《電路與信號》課件模塊6

模塊6一階瞬態(tài)電路的時域分析6.1瞬態(tài)過程的一般概念與初始值的計算6.2直流一階瞬態(tài)電路的時域分析法——三要素法6.3一階電路的零輸入、零狀態(tài)分析法6.4沖激響應和零狀態(tài)響應本模塊小結習題6對瞬態(tài)電路的分析中，列寫的電路方程是微分方程或積分方程，分析方法有如下兩種：

(1)時域分析法；

(2)復頻域分析法。

當線性時不變電路中包含一個獨立的動態(tài)元件時，電路的微分方程總可用一階常系數(shù)線性微分方程來描述，因此稱它為一階電路；當電路包含兩個獨立的動態(tài)元件時，該電路總可用二階常系數(shù)線性微分方程來描述，因此稱它為二階電路。依次類推，還有三階、四階等高階電路。

一階電路的基本形式如圖6.1.1所示，它是僅含一個電容元件或一個電感元件的電路。圖6.1.1一階電路6.1瞬態(tài)過程的一般概念與初始值的計算

6.1.1瞬態(tài)過程的產(chǎn)生

下面通過觀察直流電流通過電阻向電容器充電來說明瞬態(tài)過程的產(chǎn)生。電路如圖6.1.2(a)所示，設開關S在t=0時閉合(即發(fā)生了換路)。換路前，即t<0時，回路電流i=0，電容C未充電，uC=0，這是一種穩(wěn)定狀態(tài)；當t≥0時，S已閉合，直流電壓源E通過電阻R向電容C充電，電容電壓uC由零值逐漸上升，同時回路電流i將由初始值E／R逐漸減小。uC與i隨t的變化曲線如圖6.1.2(b)所示。圖6.1.2電容器充電6.1.2任一變量初始值的確定

1.關于任一變量的初始值概念

通?？偸且該Q路時刻作為過渡過程的計時起點，即用t=0表示換路瞬間，而換路前一瞬間用t=0－表示，此時電路的狀態(tài)稱為原始狀態(tài)或起始狀態(tài)，用uC(0－)、iL(0－)表示；換路后一瞬間用t=0+表示，此時電路的狀態(tài)稱為初始狀態(tài)，用uC(0+)、iL(0+)表示。其他任一電流變量或電壓變量在換路后一瞬間t=0+的值y(0+)就是任一變量的初始值。

2.換路定理

電容和電感元件具有儲能特性、動態(tài)特性和慣性特性。慣性特性從物理概念上解釋了含有動態(tài)元件的電路在發(fā)生換路時必將出現(xiàn)過渡過程的原因，同時也提供了電路在換路時必定遵循的重要原則——換路定理。換路定理為

uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)

(6.1.1)

它是瞬態(tài)電路分析的重要依據(jù)。式(6.1.1)表明換路后，電容兩端的電壓uC和流過電感元件的電流iL不會發(fā)生突變。

3.任一變量初始值y(0+)的確定

求電路中任一變量的初始值y(0+)是分析瞬態(tài)過程中很重要的一步，具體步驟如下：

(1)作t=0－時刻的電路圖，在t=0－時刻，直流穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件相當于短路，電容元件相當于開路。注意：t=0－時刻為換路前的一瞬間。利用直流電阻電路的分析方法確定電路的原始狀態(tài)iL(0－)和uC(0－)。

(2)根據(jù)換路定理得iL(0+)=iL(0－)，uC(0+)=uC(0－)。

(3)作t=0+時刻的電路圖，此時電感元件被一個理想電流源替代，其方向與iL(0+)相同，而電容元件被理想電壓源替代，其極性與uC(0+)相同，如圖6.1.3所示。圖6.1.3

t=0+時刻L與C的電路模型

【例6.1.1】在如圖6.1.4(a)所示的電路中，開關S在t=0時閉合，S閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。試求初始值iL(0+)、uL(0+)。

解：首先畫出t=0－時刻的電路圖如圖6.1.4(b)所示。在此直流穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件已作短路處理，由此得

