高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題2：曲線的軌跡方程

第第頁參考答案1．①②④⑤【分析】由題設(shè)條件線段的垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圓錐曲線的定義，分類討論，即可求解.【解析】（1）因為為圓內(nèi)的一定點，為上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點，可得，即動點到兩定點的距離之和為定值，①當(dāng)不重合時，根據(jù)橢圓的定義，可知點的軌跡是：以為焦點的橢圓；②當(dāng)重合時，點的軌跡是圓；（2）當(dāng)為圓外的一定點，為上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點，可得，即動點到兩定點的距離之差為定值，根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡是：以為焦點的雙曲線；（3）當(dāng)為圓上的一定點，為上的一動點，此時點的軌跡是圓心.綜上可得：點的軌跡可能是點、圓、橢圓和雙曲線.故答案為：①②④⑤【點評】本題主要考查了橢圓、雙曲線和圓的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)，以及橢圓和雙曲線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.2．【分析】先利用橢圓的幾何性質(zhì)得到的軌跡方程為：，再根據(jù)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)關(guān)系可得的軌跡方程.【解析】如圖，延長交的延長線于，連接.因為為的平分線且，故為等腰三角形且，，所以.在中，因為，所以，故的軌跡方程為：.令，則，所以即，故答案為：【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)以及動點的軌跡方程，注意遇到與焦點三角形有關(guān)的軌跡問題或計算問題時，要利用好橢圓的定義，另外，求動點的軌跡，注意把要求的動點的軌跡轉(zhuǎn)移到已知的動點的軌跡上去.3．【分析】設(shè)點坐標(biāo)，，由于，是過點的圓的兩條切線，求出切點弦的方程，將其與圓的方程聯(lián)立，可以得到點坐標(biāo)，由于垂直于軸，于是垂線就垂直于軸，因此、橫坐標(biāo)相同．又、是圓的兩條切線，于是，因此可知過中點，而由圓的對稱性可知，也過的中點，于是可知、、三點共線．又直線的斜率知道了，點的橫坐標(biāo)知道了，于是點的縱坐標(biāo)也出來了，則垂心的軌跡可求．【解析】解：由題意設(shè)點坐標(biāo)，，則以為直徑的圓的方程為，又圓的方程為，兩式作差得：．聯(lián)立，解得或．則點的橫坐標(biāo)為．由于垂直于軸，于是垂線就垂直于軸，因此、橫坐標(biāo)相同．又、是圓的兩條切線，于是，因此可知為三角形的垂心）過中點，而由圓的對稱性可知，也過的中點，于是可知、、三點共線．由直線的方程為，代入點橫坐標(biāo)得點的縱坐標(biāo)為．三角形的垂心的軌跡方程為．消掉得：．故答案為：【點評】本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了參數(shù)法求曲線的軌跡，解答此題的關(guān)鍵是求出過切點的弦的方程，屬于中檔題．4．【分析】由已知，可得直線l恒過，由題意知，直線斜率不為0，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，解得，再由由三點共線可得，由三點共線可得，兩式相除可得，再將代入化簡即可.【解析】因為，所以，由得，故直線l恒過，由題意知，直線斜率不為0，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，得，則，，，由三點共線可得，由三點共線可得，兩式相除可得，解得，所以點在定直線上，故點R的軌跡方程為.故答案為：.【點評】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系中的定值問題，考查學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力，是一道難度較大的題.5．【分析】設(shè)的內(nèi)心為，連接交軸于點，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到，設(shè)，再由焦半徑公式及內(nèi)角平分線定理得到，則，然后利用向量關(guān)系把的坐標(biāo)用的坐標(biāo)表示出來，代入橢圓方程求解.【解析】如圖，設(shè)的內(nèi)心為，連接交軸于點，連接在中是的角平分線.根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到.同理可得.所以，根據(jù)等比定理得：在橢圓中，所以設(shè)，則同理又，則，可得所有由，得，所以，代入橢圓方程.得，由，則.所以的內(nèi)心軌跡方程為：故答案為：【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查焦半徑公式，內(nèi)角平分線定理的應(yīng)用，屬于難題.6．（1）；（2）【分析】（1）由點且于點，可求得直線AB的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程由韋達(dá)定理可表示，進(jìn)而表示，再由，得構(gòu)建方程，解得p值；（2）分別表示與，由已知構(gòu)建方程，解得t的值，設(shè)的中點的坐標(biāo)為，當(dāng)與軸不垂直時，由構(gòu)建等式，整理得中點軌跡方程；當(dāng)與軸垂直時，與重合，綜上可得答案.