《材料力學》課件第12章

第12章靜不定問題分析12.1引言12.2用力法分析求解靜不定問題12.3對稱與反對稱靜不定問題分析12.1引言靜不定結(jié)構(gòu)和相應的靜定結(jié)構(gòu)相比，具有強度高、剛度大的顯著優(yōu)點，因此工程實際中的結(jié)構(gòu)大多數(shù)是靜不定結(jié)構(gòu)。前面曾經(jīng)介紹過簡單靜不定問題的概念與分析方法，本章以能量法為基礎，進一步研究分析求解靜不定問題的原理與方法。根據(jù)靜不定結(jié)構(gòu)約束的特點，靜不定結(jié)構(gòu)大致可以分為三類：僅在結(jié)構(gòu)外部存在多余約束的結(jié)構(gòu)稱為外力靜不定結(jié)構(gòu)，僅在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多余約束的結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)，不僅在結(jié)構(gòu)外部而且在結(jié)構(gòu)內(nèi)部都存在多余約束的結(jié)構(gòu)稱為混合型靜不定結(jié)構(gòu)。例如，圖12－1所示平面曲桿，支座A、B處共有4個約束反力；而平面任意力系只有3個獨立的平衡方程；而且，當支座約束力確定以后，利用截面法可以求出任一截面的內(nèi)力，所以，該曲桿具有一個多余的外部約束，屬于一次外力靜不定結(jié)構(gòu)。

如圖12－2(a)所示的平面剛架，支座處的3個約束力可以由平面任意力系3個獨立的平衡方程求出；但是，用截面法將剛架截開以后（見圖12－2(b)），截面上還存在3個內(nèi)力分量(FN、FS、M)，以整體為研究對象，未知力的總數(shù)是6個，顯然該結(jié)構(gòu)屬于三次內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)。確定內(nèi)力靜不定次數(shù)的方法是：用截面法將結(jié)構(gòu)切開一個或幾個截面（即去掉內(nèi)部多余約束），使它變成幾何不變的靜定結(jié)構(gòu)，那么切開截面上的內(nèi)力分量的總數(shù)（即原結(jié)構(gòu)內(nèi)部多余約束數(shù)目）就是靜不定次數(shù)。圖12－1圖12－2對于圖12－3(a)所示的平面剛架，如果從鉸鏈處切開，該截面上有2個內(nèi)力分量(FN、FS)，相當于去掉了2個多余約束，所以結(jié)構(gòu)是二次內(nèi)力靜不定。可見，軸線為單閉合曲線的平面剛架（包括平面曲桿）并且僅在軸線平面內(nèi)承受外力時，為三次內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)。

圖12－4所示平面剛架屬于混合型靜不定結(jié)構(gòu)。確定混合型靜不定次數(shù)的方法是：首先判定其外力靜不定次數(shù)，再判定其內(nèi)力靜不定次數(shù)，二者之和即為此結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)。顯然，該結(jié)構(gòu)具有1個多余的外部約束、3個多余的內(nèi)部約束，即為4次靜不定結(jié)構(gòu)。由于靜不定結(jié)構(gòu)有內(nèi)、外多余約束，使得未知力數(shù)目超過了獨立的平衡方程數(shù)目，因此求解靜不定結(jié)構(gòu)必須綜合考慮靜力平衡、變形協(xié)調(diào)和力與變形之間的物理關系三方面條件，這就是求解靜不定問題的基本方法。分析求解靜不定問題的具體方法很多，最基本的有兩種：力法與位移法。力法是以多余未知力為基本未知量，將變形或位移表示為未知力的函數(shù)，然后按變形或位移協(xié)調(diào)條件建立補充方程，從而解出多余未知力。位移法是以結(jié)構(gòu)的某些位移為基本未知量進行分析求解的。本書主要介紹用力法求解靜不定問題，用位移法求解靜不定問題的方法請參閱其他《材料力學》教材。圖12－3圖12－4 12.2用力法分析求解靜不定問題