根據(jù)換路定理得

iL(0+)=iL(0－)=1.8A

然后畫出t=0+時刻的電路圖如圖6.1.3(c)所示，此時電感元件被一個理想電流源替代。利用直流電阻電路的分析方法可得待求變量的初始值，即

uL(0+)=36－(6+6)iL(0+)=36－12×1.8=14.4V

比較圖(b)和圖(c)可以看出，圖(b)為t=0－時刻的電路圖，換路前要考慮8Ω電阻；圖(c)為t=0+時刻的電路圖，換路后8Ω電阻被短路了。圖6.1.4例6.1.1圖

【例6.1.2】試確定圖6.1.5(a)所示電路中各變量的初始值iL(0+)、u(0+)和uL(0+)。已知is(t)=10ε(－t)A。

解：已知電流源為is(t)=10ε(－t)A，這相當于電路在t=0時將10A直流電流源的作用“撤除”，即在t<0時，電流源為10A直流電流源，在t>0時，直流電流源被視為開路。

畫t=0－時刻的電路圖的方法是：在圖6.1.5(a)中，is(t)=10A，將電感元件視為短路,則圖6.1.5例6.1.2圖根據(jù)換路定理得到

iL(0+)=iL(0－)=5A

圖6.1.5(b)是換路后的電路圖，原直流電流源10ε(－t)A支路相當于開路(即無外激勵源的情況)。圖6.1.5(c)是t=0+時刻的電路圖，此時電感元件被一個理想電流源替代。因此，很容易得到

u(0+)=－2iL(0+)=－10V

uL(0+)=－(2+1+3)iL(0+)=－6×5=－30V

6.2直流一階瞬態(tài)電路的時域分析法

——三要素法

6.2.1三要素法的標準公式

在動態(tài)電路中任一電流或電壓的響應均由初始值y(0+)、穩(wěn)態(tài)值y(∞)和時間常數(shù)τ三個因素所確定，通常將這三個因素稱為三要素。分別求出這三個要素，然后代入三要素法的標準公式，求出一階電路的響應，這種方法稱為三要素法。

三要素法的標準公式是(6.2.1)

1.穩(wěn)態(tài)值

作t→∞時刻的等效電路，即過渡過程結束后的另一穩(wěn)態(tài)電路，確定各響應變量的穩(wěn)態(tài)值y(∞)。在此電路中，電感、電容元件的處理方法與t=0－直流穩(wěn)態(tài)電路的處理方法相同，即電感元件相當于短路，電容元件相當于開路。

2.時間常數(shù)

時間常數(shù)的計算公式是

【例6.2.1】求如圖6.2.1(a)所示電路的時間常數(shù)τ值。已知開關S在t=0時閉合，S閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。

解：作求τ的電路圖，如圖6.2.1(b)所示。因為是換路后的電路，所以，8Ω電阻被短路，而電壓源作短路處理。從電感元件一端看過去，有

R=6+6=12Ω

所以圖6.2.1例6.2.1圖

【例6.2.2】求如圖6.2.2(a)所示電路的時間常數(shù)τ值。

解：作求τ的電路圖，如圖6.2.2(b)所示。換路后電流源電流為0，該支路斷路。從電感元件一端看過去，有

R=3+1+2=6Ω

所以圖6.2.2例6.2.2圖6.2.2三要素法的解題步驟及應用舉例

用三要素法分析直流信號源或階躍信號ε(t)作用下的一階電路響應的解題方法如下：

(1)作四個圖，即t=0－時刻電路圖、t=0+時刻電路圖、求時間常數(shù)τ的電路圖和t→∞時刻的電路圖。注意：只有t=0－時刻電路圖是換路前的電路圖，而t=0+時刻電路圖、求

時間常數(shù)τ的電路圖和t→∞時刻的電路圖均為換路后的電路圖。

(2)分別求出待求變量的初始值y(0+)、穩(wěn)態(tài)值y(∞)和時間常數(shù)τ。

(3)將已求出的三要素y(0+)、y(∞)、τ代入三要素法的標準公式(6.2.1)中。

【例6.2.3】在圖6.2.3(a)所示的電路中，開關S在t=0時閉合，S閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。試求t>0時的iL(t)、uL(t)。

