．【解答】解：因為對角線相等且互相垂直的四邊形不一定是菱形，反例如下：如圖，AC＝BD，AC⊥BD，但四邊形ABCD不是菱形，故①不正確；鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不一定是正方形，故②不正確；因為對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，不一定是矩形，故③不正確；順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，說法④正確；理由：已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊的中點，求證：四邊形EFGH是矩形．證明：連接AC，BD，它們交于點O，因為E是AD的中點，H是CD的中點，所以EH是△DAC的中位線．所以EH∥AC，EH＝AC．同理：FG∥AC，F(xiàn)G＝AC．所以EH∥FG，EH＝FG．所以四邊形EFGH為平行四邊形．因為E是AD的中點，F(xiàn)是AB的中點，所以EF∥BD．因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．所以AC⊥EF．因為EH∥AC，所以EF⊥EH．所以平行四邊形EFGH為矩形，故④正確．有一個內(nèi)角是60°的平行四邊形不一定是菱形，它的四條邊不一定相等，故⑤不正確．綜上，只有說法④正確．故選：A．10．（3分）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，AF⊥BC，垂足為點F，∠ADE＝30°，DF＝2，則△ABF的周長為（）A．4 B．8 C．6+ D．6+2【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，得到∠B＝∠ADE＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．【解答】解：因為AF⊥BC，點D是邊AB的中點，所以AB＝2DF＝4，因為點D，E分別是邊AB，AC的中點，所以DE∥BC，所以∠B＝∠ADE＝30°，所以AF＝AB＝2，由勾股定理得，BF＝＝＝2，則△ABF的周長＝AB+AF+BF＝4+2+2＝6+2，故選：D．11．（3分）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點，要使四邊形MENF是正方形，則AB：AD等于（）A．1：1 B．2：3 C．1：4 D．1：2【分析】先證四邊形MENF是平行四邊形，再證ME＝MF，則平行四邊形MENF是菱形，然后證∠EMF＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】解：當AB：AD＝1：2時，四邊形MENF是正方形，因為N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，所以NE∥CM，NE＝CM，因為MF＝CM，所以NE＝FM，因為NE∥FM，所以四邊形MENF是平行四邊形，因為四邊形ABCD是矩形，所以AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，因為M為AD中點，所以AM＝DM，在△ABM和△DCM中，，所以△ABM≌△DCM（SAS），所以BM＝CM，因為E、F分別是BM、CM的中點，所以ME＝MF，所以平行四邊形MENF是菱形，因為M為AD中點，所以AD＝2AM，因為AB：AD＝1：2，所以AD＝2AB，所以AM＝AB，因為∠A＝90°，所以∠ABM＝∠AMB＝45°，同理∠DMC＝45°，所以∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，因為四邊形MENF是菱形，所以菱形MENF是正方形．故選：D．12．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝6，AD＝8，∠ABC＝60°，過點BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求出BE、BF、EF，根據(jù)相似得出CH，EH根據(jù)三角形的面積公式求△DFH的面積，即可求出答案．【解答】解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD＝BC＝8，AB∥CD，AB＝CD＝6，因為E為BC中點，所以BE＝CE＝4，因為∠B＝60°，EF⊥AB，所以∠FEB＝30°，所以BF＝2，由勾股定理得：EF＝2，因為AB∥CD，所以∠B＝∠ECH，在△BFE和△CHE中，，所以△BFE≌△CHE（ASA），所以EF＝EH＝2，CH＝BF＝2，所以DH＝DC+CH＝6+2＝8，F(xiàn)H＝2EF＝4，因為S△DHF＝DH?FH＝8×4＝16，所以S△DEF＝S△DHF＝8，故選：B．二、填空題本大題共6小題，每小題3分，共18分。13．（3分）如果式子有意義，那么a的取值范圍是x≥3．【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，可得答案．【解答】解：由題意，得x﹣3≥0，解得x≥3，故答案為：x≥3．14．（3分）計算（+）（﹣）的結(jié)果為﹣1．【分析】根據(jù)平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的結(jié)果為多少即可．【解答】解：（+）（﹣）＝＝2﹣3＝﹣1所以（+）（﹣）的結(jié)果為﹣1．故答案為：﹣1．15．（3分）我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形．則矩形的中點四邊形的是菱形．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理即可證明EF∥MN且EF＝MN，則四邊形EFMN是平行四邊形，然后證明EF＝NE即可得到四邊形是菱形．【解答】解：連接BD和AC．因為E、N是AB和AD的中點，即NE是△ABD的中位線，所以BD∥NE，EN＝BD．同理EF∥AC，MF∥BD，且MF＝BD，EF＝AC．所以EN∥MF，且EN＝MF．所以四邊形EFMN是平行四邊形．又因為矩形ABCD中，AC＝BD，所以EN＝EF，因為平行四邊形EFMN是菱形．故答案是：菱形．16．（3分）如圖，△ABC和△CDE的頂點都是網(wǎng)格線交點，那么∠BAC+∠CDE＝45°．