《電路分析簡明教程》課件第5章

5.1動態(tài)電路方程及其解5.2電路初始值的計算5.3一階電路的響應(yīng)5.4一階電路的全響應(yīng)5.5一階電路的階躍響應(yīng)5.6正弦激勵下一階電路的響應(yīng)5.7應(yīng)用實例習(xí)題5第5章動態(tài)電路的時隙分析5.1動態(tài)電路方程及其解

5.1.1動態(tài)電路方程

1.一階RC電路方程的列寫圖5.1-1所示的RC一階動態(tài)電路,我們要研究圖中開關(guān)S閉合(在t=0時)后的電容電壓uC,即開關(guān)閉合后的電路方程。

我們把電路中開關(guān)的閉合、斷開或電路參數(shù)突然變化等統(tǒng)稱為“換路”。在換路前后,電路工作狀態(tài)發(fā)生變化。圖5.1-1RC串聯(lián)電路對于圖5.1-1所示電路,設(shè)t=0時開關(guān)S閉合,若選電容電壓uC為變量,在換路后(即t>0時),根據(jù)KVL,列寫回路電壓方程根據(jù)元件的VAR,可得代入(5.11)式,可得令τ=RC,則式(5.1-2)可以寫為式中τ=RC,它具有時間的量綱,稱為時間常數(shù),單位為秒,簡稱時常數(shù)。從上面的分析可得,RC串聯(lián)電路的電路方程是一階常系數(shù)微分方程,對此方程求解可得uC(t)的大小。2.一階RL電路方程的列寫如圖5.1-2所示的RL電路,t=0時開關(guān)S閉合,討論t>0時的電感電流iL(t)。開關(guān)S閉合后,根據(jù)KCL,列寫節(jié)點電流方程根據(jù)元件的VAR,可以得到令,則式(5.1-6)可以寫為將式(5.1-5)代入式(5.1-4),整理得令,單位為秒。τ稱為時間常數(shù),簡稱時常數(shù)。從上面的分析可得,RL并聯(lián)電路的電路方程是一階常系數(shù)微分方程,對此方程求解可得iL(t)的大小。觀察圖5.1-1和圖5.1-2所列出的方程,除變量不同外,均為典型的一階微分方程,因此兩圖中都是一階電路。一階微分方程的一般形式可寫為其中y(t)是響應(yīng),f(t)是激勵由此,對于一階電路響應(yīng)求解的問題就歸結(jié)為求解一階微積分方程的問題。3.二階電路方程的列寫如圖5.1-3所示的RLC串聯(lián)電路,以uC(t)為響應(yīng),列寫電路方程。根據(jù)KVL,列寫回路電壓方程根據(jù)元件的VAR,可以得到將式(5.1-9)、式(5.1-10)代入式(5.1-8)整理得圖5.1-3RLC串聯(lián)電路當(dāng)電路中的元件都是線性時不變元件時,所得到的方程就是二階線性常系數(shù)微分方程。這樣的電路稱為二階電路。其一般形式可以歸納為由上面的三個例子可以歸納出建立動態(tài)方程的一般步驟:(1)根據(jù)電路建立KCL和KVL方程,寫出各元件的伏安關(guān)系。(2)在以上方程中消去中間變量,得到所需變量的微分方程。5.1.2動態(tài)電路方程的求解如果將獨立源uS(t)和iS(t)作為激勵,用f(t)表示,把電路變量u(t)或i(t)作為響應(yīng),用y(t)表示,則描述一階、二階動態(tài)電路的方程的一般形式可以分別推導(dǎo)出來,分別為對于線性時不變動態(tài)電路,上式中的系數(shù)都是常數(shù)。高數(shù)中已經(jīng)學(xué)到,線性常系數(shù)微分方程的解由兩部分組成:即與方程相應(yīng)的齊次方程的通解(或齊次解)和滿足非線性齊次方程的特解。若齊次解由yh(t)表示,特解用yp(t)表示,微分方程的全解可以寫為(全解=齊次解+特解)(5.1-14)(1)齊次解。對于式(5.1-12)一階微分方程,所對應(yīng)的特征方程為s+a=0,特征根s=-a,故所對應(yīng)的齊次解為式中k為待定常數(shù)。式(5.1-12)的特解與激勵具有相似的形式(見表5-2)。對于式(5.1-13)二階微分方程,其齊次解的函數(shù)形式由式(5.1-13)的特征方程的根(即特征根)s1和s2確定。表5-1列出了特征根s1、s2為不同值時的相應(yīng)齊次解。其中的待定常數(shù)k1和k2在全解中由初始條件來確定。表5-1不同特征根時二階動態(tài)方程的齊次解(2)特解。特解與激勵有相似的形式,表(5-2)列出了常用激勵形式與其對應(yīng)的特解yp(t)。當(dāng)特解形式確定后,將其代入原微分方程,求出待定常數(shù)Ai,則特解就確定了。表5-2不同激勵時一階和二階動態(tài)方程的特解例5.1-1如圖5.1-4所示的RC電路,t=0時開關(guān)S閉合,電容的初始電壓uC