解：作出四個圖，如圖6.2.3(b)、(c)、(d)、(e)所示。圖(b)為t=0－時刻的電路圖，此時電感元件短路；圖(c)為t=0+時刻的電路圖，此時電感元件用一個理想電流源替代；圖(d)為t→∞時刻的電路圖，此時電感元件短路；圖(e)為求時間常數(shù)τ的電路圖。

注意：圖6.2.3(b)、(d)均要求電感元件短路，只是圖(b)是換路前的電路圖，圖(d)是換路后的電路圖，兩者不相同。

我們已在例6.1.1中求出初始值iL(0+)=1.8A，uL(0+)=14.4V，在例6.2.1中求出時間常數(shù) ，下面根據(jù)圖6.2.3(d)求穩(wěn)態(tài)值。

uL(∞)=0

代入三要素法的標準公式得圖6.2.3例6.2.3圖

【例6.2.4】在圖6.2.4(a)所示的電路中，求在t>0時的iL(t)、uL(t)和u(t)。

解：圖6.2.4(b)是換路后的電路圖，原直流電流源10e(－t)A支路相當于開路(即無外激勵源情況)。

我們已在例6.1.2中求出初始值：

iL(0+)=5A，u(0+)=－10V，uL(0+)=－30V在例6.2.2中求出時間常數(shù) ，下面求穩(wěn)態(tài)值。圖6.2.4例6.2.4圖在圖(b)中讓電感元件短路，即得t→∞時刻的電路圖，因為此電路里只有三個電阻，顯然可得

iL(∞)=0

uL(∞)=u(∞)=0

iL(t)=5e－60tA

(t≥0)

uL(t)=－30e－60tV

(t>0)

u(t)=－10e－60tV

(t>0)代入三要素法的標準公式： ，當穩(wěn)態(tài)值y(∞)=0時， ，所以有

6.3一階電路的零輸入、零狀態(tài)分析法

6.2節(jié)介紹的三要素分析法是分析直流(或階躍)信號激勵下一階電路的一種比較簡便的方法，但這種分析法只適用于一階電路。當激勵信號比較復雜和電路的階次比較高時，應選用零輸入、零狀態(tài)分析法來確定電路的響應。

在線性電路中，電路的響應由兩部分產(chǎn)生：一部分由電路的輸入激勵f(t)產(chǎn)生；另一部分由電路的初始狀態(tài)iL(0－)、uC(0－)產(chǎn)生。為了便于分析，把僅由電路初始儲能iL(0－)、

uC(0－)引起的響應，稱為零輸入響應，用yzi(t)表示；把僅由輸入激勵f(t)產(chǎn)生的響應稱為零狀態(tài)響應，用yzs(t)表示；把由這兩個原因共同產(chǎn)生的響應稱為電路的全響應，用y(t)表示。根據(jù)線性電路的疊加定理，全響應應當?shù)扔诹爿斎腠憫c零狀態(tài)響應的疊加，即

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

我們可以用三要素法求：

(1)一階電路的零輸入響應yzi(t)。

(2)當激勵信號是直流(或階躍)信號時，一階電路的零狀態(tài)響應yzs(t)。

所謂一階電路的零輸入、零狀態(tài)分析法，是指用三要素法分別求出一階電路的零輸入響應yzi(t)、零狀態(tài)響應yzs(t)，然后將兩者相加，便得到電路的全響應y(t)。

若輸入信號f(t)是其他任一時間信號，如指數(shù)信號f(t)=e－atε(t)，則此時求一階電路的零狀態(tài)響應yzs(t)要采用卷積積分法。 6.4沖激響應和零狀態(tài)響應

6.4.1單位沖激響應

電路在單位沖激信號δ(t)作用下的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，通常用符號h(t)表示。

