《電路與信號(hào)》課件模塊7

模塊7信號(hào)的頻譜分析——傅里葉分析7.1非正弦周期信號(hào)

7.2非正弦周期信號(hào)的頻譜分析

7.3非周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉變換

7.4傅里葉變換的性質(zhì)

7.5電路無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)的條件

本模塊小結(jié)習(xí)題7

7.1非正弦周期信號(hào)

7.1.1非正弦周期信號(hào)的分解——傅里葉級(jí)數(shù)

1.三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)

設(shè)周期信號(hào)為f(t)，其基本周期為T，角頻率w1=2p/T，當(dāng)f(t)滿足狄里赫利條件時(shí)，它可以展開成三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，即(7.1.1)其中，直流分量:

余弦分量幅度:

正弦分量幅度:(7.1.2c)(7.1.2b)(7.1.2a)

2.余弦形式的傅里葉級(jí)數(shù)

若將式(7.1.1)加以整理合并，即可得到余弦形式的傅里葉級(jí)數(shù):

式(7.1.3)與式(7.1.1)中各系數(shù)之間有如下關(guān)系：(7.1.4)(7.1.3)

3.指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

將歐拉公式:

代入三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，得(7.1.5)令

考慮到an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)(見式(7.1.2(b))、式(7.1.2(c)))，而且

將式(7.1.6)和式(7.1.7)代入式(7.1.5)，得到(7.1.8)(7.1.7)(7.1.6)再令 ，并考慮到

可以得到f(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為

其系數(shù)可以通過下式

求取。其中，n為從－∞到∞的整數(shù)。(7.1.10)(7.1.9)由式(7.1.4)和式(7.1.6)可得出傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式、余弦形式以及指數(shù)形式的系數(shù)關(guān)系為(7.1.11)(7.1.12)

【例7.1.1】將圖7.1.1所示的函數(shù)展開成指數(shù)形式和三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)。圖7.1.1例7.1.1圖

解：在0<t<2π周期內(nèi)，f(t)的表達(dá)式為

由圖7.1.1可見，T=2π，則

將上面f(t)的表達(dá)式代入式(7.1.10)中，得即

而

于是，由式(7.1.9)可得f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為

若將上式轉(zhuǎn)換成三角形式，則可以得到另一種形式的f(t)表達(dá)式為7.1.2非正弦周期信號(hào)電路的響應(yīng)

1.非正弦周期信號(hào)的有效值

任何周期信號(hào)在電路中都是以電壓或電流的形式出現(xiàn)的，若以周期電流i的有效值I為例討論一般關(guān)系，則其定義式為

設(shè)i為非正弦周期電流，分解為傅里葉級(jí)數(shù)為(7.1.13)將i代入式(7.1.13)中，可以得到

對(duì)上式中I的展開式進(jìn)行平方后將會(huì)有下列各項(xiàng)：(7.1.14)這樣，可以求得I的有效值為

式中，I0，I1，I2…分別為直流分量和各次諧波分量的有效值。

同理，非正弦周期電壓u的有效值為(7.1.16)(7.1.15)

2.非正弦周期信號(hào)的功率

任意無源單口網(wǎng)絡(luò)(如圖7.1.2所示)的端口電壓u、端口電流i的傅里葉級(jí)數(shù)展開式分別為圖7.1.2任意無源單口網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)平均功率的定義可知，該無源單口網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率為

將u和i的表達(dá)式代入式(7.1.17)展開積分可以發(fā)現(xiàn)，不同頻率的正弦電壓與電流乘積積分為零(即不產(chǎn)生平均功率)；同頻率的正弦電壓、電流乘積積分不為零。因而可得出如下結(jié)論：(7.1.17)(7.1.18)

【例7.1.2】流過10Ω電阻的電流i=10+14.14cost+7.07cos(2t)A，求電流的有效值和電阻消耗的功率。

解：先計(jì)算電流的有效值:

電阻消耗的功率為

P=I2R=225×10=2250W

【例7.1.3】已知電流i=10

cos(ωt60°)+5

cos(3ωt)+10

cos(5ωt+90°)A通過一個(gè)元件，并在其上產(chǎn)生電壓降u=141cos(ωt)+11cos(3ωt－45°)V，試求：

(1)電流i的有效值；

(2)電壓u的有效值；

(3)該元件吸收的功率。

解：(1)電流i的有效值為

(2)電壓u的有效值為

(3)該元件吸收的功率為

3.非正弦周期信號(hào)的響應(yīng)

求取非正弦周期信號(hào)的響應(yīng)的步驟如下：

(1)將非正弦周期電壓或電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)，并取有限項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算(取到哪次諧波項(xiàng)需根據(jù)準(zhǔn)確度而定)。

(2)分別求直流響應(yīng)和諧波響應(yīng)。求直流響應(yīng)時(shí)電容C開路，電感L短路。求諧波響應(yīng)時(shí)應(yīng)用相量法，注意感抗和容抗對(duì)于不同的諧波頻率，其阻抗值是變化的，諧波頻率增高時(shí)，感抗增大，容抗減小。需要分別求取每個(gè)諧波分量對(duì)應(yīng)的相量形式的響應(yīng)。

(3)將以上計(jì)算求得的諧波響應(yīng)分別轉(zhuǎn)換成正弦交流電的瞬時(shí)表達(dá)式形式，再進(jìn)行疊加，因?yàn)椴煌l率的電壓或電流相量直接相加沒有意義。

下面通過例題熟悉上述步驟。

【例7.1.4】如圖7.1.3(a)所示的電路中，L=5H，C=10μF，負(fù)載電阻R=2kΩ，us的波形為正弦全波整流波形，如圖7.1.3(b)所示，設(shè)ω1=314rad/s，Um=157V，求負(fù)載兩端

電壓UR的各諧波分量。

解：首先將us展開成傅里葉級(jí)數(shù)，得

再分別求取各個(gè)響應(yīng)，設(shè)負(fù)載兩端電壓的第n次諧波為 (采用復(fù)振幅相量)，用節(jié)點(diǎn)電位法列公式為圖7.1.3例7.1.4圖

移項(xiàng)得

在計(jì)算中要注意感抗與容抗在不同的諧波分量中的值。

對(duì)于2次諧波，感抗2ω1L=2×314×5=3140Ω，容抗對(duì)于4次諧波，感抗4ω1L=4×314×5=6280Ω，容抗 。

求得直流響應(yīng)：

UR0=100V

2次諧波響應(yīng)：

URm(2)=3.53V

4次諧波響應(yīng):

URm(4)=0.171V圖7.1.3(a)所示電路為一全波整流電路的濾波電路。它利用了接在串臂上的電感對(duì)于高頻電流的抑制作用，和接在并臂上的電容對(duì)于高頻電流的分流作用，使得輸入電壓中的2次和4次諧波分量大大削弱，而負(fù)載兩端的電壓接近直流電壓。

感抗和容抗對(duì)于各次諧波的反應(yīng)不同，這種性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于工程上?？梢詫㈦姼泻碗娙萁M成各種不同的電路，以便讓某些所需要的頻率分量順利通過，而抑制某些不需要的分量，這種電路稱為濾波器。圖7.1.4(a)為簡(jiǎn)單的低通濾波器，圖(b)為簡(jiǎn)單的高通濾波器。濾波器的具體工作原理可以按照例7.1.4的思路考慮。圖7.1.4簡(jiǎn)單濾波器原理 7.2非正弦周期信號(hào)的頻譜分析

本節(jié)將以具體信號(hào)為例來說明傅里葉級(jí)數(shù)在非正弦周期信號(hào)的頻譜分析中的應(yīng)用。圖7.2.1所示為電信技術(shù)中常見的周期信號(hào)，根據(jù)其形狀將它稱為矩形脈沖信號(hào)。該脈沖信號(hào)的周期為T1，脈沖信號(hào)的寬度為τ，簡(jiǎn)稱為脈寬。

利用式(7.1.1)和式(7.1.2)可以把矩形脈沖信號(hào)f(t)展開成三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其中(7.2.1)圖7.2.1周期性矩形脈沖信號(hào)余弦分量的幅度為