(t)=U0,電壓源US

為常數(shù),討論t≥0時的電容電壓uC

(t)。圖5.1-4例5.1-1圖解(1)建立電路方程。依前面的分析,t≥0時,開關(guān)閉合,根據(jù)圖5.1-4可以建立一階RC電路的KVL方程為令τ=RC,則上式可以寫為(2)求齊次解uCh(t)。式(5.1-15)的特征方程為特征根s=-1/τ,故uC的齊次解為(3)求特解uCp(t)。根據(jù)激勵的形式,由于激勵是常數(shù),ucp(t)=A。將它代入式(5.1-15),得故uC的特解為(4)求全解。電容電壓的完全解uC(t)為將初始值uC(0)=U0代入上式,得故可以解得對于所得到的電路全響應(yīng),可以將其分為固有響應(yīng)和強迫響應(yīng)兩部分,或者暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分。在完全解中,其中第一項(即齊次解)的函數(shù)形式僅由特征根決定,而與激勵的函數(shù)形式(它的系數(shù)與激勵有關(guān))無關(guān),稱為固有響應(yīng)或自由響應(yīng)。式中第二項(即特解),它與激勵具有相同的函數(shù)形式,稱為強迫響應(yīng)。uC(t)的響應(yīng)波形圖如圖5.1-5所示,圖中分別畫出了U0<US和U0>US兩種情況的uC(t)波形。圖5.1-5uC(t)的響應(yīng)波形圖在電路的全響應(yīng)中,固有響應(yīng)的函數(shù)形式?jīng)Q定于特征根,它僅與電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān),與激勵的函數(shù)形式無關(guān)。固有響應(yīng),以及特征根s反映了電路的固有特征,而強迫響應(yīng)是外部激勵作用的結(jié)果,它與激勵具有相同的函數(shù)形式,另外,按照電路的工作情況,也常將完全響應(yīng)分為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。第一項按指數(shù)規(guī)律衰減,當(dāng)t趨近于無限大時,該項衰減為0,稱為暫態(tài)響應(yīng)。第二項在任何時刻都保持穩(wěn)定,它是t趨近于無限大時,暫態(tài)響應(yīng)衰減為0時的響應(yīng),稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng),其可能是常數(shù)(當(dāng)接入的激勵為直流時)或周期函數(shù)(當(dāng)接入為周期信號時)。當(dāng)激勵不是周期信號或者電路的固有頻率s有實部為正的值,將完全響應(yīng)區(qū)分為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將沒有實際意義,或者說電路不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。5.2電路初始值的計算5.2.1換路定律如前所述,電容電壓和電感電流反映了電路儲能的狀況,它們都具有連續(xù)的性質(zhì)。設(shè)電路發(fā)生換路的時刻為t0,換路經(jīng)歷時間為t0~t0+,那么電容上電壓的關(guān)系為同理,電感上電流的關(guān)系為式(5.2-1)和式(5.2-2)中,若電容電流和電感電壓t=t0為有限值,則其在無窮小區(qū)間t0<t<t0+上積分為有限值,則上兩式中的等號右端的積分項值為0,從而有式(5.2-3)表明,若在t=t0處,電容電流iC和電感電壓uL為有限值,則電容電壓uC和電感電流iL在該處連續(xù),其值不能躍變。需要指出,除去電容電壓和電感電流外,電路中其余各處的電流、電壓值,在換路前后是可以躍變的。一般情況下,選擇t0=0,則由上式可得因而可根據(jù)換路前電路的具體情況確定電容上的電壓uC(t0+)和電感上的電流iL

(t0+)或uC(0+)和iL(0+)。通常稱式(5.2-3)和式(5.2-4)為換路定律。一般情況下,求初始值時,首先要求出換路前后電容上的電壓和電感上的電流,然后再求其他支路的電流電壓。因此,將電容電壓和電感電流稱為獨立初始值,其余為非獨立初始值。5.2.2獨立初始值(初始狀態(tài))的求解首先根據(jù)換路前電路的具體狀況,求出uC(0-)和iL(0-)。然后利用換路定律即可求得uC(0+

)=uC

(0-),iL

(0+)=iL

(0)。下面舉例說明。

例5.2-1電路如圖5.2-1(a)所示電路知t<0時,開關(guān)S是閉合的,電路已處于穩(wěn)定。在t=0時,開關(guān)S打開,求初始值uC(0+

)和iL(0+)。圖5.2-1例5.2-1圖

解

t<0時,電路在直流電源作用下已處于穩(wěn)態(tài),此時,電路各處電壓、電流均為直流。因此電容可視為開路,電感視為短路。得t=0-時的等效電路如圖5.2-1(b)所示。由圖5.2-1(b)電路容易求得:由換路定律可得5.2.3非獨立初始值的求解電路的獨立初始值可根據(jù)換路前最終時刻(即t0-或0-時刻)的電路來確定。如圖5.2-2(a)所示電路,對于非獨立初始值,則需要利用t0+或0+等效電路求得。設(shè)電路在t=0時刻發(fā)生換路,根據(jù)置換(替代)定理,在t=0+時刻,將電容用電壓等于uC(0+)的電壓源替代(若uC(0)=0時用短路替代),電感用電流等于iL(0+)的電流源替代(若iL(0+)=0時用開路替代),獨立源均取t=0+時刻的值。此時得到的電路是一個直流電源作用下的電阻電路,稱為0+等效電路,如圖5.2-2(b)。由該電路求得的各電流、電壓就是非獨立初始值。圖5.2-2非獨立初始值求解