【分析】連接AD，構(gòu)建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠CAD＝90°，∠ADC＝∠ACD＝45°，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：連接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，CD2＝22+42＝20，所以AD＝AC，AD2+AC2＝CD2，所以∠CAD＝90°，所以∠ADC＝∠ACD＝45°，因為AB∥DE，所以∠BAD+∠ADE＝180°，所以∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案為：45°．17．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P為BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為2.4．【分析】根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，得EF＝AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．【解答】解：因為在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，所以AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又因為PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，所以四邊形AEPF是矩形，所以EF＝AP．因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4，所以EF的最小值為2.4，故答案為：2.4．18．（3分）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此進行下去……記正方形ABCD的邊長為a1＝1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，則a2021＝21010．【分析】先由第一個正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理依次求得第二個、第三個、第四個正方形的邊長，不難得到a1＝1＝（）0，a2＝，a3＝2＝，a4＝2＝，……，進而總結(jié)出規(guī)律an＝，將n＝2021代入所得規(guī)律式子即可．【解答】解：因為正方形的邊長為1，所以a1＝1＝（）0，因為AC是正方形ABCD的對角線，所以AC＝，所以a2＝．同理可得a3＝2＝，a4＝2＝，…所以an＝，所以an＝＝＝21010，故答案為：21010．三、解答題（本大題共8小題，共66分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）19．（6分）計算：﹣+（1﹣）2．【分析】先計算完全平方式，不影響平方運用的前提下，進行除法運算，再把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．【解答】解：原式＝，＝，＝．20．（6分）先化簡，再求值：÷（x﹣），其中x＝．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝?＝，當x＝時，原式＝＝+1．21．（8分）如圖，在?ABCD中，AE＝CG，BF＝DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．【分析】易證得△AEH≌△CGF，從而證得EH＝GF，同理GH＝EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證．【解答】證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，又因為BF＝DH，所以CF＝AH，在△AEH和△CGF中，，所以△AEH≌△CGF（SAS），所以EH＝GF；同理：GH＝EF；所以四邊形EFGH是平行四邊形．22．（8分）為實施“精準扶貧”政策，南寧市某校隨機抽取了一部分班級對“建檔立卡家庭戶”的學生人數(shù)情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)各班“建檔立卡家庭戶”學生的人數(shù)只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六種情況，并制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：（1）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）若該校共有50個班級，請你估計該校共有多少名建檔立卡家庭戶的學生？（3）某愛心人士決定從只有2名“建檔立卡家庭戶”學生的這些班級中，任選兩名進行生活資助，請求出所選兩名“建檔立卡家庭戶”的學生來自同一個班級的概率．【分析】（1）先求出抽取的“建檔立卡家庭戶”的班級數(shù)，即可解決問題；（2）先求出平均每班建檔立卡家庭戶的學生人數(shù)，再乘以總班級數(shù)即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中所選兩名“建檔立卡家庭戶”的學生來自同一個班級的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）抽取的班級個數(shù)為：4÷20%＝20（個），則“建檔立卡家庭戶”的2名的班級有：20﹣2﹣3﹣4﹣5﹣4＝2（個），將條形統(tǒng)計圖補充完整如下：（2）樣本平均數(shù)＝（2×1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）＝4（名），所以50×4＝200（名），答：估計該校共有200名建檔立卡家庭戶的學生；（3）由（1）得共有2個建檔立卡家庭戶的班級，共有4名學生，設(shè)一個班級的2名學生記為A、B，另一個班級的2名學生記為C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中所選兩名“建檔立卡家庭戶”的學生來自同一個班級的結(jié)果有4種，即AB、BA、CD、DC，所以所選兩名“建檔立卡家庭戶”的學生來自同一個班級的概率為＝．23．（8分）去年某省將地處A、B兩地的兩所大學合并成了一所綜合性大學，為了方便A、B兩地師生的交往，學校準備在相距2.732km的A、B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB），經(jīng)測量，在A地的北偏東60°方向、B地的西偏北45°方向C處有一個半徑為0.7km的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？