【解析】（1）由及，得直線的斜率，則的方程為，即，設(shè)，，聯(lián)立消去得，，由韋達(dá)定理，得，于是，由，得，即，則，解得.（2）由（1）得拋物線的焦點，設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點為，則，，由，得，且，得.設(shè)的中點的坐標(biāo)為，則當(dāng)與軸不垂直時，由，可得，；當(dāng)與軸垂直時，與重合，所以的中點的軌跡方程為.【點評】本題考查由已知關(guān)系求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了在拋物線中線弦的問題下求中點的軌跡方程問題，屬于難題.7．（1）；作圖見解析；（2）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）設(shè)，由題意，分類討論，可得點的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；（2）當(dāng)或顯然不存在符合題意的對稱點，當(dāng)時，注意到曲線關(guān)于軸對稱，至少存在一對（關(guān)于軸對稱的）對稱點，再研究曲線上關(guān)于對稱但不關(guān)于軸對稱的對稱點即可.【解析】解：（1）設(shè)，由題意①：當(dāng)時，有，化簡得：②：當(dāng)時，有，化簡得：（二次函數(shù)）綜上所述：點的軌跡方程為（如圖）：（2）當(dāng)或顯然不存在符合題意的對稱點，當(dāng)時，注意到曲線關(guān)于軸對稱，至少存在一對（關(guān)于軸對稱的）對稱點.下面研究曲線上關(guān)于對稱但不關(guān)于軸對稱的對稱點設(shè)是軌跡上任意一點，則，它關(guān)于的對稱點為，由于點在軌跡上，所以，聯(lián)立方程組（*）得，化簡得①當(dāng)時，，此時方程組（*）有兩解，即增加有兩組對稱點.②當(dāng)時，，此時方程組（*）只有一組解，即增加一組對稱點.（注：對稱點為，）③當(dāng)時，，此時方程組（*）有兩解為，，沒有增加新的對稱點.綜上所述：記對稱點的對數(shù)為.【點評】本題考查根據(jù)幾何條件告訴的等量關(guān)系求軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大.8．（1）；（2）【分析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），結(jié)合題意得出點Q的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的運算可得出點P的軌跡方程；（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），設(shè)直線AM的方程為，將該直線方程與曲線C的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行計算得出點B和點D的橫坐標(biāo)相等，于是得出BD⊥x軸，根據(jù)幾何性質(zhì)得出△MBD的內(nèi)切圓圓心H在x軸上，且該點與切點的連線與AB垂直．方法一是計算出△MBD的面積和周長，利用等面積法可得出其內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式；方法二是設(shè)H（x2﹣r，0），直線BD的方程為x＝x2，寫出直線AM的方程，利用點H到直線AB和AM的距離相等得出r的表達(dá)式；方法三是利用△MTH∽△MEB，得出，然后通過計算得出△MBD內(nèi)切圓半徑r的表達(dá)式．通過化簡得到r關(guān)于x2的函數(shù)表達(dá)式，并換元，將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為r關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，然后利用單調(diào)性可求出r的取值范圍．【解析】（1）設(shè)點，則∴，∵∴，即（2）設(shè)，，，直線與軸交點為，內(nèi)切圓與的切點為．設(shè)直線的方程為：，則聯(lián)立方程，得：∴且∴∴直線的方程為：，與方程聯(lián)立得：，化簡得：解得：或∵∴軸設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則在軸上且方法（一）∴，且的周長為：∴∴.方法（二）設(shè)，直線的方程為：，其中直線的方程為：，即，且點與點在直線的同側(cè)，∴，解得：方法（三）∵∴，即，解得：令，則∴在上單調(diào)增，則，即的取值范圍為．【點評】本題考查軌跡方程以及直線與拋物線的綜合問題，考查計算能力與化簡變形能力，屬于難題．9．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)所求直線l的方程為y=kx+b，由直線l與⊙C1相切、直線l截⊙C2的弦長，列方程組即可求出直線L的方程．（2）由題意得：|MC1|+|MC2|=6，設(shè)動點M（x，y），列方程能求出動圓M的圓心M軌跡方程．【解析】解：（1）設(shè)所求直線L的方程為y=kx+b，∵直線L與⊙C1相切，∴=1，（i）又直線L截⊙C2的弦長等于2，∴=2，（ii）2=2，解得d2=r2-21=4，∴|k-b|=2，∴|k-b|=2|k+b|，∴k+3b=0，（iii）或3k+b=0，（iiii）（iii）代入（i），得：||=，，無解，（iiii）代入（i），得：|-2k|=，解得k=，當(dāng)k=時，b=-，直線方程為y=，當(dāng)k=-時，b=，直線方程為y=-x+．經(jīng)檢驗得斜率不存在的直線均不適合題意．故直線L的方程為y=，或y=-x+．（2）由題意得：|MC1|+|MC2|=6，設(shè)動點M（x，y），則+=6，解得=1，∴動圓M的圓心M軌跡方程為．