例5.2-2如圖5.2-3(a)所示電路,已知t<0時,開關(guān)S處于位置1,電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時,開關(guān)S切換至位置2,求初始值iR

(0+)、iC(0+)和uL(0+)。圖5.2-3例5.2-2圖

解

(1)計算uC(0)和iL

(0)。由于t<0時電路已達直流穩(wěn)態(tài),電容開路,電感短路,t=0-時的等效電路如圖5.2-3(b)?？傻?2)根據(jù)換路定律得(3)計算非獨立初始值。開關(guān)切換至位置2,畫出0+等效電路,如圖5.2-3(c)。

初始值計算步驟總結(jié):(1)由t=0-時的等效電路,求出uC(0-)和iL(0-)(特別注意:直流穩(wěn)態(tài)時,L相當(dāng)于短路,C相當(dāng)于開路)。(2)根據(jù)換路定律,確定初始狀態(tài)uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-)。(3)畫出0+等效電路,利用電阻電路分析方法,求出各非獨立初始值。

最后必須指出:換路定律僅在電容電流和電感電壓為有限值的情況下才能成立。在某些理想情況下,電容電流和電感電壓可以為無限大,這時電容電壓和電感電流將發(fā)生強迫躍變,換路定律不再適用,具體可根據(jù)電荷守恒和磁鏈守恒原理來確定各獨立初始值。這點了解即可。5.3一階電路的響應(yīng)5.3.1一階電路的零輸入響應(yīng)定義:外加激勵均為零,僅由初始狀態(tài)所引起的響應(yīng),稱為零輸入響應(yīng),記為yzi(t)。

例5.3-1如圖5.3-1(a)所示一階RC電路,已知t<0時,開關(guān)S是處于位置1,電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時,開關(guān)S切換至位置2,求t≥0時,電容電壓uC(t)(零輸入響應(yīng))和電流i(t)(零輸入響應(yīng))。圖5.3-1例5.3-1圖解

首先計算初始狀態(tài),容易得到t≥0時,開關(guān)切換至2,電路如圖5.3-1(b)。由KVL列方程其中uR=Ri,i=-CduC/dt,故有式中,τ=RC為時常數(shù)。上面齊次微分方程的特征方程為特征根為故解為將初始值uC(0+)代入,可得常數(shù)K=uC(0+),得按式(5.3-2)和式(5.3-3)畫出uC、i的波形如圖5.31(c)、(d)。他們都是隨時間按指數(shù)衰減的曲線。當(dāng)t→∞時,它們衰減到零,達到穩(wěn)態(tài)。這一變化過程稱為暫態(tài)過程或過渡過程。由圖5.3-1(c)、(d)可見,在換路后,電容電壓uC(t)和電流i(t)分別由各自的初始值uC(0+)=U0和i(0+)=U0/R,隨著時間t的增大按指數(shù)衰減,當(dāng)t→∞時,它們衰減到零,達到穩(wěn)定狀態(tài)(uC(∞)=0,i(∞)=0)。這一變化過程稱為過渡過程或暫態(tài)過程。在換路前后,電容電壓是連續(xù)的,即uC(0-)=uC(0+)=U0;而電流i(0-)=0,i(0+)=U0/R,它在換路瞬間由零突跳為U0/R,發(fā)生躍變。零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)之間滿足齊次性。實際上,對二階以上電路,有多個初始狀態(tài),零輸入響應(yīng)與各初始狀態(tài)間也滿足可加性。這種性質(zhì)稱為零輸入線性。下面以RL電路為例繼續(xù)說明電路的零輸入響應(yīng)。例5.32如圖5.32(a)所示一階RL電路,已知t<0時,開關(guān)S閉合,電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時,開關(guān)S打開,求t≥0時,電感電流iL(t)(零輸入響應(yīng))和電感電壓uL(t)(零輸入響應(yīng))。圖5.3-2例5.3-2圖解t=0-時,電感相當(dāng)于短路,故uR(0-)=0。根據(jù)換路定律,易得換路后,等效電路如圖5.3-2(b)。由KVL方程有uL-uR=0將uL

