杭州市下城區(qū)2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/20杭州市下城區(qū)2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題每小題3分，共30分。1．（3分）做一個(gè)三角形的木架，以下四組木棒中，符合條件的是（）A．3cm，2cm，1cm B．3cm，4cm，5cm C．5cm，12cm，6cm D．6cm，6cm，12cm【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知：A中，1+2＝3，排除；B中，3+4＞5，可以；C中，5+6＜12，排除；D中，6+6＝12，排除．故選：B．2．（3分）如果a＞b，那么下列結(jié)論一定正確的是（）A．a(chǎn)﹣3＜b﹣3 B．1+a＞1+b C．﹣3a＞﹣3b D．a(chǎn)【解答】解：A、兩邊都減3，不等號(hào)的方向不變，故A錯(cuò)誤；B、兩邊都加1，不等號(hào)的方向不變，故B正確；C、兩邊都乘以﹣3，不等號(hào)的方向改變，故C錯(cuò)誤；D、兩邊都除以3，不等號(hào)的方向不變，故D錯(cuò)誤；故選：B．3．（3分）等腰三角形的周長(zhǎng)為9，一邊長(zhǎng)為4，則腰長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．2.5 D．2.5或4【解答】解：分情況考慮：當(dāng)4是腰時(shí)，則底邊長(zhǎng)是9﹣8＝1，此時(shí)4，4，1能組成三角形；當(dāng)4是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)是（9﹣4）×1此時(shí)腰長(zhǎng)是2.5或4．故選：D．4．（3分）根據(jù)下列已知條件，能唯一畫(huà)出△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6【解答】解：A、因?yàn)锳B+BC＜AC，所以這三邊不能構(gòu)成三角形；B、因?yàn)椤螦不是已知兩邊的夾角，無(wú)法確定其他角的度數(shù)與邊的長(zhǎng)度；C、已知兩角可得到第三個(gè)角的度數(shù)，已知一邊，則可以根據(jù)ASA來(lái)畫(huà)一個(gè)三角形；D、只有一個(gè)角和一個(gè)邊無(wú)法根據(jù)此作出一個(gè)三角形．故選：C．5．（3分）不等式2x﹣6≤0的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：移項(xiàng)，得：2x≤6，系數(shù)化為1，得：x≤3，所以不等式的非負(fù)整數(shù)解有：0、1、2、3這4個(gè)，故選：D．6．（3分）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【解答】解：作EF⊥BC于F，因?yàn)锽E平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，所以EF＝DE＝2，所以S△BCE=12BC?EF故選：C．7．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂線DE交AB于E，交BC于D，若AB＝10，AC＝6，則△ACD的周長(zhǎng)為（）A．16 B．14 C．20 D．18【解答】解：因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，所以BC=AB因?yàn)镈E是線段AB的垂直平分線，所以AD＝BD，所以AD+CD＝BD+CD，即AD+CD＝BC，所以△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+BC＝6+8＝14．故選：B．8．（3分）下列命題：①成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形；②當(dāng)a＞b時(shí)，若c＞0，則ac＞bc；③直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半；④內(nèi)錯(cuò)角相等，其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形是全等三角形為真命題，其逆命題為假命題，不符合題意；②當(dāng)a＞b時(shí)，若c＞0，則ac＞bc為真命題，其逆命題也為真命題，符合題意；③直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半為真命題，其逆命題為真命題，符合題意；④內(nèi)錯(cuò)角相等為假命題，其逆命題也為假命題，不符合題意，故選：B．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于F，且AD＝DB．若∠B＝20°，則∠DFE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，∠ACB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，所以BE＝CE，因?yàn)椤螧＝20°所以∠ECB＝∠B＝20°，因?yàn)锳D＝BD，∠B＝20°，所以∠DAB＝∠B＝20°，所以∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°，所以∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°，故選：D．10．（3分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，連接DM．