【點評】本題考查直線方程的求法，動圓的圓心的軌跡方程的求法，直線與圓相切、弦長公式、直線方程、圓、兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識，屬于難題．10．的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點．【解析】【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)給出的兩個垂直關(guān)系，得到各個坐標(biāo)間的關(guān)系，最后消掉參數(shù)得到軌跡方程，并去掉不符合的點?！窘馕觥咳鐖D，點在拋物線上，設(shè)，的斜率分別為．所以由，得依點在上，得直線方程由，得直線方程設(shè)點，則滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘，并利用③式整理得由③、④兩式得由①式知，∴因為是原點以外的兩點，所以．所以的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點．【點評】本題考查了曲線軌跡方程的求法，通過迭代法、設(shè)而不求，得到各個坐標(biāo)間的相互關(guān)系，最后消去參數(shù)得到軌跡方程。注意最后要把不符合要求的點坐標(biāo)舍棄，屬于難題。11．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率得出，寫出直線的方程，利用原點到直線的距離為得出的值，進(jìn)而得出的值，于此得出橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點、、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用斜率公式以及直線、、的斜率依次成等差數(shù)列，，并代入韋達(dá)定理求出的值，即可得出點的軌跡方程.【解析】（Ⅰ）由，得，由點、可知直線的方程為，即.由于原點到直線的距離為，即，得，，因此，橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)點、、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去并整理得，，由韋達(dá)定理得，.①，而②，由題意得，故得，解得，再代回①式得，回代②式可得，由此說明點的軌跡為直線.【點評】本題考查橢圓方程的求解，考查動點軌跡方程的求解，考查直線與圓錐曲線綜合問題的求解，解決這類問題就是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理設(shè)而不求法來求解，難點在于計算量大，屬于難題.12．（1）；（2）1，.【分析】（1）設(shè)，，分別求出以為切點的切線方程，聯(lián)立兩切線方程表示出點的坐標(biāo)，再設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，代入可得點的軌跡方程；（2）由（1）知和到直線的距離，利用三角形面積公式求得面積，可求得的最小值和直線的方程.【解析】（1）設(shè)，，，則以A為切點的切線為，整理得：，同理：以為切點的切線為：，聯(lián)立方程組：，解得，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，整理得：，恒成立，由韋達(dá)定理得：，，故，所以點的軌跡方程為；（2）由（1）知：，到直線的距離為：，∴，∴時，取得最小值，此時直線的方程為.【點評】思路點睛：本題考查直線與拋物線的交點相關(guān)問題，涉及到拋物線的切線和三角形的面積的最值，直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．屬中檔題.13．（1），曲線為中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓，不含，兩點；（2）①證明見解析；②證明見解析.【分析】（1）利用直接法表示出直線與的斜率之積，化簡可得到曲線方程；（2）①設(shè)直線的方程，由，可得直線方程，與橢圓聯(lián)立可求點坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線方程，與聯(lián)立即可得證點在定直線上；②由（1）得，，又，進(jìn)而可得直線與直線的斜率之積.【解析】（1）解：由題意，得，化簡，得，所以曲線為中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓，不含，兩點.（2）證明：①由題設(shè)知，直線，的斜率存在且均不為0.設(shè)直線的方程為，由，可知直線的斜率為，方程為.由得，解得，則，即.直線的斜率為，則直線的方程為，將代入，解得，故點在直線上.②由（1），得，，所以.結(jié)合，得為定值.即直線與直線的斜率之積為定值.【點評】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．14．（1）；（2）證明見解析，定點為.【分析】（1）設(shè)點，，，由可得出，由，可得出，，代入化間可得出動點的軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，由可求得的值，可得出直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過定點的坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)、、，則，，，，，.由，得，且點、均不在軸上，故，且，.由，得，即.由，得，即.所以，所以動點的軌跡的方程為：；（2）若直線的斜率為零時，則直線與曲線至多只有一個公共點，不合乎題意.可設(shè)直線的方程為.