=LdiL/dt和uR

=-RiL

代入上式得令τ=L/R,方程變?yōu)榘词?5.3-4)和式(5.3-5)畫出uC、iL的波形如圖5.32(c)。它們都是隨時間按指數(shù)衰減的曲線。當(dāng)t→∞時,它們衰減到零,達到穩(wěn)態(tài)。這一變化過程稱為暫態(tài)過程或過渡過程。由于零輸入響應(yīng)是由動態(tài)元件的初始儲能所產(chǎn)生的,隨著時間的增長,動態(tài)元件放電,其初始儲能逐漸被電阻(R>0)所消耗轉(zhuǎn)化為其他能量,因而對于具有正電阻的電路,其零輸入響應(yīng)總是按指數(shù)衰減的。如零輸入響應(yīng)yzi(t)表示,其初始值為yzi(0+),則由式(5.3-2)、式(5.3-3)和式(5.3-4)、式(5.3-5)可見,一階動態(tài)電路零輸入響應(yīng)一般形式可表示為隨著時間t的增大,由初始值yzi(0+)逐漸衰減到零。時間常數(shù)τ反映了零輸入響應(yīng)衰減的速率。暫態(tài)過程與時常數(shù)τ之間的關(guān)系:上述RC電路的放電過程的快慢取決于時常數(shù)τ,它越大,表示電壓電流的暫態(tài)變化越慢;反之,越快,如圖5.3-3所示。注意:τ僅與電路內(nèi)參數(shù)有關(guān),與激勵和初始狀態(tài)無關(guān),如表5-3所示。圖5.3-3零輸入響應(yīng)與時常數(shù)表5-3不同t值對應(yīng)的響應(yīng)圖5.3-4暫態(tài)響應(yīng)波形例5.3-3如圖5.35(a)所示電路,已R=4Ω,L=0.1H,US=24V,開關(guān)S在t=0時打開,求t≥0時的電流iL,其中電壓表的內(nèi)阻RV=10kΩ,量程為100V,問開關(guān)打開時,電壓表有無危險?圖5.3-5例5.3-3圖

解

t=0-時,電路已達穩(wěn)態(tài),電感相當(dāng)于短路,故u(0-)=0。根據(jù)換路定律,易得換路后,等效電路如圖5.3-5(b)。由KVL方程有uL-u=0將uL=LdiL/dt和u=-RViL代入上式得令τ=L/RV,方程變?yōu)殡妷罕頁Q路后瞬間要承受-60kV的高壓,而其量程只有100V,因此電壓表立即被打壞。5.3.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)電路的初始儲能為零(即初始狀態(tài)為零)時,僅由外加激勵所引起的響應(yīng),稱為零狀態(tài)響應(yīng),記為yzs(t)。例5.3-4如圖5.3-6所示電路,已知t<0時,開關(guān)S是閉合,電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時,開關(guān)S斷開,求t≥0時,電容電壓uC(t)。圖5.3-6例5.3-4圖分析:5.3-6所示一階RC電路,在開關(guān)S斷開前(t<0),直流源IS的電流全部流經(jīng)短路線,電容的初始電壓uC(0-)=0,即電容的初始儲能為零。當(dāng)t=0時,開關(guān)斷開,根據(jù)換路定律,電容電壓的初始值uC(0+)=uC(0-)=0。故電路的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。

解t<0時開關(guān)閉合,uC(0+)=uC(0-)=0,故所求響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。t≥0時,根據(jù)KCL有iC+iR=IS由于iC=CduC/dt,iR=uC/R,代入上式得(5.3-7)式中τ=RC,初始值uC(0+)=0。式(5.3-7)為一階非齊次方程,其解由方程的齊次解uCh(t)和特解uCp(t)組成,即對應(yīng)的齊次解為式中K為待定系數(shù)。式(5.3-7)中的激勵為常數(shù),其特解也為常數(shù),令uCp(t)=A,將其代入式(5.3-7)得:故得特解:將齊次解和特解代入到式(5.3-8),得完全解為令t=0+,將初始狀態(tài)uC(0+)=0代入上,得解得K=-RIS。于是得圖5.3-6電路的零狀態(tài)響應(yīng):電容電流:電阻電流:顯然有iC

+iR=IS。按式(5.3-9)~式(5.3-11)可以畫出uC、iC

和iR

的波形,如圖5.3-7(a)、(b)所示。圖5.3-7例5.3-4零狀態(tài)響應(yīng)波形圖由圖5.3-7(a)可見,當(dāng)開關(guān)斷開后,電容充電,uC按指數(shù)規(guī)律上升,當(dāng)t→∞時,達、到穩(wěn)定狀態(tài),其穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=RIS。由圖5.37(b)可見,電容電流iC按指數(shù)規(guī)律衰減,當(dāng)達到穩(wěn)態(tài)時,電容電壓為常數(shù),故iC(∞)=0。

例5.3-5如圖5.3-8所示電路,已知t<0時,開關(guān)S斷開,電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時,開關(guān)S是閉合,求t≥0時,電感電流iL(t)。圖5.3-8例5.3-5分析:圖5.3-8所示一階RL電路,US為直流電壓源,在開關(guān)S打開前(t<0),電感電流的初始電壓iL(0-)=0,即電感的初始儲能為零。當(dāng)t=0時,開關(guān)S打開,根據(jù)換路定律,電感電流的初始值iL(0+)=iL(0-)=0。故,電路的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。解

t<0時開關(guān)閉合,iL(0+)=iL(0-)=0,故所求響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。t≥0時,根據(jù)KVL有:uR1+uR2+uL=US