根據(jù)抽樣函數(shù) ，可將上式寫為(7.2.2)由于f(t)是偶函數(shù)，因此由式(7.1.2(c))可得出bn=0，同時(shí)根據(jù)式(7.1.4)可知，此時(shí)余弦形式An=an，這樣，矩形脈沖的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)可以寫為

或

由式(7.1.9)以及ω1T1=2π，可以直接寫出矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為(7.2.3)(7.2.4)(7.2.5)圖7.2.2所示為矩形脈沖周期信號(hào)的頻譜圖。圖(a)的縱坐標(biāo)每條譜線是各諧波的振幅值，為單邊頻譜圖的幅度譜；圖(b)中，每條譜線只代表各諧波的振幅值的一半，只有把正、負(fù)頻率相對(duì)應(yīng)位置上的兩條譜線矢量加起來才代表一個(gè)諧波分量的振幅，稱為雙邊頻譜圖的幅度譜；圖(c)反映的是各諧波的初相與頻譜的關(guān)系，稱為頻譜圖的相位譜；圖(d)是復(fù)數(shù)頻譜，振幅的正負(fù)表示的是相位在0和π之間變化。圖7.2.2周期信號(hào)的頻譜圖選擇不同的T和τ，將它們的頻譜圖作比較，如圖7.2.3和圖7.2.4所示。圖7.2.3不同T值對(duì)頻譜的影響圖7.2.4不同τ值對(duì)頻譜的影響7.3非周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉變換

7.3.1傅里葉變換的引出

下面仍以周期矩形信號(hào)為例進(jìn)行介紹。圖7.3.1(a)所示為周期信號(hào)f(t)與它的離散頻譜，譜線間隔 ；圖(b)所示為T擴(kuò)大一倍后，譜線間隔ω1變小，即譜線變密了；圖(d)所示為當(dāng)T→∞時(shí)，周期信號(hào)變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)，譜線間隔ω1趨于無限小，即ω1→dω，離散頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。圖7.3.1從周期信號(hào)的離散頻譜到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜由式(7.1.10)可知，T趨于無限大，譜線的長(zhǎng)度 趨于零。但是從物理概念上考慮，既然為一個(gè)信號(hào)，必然含有一定能量，無論信號(hào)怎樣分解，其所含能量是不變的，所以無論周期增大到什么程度，頻譜的分布依然存在。從數(shù)學(xué)的角度來看，在極限情況下，無限多的無窮小量之和仍可等于一有限值，此有限值的大小取決于信號(hào)的能量?；谝陨显?，引入一個(gè)新的量——頻譜密度函數(shù)。其推導(dǎo)如下：

設(shè)有一周期信號(hào) ，其基本周期為T1，復(fù)數(shù)頻譜為兩邊同乘以T1得

由于T1→∞時(shí)，ω1→dω，nω1→ω，記

就得到傅里葉變換的定義式：(7.3.1)同樣，對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)

將由于T1→∞而引起的上述變化代入上式，可得傅里葉反變換的定義式

式(7.3.1)和式(7.3.2)是用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)通過極限的方法導(dǎo)出的非周期信號(hào)頻譜的表示式，稱為傅里葉變換(簡(jiǎn)稱為傅氏變換)。式(7.3.1)通常稱為傅氏正變換，式(7.3.2)

稱為傅氏反變換，在表述時(shí)，可寫為(7.3.1)

或

F(ω)一般是復(fù)函數(shù)，可以寫為

必須指出的是，前面推導(dǎo)傅里葉變換時(shí)并未遵循數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格步驟。從理論上講，傅里葉變換也應(yīng)該滿足一定的條件才能存在。傅里葉變換存在的充分條件是在無限區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件，即要求7.3.2幾種常見信號(hào)的頻譜

利用傅里葉變換公式可以直接求一些常見信號(hào)的傅里葉變換。

【例7.3.1】求單邊指數(shù)信號(hào)的傅氏變換。

解：?jiǎn)芜呏笖?shù)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為

式中，a>0。

傅氏變換為其中：

可以記為

由式(7.3.3)作頻譜圖，如圖7.3.2所示。圖7.3.2例7.3.1圖

【例7.3.2】求沖激信號(hào)的傅氏變換。

解：沖激信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為

及

其傅里葉變換為

記為

由式(7.3.4)作頻譜圖，如圖7.3.3所示。圖7.3.3例7.3.2圖

【例7.3.3】求f(t)=A的傅氏變換。

解：例7.3.2已經(jīng)推知，脈寬與帶寬成反比，現(xiàn)假設(shè)某函數(shù)的F(ω)=δ(ω)，求f(t)。利用反變換定義式:

記為

及

其頻譜圖如圖7.3.4所示。圖7.3.4例7.3.3圖

【例7.3.4】求矩形脈沖的頻譜函數(shù)。

解：用階躍函數(shù)表示矩形脈沖為

則

記為(7.3.6)矩形脈沖信號(hào)的幅度譜和相位譜分別為

F(ω)是實(shí)函數(shù)，通常用一條F(ω)曲線同時(shí)表示幅度與相位關(guān)系，如圖7.3.5所示。圖7.3.5例7.3.4圖

【例7.3.5】求正負(fù)號(hào)信號(hào)sgn(t)的頻譜函數(shù)。

解：如圖7.3.6(a)所示，可用階躍函數(shù)表示正負(fù)號(hào)函數(shù):

sgn(t)=ε(t)－ε(－t)

如圖7.3.6(b)所示，正負(fù)號(hào)函數(shù)還可以表示為

而圖7.3.6例7.3.5圖因此

記為

其頻譜虛部I(ω)如圖7.3.6(c)所示。

常見信號(hào)及其頻譜函數(shù)如表7.3.1所示。 7.4傅里葉變換的性質(zhì)

7.4.1線性

若

， ，則

(7.4.1)

由傅氏變換的定義式很容易證明上述結(jié)論，顯然傅氏變換是一種線性運(yùn)算。

【例7.4.1】求單位階躍信號(hào)的頻譜函數(shù)，如圖7.4.1所示。圖7.4.1例7.4.1圖

解：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)ε(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接由定義求傅氏變換，可將它看做幅度為1/2的直流信號(hào)與幅度為1/2的符號(hào)函數(shù)之和，即

所以

可記為(7.4.2)7.4.2對(duì)稱性

若 ，則

證明：由傅氏反變換式

得(7.4.3)將變量t與ω互換，可以得到

所以

F［F(t)］=2πf(－ω)

(7.4.4)

若f(t)是偶函數(shù)，則上式變成

F［F(t)］=2πf(ω)

(7.4.5)

7.4.3時(shí)延性

若 ，則(7.4.6)

證明：

令x=t－t0，則

所以

同理可得

【例7.4.2】利用時(shí)延性重新求矩形脈沖Gτ(t)的頻譜函數(shù)。

解：

根據(jù)時(shí)延性

所以

7.4.4頻移性

若 ，則

(ω0為實(shí)常數(shù))

證明：設(shè)

則

即F1(ω)=F(ω－ω0)，所以

同理有(7.4.7)(7.4.8)由于

所以設(shè) ，根據(jù)頻移性，得(7.4.9)

【例7.4.3】已知矩形調(diào)幅信號(hào)f(t)=EGτ(t)cos(ω0t)，試求其頻譜函數(shù)F(ω)，并畫出頻譜圖。

解：控制信號(hào)EGτ(t)為如圖7.4.2所示的矩形脈沖，現(xiàn)重畫出于圖7.4.3(a)，載波cos(ω0t)是高頻等幅波，如圖7.4.3(b)所示，兩者相乘即為載波幅度隨矩形脈沖變化的矩形調(diào)幅波，如圖7.4.3(c)所示。圖7.4.2例7.4.3圖一圖7.4.3例7.4.3圖二

已知 ，其頻譜圖如圖7.4.3(d)所示，而

由式(7.4.7)和式(7.4.8)可得f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)為

F(ω)-ω如圖7.4.3(e)所示。

【例7.4.4】已知f(t)=cos(ω0t)，試確定其頻譜F(ω)。

解：由于 ，且已知 ，根據(jù)頻移性，則有

根據(jù)線性得

同理可得

由式(7.4.10)可知，周期信號(hào)cos(ω0t)和sin(ω0t)的頻譜是兩個(gè)強(qiáng)度為π、位于±ω0處的沖激。其頻譜圖如圖7.4.4所示。(7.4.10(b))(7.4.10(a))圖7.4.4例7.4.4圖