由，得.設(shè)、，則，.，，解得，所以，直線的方程為，即直線恒過定點.【點評】方法點睛：直線過定點：根據(jù)題中條件確定直線方程中的與、所滿足的等量關(guān)系或等式，然后再代入直線方程，即可確定直線所過定點的坐標(biāo)15．（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）先把兩點和點的坐標(biāo)設(shè)出來，再分兩點的橫坐標(biāo)相等和不相等兩種情況分別設(shè)出直線的方程，再利用兩點既在直線上又再橢圓上，可以找出兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后利用中點公式，即可求得點的軌跡方程（注意要反過來檢驗所求軌跡方程是否滿足已知條件）；（2）先找到曲線與軸的交點以及與軸的交點，再對的取值分別討論，分析出與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù)（注意點的坐標(biāo)滿足）.【解析】（1）設(shè)點A?B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)?(x2，y2)，點Q的坐標(biāo)為Q(x，y)，當(dāng)時，設(shè)直線斜率為k，則l的方程為y=k(x-a)+b，由已知①，，②y1=k(x1-a)+b③，y2=k(x2-a)+b，④①②得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.⑤③+④得y1+y2=k(x1+x2)-2ka+2b，⑥由⑤?⑥及，得點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0，⑦當(dāng)x1=x2時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸，即Q的坐標(biāo)為(a，0)，顯然點Q的坐標(biāo)滿足方程⑦綜上所述，點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0，設(shè)方程⑦所表示的曲線為l.則由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0，因為Δ=8b2(a2+-1)，由已知，所以當(dāng)a2+=1時，Δ=0，曲線l與橢圓C有且只有一個交點P(a，b)；當(dāng)a2+<1時，Δ<0，曲線l與橢圓C沒有交點，因為(0，0)在橢圓C內(nèi)，又在曲線l上，所以曲線l在橢圓C內(nèi)，故點Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0；（2）由，得曲線l與y軸交于點(0，0)?(0，b)；由，得曲線l與x軸交于點(0，0)?(a，0)；當(dāng)a=0，b=0，即點P(a，b)為原點時，(a，0)?(0，b)與(0，0)重合，曲線l與x軸只有一個交點(0，0)；當(dāng)a=0且0<|b|≤時，即點P(a，b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點(a，0)與(0，0)重合，曲線l與坐標(biāo)軸有兩個交點(0，b)與(0，0)；同理，當(dāng)b=0且0<|a|≤1時，即點P(a，b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線l與坐標(biāo)軸有兩個交點(a，0)與(0，0)；當(dāng)0<|a|<1且0<|b|<時，即點P(a，b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時，曲線l與坐標(biāo)軸有三個交點(a，0)?(0，b)與(0，0).【點評】解答圓錐曲線問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).16．（1），曲線C是焦點在x軸上，長軸長為4，短軸長為2的橢圓，去掉兩點，；（2）證明見解析.【分析】（1）由斜率公式求得各直線的斜率，根據(jù)題意列式整理得到曲線的軌跡方程，結(jié)合橢圓的方程判定軌跡為橢圓，注意根據(jù)斜率有存在，得到,軌跡中要去掉橢圓的左右頂點;（2）①直線l斜率不存在時，易得直線l的方程為；②直線l斜率存在時，設(shè)l的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和斜率公式可得，進(jìn)而利用直線的方程說明直線恒過定點．綜和即得結(jié)論．【解析】（1）解：因為AM與BM的斜率之積為，所以有，化簡得，所以曲線C是焦點在x軸上，長軸長為4，短軸長為2的橢圓，去掉兩點，．（2）證明：直線l不經(jīng)過點，則點D，E不與點P重合，①直線l斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為，由，解得，，所以，，因為得，即直線l的方程為；②直線l斜率存在時，設(shè)l的方程為，設(shè)，，由得，，由得，則，則，恒過定點．綜上所述，l過定點．【點評】本題考查求曲線的軌跡方程和軌跡，橢圓的方程和性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系和圓錐曲線中的直線過定點問題，屬中檔題.注意第二問中的定點問題，要分直線的斜率存在于不存在兩種情況的討論說明.17．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)點，列式，化簡（注意斜率存在的條件），求軌跡方程.（2）直線傾斜角不為0，設(shè)直線的方程（不用取討論斜率是否存在），聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元，韋達(dá)定理，用點的坐標(biāo)表示直線和方程，