12.2.1外力靜不定結(jié)構(gòu)分析圖12－5(a)所示等截面小曲率圓桿，承受載荷F作用，試分析其約束力與內(nèi)力。顯然，該結(jié)構(gòu)屬于一次外力靜不定。確定該結(jié)構(gòu)基本系統(tǒng)的方法比較多：可以選取B端的可動鉸支座作為多余約束；也可以選取A端阻止該截面轉(zhuǎn)動的約束作為多余約束，將固定端改變?yōu)楣潭ㄣq支座；還可以選取曲桿某個截面內(nèi)部的相互約束作為多余約束，如解除相互轉(zhuǎn)動的約束、將曲桿截開后加上鉸鏈?；鞠到y(tǒng)的選取雖然有多種形式，所得結(jié)果應該是相同的，但是計算過程卻有繁簡之分，所以基本系統(tǒng)的選擇是非常重要的。對于該曲桿，將B端的可動鉸支座作為多余約束予以解除，并以多余約束力FBy代替其作用，所得圖12－5(b)所示的相當系統(tǒng)是最佳選擇。圖12－5原結(jié)構(gòu)在B處是可動鉸支座，上下不能移動，應有wB=0，所以相當系統(tǒng)截面B的鉛垂位移也應為零，故相應的變形協(xié)調(diào)條件為對于曲桿，用單位載荷法計算點B的鉛垂位移。在基本系統(tǒng)上施加相應的單位力如圖12－5(c)所示。在載荷F與多余約束力FBy作用下，基本系統(tǒng)的彎矩方程為在單位載荷作用下，基本系統(tǒng)的彎矩方程為(a)根據(jù)莫爾定理，相當系統(tǒng)截面B的鉛垂位移為（b）將式（b）代入式（a），得補充方程（c）解得（d）在相當系統(tǒng)上解出A端約束力分別為在相當系統(tǒng)上分析曲桿的彎矩方程為（e）由上式求出如果該曲桿沒有B處的活動鉸鏈支座，在水平載荷F作用下，固定端A處的彎矩為顯然，原靜不定曲桿的強度遠高于相應的靜定曲桿。

例12－1

求圖12－6(a)所示剛架的約束反力與彎矩的最大值。

解

(1）確定相當系統(tǒng)。這是一次外力靜不定問題。選支座C處的水平約束作為多余約束予以解除，并以未知約束力FCx代替其作用，所選相當系統(tǒng)如圖12－6(b)所示。

(2）建立用載荷和未知約束力表示的補充方程并求解。原剛架在C處為固定鉸支座，不能移動，所以相當系統(tǒng)在活動鉸支座C處的水平位移也應為零，故變形協(xié)調(diào)條件是（a）用單位載荷法計算ΔCx，建立補充方程。圖12－6在載荷與多余約束力FCx共同作用下，剛架的約束力可以由平衡方程求得，它們分別為（b）剛架CB段與AB段的彎矩方程分別為（c）（d）在圖12－6(d)所示單位載荷FCx=1作用下，由平衡方程求得剛架的約束力分別為在單位載荷作用下，剛架CB段與AB段的彎矩方程分別為根據(jù)莫爾定理，有(f)將式（f）代入式（a），得補充方程（g）由此解得(←)（h）負號表示FCx的實際方向與假設方向相反。

(3）通過相當系統(tǒng)計算剛架的約束力與內(nèi)力。多余未知約束力FCx求出后，剛架的約束力可以通過相當系統(tǒng)求出。將代入式（b），得，，，（i）剛架的內(nèi)力也可以通過相當系統(tǒng)求出。例如，將 代入式（d），令x2=a，求得截面B的彎矩為該靜不定剛架B截面彎矩值最大，即（j）12.2.2內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)分析

分析內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)的方法，與分析外力靜不定結(jié)構(gòu)的方法基本相同。所不同的是，由于內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)的多余約束，存在于結(jié)構(gòu)內(nèi)部，多余約束力為構(gòu)件切開處相連兩截面間成對的內(nèi)力，變形協(xié)調(diào)條件表現(xiàn)為該相連兩截面間的某些相對位移為零。現(xiàn)在以圖12－7(a)所示結(jié)構(gòu)為例，說明分析內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)的方法。該結(jié)構(gòu)由橫梁AB與桿1、桿2、桿3組成，橫梁中點截面C承受載荷F作用，試計算截面C的撓度。設橫梁各截面的抗彎剛度均為EI，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，且I=Aa2/10。圖12－7所以，結(jié)構(gòu)外力是靜定的。但是，若用截面法將結(jié)構(gòu)截開，所取分離體（例如取節(jié)點D作為分離體）未知內(nèi)力的數(shù)目都比獨立的平衡方程數(shù)目多一個，故屬于一次內(nèi)力靜不定問題。設以桿1為多余約束，假想地將其截開，得到原結(jié)構(gòu)的基本系統(tǒng)。由于桿1截開截面處只有軸力FN1，由此也可以判定原結(jié)構(gòu)屬于一次內(nèi)力靜不定。原結(jié)構(gòu)的相當系統(tǒng)如圖12－7(b)所示。變形協(xié)調(diào)條件為截面m與m′沿桿軸方向的相對位移為零，即（a）用單位載荷法計算Δm/m′。在載荷F與多余約束力FN1