【例7.4.5】試確定有始信號(hào)f(t)=cos(ω0t)ε(t)的頻譜F(ω)。

解：由于 ，根據(jù)頻移性有

根據(jù)線性，則有(7.4.11)7.4.5尺度變換性(時(shí)頻展縮性)

若 ，則

證明：設(shè) ，則

若a＞0，設(shè)at=x，則有 和 ，將它們一起代入式①后，得①即

若a＜0，設(shè)at=－bt=x，則有 和

，將它們一起代入式①后，得所以無論是a＞0，還是a＜0，必有

若a=－1，則得

式(7.4.12)表明，f(t)的反折信號(hào)f(－t)的頻譜函數(shù)等于f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)的反折。也就是說，信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反折對(duì)應(yīng)于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。

尺度變換特性可由圖7.4.5所示的矩形脈沖加以說明。圖7.4.5尺度變換性用圖尺度變換性還揭示了信號(hào)的持續(xù)時(shí)間(即脈寬)與它所占有的頻帶寬度間存在的反比關(guān)系。這與前面對(duì)周期信號(hào)頻譜分析的結(jié)論是一致的。所以在通信技術(shù)中，欲使通信速度提高(即壓縮脈寬)，就不得不以展寬信道的帶寬作為代價(jià)。

當(dāng)f(t)既發(fā)生時(shí)移運(yùn)算，又發(fā)生尺度運(yùn)算，即由f(t)變成f(at+b)時(shí)，不難證明：(a、b均不為零)(7.4.13)

【例7.4.6】求圖7.4.6(a)所示的偶雙邊指數(shù)衰減信號(hào)f(t)=e－a|t|(a＞0)的頻譜函數(shù)F(ω)，并畫出頻譜圖。圖7.4.6例7.4.6圖

解：圖7.4.6(a)所示信號(hào)f(t)可看成左右兩指數(shù)信號(hào)的合成，即f(t)=f1(t)+f2(t)，其中

f1(t)=e－atε(t)

f2(t)=eatε(－t)=f1(－t)

已知

由式(7.4.12)得根據(jù)線性得

即

其頻譜圖如圖7.4.6(b)所示。(7.4.14)7.4.6微分性

傅氏變換的微分性分為時(shí)域微分性與頻域微分性。

1.時(shí)域微分性

若 且f(－∞)=f(∞)=0，則

證明:

將傅氏反變換式

的等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)t微分，有

當(dāng)f(－∞)=f(∞)=0時(shí)，上式可改寫為

即

同理可證得時(shí)域微分性表明：信號(hào)在時(shí)域中對(duì)t取n階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)于在頻域中乘以因子(jw)n。

此性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用實(shí)例為：若已知 ，

則可應(yīng)用此性質(zhì)求出沖激d(t)和二次沖激d'(t)的傅氏變換為

2.頻域微分性

若

，則

證明：將傅氏正變換式

的等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)ω微分，有即

同理可證得

【例7.4.7】求f(t)=Ete－atε(t)的頻譜函數(shù)。

解：由于

根據(jù)頻域微分性，得

【例7.4.8】已知 ，求(t－t0)f(t－t0)的頻譜函數(shù)。

解法一：由于

根據(jù)時(shí)延性，得

解法二：由于

(t－t0)f(t－t0)=tf(t－t0)－t0f(t－t0)

根據(jù)時(shí)延性，有根據(jù)頻域微分性，有

根據(jù)線性性質(zhì)，得

【例7.4.9】已知 ，求其原函數(shù)f(t)。

解：由于 ，對(duì)頻率ω微分一次，為

根據(jù)頻域微分性，得

所以

f(t)的波形如圖7.4.7所示。圖7.4.7例7.4.9圖7.4.7時(shí)域積分性

若 ，則

證明：因?yàn)?/p>

由傅氏正變換的定義，有對(duì)上式交換積分次序(使內(nèi)層對(duì)t積分，外層對(duì)τ積分)，并考

慮到延時(shí)階躍信號(hào)ε(t－τ)的傅氏變換為 ，則上式演變?yōu)?/p>

即上式中，F(xiàn)(0)為F(ω)在ω=0處的值，即

從幾何意義上講，說明F(0)就是信號(hào)f(t)與橫軸t圍成的凈面積。很明顯，如果F(0)=0(即f(t)與t軸圍成的凈面積為零)，則時(shí)域積分性可簡(jiǎn)化為