（≈1.732）【分析】先過點C作CD⊥AB于D，設(shè)CD為xkm，則BD為xkm，AD為xkm，則有x+x＝2，求出x的值，再與0.7比較大小，即可得出答案．【解答】解如圖所示，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，由題意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，所以∠CBA＝∠BCD，所以BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，所以AC＝2CD．設(shè)CD＝DB＝x，所以AC＝2x．由勾股定理得AD＝＝＝x．因為AD+DB＝2.732，所以x+x＝2.732，所以x≈1．即CD≈1＞0.7，所以計劃修筑的這條公路不會穿過公園．24．（10分）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為90萬元，今年銷售額只有80萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？【分析】（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價為x萬元，則去年同期A款汽車每輛售價為（x+1）萬元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合“如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為90萬元，今年銷售額只有80萬元”，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進m輛A款汽車，則購進（15﹣m）輛B款汽車，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不多于105萬元且不少于99萬元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為整數(shù)，即可得出共有5種進貨方案；（3）設(shè)銷售完15輛兩種汽車后獲得的利潤為w萬元，利用總利潤＝每輛的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合要使（2）中所有的方案獲利相同，可得出a﹣1.5＝0，解之即可得出a值，設(shè)該購進15輛汽車所需總費用為y萬元，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價為x萬元，則去年同期A款汽車每輛售價為（x+1）萬元，依題意得：＝，解得：x＝8，經(jīng)檢驗，x＝8是原方程的解，且符合題意．答：今年5月份A款汽車每輛售價為8萬元．（2）設(shè)購進m輛A款汽車，則購進（15﹣m）輛B款汽車，依題意得：，解得：6≤m≤10，又因為m為正整數(shù)，所以m可以為6，7，8，9，10，所以共有5種進貨方案．（3）設(shè)銷售完15輛兩種汽車后獲得的利潤為w萬元，則w＝（8﹣7.5）m+（8﹣a﹣6）（15﹣m）＝（a﹣1.5）m+30﹣15a．因為要使（2）中所有的方案獲利相同，所以w的值與m無關(guān)，所以a﹣1.5＝0，所以a＝1.5．設(shè)該購進15輛汽車所需總費用為y萬元，則y＝7.5m+6（15﹣m）＝1.5m+90，因為1.5＞0，所以y隨m的增大而增大，又因為6≤m≤10，且m為整數(shù)，所以當m＝6時，y取得最小值，此時15﹣m＝9，所以購進6輛A款汽車，9輛B款汽車時，對公司更有利．25．（10分）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中點，E、F分別是AC、BC上的點（點E不與端點A、C重合），且AE＝CF．（1）如圖1，連接EF，試判斷△DEF是什么形狀的三角形，并說明理由；（2）如圖2，取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使GO＝OD，連接GE、GF，求證：四邊形EDFG是正方形．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)知∠A＝∠B＝45°，結(jié)合D為AB中點知CD⊥AB且AD＝BD＝CD，繼而得∠A＝∠DCF，結(jié)合AE＝CF即可證得△ADE≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，則可得出結(jié)論；（2）首先證明四邊形EDFG是平行四邊形，再證明DE＝DF，∠EDF＝90°即可．【解答】（1）解：△DEF是等腰直角三角形．理由：因為∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，所以∠A＝∠B＝45°，因為點D是AB的中點，所以CD⊥AB，且AD＝BD＝CD，所以∠DCB＝45°，所以∠A＝∠DCF，又因為AE＝CF，所以△ADE≌△CDF（SAS），所以DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，所以∠DEF＝∠ADE+∠CDE＝90°，所以△DEF是等腰直角三角形；（2）證明：因為O是EF的中點，GO＝OD，所以四邊形EDFG是平行四邊形．因為△ADE≌△CDF．所以DE＝DF，∠ADE＝∠CDF．由DE＝DF及四邊形EDFG是平行四邊形知四邊形EDFG是菱形，因為∠ADE+∠EDC＝90°，所以∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°．所以四邊形EDFG是正方形．26．（10分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝6，動點P從B出發(fā)以每秒1個單位的速度沿射線BC方向移動，作△PAB關(guān)于直線PA的對稱△PAB'設(shè)點P的運動時間為t（s）．（1）當a＝8時，如圖2，當點B'落在AC上時，顯然△PCB'是直角三角形，求此時t的值；（2）當a＝8時，當點B'不落在AC上時，求出△PCB'是直角三角形時t的值；（3）若直線PB'與直線CD相交于點M，且當t＜3時，∠PAM＝45°．問：當t＞3時，∠PAM的大小是否發(fā)生變化，若不變，請說明理由．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，運用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（2）分三種情形分別求解即可，如圖2，當∠PCB′＝90°時．如圖3，