作用下，基本系統(tǒng)中桿的軸力為梁AC段的彎矩方程為根據(jù)莫爾定理，相當系統(tǒng)截面m與m′沿桿軸方向的相對位移為（b）將式（b）代入式（a），得補充方程解得最后，在相當系統(tǒng)上利用單位載荷法分析計算截面C的撓度。為此，在基本系統(tǒng)上加單位力如圖12－7(d)所示。各桿的軸力均為零；梁AC段的彎矩方程為根據(jù)莫爾積分，截面C的撓度為將式（c）代入上式，得(↓)如果沒有桿1、桿2、桿3，簡支梁AB在載荷F作用下，截面C的撓度為(↓)顯然，原靜不定結(jié)構(gòu)的剛度遠好于相應的靜定結(jié)構(gòu)。

12.3對稱與反對稱靜不定問題分析

在工程實際中，有很多靜不定結(jié)構(gòu)是對稱的。利用這一特點，可以使靜不定問題的計算得到很大簡化。平面結(jié)構(gòu)對稱條件是：結(jié)構(gòu)具有對稱的形狀、尺寸與約束條件，而且處在對稱位置的構(gòu)件具有相同的截面尺寸與彈性模量。例如圖12－8(a)所示剛架即為對稱結(jié)構(gòu)。圖12－8

作用在對稱結(jié)構(gòu)上的載荷各種各樣，其中可能有對稱載荷與反對稱載荷。如果作用在對稱位置的載荷不僅數(shù)值相等，而且方位與指向（或轉(zhuǎn)向）均對稱，則稱為對稱載荷；如果作用在對稱位置的載荷數(shù)值相等、方位對稱，但指向（或轉(zhuǎn)向）反對稱，則稱為反對稱載荷。圖12－8(b)所示載荷為對稱載荷，圖12－8(c)所示載荷為反對稱載荷。對于這種對稱性問題，有下面的重要結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下，其內(nèi)力和變形必然也對稱于對稱軸；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下，其內(nèi)力和變形必然反對稱于對稱軸。

利用對稱結(jié)構(gòu)的上述特性，在分析靜不定問題時，可以減少多余未知力的數(shù)目，減少靜不定次數(shù)。例如，圖12－9(a)所示剛架為三次靜不定結(jié)構(gòu)，如果將剛架沿對稱軸處橫截面C截開后作為基本系統(tǒng)，一般存在三個多余未知內(nèi)力分量，即軸力FN、剪力FS與彎矩M。然而，如果結(jié)構(gòu)承受對稱載荷（見圖12－9(b)），則截面C處的反對稱內(nèi)力FS必然為零，僅剩下軸力FN與彎矩M兩個多余未知力；如果結(jié)構(gòu)承受反對稱載荷（見圖12－9(c)），則截面C處的對稱內(nèi)力FN與M必然為零，僅剩下剪力FS一個多余未知力。圖12－912.3.1結(jié)構(gòu)對稱、載荷對稱的靜不定結(jié)構(gòu)分析

圖12－10(a)所示正方形剛架，在橫截面A、A′處承受一對大小相等、方向相反的水平載荷F作用，試求剛架內(nèi)的最大彎矩。設抗彎剛度EI為常數(shù)。

該封閉剛架為三次內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)。但是該剛架與載荷均對稱于水平對稱軸AA′，又對稱于鉛垂對稱軸CC′，屬于雙對稱結(jié)構(gòu)。所以，在鉛垂對稱軸CC′處的橫截面上，將只有軸力與彎矩，而且，截面C與C′的內(nèi)力完全相同（見圖12－10(b)）。由平衡方程得（a）圖12－10這樣，只剩彎矩MC一個多余未知力，原來三次靜不定問題就等效于一次靜不定問題。

如果選取相當系統(tǒng)如圖12－11(a)所示，變形協(xié)調(diào)條件為切開處左、右截面間的相對轉(zhuǎn)角θl/r為零，即（b）用單位載荷法計算θl/r。在載荷F與多余約束力MC共同作用下，相當系統(tǒng)ABC部分的彎矩方程為在圖12－11(b)所示單位載荷作用下，相當系統(tǒng)ABC部分的彎矩方程為根據(jù)莫爾定理，并利用結(jié)構(gòu)的對稱性，有（c）將式（c）代入式（b），得補充方程（d）由此解得(e)多余未知約束力求出后，畫剛架的彎矩圖如圖12－11(c)所示?？梢姡╢）圖12－11

例12－2如圖12－12(a)所示兩端固定梁AB，截面彎曲剛度為EI，作梁的彎矩圖。圖12－12

解

(1）確定相當系統(tǒng)。兩端固定梁AB共有6個約束力，而有效平衡方程僅3個，故為三次外力靜不定問題。但是，在小變形的條件下，梁的橫截面形心沿軸線方向的位移極小，因而兩端水平約束力也極小，一般均可忽略不計，于是，剩下4個約束力、兩個有效平衡方程，屬于二次靜不定問題。又由于結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱，因此在對稱截面上只有對稱內(nèi)力而沒有反對稱內(nèi)力。在不計軸向伸長變形時，對稱截面C上將只有彎矩MC一個內(nèi)力，故可以簡化為一次靜不定問題。