由于沖激響應h(t)在卷積積分中有著非常重要的作用，因此必須掌握它的計算方法。沖激響應的求取方法有直接法和間接法。對于簡單電路，可用間接法計算出δ(t)作用下的零狀態(tài)響應。間接法的具體步驟如下：

(1)求出階躍響應g(t)。所謂階躍響應g(t)，是指在階躍信號ε(t)作用下的零狀態(tài)響應。階躍響應可以用三要素法方便地得到。

(2)求沖激響應h(t)。因為沖激信號與階躍信號之間的關系為 ，所以對于線性時不變電路而言，定有

即沖激響應是階躍響應的導函數(shù)，從而可求得沖激響應h(t)。

【例6.4.1】

RC并聯(lián)電路如圖6.4.1(a)所示，若電流源is(t)=δ(t)，試求電容電壓的沖激響應h(t)。(6.4.1)圖6.4.1例6.4.1圖

解：(1)用三要素法求出階躍響應gu(t)。如圖6.4.1(b)所示，此時電流源改為階躍信號is(t)=ε(t)。

①根據(jù)定義，階躍響應是零狀態(tài)下的響應，所以uC(0+)=0是已知條件。

②在圖6.4.1(b)中，讓電容器開路，就得到t→∞時刻的電路圖，所以uC(∞)=Rε(t)。

③在圖6.4.1(b)中，讓電流源開路，即為求時間常數(shù)τ的電路圖，所以τ=RC。

④將以上求得的三要素uC(0+)、uC(∞)和τ代入三要素法的標準公式中，得

(2)求沖激響應h(t)。

利用公式f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，可將上面結果化簡為(6.4.2)(6.4.3)

【例6.4.2】電源is(t)的波形如圖6.4.2(a)所示，已知uC(0－)=0。求t>0時的uC(t)。

解：本題要確定圖6.4.2(b)所示的電路在is(t)=10δ(t)－8δ(t－2)A作用下的零狀態(tài)響應uC(t)，解題步驟可分為以下兩步來進行：

第1步，先求激勵源is(t)=δ(t)的沖激響應h(t)。本題求解階躍響應gu(t)、沖激響應h(t)的過程和結果都與例6.4.1一樣,因此只要將數(shù)據(jù)R=2Ω，C=1F帶入式(6.4.2)、式(6.4.3)，可得(6.4.4)圖6.4.2例6.4.2圖第2步，確定圖6.4.2(b)所示的電路在is(t)=10δ(t)－8δ(t－2)A作用下的零狀態(tài)響應uC(t)。根據(jù)線性時不變電路的特點，又由式(6.4.4)得

即在is(t)=10δ(t)－8δ(t－2)A作用下的零狀態(tài)響應uC(t)為

因為當0<t<2s時，ε(t)=1，ε(t－2)=0，當t>2s時，ε(t)=ε(t－2)=1，所以得出上式。6.4.2零狀態(tài)響應的確定

1.任意信號的分解

對于任意波形的信號f(t)，可以用一系列矩形脈沖來近似，如圖6.4.3所示。所有矩形脈沖的脈寬均為Δτ，在t=nΔτ時刻出現(xiàn)的矩形脈沖，其高度為f(nΔτ)，即為t=nΔτ時刻的f(t)的值。

可以想像，這些矩形脈沖的脈寬Δτ取得愈小，這些矩形脈沖分量之和愈逼近f(t)，當Δτ→0時，這些矩形脈沖分量之和就完全表示f(t)。

可以證明，當Δτ→0時，有(6.4.5)圖6.4.3

f(t)的分解式(6.4.5)說明，任意信號f(t)可以分解成強度為f(τ)dτ、出現(xiàn)時間為t=τ(任意時刻)的無窮多個沖激信號之和。該式也稱為卷積積分，簡稱卷積。通常還可將該式簡寫成

f(t)=f(t)*δ(t)

(6.4.6)

這一結果又表示，任意信號f(t)與沖激信號δ(t)的卷積結果仍為f(t)本身。同理，有

f(t－t0)=f(t)*δ(t－t0)