進(jìn)一步可得出(7.4.16(b))(7.4.16(a))

【例7.4.10】求圖7.4.8(a)所示三角脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解：圖7.4.8(a)所示的三角脈沖f(t)的表達(dá)式為

直接求f(t)的頻譜計(jì)算繁瑣，可先求其導(dǎo)函數(shù)的頻譜。由于

f'(t)與f''(t)的波形分別如圖7.4.8(b)、(c)所示。圖7.4.8例7.4.10圖因?yàn)? ，所以根據(jù)時(shí)延性和線性性質(zhì)，得

因?yàn)? (或因f(t)滿足絕對(duì)可積條件)，所以選用式(7.4.16(b))，得

【例7.4.11】求圖7.4.9(a)所示信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)F(w)。

解：由于f(－∞)+f(∞)≠0，所以不能直接套用例7.4.10的辦法求解，但可這樣處理：先將f(t)分解為圖(b)所示的直流信號(hào)f1(t)與圖(c)所示的信號(hào)f2(t)之和；然后分別求出f1(t)、

f2(t)的頻譜函數(shù)，再代數(shù)相加求得F(w)。在求f2(t)的頻譜函數(shù)時(shí)可采用上例的辦法。

由圖(b)可得

F1(w)=F［f1(t)］=F［1］=2pd(w)

由圖(d)可知，為脈寬τ=2、幅度 的門信號(hào)，所以圖7.4.9例7.4.11圖

選用式(7.4.16)，得

根據(jù)線性性質(zhì)，可得7.4.8卷積定理

1.時(shí)域卷積定理(時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)于頻域的乘積)

若 ， ，則

證明：由于

所以(7.4.17)

即

【例7.4.12】已知 ，求f(t)=f1(t)*f1(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解：由于f1(t)是幅度E=1、脈寬τ=1的門信號(hào)，因此，有

根據(jù)時(shí)域卷積定理，得

2.頻域卷積定理(頻域的卷積對(duì)應(yīng)于時(shí)域的乘積)

若 ， ，則

其中：

證明：(7.4.18)

【例7.4.13】試?yán)妙l域卷積定理重解例7.4.3。

解：例7.4.3的內(nèi)容是求取f(t)=EGt(t)cos(w0t)的頻譜函數(shù)。

已知：

根據(jù)頻域卷積定理，得

即所得結(jié)果與例7.4.3用頻移性所得完全相同。

到此為止，共討論了傅里葉變換常用的8個(gè)基本性質(zhì)，現(xiàn)列于表7.4.1，以便查閱。表7.4.1傅里葉變換的基本性質(zhì) 7.5電路無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)的條件

一個(gè)給定的線性時(shí)不變電路，在輸入信號(hào)f(t)激勵(lì)下將產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。從信號(hào)變化的角度看，電路是一個(gè)加工或處理信號(hào)的裝置，其功能是根據(jù)電路本身的特性，將輸入信號(hào)f(t)經(jīng)過加工或處理使之成為輸出信號(hào)y(t)。電路的這種功能在時(shí)域分析中表示為

y(t)=f(t)*h(t)

(7.5.1)

根據(jù)卷積定理，這種功能在頻域分析(頻域輸出與頻域輸入關(guān)系)中表示為

Y(ω)=F(ω)·H(ω)

(7.5.2)