由于uR1=R1iL,uR2=R2iL,uL=LdiL/dt,代入上式并稍加整理得為時間常數(shù)。電感電流的初始值iL(0+)=0。式(5.3-12)為一階非齊次方程,不難求得方程的齊次解式中K為待定系數(shù)。式(5.3-12)中的激勵為常數(shù),其特解也為常數(shù),令iLp(t)=A,將其代入式(5.3-12)得:于是得將初始值iL(0+)=0代入上式,得于是得圖5.3-8電路的零狀態(tài)響應(yīng):為時間常數(shù)。電感電壓:按式(5.3-13)和式(5.3-14)可以畫出iL和uL的波形,如圖5.3-9(a)、(b)所示。圖5.3-9例5.35零狀態(tài)響應(yīng)波形圖由圖5.3-9(a)可見,當(dāng)開關(guān)打開后,電感充磁,iL按指數(shù)規(guī)律上升,當(dāng)t→∞時,達到穩(wěn)定狀態(tài),其穩(wěn)態(tài)值由圖5.3-9(b)可見,電感電壓uL按指數(shù)規(guī)律衰減,當(dāng)達到穩(wěn)態(tài)時,uL(∞)=0。由式(5.39)~式(5.311)、式(5.313)和式(5.314)可見,若外加激勵(IS和US)增大a倍,則零狀態(tài)響應(yīng)也增大a倍,這表明零狀態(tài)響應(yīng)與激勵滿足齊次性。實際上,若有多個激勵,零狀態(tài)響應(yīng)與各激勵之間也滿足可加性。這種性質(zhì)稱為零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)。5.4一階電路的全響應(yīng)5.4.1全響應(yīng)及其分解定義:電路在外加激勵和初始狀態(tài)共同作用下所產(chǎn)生的響應(yīng),稱為全響應(yīng)。對于線性電路,全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的和(見式5.2-1)。圖5.4-1所示為一個已充電的電容經(jīng)過電阻接到直流電壓源US。設(shè)電容的初始電壓uC(0+)=U0,當(dāng)t=0時開關(guān)閉合,不難求得電路中電容電壓的零輸入響應(yīng)uCzi和零狀態(tài)響應(yīng)uCzs分別為式中,τ=RC。電路中電容電壓的全響應(yīng)電路中電流零輸入響應(yīng)izi和零狀態(tài)響應(yīng)izs分別為電流全響應(yīng)對于初始狀態(tài)不為零且有外加激勵的動態(tài)電路,在求零輸入響應(yīng)時,應(yīng)將激勵置零(即電壓源短路,電流源開路),在求零狀態(tài)響應(yīng)時,應(yīng)將初始狀態(tài)置零(即令uC(0+)=0或iL(0+)=0)。如果將初始狀態(tài)(初始儲能)看作電路的內(nèi)部激勵,對于線性電路,根據(jù)疊加定理,全響應(yīng)又可以分解為全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)即y(t)=yzi(t)+yzs(t)因此,對于初始狀態(tài)不為零,外加激勵也不為零的電路。初始狀態(tài)單獨作用時(獨立源置0)時產(chǎn)生的響應(yīng)就是零輸入響應(yīng)分量;而外加激勵單獨作用(即令uC(0+)=0)時求得的響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)分量。5.4.2三要素法一階電路應(yīng)用廣泛,結(jié)構(gòu)簡單。這里主要討論在直流電源作用下,一階電路響應(yīng)的簡便計算方法———三要素法。下面進行三要素公式的推導(dǎo)。由于一階電路只含一個動態(tài)元件,因此,換路后,可利用戴維南定理,將任何一階電路簡化為如圖5.42(a)、(b)兩種形式之一。圖5.4-2一階電路根據(jù)基爾霍夫電路定律和元件VAR很容易分別列出以電容電壓uC