將梁從對稱截面C截開，載荷F分解為作用在截面C兩側(cè)均為的兩個分力，以彎矩MC作為多余約束力，選取相當系統(tǒng)如圖12－12(b)所示。

(2）建立用載荷和多余未知內(nèi)力表示的補充方程并求解。梁AB在C處左右兩側(cè)相對角位移為零，故變形協(xié)調(diào)條件是（a）用單位載荷法計算θC,l/r，建立補充方程。如圖12－12(b)所示，在載荷與多余力MC共同作用下，梁CA段的彎矩方程為（b）在圖12－12(c)所示單位載荷作用下，梁CA段的彎矩方程為（c）根據(jù)莫爾定理，并利用問題的對稱性，有（d）將式（d）代入式（a），得補充方程（e）由此解得負號表示MC的實際方向與假設方向相反。

(3）通過相當系統(tǒng)計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

多余未知力MC求出后，梁的內(nèi)力可以通過相當系統(tǒng)求出。將代入式（b），梁CA段的彎矩方程為（g）梁固定端A截面的彎矩為（h）根據(jù)式（g），作出梁的彎矩圖如圖12－12(d)所示，彎矩的最大值12.3.2結(jié)構(gòu)對稱、載荷反對稱的靜不定結(jié)構(gòu)分析

圖12－13(a)所示剛架，在對稱軸的橫截面C處，作用有矩為Me的集中力偶，試計算截面C的轉(zhuǎn)角。設抗彎剛度EI為常數(shù)。

該剛架為三次外力靜不定結(jié)構(gòu)。剛架對稱于鉛垂對稱軸，將作用在對稱軸橫截面C處的外力偶分解為作用在截面C兩側(cè)的兩個分力偶，其矩均為Me/2，即構(gòu)成反對稱載荷。所以，在對稱截面C處，將只存在剪力FSC這樣一個多余未知力，原來三次靜不定問題就等效于一次靜不定問題。如果選取相當系統(tǒng)如圖12－13(b)所示，變形協(xié)調(diào)條件為切開處左、右截面沿剪力FSC方向的相對位移Δl/r為零，即（a）用單位載荷法計算Δl/r。在載荷與多余約束力FSC共同作用下，相當系統(tǒng)CBA部分的彎矩方程為在圖12－13(c)所示單位載荷作用下，相當系統(tǒng)ABC部分的彎矩方程為根據(jù)莫爾定理，并利用結(jié)構(gòu)的對稱性，有（b）將式（b）代入式（a），得補充方程(c)由此解得（d）多余未知約束力求出后，剛架截面C的轉(zhuǎn)角可通過相當系統(tǒng)的左邊或右邊部分計算。若選左邊ABC部分，在載荷Me/2與多余約束力FSC共同作用下，相當系統(tǒng)ABC部分的彎矩方程為在圖12－13（d）所示單位載荷作用下，相當系統(tǒng)ABC部分的彎矩方程為根據(jù)莫爾定理，有圖12－13

當對稱結(jié)構(gòu)承受一般載荷（既不對稱，也不反對稱）時，可以進行一些變換，使其成為對稱載荷或反對稱載荷。例如圖12－14(a)所示的情況，可以將其分解為對稱（見圖12－14(b)）與反對稱（見圖12－14(c)）兩組載荷。然后對這兩種載荷的情況，再分別利用對稱和反對稱進行簡化計算，將二者的結(jié)果疊加起來即可。圖12－1412.3.3平面靜不定剛架空間受力分析

圖12－15(a)所示為一軸線位于同一水平面內(nèi)的剛架。在一般情況下，對于一般空間力系問題，剛架任一截面上有六個內(nèi)力分量（見圖12－15(b)）。作用面位于剛架軸線所在xz平面內(nèi)的分量FN、FSz與My稱為面內(nèi)內(nèi)力分量；作用面位于剛架軸線所在平面外的分量T、FSy與Mz稱為面外內(nèi)力分量。若外載荷均垂直于剛架的軸線平面（見圖12－15(a)），且當結(jié)構(gòu)變形很小時，剛架橫截面的形心在軸線平面內(nèi)的位移可以忽略不計，因此，面內(nèi)的三個內(nèi)力分量以及面內(nèi)的約束力一般可以忽略不計，這時，僅需考慮剩下的面外三個內(nèi)力分量（見圖12－15(c)），結(jié)構(gòu)靜不定次數(shù)明顯降低。圖12－15

例如，圖