(6.4.7)

2.零狀態(tài)響應的卷積表達式

由于 ，所以電路在任意信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應，也就是在信號 激勵下的零狀態(tài)響應。

若 ，則上式說明：輸入信號為f(t)時，電路產(chǎn)生的零狀態(tài)響應yzs(t)等于輸入信號f(t)與沖激響應h(t)的卷積積分，即

實際中，對于激勵信號f(t)，總是有具體作用于電路的起始時間，取起始時間t=0，則t<0時，f(t)=0，因此式(6.4.8)的下限－∞改為0－；另一方面，沖激信號δ(t)只在t=0時出現(xiàn)，則沖激響應h(t)只可能在t≥0時才有值，同理對于δ(t－τ)產(chǎn)生的響應h(t－τ)必只在t≥τ時才有值，這意味著式(6.4.8)的上限不能大于t。綜上所述，得(6.4.8)(6.4.9)

【例6.4.3】在圖6.4.4所示的電路中,若u(t)=3e－10tε(t)V，求電感電流iL(t)的階躍響應、沖激響應和零狀態(tài)響應。

解：已知iL(0+)=iL(0－)=0。

(1)用三要素法求階躍響應g(t)。設信號u(t)=ε(t)，讓電感元件短路，就得到t→∞時刻的電路圖，則

讓電壓源短路，保留電感，圖6.4.4又變成了求時間常數(shù)τ的電路圖，則

R=3+6∥3=5Ω

所以圖6.4.4例6.4.3圖代入三要素法的標準公式，得

(2)求沖激響應，設信號u(t)=h(t)，則

(3)確定在信號u(t)=3e－10tV作用下的零狀態(tài)響應：6.4.3零輸入、零狀態(tài)法應用舉例

在確定了電路的沖激響應h(t)，并利用卷積積分求得電路的零狀態(tài)響應yzs(t)后，即可由y(t)=yzi(t)+yzs(t)獲得電路在激勵信號f(t)作用下的全響應y(t)。下面用例題具體說明一階電路零輸入、零狀態(tài)分析法的應用。

【例6.4.4】求圖6.4.5(b)所示電路在圖6.4.5(a)所示信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應yzs(t)、零輸入響應yzi(t)和全響應y(t)，已知uC(0－)=2V。圖6.4.5例6.4.4圖

解：(1)求零狀態(tài)響應yzs(t)。此時設uC(0+)=uC(0－)=0，有信號f(t)=e－tε(t)。

①用三要素法求出階躍響應gu(t)。

如圖6.4.5(c)所示的電路中，f(t)=ε(t)，在圖(c)中讓電容元件開路，便得到t→∞時刻的電路圖，所以

uC(∞)=ε(t)

又在圖(c)中讓電壓源短路，便得到求時間常數(shù)τ的電路圖，因此

τ=RC=1s

代入三要素法的標準公式：②求沖激響應h(t)。

又因

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

所以

h(t)=e－tε(t)③確定在信號f(t)=e－tε(t)激勵下的零狀態(tài)響應yzs(t)。(6.4.10)

(2)求零輸入響應yzi(t)。此時設輸入信號f(t)=0，有初始狀態(tài)uC(0+)=uC(0－)=2V，用三要素法求出yzi(t)。這種情況下，畫t→∞時刻的電路圖，應將圖(b)中的電壓源短路(因f(t)=0)，再將電容器開路，所以：

uC(∞)=0

畫求時間常數(shù)t的電路圖，應將圖(b)中的電壓源短路，所以：

t=RC=1s

代入三要素法的標準公式:

yzi(t)=uC(0+)e－t=2e－t

(t≥0)

(6.4.11)

(3)求全響應y(t)。此時要同時考慮輸入信號f(t)=e－t

e(t)和初始狀態(tài)uC(0+)=uC(0－)=2V共同產(chǎn)生的響應，即全響應。將式(6.4.10)、式(6.4.11)的結果代入全響應公式：

y(t)=yzi(t)+yzs(t)=(t+2)e－t

(t≥0)*6.4.4卷積積分的性質

1.卷積代數(shù)