(t)和電感電流iL

(t)為響應(yīng)的方程,整理后有若用y(t)表示響應(yīng)uC(t)或iL(t),用f(t)表示外加激勵uS(t),則可將上述方程統(tǒng)一表示為式(5.4-3)中,b為常數(shù);τ為時常數(shù),對RC路,τ=R0C;對RL電路,τ=L/R0。式(5.4-3)為一階非齊次方程,根據(jù)一階動態(tài)方程的求解,全響應(yīng)由齊次解和特解兩部分組成,即由于微分方程的特征根因此設(shè)全響應(yīng)y(t)的初始值為y(0+),將它代入上式得可以解得K=y(0+)-yp(0+),將它代入式(5.4-5),得一階電路的微分方程式(5.4-3)的全響應(yīng)由上式可見,對于一階電路,只要設(shè)法求得初始值y(0+)、時常數(shù)τ和微分方程的特解yp(t),就可按照式(5.4-6)直接寫出電路的響應(yīng)y(t)。當(dāng)激勵f(t)為常數(shù)(即電源為直流源)時,微分方程的特解也是常數(shù)。令yp(t)=A,顯然yp(0+)=A,將它們代入到式(5.4-6),得通常τ>0(稱電路為正τ電路),當(dāng)t→∞時,電路處于穩(wěn)態(tài),A=y(∞)穩(wěn)態(tài)值。由式(5.4-7)可以看出,微分方程的解y(t)僅由A、y(0+)和τ三個常數(shù)所決定。因此,可以得到,直流激勵作用時一階電路的響應(yīng)為這就是我們常說的一階電路的三要素公式。式(5.4-8)是在假設(shè)初始時刻為t=0的條件下得出的,如果初始時刻為t=t0,則三要素公式應(yīng)改為對于三要素公式的使用,下面做一些說明:(1)適用范圍:直流激勵作用下一階電路中任意處的電流和電壓;(2)三要素:y(0+)表示該響應(yīng)(電壓或電流)的初始值,y(∞)表示響應(yīng)的穩(wěn)定值,τ表示電路的時間常數(shù)。(3)三要素法不僅可以求全響應(yīng),也可以求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量。(4)τ<0時,電路不穩(wěn)定,但公式仍適用。只是y(∞)的含義不是穩(wěn)態(tài)值,而是稱為平衡狀態(tài)值。關(guān)于三要素的求法,,這里以初始時刻為t=0作歸納性的簡要說明。1.初始值y(0+)(1)先計算uC(0-)和iL(0-),然后由換路定律得uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-)(2)畫t=t0+時的等效電路,求其他電壓、電流的初始值。2.穩(wěn)態(tài)值y(∞)換路后t→∞時,電路進入直流穩(wěn)態(tài),此時,電容開路,電感短路。(1)換路后,電容開路,電感短路,畫出穩(wěn)態(tài)等效電阻電路。(2)求解該電路得穩(wěn)態(tài)(或平衡)值y(∞)。3.時常數(shù)τ對于一階RC電路,τ=R0C;對于一階RL電路,這里R0就是換路后從動態(tài)元件C或L看進去的戴維南等效內(nèi)阻。注:若初始時刻為t=t0,則對應(yīng)的0則由t0替換即可。例5.4-1如圖5.4-3(a)所示電路,IS=3A,US=18V,R1=3Ω,R2=6Ω,L=2H,在t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài),當(dāng)t=0時開關(guān)S閉合,求t≥0時的iL(t)、uL(t)和i(t)。圖5.4-3例5.4-1圖解

(1)求初始值。畫出t=0-時刻的等效電路,如圖5.4-3(b)所示,得(2)根據(jù)換路定律,iL(0+)=iL(0-)=6A,這樣畫出t=0+時刻的等效電路,如圖5.4-3(c)所示。列節(jié)點方程得(3)畫∞等效電路,如圖5.4-3(d)。(4)計算時常數(shù)τ,獨立源置零,動態(tài)元件L斷開,畫出t≥0以后的等效電路如圖5.4-3(e)所示。

例5.4-2如圖5.4-4(a)所示路,R1=6Ω,R2=R4=6Ω,R3=3Ω,在t<0時開關(guān)S位于“1”,電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關(guān)S由“1”閉合到“2”。求t≥0時的電流iL(t)和電壓u(t)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。圖5.4-4例5.4-2圖分析:本例要求分別求解零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)。對于直流激勵下的一階電路,零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)都可以分別用三要素法來求解。解(1)首先求出iL(0-)。S接于1,電路直流穩(wěn)態(tài)。如圖5.4-4(b)電感短路,利用分流公式得:iL(0+)=iL(0-)=3A(2)求解零狀態(tài)響應(yīng)iLzs(t)和uzs(t)。零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零,僅由獨立源所引起的響應(yīng);故iLzs(0+)=0,電感相當(dāng)于開路。畫出其0+時刻等效電路,如圖5.4-4(c)所示,所以畫t?∞等效電路,如圖5.4-4(d)所示。計算時常數(shù)τ,獨立源置零,動態(tài)元件L斷開,畫出t≥0以后的等效電路,如圖5.4-4(e)所示。(3)求解零輸入響應(yīng)iLzi(t)和uzi(t)。零輸入響應(yīng)是令外加激勵均為零,僅由初始狀態(tài)所引起的響應(yīng);故iLzi(0+)=iL(0-)=3A,電壓源US短路,畫出其0+等效電路,如圖5.4-4(f)所示。時常數(shù)同前。因此可得

例5.4-3如圖5.4-5(a)所示電路,在t<0時開關(guān)S位于b點,電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關(guān)S由b點切換至a點。求t≥0時的電壓uC(t)和電流i(t)。圖5.4-5例5.4-3圖解