下列結(jié)論：①DF＝DN；③AE＝CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD＝45°，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：因?yàn)椤螧AC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，所以∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，所以∠BAD＝45°＝∠CAD，因?yàn)锽E平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE=1所以∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，所以∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，所以AF＝AE，因?yàn)镸為EF的中點(diǎn)，所以AM⊥BE，所以∠AMF＝∠AME＝90°，所以∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，在△FBD和△NAD中∠所以△FBD≌△NAD，所以DF＝DN，所以①正確；在△AFB和△CNA中∠所以△AFB≌△CAN，所以AF＝CN，因?yàn)锳F＝AE，所以AE＝CN，所以②正確；因?yàn)锳E＝AF，M為EF的中點(diǎn)，所以AM⊥EF，所以∠AMF＝90°，同理∠ADB＝90°，因?yàn)椤螧FD＝∠AFE，因?yàn)锽E平分∠ABC，所以∠MBA＝∠MBN，因?yàn)锳N⊥BM，所以∠AMB＝∠NMB＝90°，所以∠BNM＝∠BAM＝180°﹣∠AMB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，所以BA＝BN，所以AM＝MN，因?yàn)椤螦DC＝90°，所以AM＝MN＝DM，所以∠ABM＝∠ADM＝22.5°，所以∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，所以∠BMD＝45°，所以④正確；因?yàn)椤螪NA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，所以∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，所以DM＝MN，所以△DMN是等腰三角形，所以③正確；即正確的有4個(gè)，故選：D．二、填空題每小題4分，共24分。11．（4分）請(qǐng)寫(xiě)出“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題：兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形．【解答】解：因?yàn)樵}的題設(shè)是：“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個(gè)三角形兩底角相等”，所以命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是“兩個(gè)底角相等三角形是等腰三角形”，故答案為：兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形．12．（4分）如果不等式（b+1）x＜b+1的解集是x＞1，那么b的范圍是b＜﹣1．【解答】解：因?yàn)椋╞+1）x＜b+1的解集是x＞1，所以b+1＜0，解得b＜﹣1，故答案為：b＜﹣1．13．（4分）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為6和8，那么該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)是4或5．【解答】解：分為兩種情況：當(dāng)6和8都是直角邊時(shí)，斜邊為62則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為12當(dāng)6為直角邊，8為斜邊時(shí)，則此時(shí)該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)是12故答案為：4或5．14．（4分）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，則DE的長(zhǎng)為5cm．【解答】解：因?yàn)锽F、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，所以∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，因?yàn)镈E∥BC，所以∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，所以∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，所以BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，所以BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣3＝5（cm），故答案為：5cm．15．（4分）已知等腰△ABC，其腰上的高線與另一腰的夾角為35°，那么頂角為度數(shù)是55°或125°．【解答】解：如圖（1），因?yàn)锳B＝AC，BD⊥AC，所以∠ADB＝90°，因?yàn)椤螦BD＝35°，所以∠A＝55°；如圖（2），因?yàn)锳B＝AC，BD⊥AC，所以∠BDC＝90°，因?yàn)椤螦BD＝35°，所以∠BAD＝55°，所以∠BAC＝125°；綜上所述，它的頂角度數(shù)為：55°或125°．故答案為：55°或125°．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD＝2或8或74或18【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，所以AC=A當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，若AC＝AD，因?yàn)锳C＝10，所以AD＝10，所以BD＝AD﹣AB＝10﹣8＝2，若AC＝CD，因?yàn)镃B⊥AD，AB＝8，所以AB＝BD＝8；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B和點(diǎn)A中間時(shí)，若AD＝CD，設(shè)BD＝x，則AD＝CD＝8﹣x，因?yàn)椤螩BD＝90°，BC＝6，所以62+x2＝（8﹣x）2，解得x=7當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，若AC＝AD＝10，則BD＝BA+AD＝8+10＝18；由上可得，BD＝2或8或74故答案為：2或8或74三、簡(jiǎn)答題（66分）17．（6分）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．