卷積積分滿足交換律、分配律和結合律，即

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)

f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)

f1(t)*［f2(t)*f3(t)］=［f1(t)*f2(t)］*f3(t)

2.卷積的時移性

若f1(t)*f2(t)=f(t)，則

f1(t－t1)*f2(t－t2)=f(t－t1－t2)

3.卷積的微分性與積分性

若f1(t)*f2(t)=f(t)，則卷積的微分性為

卷積的積分性為

若將卷積的微分性和積分性同時考慮，則有

上述性質可通過對卷積積分的定義式進行證明得到，要求f1(t)、f2(t)為可積函數(shù)。

【例6.4.5】用作圖法求圖6.4.6所示信號f1(t)和f2(t)的卷積積分。

解：(a)因為

f(t－t0)=f(t)*δ(t－t0)

所以

f1(t)*f2(t)=δ(t+1)*f2(t)=f2(t+1)

這表示，f1(t)*f2(t)等于信號f2(t)向左時移1s。作出f1(t)和f2(t)的卷積積分f1(t)*f2(t)的圖，如圖6.4.7(a)所示。

(b)f1(t)*f2(t)=δ(t－1)*f2(t)=f2(t－1)

這表示，f1(t)*f2(t)等于信號f2(t)向右時移1s。作出f1(t)*f2(t)的圖，如圖6.4.7(b)所示。圖6.4.7例6.4.5圖

(c)f1(t)*f2(t)=［δ(t+1)+δ(t－1)］*f2(t)=f2(t+1)+f2(t－1)

這表示，f1(t)*f2(t)等于信號f2(t)的兩個時移信號f2(t+1)、f2(t－1)相加。作出f1(t)*f2(t)的圖，如圖6.4.7(c)所示。

(d)f1(t)*f2(t)=［δ(t+1)－δ(t－1)］*f2(t)=f2(t+1)－f2(t－1)

這表示，f1(t)*f2(t)等于信號f2(t)的兩個時移信號f2(t+1)、f2(t－1)相減。作出f1(t)*f2(t)的圖，如圖6.4.7(d)所示。

本模塊小結

1.任一變量初始值y(0+)的確定方法

(1)作t=0－時刻的電路圖，確定電路的原始狀態(tài)iL(0－)和uC(0－)。

(2)按換路定理uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)，求出uC(0+)、iL(0+)。

(3)作t=0+時刻的電路圖，利用直流電阻電路的分析方法可得待求變量的初始值y(0+)。

2.直流信號或階躍信號作用下一階電路響應的三要素法標準公式

初始值y(0+)、穩(wěn)態(tài)值y(∞)和時間常數(shù)τ為該公式的三要素。

求穩(wěn)態(tài)值的方法是：作t→∞時刻的等效電路，即過渡過程結束后的另一穩(wěn)態(tài)電路，確定各響應變量的穩(wěn)態(tài)值y(∞)。

時間常數(shù)τ的計算公式是：τ=RC或 。求τ的方法為：作求τ的電路，此電路是換路后的無源電路，對于RC電路，τ=RC，對于RL電路， 。其中，R是圖

6.1.1中的戴維南等效電阻。

3.階躍響應和沖激響應

階躍響應g(t)是在階躍信號ε(t)作用下的零狀態(tài)響應；電路在單位沖激信號δ(t)作用下的零狀態(tài)響應稱為沖激響應h(t)。階躍響應可以用三要素法方便地得到，而

，即沖激響應是階躍響應的導函數(shù)，從而可求得沖激響應h(t)。

4.一階電路在任一時間信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應

5.零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應

僅由電路初始儲能iL(0－)、uC(0－)引起的響應，稱為零輸入響應，用yzi(t)表示；僅由輸入激勵f(t)產(chǎn)生的響應稱為零狀態(tài)響應，用yzs(t)表示；由這兩個原因共同產(chǎn)生的響應稱為電路的全響應y