對圖5.4-5(a)中虛框的電路進行戴維南等效,對虛框部分電路應(yīng)用KVL列寫電路方程,得得其等效電路如圖5.44(b)所示。利用三要素公式,得回到原電路計算電流i(t),如圖5.4-5(c)所示。三要素法是計算直流激勵下一階動態(tài)電路響應(yīng)的有效方法,但是掌握其中三個要素的求法(初始值、穩(wěn)態(tài)值和時常數(shù))是比較困難的。5.5一階電路的階躍響應(yīng)5.5.1階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)用ε(t)表示,其定義為波形如圖5.5-1所示。在不連續(xù)點t=0處的函數(shù)值一般可不定義,或者定義為其左、右極限平均值1/2。這里我們不對其定義。圖5.5-1單位階躍函數(shù)階躍函數(shù)的應(yīng)用之一是描述某些情況下的開關(guān)動作,如圖5.5-2所示。對于圖5.5-2(a)所示電路,若開關(guān)S在t=0時閉合至“2”,則一端口電路N的端口電壓可寫為u(t)=ε(t)V如圖5.5-2(b)所示,表示在t=0時,給電路接入1V直流電源。同理,如圖5.5-3所示,對于圖5.5-3(a)所示電路,若開關(guān)S在t=0時閉合至“2”,則一端口電路N的端口電流可寫為i(t)=ε(t)A圖5.5-2單位階躍電壓如圖5.5-3(b)所示,表示在t=0時,給電路接入1A直流電源。圖5.5-3單位階躍電流如果在t=0時接入電路的直流源(幅度為A),則可表示為Aε(t),其波形如圖5.5-4(a)所示,稱為階躍函數(shù)。如果單位直流電源接入的時刻為t0,則可寫為稱為延遲單位階躍函數(shù),其波形如圖5.5-4(b)所示。圖5.5-4階躍函數(shù)和延遲階躍函數(shù)利用階躍函數(shù)和延遲階躍函數(shù)可以方便地表示某些信號,如圖5.5-5(a)所示的矩形脈沖信號可以看成是圖5.5-4(b)和圖5.5-5(c)所示的兩個階躍信號之和,即f(t)=Aε(t)-Aε(t-t0)(5.5-3)圖5.5-5矩形脈沖信號圖5.5-6(a)所示的信號可以表示為f1(t)=2ε(t)-4ε(t-1)+2ε(t-2)(5.5-4)而圖5.5-6(b)所示的信號可表示為f2(t)=2ε(t)+2ε(t-1)-2ε(t-2)-2ε(t-3)(5.5-5)圖5.5-6用階躍函數(shù)表示信號此外,還可以用ε(t)表示任意函數(shù)的作用區(qū)間。圖5.5-7(a)是任意信號f(t),如果想使其在t<0時為零,則可乘以ε(t),寫作f(t)ε(t),如圖5.5-7(b)所示。如果想使其在t<t0時為零,則可乘以ε(t-t0),寫作f(t)ε(t-t0),如圖5.5-7(c)所示。圖5.5-7任意信號f(t)的截取5.5.2階躍響應(yīng)定義:當(dāng)激勵為單位階躍函數(shù)ε(t)時,電路的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng),簡稱階躍響應(yīng),用g(t)表示。單位階躍函數(shù)ε(t)作用于電路相當(dāng)于單位直流源(1V或1A)在t=0時接入電路,因此,求階躍響應(yīng)就是求單位直流源接入電路時的零狀態(tài)響應(yīng)。對于一階動態(tài)電路的階躍響應(yīng),可用三要素法求得。利用階躍函數(shù)和階躍響應(yīng),根據(jù)線性電路的線性性質(zhì)和非時變電路的時不變性,可以分析在任意激勵下電路的零狀態(tài)響應(yīng)。眾所周知,線性性質(zhì)是指對于線性電路而言,如果激勵f1(t)作用于電路產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)為yzs1(t),激勵f2(t)作用于電路產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)為yzs2(t),簡記為線性性質(zhì)表明,如有常數(shù)a、b,則af1(t)+bf2(t)→ayzs1(t)+byzs2(t)(5.5-6)即af1(t)+bf2(t)共同作用于電路產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)等于a倍的yzs1(t)與b倍的yzs2(t)之和。于非時變電路,其元件參數(shù)不隨時間變化,因而電路的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵接入時間無關(guān),即若f(t)→yzs(t)則f(t-t0)→yzs2(t-t0)(5.5-7)也就是說,若激勵f(t)延遲了t0時間接入,那么其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲t0時間,且波形保持不變,如圖5.5-8所示。這稱為延時不變性或時不變性。圖5.5-8延時不變性例5.5-1如圖5.5-9(a)所示電路,(1)以uC(t)為輸出,求電路的階躍響應(yīng)g(t);(2)若激勵iS的波形如圖5.5-9(b),求電路的零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。圖5.5-9例5.5-1圖解(1)用三要素法。根據(jù)階躍響應(yīng)g(t)的定義,知uC(0+)=0;激勵iS=ε(t)A,可得故,以uC(t)為輸出的階躍響應(yīng)(2)iS=2ε(t)-2ε(t-2)A,根據(jù)線性時不變性質(zhì),得零狀態(tài)響應(yīng)或?qū)憺?.6正弦激勵下一階電路的響應(yīng)在實際電路中,除直流電源外,另一類典型的激勵就是隨時間按正弦(或余弦)規(guī)律變化的電源,即正弦電源。下面以一階電路為例討論正弦電源激勵下電路的完全響應(yīng)。例5.6-1如圖5.6-1(a)所示電路,t=0時開關(guān)S閉合。已知電容電壓的初始值uC(0+)=U0。激勵uS(t)=USmcos(ωt+φS)V,求t≥0時的uC(t)。圖5.6-1正弦激勵下一階電路的響應(yīng)解t≥0時開關(guān)閉合,根據(jù)圖5.6-1(a)所示,按KVL列寫微分方程為而依據(jù)微分方程理論有其特解為與激勵具有相同頻率的余弦函數(shù),即代入得為方便,設(shè)A1=ωRCUCm,A2=UCm,構(gòu)成直角三角形,如圖5.6-1(b)所示,則故利用得故有解得由初始條件確定常數(shù)K,即因此由式(5.6-3)可知,固有響應(yīng)(這里RC>0)就是暫態(tài)響應(yīng),隨著時間的增長,它按指數(shù)規(guī)律衰減,當(dāng)t→∞時,它趨于零;強迫響應(yīng)是與外加激勵同頻的正弦函數(shù),它是穩(wěn)態(tài)響應(yīng),稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。5.7應(yīng)用實例電感阻止電流快速變化的特性可用于電弧或火花發(fā)生器中,汽車自動點火電路就是利用這一特性。圖5.7-1(a)所示為汽車點火電路,L是點火線圈,火花塞是一對間隔一定的空氣隙電極。當(dāng)開關(guān)動作時,瞬間電流在點火線圈上產(chǎn)生高壓(一般為20~40kV),這一高壓在火花塞處產(chǎn)生火花而點燃氣缸中的汽油混合物,從而發(fā)動汽車。圖5.7-1汽車點火電路及模型例5.7-1圖5.7-1(b)所示為汽車點火電路的模型,其中火花塞等效為電阻RL,RL=20kΩ。電感線圈電阻r=6Ω,電感L=4mH。若供電電池電壓US=12V,開關(guān)S在t=0時閉合,經(jīng)t0=1ms后又打開,求t>t0時火花塞RL上的電壓uL(t)。解當(dāng)0<t<t0時,從電感兩端看去的等效電阻為R0=RL+r≈20kΩ時常數(shù)由于t0=1ms>5τ,因此t=t0時電路已達穩(wěn)態(tài),故當(dāng)t>t0時,由三要素法公式,得可見,火花塞上瞬時電壓可以達到40kV,該電壓足使火花塞點火。開關(guān)的閉合和打開可采用脈沖寬度為1ms的脈沖電子開關(guān)控制。習(xí)題55-1