（1）7x﹣2≤9x+2；（2）1-7x-1【解答】解：（1）7x﹣2≤9x+2，移項(xiàng)，得：7x﹣9x≤2+2，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：﹣2x≤4，系數(shù)化為1，得：x≥﹣2．將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：；（2）1-7x-1去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），去括號(hào)，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，移項(xiàng)，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣8﹣1，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：﹣13x＞﹣13，系數(shù)化為1，得：x＜1．將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：．18．（8分）如圖所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE為AB邊上的高，DE＝12cm，△ABE的面積S＝60cm2．（1）求出AB邊的長(zhǎng)；（2）你能求出∠C的度數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕窘獯稹拷猓海?）因?yàn)镈E＝12cm，S△ABE=12DE?AB＝60cm所以AB＝10cm；（2）因?yàn)锳C＝8cm，BC＝6cm，62+82＝102，所以AC2+BC2＝AB2，由勾股定理逆定理得∠C＝90°．19．（8分）已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：因?yàn)锳D平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，因?yàn)锽D＝CD，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B＝∠C，所以AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形；（2）解：因?yàn)锳B＝AC，BD＝CD，所以AD⊥BC，因?yàn)锳B＝13，BC＝10，所以BD＝CD=12BCAD=A因?yàn)镾△ABD=12?AB?DE所以AB?DE＝AD?BD，所以DE=AD?BD20．（10分）某校暑假準(zhǔn)備組織該校的“三好學(xué)生”參加夏令營(yíng)，由1名老師帶隊(duì)．甲旅行社說(shuō)：“若老師買(mǎi)全票一張，則學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠．”乙旅行社說(shuō)：“包括老師在內(nèi)都6折優(yōu)惠”若全票價(jià)是1200元，則：（1）設(shè)三好學(xué)生人數(shù)為x人，則參加甲旅行社的費(fèi)用是1200+600x元；參加乙旅行社的費(fèi)用是720（x+1）元．（2）當(dāng)學(xué)生人數(shù)取何值時(shí)，選擇參加甲旅行社比較合算？【解答】解：（1）設(shè)三好學(xué)生人數(shù)為x人由題意得，參加甲旅行社的費(fèi)用是1200+1200×0.5×x＝1200+600x；參加乙旅行社的費(fèi)用是1200×0.6×（x+1）＝720（x+1）．（2）由題意得1200+600x﹣720（x+1）＜0解不等式得x＞4答：（1）1200+600x，720（x+1）．（2）當(dāng)學(xué)生人數(shù)多于4人時(shí)，選擇參加甲旅行社比較合算．21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點(diǎn)，∠B＝30°，連接AD．（1）若∠BAD＝45°，求證：△ACD為等腰三角形；（2）若△ACD為直角三角形，求∠BAD的度數(shù)．【解答】（1）證明：因?yàn)锳B＝AC，∠B＝30°，所以∠B＝∠C＝30°，所以∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，因?yàn)椤螧AD＝45°，所以∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝75°，所以∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD，即△ACD為等腰三角形；（2）解：有兩種情況：①當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，因?yàn)椤螧＝30°，所以∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；②當(dāng)∠CAD＝90°時(shí)，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；即∠BAD的度數(shù)是60°或30°．22．（12分）如圖，等腰直角三角尺△ABC與30°三角尺△ABD斜邊AB重合，O為AB的中點(diǎn)，連接DC．（1）判斷△OCD的形狀；（2）求∠COD的度數(shù)；（3）若CO＝2，求△OCD的面積．【解答】解：（1）△OCD是等腰三角形，理由是：因?yàn)椤鰽CB和△ADB是直角三角形，且∠ACB＝∠ADB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C=12AB，OD所以O(shè)C＝OD，所以△OCD是等腰三角形；（2）因?yàn)锳C＝BC，O是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，所以∠AOC＝90°，Rt△ADB中，∠ABD＝30°，所以AD=1因?yàn)镺D=1所以AD＝OD，所以∠BAD＝∠AOD＝60°，所以∠COD＝∠AOD+∠AOC＝60°+90°＝150°；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OC于E，因?yàn)椤螩OD＝150°，所以∠DOE＝30°，因?yàn)镺C＝OD＝2，所以DE=1所以△COD的面積=12?OC?DE23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝90度；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你