其中，F(xiàn)(ω)=F［f(t)］，H(ω)=F［h(t)］，Y(ω)=F［y(t)］。由式(7.5.2)可得

H(w)是一個(gè)與輸入無關(guān)、具有頻域表征電路本身特性的重要函數(shù)，稱為頻響函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。因此，信號(hào)通過電路時(shí)，從時(shí)域觀點(diǎn)看，改變輸入波形成為新的波形輸出；從頻域觀點(diǎn)看，改變輸入信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，組成新的頻譜結(jié)構(gòu)輸出。顯然，這種波形或頻譜的改變將直接取決于電路本身的特性，即取決于其沖激響應(yīng)h(t)或頻響函數(shù)H(w)。通常把電路對(duì)信號(hào)的這種處理、加工功能稱做“加權(quán)”(或?yàn)V波)，并把頻響函數(shù)H(w)稱為加權(quán)函數(shù)。一般H(w)是w的復(fù)函數(shù)，可寫成為

H(ω)=|H(ω)|ejq(w)(7.5.3)如果要求信號(hào)不失真地傳輸，那么對(duì)傳輸信號(hào)的電路有何要求呢？

所謂無失真?zhèn)鬏?，是指電路的輸出與輸入信號(hào)相比，只有幅度大小和出現(xiàn)時(shí)間先后的不同，而波形形狀應(yīng)保持不變。此時(shí)，輸出與輸入信號(hào)之間的關(guān)系為

y(t)=Kf(t－t0)

(7.5.4)

即輸出y(t)的幅度為輸入f(t)的K倍，但在時(shí)間上延遲了t0秒，如圖7.5.1所示。對(duì)式(7.5.4)等號(hào)兩邊同取傅氏變換，根據(jù)時(shí)移性，有(7.5.5)圖7.5.1無失真?zhèn)鬏斒疽鈭D因此，無失真?zhèn)鬏旊娐返念l響函數(shù)為

其中:

|H(ω)|=K

θ(ω)=－ωt0

(7.5.7)

這說明無失真?zhèn)鬏旊娐窇?yīng)滿足兩個(gè)條件：電路頻響函數(shù)的幅頻特性|H(ω)|在整個(gè)頻率范圍內(nèi)必須為常數(shù)，即電路的通頻帶為無限大；電路的相頻特性θ(ω)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)與角頻率成正比。頻譜圖如圖7.5.2所示。(7.5.6)圖7.5.2無失真?zhèn)鬏旊娐返臈l件

【例7.5.1】已知某電路在輸入信號(hào)f(t)=(e－t+e－3t)ε(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)=(2e－t－2e－4t)ε(t)，試求：

(1)該電路的頻響函數(shù)H(ω)；

(2)該電路的沖激響應(yīng)h(t)。

解：(1)由于所以

(2)由于

所以

【例7.5.2】在圖7.5.3所示的傳輸網(wǎng)絡(luò)中，已知輸入信號(hào)f(t)=4cos(400t)，載波信號(hào)s(t)=cos(500t)，而低通濾波網(wǎng)絡(luò)h(t)的傅里葉變換為H(ω)=ε(ω+120)－ε(ω－120)，求輸出信號(hào)y(t)。

解：調(diào)制器的輸出：

r(t)=f(t)s(t)=4cos(400t)·cos(500t)=2［cos(900t)+cos(100t)］

由式(7.4.10)知：

所以

R(ω)=F［r(t)］=2π［δ(ω+900)+δ(ω－900) +δ(ω+100)+δ(ω－100)］由于

Y(ω)=F［y(t)］=F［r(t)*h(t)］=R(ω)·H(ω)=2π ［δ(ω+100)+δ(ω－100)］

所以

y(t)=F－1［Y(ω)］=2cos(100t)圖7.5.3例7.5.2圖

【例7.5.3】圖7.5.4(a)為一抑制載波振幅調(diào)制的解調(diào)網(wǎng)絡(luò)，其中低通濾波器的幅頻特性如圖(b)所示，相位特性θ(ω)=0。若輸入信號(hào) ，已調(diào)信號(hào)x(t)=f(t)cos(1000t)，本機(jī)振蕩信號(hào)s(t)=cos(1000t)，調(diào)制器的輸出信號(hào)r(t)=x(t)s(t)，試求網(wǎng)絡(luò)的總輸出信號(hào)y(t)。

解：第一步，利用對(duì)稱性先確定輸入 的頻譜函數(shù)F(ω)。

由于(－∞＜t＜∞)圖7.5.4例7.5.3圖所以