如題5-1圖所示電路,已知電容電壓uC=10sin2tV,-∞<t<∞,求電路的端電壓u。題5-1圖5-2如題5-2圖所示電路,已知u=5+2e-2tV,t≥0,i=1+2e-2tA,t≥0,求電阻R和電容C。題5-2圖5-3

列寫題5-3圖所示電路uC的微分方程和iL的微分方程。題5-3圖5-4

列寫題5-4圖所示電路uC的微分方程和iL的微分方程。題5-4圖

5-5

如題5-5圖所示電路,在t<0時開關(guān)S位于“1”,電路已處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)t=0時開關(guān)S由“1”閉合到“2”,求初始值iL(0+)和uL(0+)。題5-5圖5-6

如題5-6圖所示電路,開關(guān)S斷開,電路已處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)t=0時開關(guān)S閉合,求初始值iL(0+)、uC(0+)、iC(0+)和iR(0+)。題5-6圖5-7

如題5-7圖所示電路,開關(guān)S原是閉合的,電路已處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)t=0時開關(guān)S打開,求初始值uL(0+)、iC(0+)和i(0+)。題5-7圖5-8

如題5-8圖所示電路,t<0時開關(guān)S斷開,電路已處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)t=0時開關(guān)S閉合,求初始值uL(0+)、iC(0+)和uR(0+)。題5-8圖5-9

題59圖所示電路,t=0時開關(guān)閉合,閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài),求t≥0時的電壓uC(t),并畫出其波形。5-10如題5-10圖所示電路,t<0時開關(guān)S斷開,電路已處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)t=0時,開關(guān)S閉合,求t≥0時的電壓uC、電流i的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),并畫出其波形。題5-10圖

5-11如題5-11圖所示電路,在t<0時開關(guān)S位于“1”,電路已處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)t=0時開關(guān)S由“1”閉合到“2”,求電壓uC、電流i的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),并畫出其波形。題5-11圖5-12

如題5-12圖所示電路,在t<0時開關(guān)S位于“1”,電路已處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)t=0時開關(guān)S由“1”閉合到“2”,求電壓iL、u的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),并畫出其波形。題5-12圖5-13

如題5-13圖所示電路,電容初始儲能為零,當(dāng)t=0時開關(guān)S閉合,求t≥0時的電壓uC。題5-13圖

5-14如題5-14圖所示電路,電感初始儲能為零,當(dāng)t=0時開關(guān)S閉合,求t≥0時的電壓iL。題5-14圖5-15

如題5-15圖所示